第六章 平面向量及其应用 章末检测-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

《第六章 平面向量及其应用》章末检测 一、单选题 1.（2024·山东潍坊高一月考）如图，在圆中，向量，，是（ ）    A．有相同起点的向量 B．共线向量 C．模相等的向量 D．相等向量 【答案】C 【解析】对于选项A，因为向量，的起点为，而向量的起点为，所以选项A错误； 对于选项B，共线向量是指方向相同或相反的非零向量，所以选项B错误； 对于选项C，向量，，的模长均为圆的半径，所以选项C正确； 对于选项D，因为相等向量是方向相同且长度相等的向量，而向量，，方向不同，所以选项D错误. 2．（2024·海南中学高三开学考试）已知向量，满足，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 又，，故，解得． 3．（2024·河北石家庄高三月考）已知向量，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，因为， 则，解得. 4．（2024·四川成都高一月考）满足（其中分别为角所对的边）的三角形有（ ） A．个 B．个 C．个 D．无数个 【答案】A 【解析】在中，， 由正弦定理得，即． 故满足的三角形有个. 5.（2023·新课标Ⅰ卷）已知向量，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，， 由可得，， 即，整理得． 6.（2024·贵州铜仁高二开学考试）在中，，，，为的中点，为上一点， 且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为为的中点，所以， 又，所以， 因为三点共线，设， 即， 故，所以，解得， 则，两边平方得 ，故. 7.（2024·北京高一期中）一扇中式实木仿古正方形花窗如图所示，该窗有两个正方形，将这两个正方形（它们有共同的对称中心与对称轴）单独拿出来放置于同一平面，如图所示.已知分米，分米，点在正方形的四条边上运动，当取得最大值时，与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，， ，， 设，， ， 当时，，，当且仅当时等号成立； 当时，，，当且仅当时等号成立； 当时，，，当且仅当时等号成立； 当时，，，当且仅当时等号成立. 由以上可知，当时，取得最大值，此时，， 设与的夹角为，则. 即当取得最大值时，与夹角的余弦值为. 8．设的内角的对边分别为，，,已知，在边上，平分，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，由余弦定理得， 整理得，所以，又因为，则. 因为平分，所以， 根据题意有，又， 所以， 即， 整理有，即， 所以， 因为，，所以，， 所以，即， 当且仅当，即时，等号成立. 二、多选题 9．（2023·江苏扬州高一期末）如图，在平行四边形中，分别是边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（ ）    A． B． C． D． 【答案】A、B 【解析】选项A：由题意知，分别是边上的两个三等分点，且与方向相同，则，故A正确； 选项B：因为，，所以，故B正确； 选项C：，所以C错误； 选项D： ，故D错误. 10.（2024·山东青岛高三期中）在中，内角的对边分别为，由以下各条件分别能得出为等边三角形的有（ ） A．已知且 B．已知且 C．已知且 D．已知且 【答案】A、C 【解析】对于A，因为，所以， 由余弦定理得， 又，所以，所以，所以，所以，所以为等边三角形，故A正确； 对于B，因为，，所以或. 当时，结合，可得，所以为等边三角形； 当时，显然不为等边三角形，故B错误； 对于C，因为且，所以，所以，所以，又，所以，所以为等边三角形，故C正确； 对于D，因为，所以，即，所以， 所以或，所以或. 当时，，所以，所以为等边三角形； 当时，由得，，所以为直角三角形. 故D错误. 11.（2024·广东深圳高一月考）点在所在的平面内，以下说法正确的有（ ） A．若，则点为的重心 B．若，则点为的外心 C．若，则点为的内心 D．若，则点为的垂心 【答案】A、B、D 【解析】设边，，的中点分别为，，，连接， 对于A，，则，所以， 所以，，三点共线，即点在中线上， 同理可得点在中线，上，所以点是的重心，故A正确；   对于B，若，所以点为的外心，故B正确； 对于C，，所以，所以为线段的垂直平分线， 同理可得，分别为线段，的垂直平分线， 所以为三条边垂直平分线的交点，所以点为的外心，故C错误； 对于D：由已知可得， 即，所以点在边上的高线所在的直线上，同理可得点在边上的高线所在的直线上，点在边上的高线所在的直线上，所以点是的垂心，故D正确. 三、单空题 12.（2024·湖北武汉高一期末）若向量分别表示两个力，则 . 【答案】 【解析】由题意，向量分别表示两个力， 可得， 所以. 13.（2024·江苏江阴高一月考）已知锐角中，，，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】因为锐角中，，， 所以由正弦定理可得， 则， 又为锐角三角形，所以，即，所以， 因此，所以， 即的取值范围为. 14.（2024·江苏苏州高一期中）在中，，、、分别是边、、的中点，，则 ． 【答案】 【解析】依题意，，，所以， 即①， 又由余弦定理得， 即， 又，则②， 由①②可得， 所以 . 四、解答题 15.（2024·辽宁抚顺高一月考）化简： （1）； （2）.   【答案】见解析 【解析】（1）原式. （2）原式. 16．（2024·新课标Ⅱ卷）记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，，求的周长． 