专题13 全等与相似模型之十字架模型解读与提分精练-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（广东专用）

专题13 全等与相似模型之十字架模型 目录 1 模型1.全等模型之正方形中的十字架型 1 模型2.相似模型之矩形中的十字架型 9 模型3.相似模型之等边三角形中的斜十字型 19 模型4.相似模型之直角三角形中的十字型 22 26 模型1.全等模型之正方形中的十字架型 条件：1）如图1，在正方形ABCD中，若E、F分别是BC、CD上的点，AE⊥BF；结论：AE=BF。 证明：四边形是正方形，，，∴ AE⊥BF，∴，，，∴AE=BF。 条件：2）如图2，在正方形ABCD中，若E、F、G分别是BC、CD、AB上的点，AE⊥GF；结论：AE=GF。 证明：在FC上取一点P，使得GB=PF，连结BP。 四边形是正方形，∴AB//CD，∴四边形是平行四边形，∴GF//BP，GF=BP， 同1）中证明，可得AE=GF。 条件：3）如图3，正方形ABCD中，若E、F、G、H分别是BC、CD、AB、AD上的点，EH⊥GF； 结论：HE=GF。 证明：在FC、BE上取一点P、Q，使得GB=PF，AH=QE，连结BP、AQ。 四边形是正方形，∴AB//CD，∴四边形是平行四边形，∴GF//BP，GF=BP， 同理可证得：四边形是平行四边形，∴AQ//HF，AQ=HF，同1）中证明，可得HE=GF。 例1．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期末）在正方形中，是边上一点，（点不与点，重合），连接． (1)如图，过点作交于点．证明：． (2)如图，取的一点，过点作交于点，交于点．求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】根据正方形的性质证明、利用平行四边形性质和判定证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、直角三角形的两个锐角互余 【分析】（1）由正方形的性质可得，，由直角三角形的两个锐角互余可得，利用等式的性质可得，利用可证得，于是结论得证； （2）过点作交于点，由正方形的性质可得，即，因而可知四边形是平行四边形，于是可得，由（1）同理可证，于是可得，则结论得证． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， ， 又， ， 在和中， ， ； （2）证明：如图，过点作交于点， 四边形是正方形， ，即：， 又， 四边形是平行四边形， ， 由（1）同理可证， ， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，直角三角形的两个锐角互余，等式的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质及平行四边形的判定与性质是解题的关键． 例2．（24-25八年级上·山东烟台·期末）【问题解决】 如图，在矩形中，点分别在边上，，于点． （1）求证：四边形是正方形； （2）延长到点，使得，连接，判断的形状，并说明理由． 【类比探究】 （3）如图，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，，，，，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）是等腰三角形，理由见解析；（3）31 【知识点】根据正方形的性质证明、利用菱形的性质证明、用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题 【分析】（）证明，得到，即可求证； （）证明可得，进而得，即可求解； （）延长到点，使，连接，作，可证，得到，，进而得是等边三角形，得到，即得，再利用勾股定理求出，进而即可求出的长，进而可得到答案； 本题考查了矩形的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，等腰三角形的判定，等边三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； （2）解：是等腰三角形． 理由：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形； （3）解：延长到点，使，连接，作， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵菱形， ∴， ∴． 例3．（24-25九年级上·海南三亚·阶段练习）如图1，在正方形中，点分别是边上的点，且． (1)求证：． (2)如图2，在图1的基础上，过点E作的垂线，与正方形的外角的平分线交于点N，连接．求证：四边形是平行四边形． (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若四边形的面积是25，，请求出的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了正方形的性质，垂直的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，平行线的判定，平行四边形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键． （1）根据正方形的性质可得，，推得，根据垂直的性质可得，推得，根据全等三角形的判定和性质即可证明； （2）在上截取，连接，根据题意推得，根据等边对等角可得，推得，根据垂直的性质可得，，推得，根据全等三角形的判定和性质可得，结合（1）中结论推得，根据垂直的性质可得，推得，根据平行线的判定可得，根据平行四边形的判定即可证明； （3）根据全等三角形的性质可得，根据平行四边形的性质可，求得，，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：在上截取，连接，如图： 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分 ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 又由（1）可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （3）解：∵， ∴， ∵四边形的面积是25， 故， ∴， ∵， ∴， 在中，． 