压轴专题11 阿氏圆模型-2025年中考数学压轴题专项训练（江苏专用）

压轴专题11 阿氏圆模型 知识考点与解题策略 阿氏圆模型 动点到两定点距离之比为定值（即：平面上两点A、B，动点P满足 PA/PB=k（k为常数，且k≠1）），那么动点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆。 如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB（即）， 连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？最小值是多少呢？ 如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r（即），∵，∴， ∵∠POC=∠BOP，∴△POC∽△BOP，∴，即k·PB=PC。 故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值。 其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小，如图3所示。 阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在于如何构造母子相似。 阿氏圆最值问题常见考法：点在圆外：向内取点（系数小于1）；点在圆内：向外取点（系数大于1）；一内一外：提系数；隐圆型阿氏圆等。 注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题． 例题1如图1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP，BP，求： ①， ②， ③， ④的最小值． 【答案】①；②；③；④． 【分析】①在CB上取点D，使，连接CP、DP、AD．根据作图结合题意易证，即可得出，从而推出，说明当A、P、D三点共线时，最小，最小值即为长．最后在中，利用勾股定理求出AD的长即可； ②由，即可求出结果； ③在CA上取点E，使，连接CP、EP、BE．根据作图结合题意易证，即可得出，从而推出，说明当B、P、E三点共线时，最小，最小值即为长．最后在中，利用勾股定理求出BE的长即可； ④由，即可求出结果． 【详解】解：①如图，在CB上取点D，使，连接CP、DP、AD． ∵，，， ∴． 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴当A、P、D三点共线时，最小，最小值即为长． ∵在中，． ∴的最小值为； ②∵， ∴的最小值为； ③如图，在CA上取点E，使，连接CP、EP、BE． ∵，，， ∴． 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴当B、P、E三点共线时，最小，最小值即为长． ∵在中，． ∴的最小值为； ④∵， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．正确的作出辅助线，并且理解三点共线时线段最短是解答本题的关键． 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP＋BP的最小值为（    ）      A．7 B．5 C． D． 【答案】B 【详解】思路引领：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．利用相似三角形的性质证明MPPA，可得AP+BP＝PM+PB≥BM，利用勾股定理求出BM即可解决问题． 答案详解：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM． ∵PC＝3，CM＝1，CA＝9， ∴PC2＝CM•CA， ∴， ∵∠PCM＝∠ACP，    ∴△PCM∽△ACP， ∴， ∴PMPA， ∴AP+BP＝PM+PB， ∵PM+PB≥BM， 在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7， ∴BM5， ∴AP+BP≥5， ∴AP+BP的最小值为5． 故选：B． 2．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）如图，已知正方形的边长为2，点O是边的中点，G为正方形内一动点，且．点P是边上另一动点，连接、，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了轴对称求最短线段，矩形和正方形的性质，圆的定义，勾股定理等知识，利用对称的性质作线段的等量转移是解题关键．作点关于直线的对称点，连接，以为圆心，长为半径作圆，点在圆上运动，、与交于点、，则，，，当点、在、位置时，此时点、、、四点共线，有最小值为长，过点作于点，求出，即可求解． 【详解】解：正方形的边长为2，点O是边的中点， ，，， 如图，作点关于直线的对称点，连接，以为圆心，长为半径作圆，点在圆上运动，与与交于点、， 则，，， ， 当点、在、位置时，此时点、、、四点共线，有最小值为长， 过点作于点，则四边形是矩形， ，， ， ， 的最小值为， 的最小值为，即， 故答案为：． 3．（2020·江苏常州·一模）如图，在中，点A、点B在上，，，点C在OA上，且，点D是的中点，点M是劣弧AB上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．延长到T，使得，连接，．利用相似三角形的性质证明，求的最小值问题转化为求的最小值．利用两点之间线段最短得到，利用勾股定理求出即可解题． 【详解】解：延长到T，使得，连接，． ， ， 点D是的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又在中，，， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 4．如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PA＋PB的最小值为 ． 【答案】 【分析】PA＋PB＝（PA＋PB），利用相似三角形构造PB即可解答． 【详解】解：设⊙O半径为r， OP＝r＝BC＝2，OB＝r＝2， 取OB的中点I，连接PI， ∴OI＝IB＝， ∵， ， ∴ ，∠O是公共角， ∴△BOP∽△POI， ∴， ∴PI＝PB， ∴AP＋PB＝AP＋PI， ∴当A、P、I在一条直线上时，AP＋PB最小， 作IE⊥AB于E， ∵∠ABO＝45°， ∴IE＝BE＝BI＝1， ∴AE＝AB−BE＝3， ∴AI＝， ∴AP＋PB最小值＝AI＝， ∵PA＋PB＝（PA＋PB）， ∴PA＋PB的最小值是AI＝． 故答案是． 【点睛】本题是“阿氏圆”问题，解决问题的关键是构造相似三角形． 5．如图所示，，半径为的圆内切于．为圆上一动点，过点作、分别垂直于的两边，垂足为、，则的取值范围为 ．    【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，解直角三角形；方法一，，作，，确定的最大值和最小值．方法二，延长交于点，求得，得到，，当与相切时，取得最大和最小，据此求解即可． 【详解】解：方法一，作于，作于，   ，， ， ， ， ， ， ， 当与相切时，取得最大和最小， 如图，    连接，，， 可得：四边形是正方形， ， 在中， ， ， 在中， ， ， ， 如图，    由上知：，， ， ， ， ． 故答案为：． 方法二：延长交于点，    ∵，，、分别垂直于的两边， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当与相切时，取得最大和最小， 连接，作， 可得：四边形是正方形， ， 在中，，， ， ∴的最大值为， 同理，的最小值为．   ． 故答案为：． 6．如图所示的平面直角坐标系中，，，是第一象限内一动点，，连接、，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】取点，连接，．根据，有，即可证明，即有，进而可得，则有，利用勾股定理可得，则有，问题得解． 【详解】解：如图，取点，连接，． ，，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，（当B、P、T三点共线时取等号） 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查阿氏圆问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 7．如图，在中，，以点B为圆心作圆B与相切，点P为圆B上任一动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】作BH⊥AC于H，取BC的中点D，连接PD，如图，根据切线的性质得BH为⊙B的半径，再根据等腰直角三角形的性质得到BHAC，接着证明△BPD∽△BCP得到PDPC，所以PAPC＝PA+PD，而PA+PD≥AD（当且仅当A、P、D共线时取等号），从而计算出AD得到PA的最小值． 【详解】解：作BH⊥AC于H，取BC的中点D，连接PD，如图， ∵AC为切线， ∴BH为⊙B的半径， ∵∠ABC＝90°，AB＝CB＝2， ∴ACBA＝2， ∴BHAC， ∴BP， ∵，， 而∠PBD＝∠CBP， ∴△BPD∽△BCP， ∴， ∴PDPC， ∴PAPC＝PA+PD， 而PA+PD≥AD（当且仅当A、P、D共线时取等号）， 而AD， ∴PA+PD的最小值为， 即PA的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．解决问题的关键是利用相似比确定线段PDPC．也考查了等腰直角三角形的性质． 8．如图，在Rt中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的上任意一点，连接BP，CP，则BP+CP的最小值是 ． 【答案】． 【分析】在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT．证明，推出＝＝，推出PT＝PB，推出PB+CP＝CP+PT，根据PC+PT≥TC，求出CT即可解决问题． 【详解】解：在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT． ∵PA＝2．AT＝1，AB＝4， ∴PA2＝AT•AB， ∴＝， ∵∠PAT＝∠PAB， ∴， ∴＝＝， ∴PT＝PB， ∴PB+CP＝CP+PT， ∵PC+PT≥TC， 在Rt中， ∵∠CAT＝90°，AT＝1，AC＝4， ∴CT＝＝， ∴PB+PC≥， ∴PB+PC的最小值为． 故答案为． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理的应用，三角形的三边关系，圆的基本性质，掌握以上知识是解题的关键． 9．（2020·江苏南京·二模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是 .    【答案】 【分析】如下图，在CA上取一点E，使得CE=4，先证△DCE∽△ACD，将转化为DE，从而求得的最小距离，进而得出2AD+3BD的最小值． 【详解】如下图，在CA上取一点E，使得CE=4      ∵AC=9，CD=6，CE=4 ∴ ∵∠ECD=∠ACD ∴△DCE∽△ACD ∴ ∴ED= 在△EDB中，ED+DB≥EB ∴ED+DB最小为EB，即ED+DB=EB ∴ 在Rt△ECB中，EB= ∴ ∴2AD+3DB= 故答案为：． 【点睛】本题考查求最值问题，解题关键是构造出△DCE∽△ACD． 10．如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】如图，连接，在上取一点，使得，进而证明,则在点P运动的任意时刻，均有PM=，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD，在△PDM中，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值，勾股定理即可求得． 