专题14 相似模型之（双）A字型、（双）8字型、母子型模型解读与提分精练-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（广东专用）

专题14 相似模型之（双）A字型、（双）8字型、母子型模型 目录 1 模型1.相似模型之“A”字模型 1 模型2.相似模型之“X”字模型（“8”字模型） 8 模型3.相似模型之“AX”字模型（“A8”字模型） 13 模型4.相似模型之“母子型”模型（共边共角模型） 18 24 模型1.相似模型之“A”字模型 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。 ①“A”字模型 ②反“A”字模型 ③同向双“A”字模型 ④内接矩形模型 图1　 　图2 　 　 图3 图4 ①“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ②反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝。 证明:∵∠AED＝∠B，∴∠A=∠A，（公共角） ∴△ADE∽△ACB，∴＝＝。 ③同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC； 结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔。 证明:∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴△AEF∽△ABC， 同理可证：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴＝＝。 ④内接矩形模型 条件：如图4，△ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，且AM⊥BC；结论：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM⇔。 证明:∵DEFG是矩形 ∴DG∥EF，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴△ADG∽△ABC， 同理可证：△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，∴。 例1．（2024·浙江杭州·二模）如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连接，．已知四边形是平行四边形，．    (1)若，求线段的长． (2)若的面积为3，求平行四边形的面积． 例2．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，过顶点C作直线与与及中线交于F、E，过D作交于M． (1)若，求的值； (2)求证：． 例3.（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，D，E分别是上的点，于点G，于点F，． (1)求的值； (2)求与的周长之比； (3)若的面积为4，求的面积． 例4.（2023·吉林长春·模拟预测）【知识点】三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心． 【解决问题】如图①，在中，分别是边的中点，求证：； 【归纳】用文字语言叙述【解决问题】反映的关于三角形重心的性质； 【应用】如图②，在中，D是边的中点，过点G的直线分别交边于点E、F，若，则 ． 模型2.相似模型之“X”字模型（“8”字模型） “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． ①“8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型 图1 图2 图3 图4 ①“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴△AOB∽△COD，∴＝＝。 ②反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝。 证明:∵∠A＝∠D，∴∠AOB=∠DOC，（对顶角） ∴△AOB∽△DOC，∴＝＝。 ③平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论：。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠AEO=∠DFO，∴△AEO∽△DFO， 同理可证：△BEO∽△CFO，△ABO∽△DCO，∴。 ④斜双“8”字模型 条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4。 证明:∵∠1＝∠2，∠AOD=∠BOC（对顶角）， ∴△AOD∽△BOC，∴AO:BO=DO:CO，即AO:DO=BO:CO； ∵∠AOB=∠DOC（对顶角），∴△AOB∽△DOC，∴∠3＝∠4。 例1．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，正方形，边长为4，点在边上，射线与射线交于点． (1)若，求的长； (2)求证：． 例2．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在菱形中，点在边上，连接并延长，交对角线于点 、的延长线与点． (1)求证：是、的比例中项； (2)若，求 的值． 例3．（2024·浙江·一模）如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连结，，，与交于点G．已知四边形是平行四边形，且．    (1)若，求线段，的长． (2)若四边形的面积为48，求的面积． 模型3.相似模型之“AX”字模型（“A8”字模型） ①一“A”+“8”模型 ②两“A”+“8”模型（反向双“A”字模型） ③四“A”+“8”模型 图1 图2 图3 ①一“A”+“8”模型 条件：如图1，DE∥BC； 结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，⇔。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ∵DE∥BC，∴∠FDE=∠FCB，∠DEF=∠CBF，∴△DEF∽△CBF，∴。 ∴。 ②两“A”+“8”模型 条件：如图2，DE∥AF∥BC； 结论：△DAF∽△DBC，△CAF∽△CED，⇔。 证明:∵AF∥BC，∴∠DAF=∠B，∠DFA=∠DCB，∴△DAF∽△DBC，∴。 ∵DE∥AF，∴∠CAF=∠E，∠CFA=∠CDE，∴△CAF∽△CED，∴。 两式相加得到：，即，故。 ③四“A”+“8”模型3 条件：如图3，DE∥GF∥BC；结论：AF=AG，。 证明:同②中的证法，易证：，， ∴，即AF=AG，故。 例1．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，是的对角线，在边上取一点F，连接交于点E，并延长交的延长线于点G． (1)若，求证：． (2)若，，求的长． (3)在（2）的条件下，若，求． 例2．（2024·湖北·模拟预测）（1）【问题背景】如图1，，与相交于点E，点F在上．求证：；    小雅同学的想法是将结论转化为来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程． （2）【类比探究】如图2，，，，与相交于点G，点H在上，．