模型2.相似模型之矩形中的十字架型 1）条件：如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，结论：. 证明：四边形为矩形，，； DE⊥AC，，，，，. 2）条件：如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，结论：. 证明：如图，过点F作于点G，则； 四边形为矩形，，四边形为矩形，； ；EF⊥AC，，； ，，，易证：DC=AB，FG=BC，. 3）条件：如图3，矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，EF⊥MN，结论：. 证明：如图：过点N、F作、垂直，； 四边形为矩形，，四边形为矩形，； ∵EF⊥MN，，∴； 又∵（对顶角相等），∴； ∴，，易证：NH=AB，FG=BC，. 例1．（24-25九年级下·安徽安庆·开学考试）在矩形中，E为上的一点，过B作的垂线，垂足为点G，交于点F． (1)求证：； (2)若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质等知识点，熟练掌握其性质并能得到是解决此题的关键． (1)根据矩形的性质证明，然后即可证明； (2)根据勾股定理求出的长，再求出三角形的面积，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得三角形的面积，进而可得四边形的面积． 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ， ， ， ， ，， ， ； （2）四边形为矩形， ， 在中，， ，， ， ， ， ， 四边形的面积． 例2．（2025·广东深圳·三模）【问题提出】 （1）如图，在矩形中，点，分别是边，上的点，连接与交于点，若，求证：； 【迁移应用】 （2）如图，在中，，，点，分别是边，上的点，连接交于点，且，求的值； 【拓展提高】 （3）如图，在四边形中，点是边上的一点，连接与交于点，，，，请直接写出的值． 【答案】（）见解析；（）；（） 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用平行四边形的判定与性质求解、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（）根据矩形的性质得到，求得，得到，根据相似三角形的性质得到，求得； （）根据补角的性质得到，根据相似三角形的性质得到，根据平行四边形的性质得到，，根据相似三角形的性质得到，求得，得到，于是得到结论； （）过点作，交延长线于，过点作，交延长线于，则四边形是平行四边形，得到∴，，，同（）可得，在上取一点使得，连接，根据平行线的性质得到，推出是等边三角形，得到，， 求得，根据相似三角形的性质得到，设 ，则，，得到 ，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】（）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴的值为； （）如图所示，过点作，交延长线于，过点作，交延长线于，则四边形是平行四边形， ∴，，， 同（）可得， ∵， ∴设，， 在上取一点使得，连接， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，同角的补角相等，平行四边形的性质与判定，矩形的性质，等边三角形的性质与判定等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 例3．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践 已知矩形，点在边上，点在边上，点在边上，，垂足为点． (1)如图1，当时，点与点重合时，则与的数量关系是：_______（填“>”、“=”、“<”号）． (2)如图2，若，求与的数量关系； (3)应用（2）中的结论解决问题： ①如图2，若，，，则的最小值为________； ②如图3，在中，，，，点是的中点，连接，过作的垂线，交直线于，垂足是点，请直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）先证明四边形是正方形，然后证明，可得到和的关系； （2）过点作于点，先证明四边形是矩形，再证明，得到，当时，可以得到； （3）①取的中点，取的中点，连接，，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，当最小时，最小，由，得到、、三点共线时，最小，接着证明，得到，利用勾股定理和（2）中结论，可以求得和，利用，，不防设，，那么，，代入可求得，最后利用勾股定理分别求得和，最后算得答案．②延长使，连接，，先证明四边形是矩形，利用（2）中结论，时，，从而算得答案． 【详解】（1）解：四边形是矩形，又 四边形是正方形 ，， ， 又 故答案为：． （2）解：如图，过点作于点 ， 四边形是矩形 ，， 四边形是矩形 又 （3）解：①取的中点，取的中点，连接， 四边形是矩形， ， ， 当最小时，最小 、、三点共线时，最小 如下图所示： ， ， 又 由（2）可知，时， ，，， ， ， ， 不防设， 那么， ，， ， ②延长使，连接， 四边形是平行四边形 四边形是矩形 由（2）可知，时， ， ， 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，两点之间距离最短，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 模型3.相似模型之等边三角形中的斜十字型 证明：如图，在等边中，，， 在与中，，，∴AD=BE，； ，∴AD和BE夹角为60°； ，，，同理： ， 例1．（2024·广西·模拟预测）如图，在等边三角形中，相交于点F．求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、等边三角形的性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，全等三角形的性质，先证明得到，进而可证明，再证明，即可根据相似三角形的性质证明结论． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 例2．（24-25九年级上·四川内江·期中）如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点，且，连接，交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、由平行截线求相关线段的长或比值、等边三角形的性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）根据等边三角形的性质求出，，求出，根据推出全等即可； （2）根据进而得出，结合公共角，即可得证； （3）过点作交于，根据平行线分线段成比例定理得，设，则，根据，列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：证明：是等边三角形， ，， ， ， 在与中， ， ； （2）∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴，即 （3）过点作交于， ， 设 ∵ ∴，， ， ， ， ， ， ∴ 解得：，或（舍去） 即． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 模型4.相似模型之直角三角形中的十字型 1）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）： 条件：如图2，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，结论：①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。 证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。 如图1，过点C作BC的垂线交BF于点H，过点A作AG垂直于CH，∴∠BCH=90°，∴∠CBH+∠CHB=90° ∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠BCH=∠ABC=90°，∵BF⊥AD，∴∠CBH+∠ADB=90°，∴∠CHB=∠ADB， ∵AB=BC，∴，∴BD=CH，∵D为BC中点，∴BD=DC=CH，∴AB=2CH， 易证：四边形ABCG为正方形，即AB//CG，∴，∴AF：CF=BA：HC=2：1 ∵AB=BC，AB⊥BC，∴∠BCA=45°，∵∠BCH=90°，∴∠BCA=∠GCA=45°， ∵DC=CH，CF=CF，∴，∴∠CHF=∠CDF，∠CFH=∠CFD， ∴∠BDA=∠CDF，∵∠CFH=∠AFB，∴∠AFB=∠CFD， 如图2，过点C作CQ垂直于BF，∴∠BQC=90°， ∵AB⊥BC，∴∠ABD=∠BQC=90°，∴∠ABE+∠QBC=90°，∵AB=BC，∴， ∴CQ=BE，AE=BQ，∵BF⊥AD，CQ⊥BF，易证：，∴EA：QC=AF：CF=2：1。 ∴AE=BQ=BE+EQ=CQ+EQ，∴CQ=EQ，∴QEC为等腰直角三角形，∴∠QEC=45°， ∴∠AEC=135°，。 2）直角三角形中的十字模型： 如图3，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC，①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：k2，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。（全等+相似） 证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。 由于该模型证明主要结合了前面矩形中的十字架模型和等腰直角三角形中的十字架模型，故此不再详细证明，有兴趣的同学可以自行证明即可。 例1．（24-25九年级上·江西九江·阶段练习）如图，在中，，是的中线，作于点E． (1)求证： (2)求证：； (3)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、斜边的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，解答即可． （2）根据题意，证明，即可得证． （3）利用相似三角形的性质，求得，再利用直角三角形的性质求得的长． 本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵是的中线，, ∴， ∴． （2）证明：由（1）得， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：， ∴， 即， ∴， ∵是的中线， ∴． 例2．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）综合与探究： 问题情景：已知如图1，在中，点为边上一点，连接． 初步探究： （1）如图2，若为直角三角形，，为边上的高，，，则__________． 深入探究： （2）①如图3，若，求证：； ②如图4，在（2）①的条件下，若点为中点，，求的长． 