【详解】如图，连接，在上取一点，使得， ， 在△PDM中，PD-PM＜DM， 当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值， 四边形是正方形 在中， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，构造是解题的关键． 11．如图，在边长为4的正方形ABCD内有一动点P，且BP＝．连接CP，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ．连接CQ、DQ，则DQ+CQ的最小值为 ． 【答案】5 【分析】连接AC、AQ，先证明△BCP∽△ACQ得即AQ＝2，在AD上取AE＝1，证明△QAE∽△DAQ得EQ＝QD，故DQ+CQ＝EQ+CQ≥CE，求出CE即可． 【详解】解：如图，连接AC、AQ， ∵四边形ABCD是正方形，PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ， ∴∠ACB＝∠PCQ＝45°， ∴∠BCP＝∠ACQ，cos∠ACB＝，cos∠PCQ＝， ∴∠ACB=∠PCO， ∴△BCP∽△ACQ， ∴ ∵BP＝， ∴AQ＝2， ∴Q在以A为圆心，AQ为半径的圆上， 在AD上取AE＝1， ∵，，∠QAE＝∠DAQ， ∴△QAE∽△DAQ， ∴即EQ＝QD， ∴DQ+CQ＝EQ+CQ≥CE， 连接CE， ∴， ∴DQ+CQ的最小值为5． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，三角函数，解题的关键在于能够连接AC、AQ，证明两对相似三角形求解. 12．（20-21九年级上·江苏宿迁·期末）问题提出：如图①，在中，，，，的半径为，为圆上一动点，连接，求的最小值． (1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接，在上取一点，使，则．又，所以．所以．所以，所以．请你完成余下的思考，并直接写出答案：的最小值为 ； (2)自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值； (3)拓展延伸：如图②，已知在扇形COD中，，，，，是上一点，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用勾股定理即可求得本题答案； （2）连接，在上取点，使，则有，可证，得到，即，从而的最小值为； （3）延长到点，使，连接，可证，得到，得到，当三点共线时，得到最小值． 【详解】（1）解：如图连接， ∵，要使最小， ∴当最小，当点在同一条直线时，最小， ∴的最小值为， 在中，，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：； （2）解：如图连接，在上取点，使， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：； （3）解：如图延长到点，使， ∴， 连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，取得最小值：， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理，相似三角形判定及性质，最值得确定． 13．（九年级下·江苏盐城·阶段练习）如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B，在x轴上有一动点（），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M． (1)求a的值和直线AB的函数表达式： (2)设△PMN的周长为，△AEN的周长为，若求m的值． (3)如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到，旋转角为（），连接、，求的最小值． 【答案】(1)a=-．直线AB解析式为y=-x+3； (2)2 (3) 【分析】（1）令y=0，求出抛物线与x轴交点，列出方程即可求出a，根据待定系数法可以确定直线AB解析式； （2）由△PNM∽△ANE，推出，列出方程即可解决问题； （3）在y轴上 取一点M使得OM′=，构造相似三角形，可以证明AM′就是E′A+E′B的最小值． 【详解】（1）令y=0，则ax2+（a+3）x+3=0， ∴（x+1）（ax+3）=0， ∴x=-1或-， ∵抛物线y=ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0）， ∴-=4， ∴a=-． ∵A（4，0），B（0，3）， 设直线AB解析式为y=kx+b，则， 解得， ∴直线AB解析式为y=-x+3； （2）如图1， ∵PM⊥AB，PE⊥OA， ∴∠PMN=∠AEN， ∵∠PNM=∠ANE， ∴△PNM∽△ANE， ∵ ∴， ∵NE∥OB， ∴， ∴， ∵抛物线解析式为， ∴， ∴， 解得m=2或4， 经检验x=4是分式方程的增根， ∴m=2； （3）如图2，在y轴上 取一点M′使得OM′=，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′=OE． ∵OE′=2，OM′•OB=， ∴OE′2=OM′•OB， ∴， ∵∠BOE′=∠M′OE′， ∴△M′OE′∽△E′OB， ∴， ∴， ∴，此时最小（两点间线段最短，A、M′、E′共线时）， 最小值． 【点睛】本题为二次函数综合题，主要考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等知识，解题的关键是构造相似三角形，找到线段AM′就是的最小值． 14．已知与有公共顶点C，为等边三角形，在中，． (1)如图1，当点E与点B重合时，连接AD，已知四边形ABDC的面积为，求的值； (2)如图2，， A、E、D三点共线，连接、，取中点M，连接，求证：； (3)如图3，，，将以C为旋转中心旋转，取中点F，当的值最小时，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）延长到T，使得连接，过点D做于N，证明，得出，，证明为等边三角形，设，得出，求出x的值即可得出答案； （2）延长到使得，连接、，证明，得出，证明为的中位线，得出，即可证明结论； （3）连接，过点A作于点G，以点C为圆心，为半径作圆，在上截取，连接，证明，得出，即，得出，连接与交于一点，当点F在此点时，最小，即最小，过点M作于点N，过点A作于点Q，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：延长到T，使得连接，过点D做于N，如图所示： ∵为等边三角形，， ∴，， 四边形中，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∵四边形ABDC的面积为， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， （2）证明：延长到使得，连接、，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵A为中点，M为中点， ∴为的中位线， ∴， ∴； （3）解：如图，连接，过点A作于点G，以点C为圆心，为半径作圆，在上截取，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵点F为等边三角形的边中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的长度为定值， ∴在旋转时，点F在以C为圆心，为半径的圆上运动， ∴如图，连接与交于一点，当点F在此点时，最小，即最小，过点M作于点N，过点A作于点Q， ， ， ， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，特殊角的三角函数，求正切值，勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，找出取最小值时，点F的位置． 15．如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，其中点的坐标为，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是直线下方的抛物线上一个动点，是否存在点使四边形的面积为16，若存在，求出点的坐标若不存在，请说明理由； (3)如图2，过点作交抛物线的对称轴于点，以点为圆心，2为半径作，点为上的一个动点，求的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据点的坐标为，抛物线的对称轴是直线．待定系数法求二次函数解析式即可， （2）先求得直线解析式，设，则，过点作轴交直线于点，根据等于16建立方程，解一元二次方程即可求得的值，然后求得的坐标， （3）在上取，过点作，构造，则当三点共线时，取得最小值，最小值为，勾股定理解直角三形即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为，抛物线的对称轴是直线， ∴， ， 解得， 抛物线解析式为：， （2）当，即， 解得， ， ， 设直线解析式为， ， 解得， 直线解析式为， 设，过点作轴交直线于点， 则， ， 四边形的面积为16， ， 解得， 或， （3）如图，过点作交抛物线的对称轴于点，以点为圆心，2为半径作， 是抛物线的对称轴， ， ， ，， ， ， 在上取，过点作，交轴于点，交抛物线对称轴于点，则， ， ， ，， ， ， ， ， 当三点共线时，取得最小值，最小值为， ． 则的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，掌握二次函数的性质与相似三角形的性质与判定是解题的关键． 16．如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C为顶点的正方形CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD＝，连接AF，BD （1）求证：△BDC≌△AFC （2）当正方形CDEF有顶点在线段AB上时，直接写出BD＋AD的值； （3）直接写出正方形CDEF旋转过程中，BD＋AD的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）或 ；（3） 【分析】（1）利用SAS，即可证明△FCA≌△DCB； （2）分两种情况当点D，E在AB边上时和当点E，F在边AB上时，讨论即可求解； （3）取AC的中点M．连接DM，BM．则CM＝1，可证得△DCM∽△ACD，可得DM＝AD，从而得到当B，D，M共线时，BD+AD的值最小，即可求解． 【详解】（1）证明： ∵四边形CDEF是正方形， ∴CF＝CD，∠DCF＝∠ACB＝90°， ∴∠ACF＝∠DCB， ∵AC＝CB， ∴△FCA≌△DCB（SAS）； （2）解：①如图2中，当点D，E在AB边上时， ∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°， ∴， ∵CD⊥AB， ∴AD＝BD＝， ∴BD+AD＝； ②如图3中，当点E，F在边AB上时． BD＝CF＝， AD＝＝， ∴BD+AD＝， 综上所述，BD＋AD的值或； （3）如图4中．取AC的中点M．连接DM，BM．则CM＝1， ∵CD＝，CM＝1，CA＝2， ∴CD2＝CM•CA， ∴＝， ∵∠DCM＝∠ACD， ∴△DCM∽△ACD， ∴＝＝， ∴DM＝AD， ∴BD+AD＝BD+DM， ∴当B，D，M共线时，BD+AD的值最小， 最小值． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，锐角三角函数，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 17．