8.3 实数及其简单运算（第2课时实数的简单运算）（教学课件）-2024-2025学年七年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版2024）

人教版（2024）七年级数学下册 第八章 实数 8.3 实数及其简单运算 第2课时 实数的简单运算 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1. 了解实数范围内相反数、绝对值、倒数的意义，会求一个数的相反数、绝对值. 2. 清楚有理数的运算法则和运算律在实数范围仍适用，能利用化简对实数进行简单的四则运算. 3. 会按要求用近似有限小数代替无理数，再进行计算. 4. 增强独立思考、合作探究的能力，进一步利用类比的方法探究实数的性质. 情景导入 (1) 2的相反数是_______；-2的相反数是_______； (2) |3|=_______；|-3|=_______。 -2 2 3 3 思考：无理数也有相反数和绝对值吗？怎么表示呢？ 新知探究 (1) 的相反数是_______；-π的相反数是_______； 0的相反数是_______。 (2) =_______；|-π|=_______； |0|=_______。 0 0 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适用于实数。 填空，并说说你有什么发现？ 你能得出实数的相反数和绝对值的意义吗？ 一般地，对于实数，同样有 数a的相反数是-a。 一个正实数的绝对值是它本身； 一个负实数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是0。 符号表示：设a为一个实数，则 |a| a，当a > 0时; 0，当a = 0时; -a，当a < 0时. 一个实数的绝对值就是它在数轴上的对应点与原点的距离。 探究 实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算。 在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 随着数的范围进一步扩充，负数也将可以进行开方运算。 1. 实数的简单运算 2. 实数的近似计算 在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出计算结果的近似值时，一般先用近似有限小数(例如，比计算结果要求的精确度多一位)去代替无理数，再进行计算，最后对计算结果四舍五入。 例题讲解 例1 (1) 分别写出 －，π－3.14 的相反数； (2) 指出 －，1－ 分别是什么数的相反数； (3) 求 的绝对值； (4) 已知一个数的绝对值是，求这个数. 解：(1) 因为 －(－)＝，－(π－3.14)＝3.14－π. 所以 －π－3.14 的相反数分別为 ，3.14－π. (2) 因为－()＝－，－(－1)＝1－ . 所以－，1－ 分別是 －1 的相反数. 例1 (3) 求 的绝对值； (4) 已知一个数的绝对值是，求这个数. 解：(3) 因为 ＝－＝－4. 所以 | |＝|－4|＝4. (4) 因为 ||＝， |－ |＝. 所以绝对值为 的数是 或 －. 例2 计算 解： 解： (加法结合律) (分配律) 例3 计算 (结果保留小数点后两位)： 解： 在近似计算时，计算过程中有时也使用“去尾法”，即用近似有限小数去代替无理数时，直接舍去要保留数位的下一位数字，最后对计算结果四舍五入。 概念归纳 1. 相关概念 概念 性质 相反数 实数 a 的相反数是 -a 若 a， b 互 为 相 反 数，则 a+b=0 倒数 实数 a( a ≠ 0)的倒数是 若 a， b 互 为 倒 数， ab=1 绝对值 数轴上表示实数 a 的点到原点的距离 |a|= 2. 运用法则比较实数的大小 (1)定义法： 正数大于 0，0 大于一切负数 . (2)性质法： 两个正数，绝对值大的数大；两个负数，绝对值大的数反而小 . 3. 在 实 数 范 围 内，进 行 加、减、乘、除、乘 方 和 开 方 运 算 时，有理数的运算法则和运算律仍然适用；实数混合运算的运算顺序与有理数混合运算的运算顺序一样，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同级运算按照自左向右的顺序进行，有括号先算括号里面的 . 4. 实数的运算律 加法交换律：a＋b=b＋a； 加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c) ； 乘法交换律：ab=ba； 乘法结合律： (ab)c=a (bc) ； 乘法分配律： (a＋b) c=ac＋bc. 3. 运算种类 运算级别 第一级 第二级 第三级 运算名称 加 减 乘 除 乘方 开方 运算结果 和 差 积 商 幂 方根 课堂练习 1.求下列各数的相反数与绝对值： 解： 相反数 绝对值 2.计算： 解： 解： 3.计算 (结果保留小数点后两位)： 解： 解： 分层练习 基础题 1. 的绝对值是( ) B A. B. C. D. 2. 下列各组数中互为相反数的是( ) B A. 2与 B. 与 C. 与 D. 与 3. 若，，则 的值是( ) B A. B. 0 C. 1 D. 10 4.