【答案】（1）（或4.8）；（2）①见解析；② 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查勾股定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质是解答的关键． （1）利用勾股定理求得，进而利用三角形的面积求解即可； （2）①证明得到，进而整理可得结论； ②利用①结论可得，进而利用相似三角形的性质得到即可求解． 【详解】（1）解：，，， ∴ ， ∵为边上的高， ∴， 则， 故答案为：（或4.8）； （2）①证明：∵，， ∴， ∴， ∴； ②解：∵点为中点， ∴设， 由（1）知， ∴， ∴， ∴与的相似比为， ∵， ∴． 一、解答题 1．（24-25九年级上·广东梅州·期中）如图，在中，，，； 求证： (1)； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似是解题的关键． （1）根据等边对等角，以及两组对应角对应相等的三角形相似，即可得证； （2）根据，推出，再根据，利用对应边对应成比例，求出，进而求出，再利用勾股定理即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴设，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，． ∵， ∴． 在中， ． 2．（24-25九年级上·海南三亚·期末）如图1，在正方形中，E是上一点，过点D作于点O，交于点F，与的延长线交于点G，连结． (1)求证：； (2)当时，求证：； (3)如图2，在上取一点H，连结，当，猜想与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，证明见解析 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明 【分析】（1）根据正方形的性质，利用证明即可； （2）同理（1）可证，再根据正方形的性质结合，可得点F是的中点，进而得到，易证，推出，即得到点是的中点，利用直角三角形的性质结合等腰三角形的性质即可得到结论； （3）过点A作于点M，利用正方形的性质证明，得到，再证明是等腰直角三角形，推出，再证明是等腰直角三角形，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：同理（1）得证， ∴， ∵，， ∴， ∴点F是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴得到点是的中点， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：，证明如下： 过点A作于点M， ∵四边形是正方形， ∴， 由（1）知， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线构造三角形全等时解题的关键． 3．（24-25九年级上·福建福州·期末）在中，为边上一点，连接，点在的延长线上，，连接，过点作于点，交于点，且． (1)当是中点时，如图1，求的度数； (2)当时，如图2． ①求的值； ②若，求的长． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合、等边对等角、用勾股定理解三角形 【分析】（1）先证明，，再利用三角形内角和定理求解； （2）①，则，再设，则，利用勾股定理求出，即可得求解； ②先证明，得出，即，从而求得，．再过点作，证得，然后利用平行线分线段成比例可求解． 【详解】（1）解： 为中点， ． ， ， ， ． ， ． ， ， ，即， ． （2）解：①， 设，则． 在中，， ． 设，则， ， 解得， 即， ． ②， ， ． ， ． ， ， ． ， ， ， ， ， ． 过点作， ， ， ． ， ， ， ， ，解得， ． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是学会利用参数解决问题． 4．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）【感知】如图①，在中，点E为的中点，连接并延长的延长线于点F，求证：点D是的中点； 【应用】如图②，在四边形中，，，E是的中点，的延长线相交于点F，求的长． 【扩展】如图③，在中，点D是的中点，  ，相交于点F，求的值． 【答案】【感知】见解析；【应用】；【扩展】 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，根据中点作辅助线构造全等三角形是解题关键． 感知:证即可； 应用:由题意得，垂直平分，推出;同理可证：，得，即可求解； 扩展:过点作，同理可证：，推出；证，得，即可求解； 【详解】感知:证明：由题意得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即：点D是的中点； 应用:解：∵， ∴； ∵E是的中点， ∴垂直平分， ∴； 同理可证：， ∴， ∴； 扩展:解：过点作，如图所示： 同理可证：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 5．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，是等边三角形，，点在线段的延长线上，连接，且． (1)如图①，求的度数， (2)如图②，点在线段上，连接，且，求证； (3)如图③，在（2）的条件下，作交的延长线于点，连接，若，求线段的长度． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、等边三角形的判定和性质、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】（1）如图1中，作于G，于N．先证明可得，进而得到，求出即可解答； （2）证明：如图2中，作于G，于N．连接．只要证明，进而得到即可证明结论； （3）如图3中，作于G，于N，交的延长线于K．设,则,由，推出 ，列出方程求出a即可解答． 【详解】（1）解：如图1中，作于G，于N． ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图2中，作于G，于N，连接． 由（1）可知， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图3中，作于G，于N，交的延长线于K，连接．设， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、角平分线性质定理、勾股定理、等边三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理等知识点，正确添加辅助线构造全等三角形以及学会用方程的思想是解题的关键． 6．（24-25九年级上·海南海口·期中）在矩形中，，，分别在，上． (1)若，． ①如图1，求证：； ②如图2，点为延长线上一点，的延长线交于，若，求证：； (2)如图3，若为的中点，．求的值（结果用含的式子表示）． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)． 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明 【分析】（1）①由“”可证； ②过点作交于点，由等腰三角形的性质和平行线的性质可得，可得，即可得结论； （2）过点作于，连接，由角平分线的性质可得，由“”可证，可得，由勾股定理可求解． 【详解】（1）证明：①四边形是矩形，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，且，， ； ②如图，过点作交于点， 由（1）可知， ，， ， ∵， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作于，连接， 为的中点， ， ，，， ， ， ， ，， ， ， 设，则， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 7．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G． (1)求证：； (2)如图2，连接，点M、N、P、Q分别是的中点，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图3，点F、R分别在正方形的边上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O，若，正方形的边长为3，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)四边形为正方形，理由见解析 (3) 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的证明、根据正方形的性质证明、折叠问题 【分析】（1）由正方形的性质及直角三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出结论； （2）由三角形中位线定理可得出，，由平行四边形的判定可得出四边形为平行四边形，证出，，则可得出结论； （3）延长交于S，由勾股定理求出的长，设，则，由勾股定理可得出，解得，则可得出答案． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． （2）解：四边形为正方形， 理由如下：，N为的中点， 为的中位线， ，， 同理可得，，，，，， ，， 四边形为平行四边形， ， ， 四边形为菱形， ，， ， ， ， 四边形为正方形． （3）解：延长交于点S， 由对称性可知，，，， ， ， 设，则， 在中，， ， ， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了折叠的性质，正方形的判定与性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题． 8．（2024·江苏徐州·模拟预测）某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： 【初探猜想】如图1，在正方形中，点，分别是、上的两点，连接，，若，试判断线段与的大小关系，并说明理由； 【类比探究】如图2，在矩形中，，，点、分别是边、上一点，点、分别是边、上一点，连接，，若，则______； 【知识迁移】如图3，，在四边形中，，点、分别在线段、上，且，连接，若为等边三角形，求的值； 【拓展应用】如图4，在正方形中，E是的中点，F、G分别是边上的动点，且交于M，连接和，当时，则的最小值为______． 【答案】初探猜想：，理由见解析 类比探究： 知识迁移： 拓展应用： 【知识点】全等三角形综合问题、四边形其他综合问题、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】初探猜想：证明，进而结论得证； 类比探究：如图2，过作于，过作于，则四边形均为矩形，，，证明，进而可求结果； 知识迁移：如图3，过作的延长线于，过作于，过作于，则四边形是矩形，四边形是矩形，，同理类比探究，，则，由为等边三角形，，可得，，由勾股定理得，，然后计算求解即可； 拓展应用：以、为邻边作平行四边形，连接，过点G作于点H，先根据勾股定理求出的长，再证和全等得出，求的最小值转化为求的最小值，当A、G、N在一条直线上时最小，即为的长，在等腰直角中求出的长即可． 【详解】初探猜想：解：，理由如下： ∵正方形， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴； 类比探究：解：如图2，过作于，过作于， ∴， ∵矩形， ∴， ∴四边形均为矩形， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴； 知识迁移：解：如图3，过作的延长线于，过作于，过作于， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴四边形是矩形，， ∵， 同理类比探究，， ∴， ∵为等边三角形，， ∴，， 由勾股定理得，， ∴； 拓展应用：解：以、为邻边作平行四边形，连接，过点G作于点H， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵E是的中点， ∴， 在中，，， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∵， ∴当A、G、N在一条直线上时最小，即最小，此时最小值是的长，为． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，翻折的性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，翻折的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 全等与相似模型之十字架模型 目录 1 模型1.全等模型之正方形中的十字架型 1 模型2.相似模型之矩形中的十字架型 9 模型3.相似模型之等边三角形中的斜十字型 19 模型4.相似模型之直角三角形中的十字型 22 26 模型1.全等模型之正方形中的十字架型 条件：1）如图1，在正方形ABCD中，若E、F分别是BC、CD上的点，AE⊥BF；结论：AE=BF。 证明：四边形是正方形，，，∴ AE⊥BF，∴，，，∴AE=BF。 条件：2）如图2，在正方形ABCD中，若E、F、G分别是BC、CD、AB上的点，AE⊥GF；结论：AE=GF。 证明：在FC上取一点P，使得GB=PF，连结BP。 四边形是正方形，∴AB//CD，∴四边形是平行四边形，∴GF//BP，GF=BP， 同1）中证明，可得AE=GF。 条件：3）如图3，正方形ABCD中，若E、F、G、H分别是BC、CD、AB、AD上的点，EH⊥GF； 结论：HE=GF。 证明：在FC、BE上取一点P、Q，使得GB=PF，AH=QE，连结BP、AQ。 四边形是正方形，∴AB//CD，∴四边形是平行四边形，∴GF//BP，GF=BP， 同理可证得：四边形是平行四边形，∴AQ//HF，AQ=HF，同1）中证明，可得HE=GF。 例1．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期末）在正方形中，是边上一点，（点不与点，重合），连接． (1)如图，过点作交于点．证明：． (2)如图，取的一点，过点作交于点，交于点．求证：． 例2．（24-25八年级上·山东烟台·期末）【问题解决】 如图，在矩形中，点分别在边上，，于点． （1）求证：四边形是正方形； （2）延长到点，使得，连接，判断的形状，并说明理由． 【类比探究】 （3）如图，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，，，，，求的值． 例3．（24-25九年级上·海南三亚·阶段练习）如图1，在正方形中，点分别是边上的点，且． (1)求证：． (2)如图2，在图1的基础上，过点E作的垂线，与正方形的外角的平分线交于点N，连接．求证：四边形是平行四边形． (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若四边形的面积是25，，请求出的长度． 模型2.相似模型之矩形中的十字架型 1）条件：如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，结论：. 证明：四边形为矩形，，； DE⊥AC，，，，，. 2）条件：如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，结论：. 证明：如图，过点F作于点G，则； 四边形为矩形，，四边形为矩形，； ；EF⊥AC，，； ，，，易证：DC=AB，FG=BC，. 3）条件：如图3，矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，EF⊥MN，结论：. 证明：如图：过点N、F作、垂直，； 四边形为矩形，，四边形为矩形，； ∵EF⊥MN，，∴； 又∵（对顶角相等），∴； ∴，，易证：NH=AB，FG=BC，. 例1．（24-25九年级下·安徽安庆·开学考试）在矩形中，E为上的一点，过B作的垂线，垂足为点G，交于点F． (1)求证：； (2)若，，，求四边形的面积． 例2．（2025·广东深圳·三模）【问题提出】 （1）如图，在矩形中，点，分别是边，上的点，连接与交于点，若，求证：； 【迁移应用】 （2）如图，在中，，，点，分别是边，上的点，连接交于点，且，求的值； 【拓展提高】 （3）如图，在四边形中，点是边上的一点，连接与交于点，，，，请直接写出的值． 例3．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践 已知矩形，点在边上，点在边上，点在边上，，垂足为点． (1)如图1，当时，点与点重合时，则与的数量关系是：_______（填“>”、“=”、“<”号）． (2)如图2，若，求与的数量关系； (3)应用（2）中的结论解决问题： ①如图2，若，，，则的最小值为________； ②如图3，在中，，，，点是的中点，连接，过作的垂线，交直线于，垂足是点，请直接写出的长． 模型3.相似模型之等边三角形中的斜十字型 证明：如图，在等边中，，， 在与中，，，∴AD=BE，； ，∴AD和BE夹角为60°； ，，，同理： ， 例1．（2024·广西·模拟预测）如图，在等边三角形中，相交于点F．求证：． 例2．（24-25九年级上·四川内江·期中）如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点，且，连接，交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的长度． 模型4.