如图，点A、B在上，且OA＝OB＝6，且OA⊥OB，点C是OA的中点，点D在OB上，且OD＝4，动点P在上．求2PC＋PD的最小值． 【答案】 【分析】连接OP，在射线OA上截取AE=6，连接PE．由题意易证，即得出，从而得出，由此可知当P、D、E三点共线时，最小，最小值为DE的长，最后在中利用勾股定理求出DE的长即可． 【详解】如图，连接OP，在射线OA上截取AE=6，连接PE． ∵C是OA的中点， ∴． ∴在△OPC和△OEP中，， ∴， ∴，即， ∴，. ∴当P、D、E三点共线时，最小，最小值即为DE的长，如图， 在中， ， ∴ 的最小值为． 【点睛】本题考查同圆半径相等、三角形相似的判定和性质和勾股定理等知识．正确作出辅助线并理解当P、D、E三点共线时，最小，最小值为DE的长是解答本题的关键． 18．如图1所示，⊙O 的半径为 r，点 A、B 都在⊙O 外，P 为⊙O 上的动点， 已知 r＝k·OB．连接 PA、PB，则当“PA＋k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？ 【答案】见解析 【详解】1：连接动点至圆心0（将系数不为1的线段两端点分别与圆心相连接），即连接OP、OB； 2：计算连接线段OP、OB长度； 3：计算两线段长度的比值； 4：在OB上截取一点C，使得构建母子型相似： 5：连接AC，与圆0交点为P，即AC线段长为PA＋K*PB的最小值． 本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，（如图 2）在线段 OB上截取 OC 使 OC＝k·r，则可说明△BPO 与△PCO 相似，即 k·PB＝PC． ∴本题求“PA＋k·PB”的最小值转化为求“PA＋PC”的最小值，即 A、P、C 三点共线时最小（如图 3），时AC线段长即所求最小值． 19．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B （1）求抛物线解析式及B点坐标； （2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积； （3）如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由． 【答案】（1）y＝x2﹣6x+5， B（5，0）；（2）当M（3，﹣4）时，四边形AMBC面积最大，最大面积等于18；（3）PC+PA的最小值为，理由详见解析. 【分析】（1）由直线y＝﹣5x+5求点A、C坐标，用待定系数法求抛物线解析式，进而求得点B坐标． （2）从x轴把四边形AMBC分成△ABC与△ABM；由点A、B、C坐标求△ABC面积；设点M横坐标为m，过点M作x轴的垂线段MH，则能用m表示MH的长，进而求△ABM的面积，得到△ABM面积与m的二次函数关系式，且对应的a值小于0，配方即求得m为何值时取得最大值，进而求点M坐标和四边形AMBC的面积最大值． （3）作点D坐标为（4，0），可得BD＝1，进而有，再加上公共角∠PBD＝∠ABP，根据两边对应成比例且夹角相等可证△PBD∽△ABP，得等于相似比，进而得PD＝AP，所以当C、P、D在同一直线上时，PC+PA＝PC+PD＝CD最小．用两点间距离公式即求得CD的长． 【详解】解：（1）直线y＝﹣5x+5，x＝0时，y＝5 ∴C（0，5） y＝﹣5x+5＝0时，解得：x＝1 ∴A（1，0） ∵抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点 ∴   解得： ∴抛物线解析式为y＝x2﹣6x+5 当y＝x2﹣6x+5＝0时，解得：x1＝1，x2＝5 ∴B（5，0） （2）如图1，过点M作MH⊥x轴于点H ∵A（1，0），B（5，0），C（0，5） ∴AB＝5﹣1＝4，OC＝5 ∴S△ABC＝AB•OC＝×4×5＝10 ∵点M为x轴下方抛物线上的点 ∴设M（m，m2﹣6m+5）（1＜m＜5） ∴MH＝|m2﹣6m+5|＝﹣m2+6m﹣5 ∴S△ABM＝AB•MH＝×4（﹣m2+6m﹣5）＝﹣2m2+12m﹣10＝﹣2（m﹣3）2+8 ∴S四边形AMBC＝S△ABC+S△ABM＝10+[﹣2（m﹣3）2+8]＝﹣2（m﹣3）2+18 ∴当m＝3，即M（3，﹣4）时，四边形AMBC面积最大，最大面积等于18 （3）如图2，在x轴上取点D（4，0），连接PD、CD ∴BD＝5﹣4＝1 ∵AB＝4，BP＝2 ∴ ∵∠PBD＝∠ABP ∴△PBD∽△ABP ∴ ∴PD＝AP ∴PC+PA＝PC+PD ∴当点C、P、D在同一直线上时，PC+PA＝PC+PD＝CD最小 ∵CD＝ ∴PC+PA的最小值为 【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的性质、圆的性质及相似三角形的判断与性质. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 压轴专题11 阿氏圆模型 知识考点与解题策略 阿氏圆模型 动点到两定点距离之比为定值（即：平面上两点A、B，动点P满足 PA/PB=k（k为常数，且k≠1）），那么动点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆。 如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB（即）， 连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？最小值是多少呢？ 如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r（即），∵，∴， ∵∠POC=∠BOP，∴△POC∽△BOP，∴，即k·PB=PC。 故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值。 