求证：． （3）【拓展运用】如图3，在四边形中，，连接，交于点M，过点M作，交于点E，交于点F，连接交于点N，过点N作，交于点G，交于点H，若，，直接写出的长． 模型4.相似模型之“母子型”模型（共边共角模型） “母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 图1 图2 图3 图4 1）“母子”模型（斜射影模型） 条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. 证明：∵∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC，∴△ADB∽△BAC，∴，∴AB2＝AD·AC. 2）双垂直模型（射影模型） 条件：如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 证明：∵∠ACB=90o，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD， ∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AD·AB. 同理可证：BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 3）“母子”模型（变形） 条件：如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE，∵∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA 4）共边模型 条件：如图1，在四边形中，对角线平分，，结论：； 证明：∵对角线平分，∴∠ABD=∠CBC， ∵，∴△ADB∽△DCB，∴，∴ 例1．（23-24九年级上·上海·期中）如图，在中，D是上的点，E是上一点，且．      (1)求证:； (2)若E是的重心，求的值． 例2．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，为等腰直角三角形，，点D、E在线段上，． (1)求证：； (2)若，求的值． 例3．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）【阅读】 定义：如果一个三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”． 【理解】 （1）①若，，则_______“准直角三角形”；（填“是”或“不是”） ②已知是“准直角三角形”，且，，则的度数为________． 【应用】 （2）如图1，在中，点D在上，连接．若，，，，试说明是“准直角三角形”． 【提升】 （3）如图2，在中，，，，点P在的延长线上，连接．若是“准直角三角形”，且，直接写出此时的长． 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽亳州·自主招生）如图，在中，，，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025年广东省揭阳市部分学校九年级中考一模数学试题）如图，四边形为平行四边形，E，F分别为和的中点，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在中，点、为边三等分点，点、在边上，，点为与的交点．若，则的长为 ． 4．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，点D，E，F分别在的边上，，． （1） ； （2）若点M是的中点，连接并延长交于点N，则 ．（填数字） 三、解答题 5．（24-25九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图，在中，点分别在上，且，交于点，．求： (1)的值； (2)与的面积比． 6．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，于点D． (1)求证：； (2)若，求的长． 7．（24-25九年级上·甘肃天水·阶段练习）如图：点、在线段上，是等边三角形． (1)求证： (2)，，求的长 8．（24-25九年级上·云南文山·期中）如图，点E是矩形的边的中点，F是边上一动点，线段和相交于点P，且． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)当点F是的中点时，线段与存在怎样的数量关系？请说明理由． 9．（2025九年级下·全国·专题练习）如图1，在中，为中线，点在的延长线上，的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)如图2，若，求的长． 10．（24-25九年级上·河南商丘·期中）如图，在中，，，，点D在边上运动，连接．过点A作，交边于点E，交线段于点F． (1)边的长为 ； (2)当与相似时，求的长； (3)运动过程中，当点B、F的距离最小时，求这个最小值及此时的面积； (4)连接，当四边形为轴对称图形时，直接写出的长． 11．（24-25九年级上·福建泉州·期末）在中，，E是上的一点，过点E作于点D． (1)如图1，求证：． (2)连接，平分，G是上的一点，与交于点F，，． ①如图2，当时，求的值． ②如图3，当F为的中点时，求的值． 12．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，正方形的四个顶点在的三边上． (1)如图1，为的高，交于点，若．设的长为． ①直接写出的长（用含的式子表示）； ②求正方形的边长． (2)如图2，若，连接交于点，连接    交于点． ①求证：﹔ ②直接写出之间的数量关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 相似模型之（双）A字型、（双）8字型、母子型模型 目录 1 模型1.相似模型之“A”字模型 1 模型2.相似模型之“X”字模型（“8”字模型） 8 模型3.相似模型之“AX”字模型（“A8”字模型） 13 模型4.相似模型之“母子型”模型（共边共角模型） 18 24 模型1.相似模型之“A”字模型 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。 ①“A”字模型 ②反“A”字模型 ③同向双“A”字模型 ④内接矩形模型 图1　 　图2 　 　 图3 图4 ①“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ②反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝。 证明:∵∠AED＝∠B，∴∠A=∠A，（公共角） ∴△ADE∽△ACB，∴＝＝。 ③同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC； 结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔。 证明:∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴△AEF∽△ABC， 同理可证：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴＝＝。 ④内接矩形模型 条件：如图4，△ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，且AM⊥BC；结论：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM⇔。 证明:∵DEFG是矩形 ∴DG∥EF，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴△ADG∽△ABC， 同理可证：△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，∴。 例1．（2024·浙江杭州·二模）如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连接，．已知四边形是平行四边形，．    (1)若，求线段的长． (2)若的面积为3，求平行四边形的面积． 【答案】(1) (2)24 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． （1）根据平行四边形的性质得出，证明，得出，根据，求出； （2）根据平行四边形的性质得出，，说明，，得出，求出，得出，根据，求出，得出结果即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵的面积为3， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形的面积． 例2．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，过顶点C作直线与与及中线交于F、E，过D作交于M． (1)若，求的值； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查三角形相似的额判定与性质． （1）根据，证明，得到，由，得到，进而得到，求出，即可求解； （2）由（1）知，得到，推出，根据，证明，得到，推出，即可证明结论． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ，即， 的值为； （2）证明：， ，即， ， ， ， ， 点D是中点， ， ， ，即， ． 例3.（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，D，E分别是上的点，于点G，于点F，． (1)求的值； (2)求与的周长之比； (3)若的面积为4，求的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握是是解决问题的关键． （1）由可证得，再根据相似三角形的性质即可求得结果； （2）由，相似三角形的周长比等于相似比，即可证得；　 （3）由，．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得结果． 【详解】（1）∵， ∴， 又∵分别是和的高， ∴； （2）∵， ∴； 故与的周长之比为 （3）∵， ∴， ∵， ∴． 故的面积为． 例4.（2023·吉林长春·模拟预测）【知识点】三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心． 【解决问题】如图①，在中，分别是边的中点，求证：； 【归纳】用文字语言叙述【解决问题】反映的关于三角形重心的性质； 【应用】如图②，在中，D是边的中点，过点G的直线分别交边于点E、F，若，则 ． 【答案】解决问题：详见解析； 归纳：三角形的重心与一边中点的连线等于对应中线的三分之一． 应用： 【分析】本题考查了相似型的综合应用，主要考查了三角形的重心，相似三角形的性质与判定，解题的关键是掌握三角形的重心． [解决问题]连接，根据题意得到且，证明，得到，即可得证． [归纳]三角形的重心与一边中点的连线等于对应中线的三分之一． [应用]如图（2）中，过点作交于．交于．利用相似三角形的性质求解． 【详解】[解决问题]证明：连接，如图， ∵、分别是边、的中点， ∴且， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． [归纳]解：三角形的重心与一边中点的连线等于对应中线的三分之一． [应用]解：如图，过点作交于H．交于N． ， ， ， ∴，， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， 故答案为：． 模型2.相似模型之“X”字模型（“8”字模型） “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． ①“8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型 图1 图2 图3 图4 ①“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴△AOB∽△COD，∴＝＝。 ②反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝。 证明:∵∠A＝∠D，∴∠AOB=∠DOC，（对顶角） ∴△AOB∽△DOC，∴＝＝。 ③平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论：。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠AEO=∠DFO，∴△AEO∽△DFO， 同理可证：△BEO∽△CFO，△ABO∽△DCO，∴。 ④斜双“8”字模型 条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4。 证明:∵∠1＝∠2，∠AOD=∠BOC（对顶角）， ∴△AOD∽△BOC，∴AO:BO=DO:CO，即AO:DO=BO:CO； ∵∠AOB=∠DOC（对顶角），∴△AOB∽△DOC，∴∠3＝∠4。 例1．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，正方形，边长为4，点在边上，射线与射线交于点． (1)若，求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质． （1）通过证明，由相似三角形的性质可求解； （2）通过证明，可得，可得结论． 【详解】（1）解：四边形是边长为4的正方形， ， ， ， ，即 ； （2）证明：， ， ∵在正方形中，， ， ， ． 例2．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在菱形中，点在边上，连接并延长，交对角线于点 、的延长线与点． (1)求证：是、的比例中项； (2)若，求 的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）根据菱形的性质可得，则、可得，进而得到，从而证明结论； （2）根据菱形的性质可得，进而得到，再证明可得，再证明可得,即：；然后代入即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴是、的比例中项． （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴,即：， ∵， ∴，即， ∴． 例3．（2024·浙江·一模）如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连结，，，与交于点G．已知四边形是平行四边形，且．    (1)若，求线段，的长． (2)若四边形的面积为48，求的面积． 