相似模型之直角三角形中的十字型 1）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）： 条件：如图2，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，结论：①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。 证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。 如图1，过点C作BC的垂线交BF于点H，过点A作AG垂直于CH，∴∠BCH=90°，∴∠CBH+∠CHB=90° ∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠BCH=∠ABC=90°，∵BF⊥AD，∴∠CBH+∠ADB=90°，∴∠CHB=∠ADB， ∵AB=BC，∴，∴BD=CH，∵D为BC中点，∴BD=DC=CH，∴AB=2CH， 易证：四边形ABCG为正方形，即AB//CG，∴，∴AF：CF=BA：HC=2：1 ∵AB=BC，AB⊥BC，∴∠BCA=45°，∵∠BCH=90°，∴∠BCA=∠GCA=45°， ∵DC=CH，CF=CF，∴，∴∠CHF=∠CDF，∠CFH=∠CFD， ∴∠BDA=∠CDF，∵∠CFH=∠AFB，∴∠AFB=∠CFD， 如图2，过点C作CQ垂直于BF，∴∠BQC=90°， ∵AB⊥BC，∴∠ABD=∠BQC=90°，∴∠ABE+∠QBC=90°，∵AB=BC，∴， ∴CQ=BE，AE=BQ，∵BF⊥AD，CQ⊥BF，易证：，∴EA：QC=AF：CF=2：1。 ∴AE=BQ=BE+EQ=CQ+EQ，∴CQ=EQ，∴QEC为等腰直角三角形，∴∠QEC=45°， ∴∠AEC=135°，。 2）直角三角形中的十字模型： 如图3，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC，①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：k2，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。（全等+相似） 证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。 由于该模型证明主要结合了前面矩形中的十字架模型和等腰直角三角形中的十字架模型，故此不再详细证明，有兴趣的同学可以自行证明即可。 例1．（24-25九年级上·江西九江·阶段练习）如图，在中，，是的中线，作于点E． (1)求证： (2)求证：； (3)若，，求的长． 例2．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）综合与探究： 问题情景：已知如图1，在中，点为边上一点，连接． 初步探究： （1）如图2，若为直角三角形，，为边上的高，，，则__________． 深入探究： （2）①如图3，若，求证：； ②如图4，在（2）①的条件下，若点为中点，，求的长． 一、解答题 1．（24-25九年级上·广东梅州·期中）如图，在中，，，； 求证： (1)； (2)若，，求的长． 2．（24-25九年级上·海南三亚·期末）如图1，在正方形中，E是上一点，过点D作于点O，交于点F，与的延长线交于点G，连结． (1)求证：； (2)当时，求证：； (3)如图2，在上取一点H，连结，当，猜想与的数量关系，并证明． 3．（24-25九年级上·福建福州·期末）在中，为边上一点，连接，点在的延长线上，，连接，过点作于点，交于点，且． (1)当是中点时，如图1，求的度数； (2)当时，如图2． ①求的值； ②若，求的长． 4．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）【感知】如图①，在中，点E为的中点，连接并延长的延长线于点F，求证：点D是的中点； 【应用】如图②，在四边形中，，，E是的中点，的延长线相交于点F，求的长． 【扩展】如图③，在中，点D是的中点，  ，相交于点F，求的值． 5．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，是等边三角形，，点在线段的延长线上，连接，且． (1)如图①，求的度数， (2)如图②，点在线段上，连接，且，求证； (3)如图③，在（2）的条件下，作交的延长线于点，连接，若，求线段的长度． 6．（24-25九年级上·海南海口·期中）在矩形中，，，分别在，上． (1)若，． ①如图1，求证：； ②如图2，点为延长线上一点，的延长线交于，若，求证：； (2)如图3，若为的中点，．求的值（结果用含的式子表示）． 7．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G． (1)求证：； (2)如图2，连接，点M、N、P、Q分别是的中点，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图3，点F、R分别在正方形的边上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O，若，正方形的边长为3，求线段的长． 8．（2024·江苏徐州·模拟预测）某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： 【初探猜想】如图1，在正方形中，点，分别是、上的两点，连接，，若，试判断线段与的大小关系，并说明理由； 【类比探究】如图2，在矩形中，，，点、分别是边、上一点，点、分别是边、上一点，连接，，若，则______； 【知识迁移】如图3，，在四边形中，，点、分别在线段、上，且，连接，若为等边三角形，求的值； 【拓展应用】如图4，在正方形中，E是的中点，F、G分别是边上的动点，且交于M，连接和，当时，则的最小值为______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$