其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小，如图3所示。 阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在于如何构造母子相似。 阿氏圆最值问题常见考法：点在圆外：向内取点（系数小于1）；点在圆内：向外取点（系数大于1）；一内一外：提系数；隐圆型阿氏圆等。 注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题． 例题1如图1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP，BP，求： ①， ②， ③， ④的最小值． 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP＋BP的最小值为（    ）      A．7 B．5 C． D． 2．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）如图，已知正方形的边长为2，点O是边的中点，G为正方形内一动点，且．点P是边上另一动点，连接、，则的最小值为 ． 3．（2020·江苏常州·一模）如图，在中，点A、点B在上，，，点C在OA上，且，点D是的中点，点M是劣弧AB上的动点，则的最小值为 ． 4．如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PA＋PB的最小值为 ． 5．如图所示，，半径为的圆内切于．为圆上一动点，过点作、分别垂直于的两边，垂足为、，则的取值范围为 ．    6．如图所示的平面直角坐标系中，，，是第一象限内一动点，，连接、，则的最小值是 ． 7．如图，在中，，以点B为圆心作圆B与相切，点P为圆B上任一动点，则的最小值是 ． 8．如图，在Rt中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的上任意一点，连接BP，CP，则BP+CP的最小值是 ． 9．（2020·江苏南京·二模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是 .    10．如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为 ． 11．如图，在边长为4的正方形ABCD内有一动点P，且BP＝．连接CP，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ．连接CQ、DQ，则DQ+CQ的最小值为 ． 【答案】5 12．（20-21九年级上·江苏宿迁·期末）问题提出：如图①，在中，，，，的半径为，为圆上一动点，连接，求的最小值． (1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接，在上取一点，使，则．又，所以．所以．所以，所以．请你完成余下的思考，并直接写出答案：的最小值为 ； (2)自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值； (3)拓展延伸：如图②，已知在扇形COD中，，，，，是上一点，求的最小值． 13．（九年级下·江苏盐城·阶段练习）如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B，在x轴上有一动点（），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M． (1)求a的值和直线AB的函数表达式： (2)设△PMN的周长为，△AEN的周长为，若求m的值． (3)如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到，旋转角为（），连接、，求的最小值． 14．已知与有公共顶点C，为等边三角形，在中，． (1)如图1，当点E与点B重合时，连接AD，已知四边形ABDC的面积为，求的值； (2)如图2，， A、E、D三点共线，连接、，取中点M，连接，求证：； (3)如图3，，，将以C为旋转中心旋转，取中点F，当的值最小时，求的值． 15．如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，其中点的坐标为，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是直线下方的抛物线上一个动点，是否存在点使四边形的面积为16，若存在，求出点的坐标若不存在，请说明理由； (3)如图2，过点作交抛物线的对称轴于点，以点为圆心，2为半径作，点为上的一个动点，求的最小值． 16．如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C为顶点的正方形CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD＝，连接AF，BD （1）求证：△BDC≌△AFC （2）当正方形CDEF有顶点在线段AB上时，直接写出BD＋AD的值； （3）直接写出正方形CDEF旋转过程中，BD＋AD的最小值． 17．如图，点A、B在上，且OA＝OB＝6，且OA⊥OB，点C是OA的中点，点D在OB上，且OD＝4，动点P在上．求2PC＋PD的最小值． 18．如图1所示，⊙O 的半径为 r，点 A、B 都在⊙O 外，P 为⊙O 上的动点， 已知 r＝k·OB．连接 PA、PB，则当“PA＋k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？ 19．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B （1）求抛物线解析式及B点坐标； （2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积； （3）如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$