（新考法数形结合法）如图，数轴上表示0，1， 的点分别为，，， 点到点的距离与点到点的距离相等，则点 所表示的数为( ) C A. B. C. D. 22 5.的相反数是____，的倒数是__， 的立方根是_ ___. 6.（新视角结论开放题）满足的整数 的值可能是 _________________. 3（答案不唯一） 7.比较下列各组数的大小： （1）___ ; （2）___ ; （3）___ ; （4）___ . 23 8.用计算器计算（精确到 ）： （1） _____; （2） _____; （3） _____. 8.46 0.91 1.55 24 9.计算： （1） ； 解： . （2） ； 解： . （3） ； 解： . 25 （4） ； 解： . （5） ； 解： . （6） . 解： . 26 综合应用题 10. 下列运算错误的是( ) C A. B. C. D. 11. [2024武汉江夏区期中] 已知一个数的绝对值是 ，则 ( ) C A. B. C. 或 D. 或 12.下列各组数中，互为相反数的一组是( ) C A.与 B.与 C.与 D.与 13.下列四个命题，正确的有( ) ①有理数与无理数之和是有理数； ②有理数与无理数之和是无理数； ③无理数与无理数之和是无理数； ④无理数与无理数之积是无理数. A A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 28 14.（新考法阅读类比法）先阅读，然后解答提出的问题： 设，是有理数，且满足,求 的值. 解：由题意得 . 因为, 都是有理数， 所以, 也是有理数. 因为 是无理数， 所以，，即， . 所以 . 问题：设， 都是有理数，且满足 ，求 的值. 29 【解】由题意得.因为, 都 是有理数，所以,也是有理数.因为 是无 理数，所以,,所以, 或 4.所以或 . 30 15.如图，已知数轴上的点，，分别表示实数，， . （1）化简： ; 【解】由数轴知 ， 所以，， . 所以 . 31 （2）若，，，且满足与 互为相反数，是 绝对值最小的负整数，， 互为倒数，试求 的值. 32 【解】因为与 互为相反数，所以 .所以 . 因为是绝对值最小的负整数，所以 . 所以 . 因为,互为倒数，所以.所以 . 所以 . 33 创新拓展题 16.[2024韶关期中] 如图①，由8个同样大小的正方体组成一 个“2阶魔方”，整个魔方的体积为8. ① ② （1）求这个魔方的棱长； 【解】设魔方的棱长为,则,解得， 这个魔方的 棱长为2. （2）图①中阴影部分是一个正方形 ，它的面积是魔方 侧面面积的一半，求正方形的边长 ； ① ② 侧面的面积 ， 正方形的面积，即 . 35 （3）把正方形放到数轴上，如图②，使得点与 重 合，那么点 在数轴上表示的数为_________. ① ② 36 习题 1.在下列各数中，哪些是有理数?哪些是无理数? 解： 复习巩固 有理数： 无理数： 2.把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小(用“<”连接)： 解： 0 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 3.求下列各数的绝对值： 解： 4.计算(结果保留小数点后两位)： 解： 5.计算： 解： 综合运用 6. (1) 有没有最小的正整数？有没有最小的整数？ (2) 有没有最小的有理数？有没有最小的无理数？ (3) 有没有最小的正实数？有没有最小的实数？ 解： (1) 有最小的正整数1，没有最小的整数。 (2) 没有最小的有理数，没有最小的无理数。 (3) 没有最小的正实数，没有最小的实数。 7.写出所有符合下列条件的数： (1) 小于 的所有正整数； (2) 大于 且小于 的所有整数； (3) 绝对值小于 的所有整数； 解： (1) 小于 的所有正整数： 6、5、4、3、2、1 (2) 大于 且小于 的所有整数： -3、-2、-1、0、1、2、3 (3) 绝对值小于 的所有整数： -2、-1、0、1、2 8.如图，长方形内两个正方形的面积分别为3 cm2，1 cm2。 (1) 求长方形的周长； (2) 求图中两块阴影部分的面积和。 3cm2 1cm2 解： (1) 设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b。 由题意得 a2=3 b2=1 由边长的实际意义，解得 长方形周长为 答：长方形的周长为 a b 8.如图，长方形内两个正方形的面积分别为3 cm2，1 cm2。 (1) 求长方形的周长； (2) 求图中两块阴影部分的面积和。 3cm2 1cm2 解： a b (2)由(1) 得 , 两块阴影部分的面积和为 答：图中两块阴影部分的面积和为 拓广探索 9.已知数 0.101 001 000 100 001···，它的特点是：从左向右看，相邻的两个1之间依次多一个0。这个数是有理数还是无理数？为什么？ 答:这个数是无理数，因为从它的特点看，它是一个无限不循环小数。 课堂小结 实数的简单运算 实数的运算 实数的运算律 实数的运算法则 实数的大小比较 同有理数 实数的运算顺序 数轴上右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大 $$