【答案】(1)， (2)125 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质． （1）根据平行四边形的性质得出，即可得，，再根据相似三角形的性质及比例的性质即可； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方及比例的性质即可． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形 ； （2）， 四边形的面积为48 ∵ ∴ ∴，即 解得． 模型3.相似模型之“AX”字模型（“A8”字模型） ①一“A”+“8”模型 ②两“A”+“8”模型（反向双“A”字模型） ③四“A”+“8”模型 图1 图2 图3 ①一“A”+“8”模型 条件：如图1，DE∥BC； 结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，⇔。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ∵DE∥BC，∴∠FDE=∠FCB，∠DEF=∠CBF，∴△DEF∽△CBF，∴。 ∴。 ②两“A”+“8”模型 条件：如图2，DE∥AF∥BC； 结论：△DAF∽△DBC，△CAF∽△CED，⇔。 证明:∵AF∥BC，∴∠DAF=∠B，∠DFA=∠DCB，∴△DAF∽△DBC，∴。 ∵DE∥AF，∴∠CAF=∠E，∠CFA=∠CDE，∴△CAF∽△CED，∴。 两式相加得到：，即，故。 ③四“A”+“8”模型3 条件：如图3，DE∥GF∥BC；结论：AF=AG，。 证明:同②中的证法，易证：，， ∴，即AF=AG，故。 例1．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，是的对角线，在边上取一点F，连接交于点E，并延长交的延长线于点G． (1)若，求证：． (2)若，，求的长． (3)在（2）的条件下，若，求． 【答案】(1)见解析 (2)3 (3)15 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件． （1）依据等量代换得到，依据，即可证明； （2）依据，可得，依据，即可得出，再根据，可得，进而根据解题； （3）过点作于点H，由（2）知，由，求出，即可求出，再根据，得到，推出，证明，得到，推出，求出，从而求出，再根据平行四边形的性质得到，即可求解． 【详解】（1）证明：∵中，， ， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵平行四边形中，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ， ∵， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点作于点H， 由（2）知， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 例2．（2024·湖北·模拟预测）（1）【问题背景】如图1，，与相交于点E，点F在上．求证：；    小雅同学的想法是将结论转化为来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程． （2）【类比探究】如图2，，，，与相交于点G，点H在上，．求证：． （3）【拓展运用】如图3，在四边形中，，连接，交于点M，过点M作，交于点E，交于点F，连接交于点N，过点N作，交于点G，交于点H，若，，直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）由，可证，则，同理可得：，则，两边同时除以，可得． （2）由，，，，可得，，证明，则，同理，，则，两边同时除以得，，进而可得；（3）由（1）可知，，，则，解得，，则，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵，∴，∴．同理可得：， ∴，两边同时除以，得． （2）证明：∵，，，，∴，， ∵，∴，∴，同理，， ∴，∴， 两边同时除以得，，∴； （3）解：由（1）可知，，， ∴，解得，，∴，解得，，∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等式的性质，平行线的判定．解题的关键在于明确相似三角形的判定条件． 模型4.相似模型之“母子型”模型（共边共角模型） “母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 图1 图2 图3 图4 1）“母子”模型（斜射影模型） 条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. 证明：∵∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC，∴△ADB∽△BAC，∴，∴AB2＝AD·AC. 2）双垂直模型（射影模型） 条件：如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 证明：∵∠ACB=90o，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD， ∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AD·AB. 同理可证：BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 3）“母子”模型（变形） 条件：如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE，∵∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA 4）共边模型 条件：如图1，在四边形中，对角线平分，，结论：； 证明：∵对角线平分，∴∠ABD=∠CBC， ∵，∴△ADB∽△DCB，∴，∴ 例1．（23-24九年级上·上海·期中）如图，在中，D是上的点，E是上一点，且．      (1)求证:； (2)若E是的重心，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定、重心的性质， （1）证明，可得，可证，可得，即可得证； （2）利用重心的性质可得，，由可得，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵E是的重心， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 例2．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，为等腰直角三角形，，点D、E在线段上，． (1)求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质， 等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定以及性质是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得出，再证明， 即可得出． （2）由相似三角形的性质可得出， 再结合已知条件可得出的值． 【详解】（1）证明：∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴； （2）解：∵， ∴ ∴， ∵， ∴． 例3．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）【阅读】 定义：如果一个三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”． 【理解】 （1）①若，，则_______“准直角三角形”；（填“是”或“不是”） ②已知是“准直角三角形”，且，，则的度数为________． 【应用】 （2）如图1，在中，点D在上，连接．若，，，，试说明是“准直角三角形”． 【提升】 （3）如图2，在中，，，，点P在的延长线上，连接．若是“准直角三角形”，且，直接写出此时的长． 【答案】（1）①是；②；（2）见解析；（3）或8 【分析】题目主要考查三角形内角和定理，勾股定理解三角形，相似三角形的判定和性质及等腰三角形的性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键 （1）①根据三角形内角和定理求出，则，再根据“准直角三角形”的定义即可得到答案；②根据“准直角三角形”的定义得到，根据三角形内角和定理得到，据此求解即可； （2）先求出，则，，利用勾股定理的逆定理证明，即可证明，则是“准直角三角形”； （3）根据题意分两种情况分析：和，结合图形，利用等角对等边及相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：（1）①∵在中，，， ∴， ∴， ∴是“准直角三角形”， 故答案为：是； ②∵是“准直角三角形”，且，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴， ∴， ∴是“准直角三角形”． （3）∵，，， ∴， ∵是“准直角三角形”， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵是“准直角三角形”， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ， ， 综上可得：的长为或8． 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽亳州·自主招生）如图，在中，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，由可得，结合，即可得解，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．（2025年广东省揭阳市部分学校九年级中考一模数学试题）如图，四边形为平行四边形，E，F分别为和的中点，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股逆定理以及勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先过点作，交于一点，结合平行四边形的性质以及中点，得，再证明，得出，，然后证明，得出，运用勾股逆定理得是直角三角形，最后运用勾股定理列式进行计算，即可作答． 【详解】解：过点作，交于一点，如图所示： ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵E，F分别为和的中点， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 则， 故是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题 3．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在中，点、为边三等分点，点、在边上，，点为与的交点．若，则的长为 ． 【答案】18 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】由三等分点的定义与平行线的性质得出，，，是的中位线，证明，得，即可解答． 【详解】解：解：、为边的三等分点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ，是的中位线， ， ∵，则， ， ， ， ，即， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质、平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 4．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，点D，E，F分别在的边上，，． （1） ； （2）若点M是的中点，连接并延长交于点N，则 ．（填数字） 【答案】 /0.25 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）由得出，则可得出答案； （2）过点F作交于点G，证明，得出，由（1）得，证出，则可得出答案． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）如图，过点F作交于点G， ∵点M是的中点， ∴N是的中点， ∴是的中位线， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 5．（24-25九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图，在中，点分别在上，且，交于点，．求： (1)的值； (2)与的面积比． 【答案】(1) (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、两直线平行同位角相等、由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查相似三角形综合，涉及平行线性质、相似三角形的判定与性质及平行线分线段成比例，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）根据平行线性质得到，再由相似三角形的判定与性质及平行线分线段成比例求解即可得到答案； （2）根据相似三角形性质代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴由平行线分线段成比例可得； （2）解：由（1）知，且， ∴． 6．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，于点D． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质和直角三角形的性质． （1）直接通过直角三角形的性质和已知条件，证明两个三角形相似即可； （2）利用相似三角形的性质建立比例关系，从而求解线段的长度． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴． 7．（24-25九年级上·甘肃天水·阶段练习）如图：点、在线段上，是等边三角形． (1)求证： (2)，，求的长 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质综合 【分析】此题考查的是等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键． （1）根据等边三角形的性质可得，由三角形的内角定理证明，即可证明结论； （2）根据相似三角形的性质及等边三角形的性质可得答案． 【详解】（1）证明：为等边三角形， ． ， ， ． ， ， ， ． （2）解：∵是等边三角形， ∴ ， ， ∴， ∴． 8．（24-25九年级上·云南文山·期中）如图，点E是矩形的边的中点，F是边上一动点，线段和相交于点P，且． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)当点F是的中点时，线段与存在怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键在于找到多组相似三角形： （1）先将化为，根据两边对应成比例且夹角相等即可证明； （2）证明，得到，代入数据即可求解； （3）延长，交于点，设，则，由得到，那么，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵点E是矩形的边的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由如下：延长，交于点， ∵四边形是矩形，点F是的中点， ∴设，则， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．（2025九年级下·全国·专题练习）如图1，在中，为中线，点在的延长线上，的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)如图2，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，全等三角形的判定与性质； （1）由，，得到； （2）如图1，过点C作交于点G，则，，结合是中线，，得到，，再由，得到，推出，，最后根据求解即可； （3）如图2，过点C作交于点H．先证明，得到，设，，则，由得到，求出，最后根据列方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴； （2）解：如图1，过点C作交于点G，则，， ∵是中线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图2，过点C作交于点H． 则，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴, ∵， ∴，即， ∵， ∴， 解得（舍去）或， ∴． 10．（24-25九年级上·河南商丘·期中）如图，在中，，，，点D在边上运动，连接．过点A作，交边于点E，交线段于点F． (1)边的长为 ； (2)当与相似时，求的长； (3)运动过程中，当点B、F的距离最小时，求这个最小值及此时的面积； (4)连接，当四边形为轴对称图形时，直接写出的长． 【答案】(1)4 (2)或 (3)最小值为， (4)或 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】（1）直接利用勾股定理求解即可； （2）分、两种情况，利用相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质求解即可； （3）如图，取中点O，连接，则，当B、F、O三点共线时，最小，最小为，利用直角三角形斜边中线的性质和勾股定理可求出，则可求的最小值；如图，过F作于G，证明，利用相似三角形的性质求出、，再利用三角形面积公式求解即可； （4）分以为对称轴、以为对称轴讨论，利用等面积法求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴． 故答案为：4． （2）解：∵， 当与相似时，有、两种情况， 当时，则， ∵， ∴，即点F和点D重合，点E与点B重合， ∵ ∴，即，解得：， 当时， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴， 综上，的长为或． （3）解： 如图，取中点O，连接，则， 当B、F、O三点共线时，最小，最小值为的值， ∵，O为中点， ∴， ∴， ∴最小值为， 如图，过F作于G， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． （4）解：当四边形为轴对称图形时， ①如图，以为对称轴时，则， ∴； ②如图，以为对称轴时，则， ∴点D到的距离相等， 设点D到的距离为h，点C到的距离为m， ∴， ∴，即， 综上，的长为或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线性质、最短距离问题等知识点，明确题意、添加合适辅助线构造相似三角形以及分类讨论思想的运用是解题的关键． 11．（24-25九年级上·福建泉州·期末）在中，，E是上的一点，过点E作于点D． (1)如图1，求证：． (2)连接，平分，G是上的一点，与交于点F，，． ①如图2，当时，求的值． ②如图3，当F为的中点时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【知识点】全等三角形综合问题、相似三角形的判定与性质综合、直角三角形的两个锐角互余、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据题意可证，由此即可求证； （2）①在中，运用勾股定理可得，根据垂直的定义可得，可证，由此即可求解； ②根据平分，由角平分线的性质定理可得，可证，由（1）可知，可得，过点C作，与延长线交于点H，则，可证，得到，则，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴ 又， ∴， ∴， 即； （2）解：①∵在中，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； ②∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， 则， 由（1）知，， 则， ∵， ∴， 解得， 过点C作，与延长线交于点H，如图， 则， ∴， 又点F是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 【点睛】本题主要考查全等三角形和相似三角形．熟练掌握角平分的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形角的性质，中点性质，是解题的关键． 12．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，正方形的四个顶点在的三边上． (1)如图1，为的高，交于点，若．设的长为． ①直接写出的长（用含的式子表示）； ②求正方形的边长． (2)如图2，若，连接交于点，连接    交于点． ①求证：﹔ ②直接写出之间的数量关系． 【答案】(1)①；② (2)①见解析；② 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质证明 【分析】本题主要考查正方形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）①根据四边形是正方形，为的高，得到四边形为矩形，则，所以，即可求解； ②根据题意可证，根据相似三角形的高的比等于相似比得到，列式得，由此即可求解； （2）①根据四边形是正方形，得到，由，得到，可证，得到，由此即可求解； ②根据题意可证，，得到，，则有，得到，结合，即可求解． 【详解】（1）解：①∵四边形是正方形， ∴，，， ∵为的高， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴； ②∵是的高， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 答：正方形的边长为24． （2）解：①∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②，理由如下， ∵， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$