【答案】见解析 【解析】（1）由可得，即， 由于，所以，故，解得. （2）由得， 由正弦定理得，所以，又，所以， 于是， 所以， 由正弦定理可得，即， 解得，故的周长为. 17．（2024·上海杨浦高三期中）如图，一辆汽车在水平的公路上向正西直线行驶，到处时测得公路北侧远处一山顶（在水平面上的射影为点）在西偏北的方向上，仰角为，行驶后到达处，测得山顶在西偏北的方向上． （1）求此山的高度（单位，精确到）； （2）求汽车行驶过程中仰望山顶的仰角的最大值（精确到）. 【答案】见解析 【解析】（1）设此山高，则， 在中，， 根据正弦定理得，即， 解得，故此山的高度约为. （2）由题意可知，当点到公路距离最小时，仰望山顶的仰角达到最大． 过作，垂足为，连接． 则 所以，故， 即汽车行驶过程中仰望山顶的仰角的最大值为. 18.（2023·上海复旦大学附中高二月考）如图，在边长为的正方形中，是对角线上一动点，于点，于点． （1）求； （2）设，点满足． ①证明：； ②当点运动时，求的取值范围． 【答案】见解析 【解析】（1）如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则，，，， 设，则，， 所以，， 所以，所以． （2）①证明：因为，所以，所以． ②因为，所以，即． 设是线段的中点，则， 因此， 从而，因此三点共线． 结合，及线段的中点在上， 得关于直线轴对称，因此与重合， 所以，结合与不重合，有， 所以，， 所以的取值范围是. 19.（2023·广东深圳高一月考）已知中，是内角所对的边，，且. （1）求角； （2）若，在的边上分别取两点，使沿线段折叠到平面后，顶点正好落在边（设为点）上，求的最小值. 【答案】见解析 【解析】（1）因为，所以由正弦定理得， 因为，，，所以，即，所以，因为，所以，所以， 所以，即. （2）因为，所以为等边三角形，即， 设，则， 所以在中，由余弦定理得，整理得， 设，所以， 由于，故， 所以，当且仅当时等号成立，此时，所以的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 《第六章 平面向量及其应用》章末检测 (考试时长120分钟，共150分) 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.) 1.（2024·山东潍坊高一月考）如图，在圆中，向量，，是 （ ）    A．有相同起点的向量 B．共线向量 C．模相等的向量 D．相等向量 2．（2024·海南中学高三开学考试）已知向量，满足，，，则 （ ） A． B． C． D． 3．（2024·河北石家庄高三月考）已知向量，若，则 （ ） A． B． C． D． 4．（2024·四川成都高一月考）满足（其中分别为角所对的边）的三角形有 （ ） A．个 B．个 C．个 D．无数个 5.（2023·新课标Ⅰ卷）已知向量，若，则 （ ） A． B． C． D． 6.（2024·贵州铜仁高二开学考试）在中，，，，为的中点，为上一点， 且，则 （ ） A． B． C． D． 7.（2024·北京高一期中）一扇中式实木仿古正方形花窗如图所示，该窗有两个正方形，将这两个正方形（它们有共同的对称中心与对称轴）单独拿出来放置于同一平面，如图所示.已知分米，分米，点在正方形的四条边上运动，当取得最大值时，与夹角的余弦值为 （ ） A. B. C. D. 8．设的内角的对边分别为，，,已知，在边上，平分，且，则的最小值为 （ ） A． B． C． D． 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中,有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9．（2023·江苏扬州高一期末）如图，在平行四边形中，分别是边上的两个三等分点，则下列选项正确的有 （ ）    A． B． C． D． 10.（2024·山东青岛高三期中）在中，内角的对边分别为，由以下各条件分别能得出为等边三角形的有 （ ） A．已知且 B．已知且 C．已知且 D．已知且 11.（2024·广东深圳高一月考）点在所在的平面内，以下说法正确的有 （ ） A．若，则点为的重心 B．若，则点为的外心 C．若，则点为的内心 D．若，则点为的垂心 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.（2024·湖北武汉高一期末）若向量分别表示两个力，则 . 13.（2024·江苏江阴高一月考）已知锐角中，，，则的取值范围为 . 14.（2024·江苏苏州高一期中）在中，，、、分别是边、、的中点，，则 ． 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.（2024·辽宁抚顺高一月考）化简： （1）； （2）.   16．（2024·新课标Ⅱ卷）记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，，求的周长． 17．（2024·上海杨浦高三期中）如图，一辆汽车在水平的公路上向正西直线行驶，到处时测得公路北侧远处一山顶（在水平面上的射影为点）在西偏北的方向上，仰角为，行驶后到达处，测得山顶在西偏北的方向上． （1）求此山的高度（单位，精确到）； （2）求汽车行驶过程中仰望山顶的仰角的最大值（精确到）. 18.（2023·上海复旦大学附中高二月考）如图，在边长为的正方形中，是对角线上一动点，于点，于点． （1）求； （2）设，点满足． ①证明：； ②当点运动时，求的取值范围． 19.（2023·广东深圳高一月考）已知中，是内角所对的边，，且. （1）求角； （2）若，在的边上分别取两点，使沿线段折叠到平面后，顶点正好落在边（设为点）上，求的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $$