专题12 全等与相似模型之对角互补模型解读与提分精练-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（广东专用）

专题12 全等与相似模型之对角互补模型模型 目录 1 模型1.全等模型之90°-90°对角互补型 1 模型2.全等模型之60°-120°对角互补型 10 模型3.全等模型α—180°-α对角互补型 15 模型4.相似模型之对角互补模型 18 28 模型1.全等模型之90°-90°对角互补型 1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型） 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE， 根据上述条件易证：四边形ONCM为正方形，∴∠CON＝45°，OM=ON， 又∵OD＋OE＝OM-DM+ON+NE，∴OD＋OE=OM+ON=2ON=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴ 2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型） 条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.[来源:学科网ZXXK] 结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE， ∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE，根据上述条件易证：四边形ONCM为正方形， ∴∠CON＝45°，OM=ON，又∵OE－OD＝ON+NE-（DM-OM），∴OE－OD=ON+OM=2ON=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，. 例1．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）综合与实践 已知，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕点D旋转，它的两边分别交AC，CB（或它们的延长线）于点E，F． （1）【问题发现】如图1，当∠EDF绕点D旋转到DE⊥AC于点E时（如图1）， ①证明：△ADE≌△BDF；②猜想：S△DEF+S△CEF＝　 　S△ABC． （2）【类比探究】如图2，当∠EDF绕点D旋转到DE与AC不垂直时，且点E在线段AC上，试判断S△DEF+S△CEF与S△ABC的关系，并给予证明． （3）【拓展延伸】如图3，当点E在线段AC的延长线上时，此时问题（2）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S△DEF，S△CEF，S△ABC又有怎样的关系？（写出你的猜想，不需证明） 图1 图2 图3 【答案】（1）①证明见解析；②；（2）上述结论成立；理由见解析； （3）不成立；S△DEF﹣S△CEF＝；理由见解析. 【分析】（1）①先判断出DE∥AC得出∠ADE=∠B，再用同角的余角相等判断出∠A=∠BDF，即可得出结论；②当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC时，四边形CEDF是正方形，边长是AC的一半，即可得出结论；（2）成立；先判断出∠DCE=∠B，进而得出△CDE≌△BDF，即可得出结论； （3）不成立；同（2）得：△DEC≌△DBF，得出S△DEF==S△CFE+S△ABC． 【详解】解：（1）①∵∠C＝90°，∴BC⊥AC，∵DE⊥AC，∴DE∥BC，∴∠ADE＝∠B， ∵∠EDF＝90°，∴∠ADE+∠BDF＝90°， ∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，∴∠A+∠ADE＝90°，∴∠A＝∠BDF， ∵点D是AB的中点，∴AD＝BD，在△ADE和△BDF中，∴△ADE≌△BDF（SAS）； ②如图1中，当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC时，四边形CEDF是正方形． 设△ABC的边长AC＝BC＝a，则正方形CEDF的边长为a． ∴S△ABC＝a2，S正方形DECF＝（a）2＝a2，即S△DEF+S△CEF＝S△ABC；故答案为． （2）上述结论成立；理由如下：连接CD；如图2所示：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB中点， ∴∠B＝45°，∠DCE＝∠ACB＝45°，CD⊥AB，CD＝AB＝BD，∴∠DCE＝∠B，∠CDB＝90°， ∵∠EDF＝90°，∴∠CDE＝∠BDF，在△CDE和△BDF中，， ∴△CDE≌△BDF（ASA），∴S△DEF+S△CEF＝S△ADE+S△BDF＝S△ABC； （3）不成立；S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC；理由如下：连接CD，如图3所示： 同（2）得：△DEC≌△DBF，∠DCE＝∠DBF＝135° ∴S△DEF＝S五边形DBFEC，＝S△CFE+S△DBC，＝S△CFE+S△ABC，∴S△DEF﹣S△CFE＝S△ABC． ∴S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是：S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了平行线的判定和性质，同角的余角相等，全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、图形面积的求法；证明三角形全等是解决问题的关键． 例2．（23-24九年级上·贵州贵阳·期中）问题背景：“对角互补”是经典的四边形模型，解决相应问题，通常会涉及到旋转构造、全等三角形的证明等综合性较高的几何知识．如果问题中有“，”角度出现，一般会和等腰直角三角形、正方形、等边三角形等特殊图形结合起来考察．    (1)【问题解决】如图①，，平分，小明同学从P点分别向，作垂线，，由此得到正方形，与全等的三角形是________； (2)【问题探究】如图②，若，，平分，，，求的长； (3)【拓展延伸】如图③，点P是正方形外一点，，，对角线，交于点O，连接，且，求正方形的面积． 【答案】(1) (2)3 (3)16 【知识点】用勾股定理解三角形、角平分线的性质定理、根据正方形的性质与判定求线段长、全等三角形综合问题 【分析】（1）根据角平分线的性质及垂直的定义可得，，进而得四边形是正方形，再根据角的等量代换得，利用可证得，进而可求解． （2）过点P作于M，于N，根据角平分线的性质可得，利用证得，进而可得，再利用证得，进而可得，设，则，，在中，利用直角三角形的特征即可求解． （3）延长到，使，连接，根据正方形的性质可得，，利用得，进而可得，．设，利用勾股定理求得，再利用正方形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：，，且平分， ，， 四边形是正方形， ， ， ， ， 在和中， ， ； 故答案为：． （2）如图，过点P作于M，于N，如图：    平分， ． ， ． ． 在四边形中，， 且，， ． ， ． 又 ． ． ，，设，则，． ， 解得，． ． 在中，，， ． （3）如图，延长到，使，连接．如图：    在四边形中，，且． 四边形是正方形， ，． ． 又， ． ． ，． ， ． 是等腰直角三角形． 由勾股定理，． 在中，，设，由勾股定理，， ． ． ． ． ． 【点睛】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质、正方形的判定及性质、勾股定理、直角三角形的特征，熟练掌握相关判定及性质，添加适当的辅助线解决问题是解题的关键． 2．（23-24八年级下·山东青岛·期末）图形定义：四边形若满足，则我们称该四边形为“对角互补四边形”．    （1）若四边形为对角互补四边形，且，则的度数为_________． （2）如图1，四边形为对角互补四边形，．求证：平分． 小云同学是这么做的：延长至，使得，连，可证明，得到是等腰直角三角形，由此证明出平分，还可以知道三者关系为：_________； （3）如图2，四边形为对角互补四边形，且满足，则，三者关系为：_________． 【答案】（1）；（2）证明见解析，；（3） 【知识点】用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据对角互补四边形的定义可得，，结合即可求解； （2）延长至，使得，证明，得到是等腰直角三角形，由此证明出平分，等量代换可得； （3）延长至，使得，证明，推出，过点D作交于点N，解即可求解． 【详解】（1）解： 四边形为对角互补四边形， ，， ， ， ， , 故答案为：； （2）证明：如图，延长至，使得，连接，   四边形为对角互补四边形， ， 又， ， 在和中， ， ， ，，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 又， ， 平分． 是等腰直角三角形， ， ； （3）解：延长至，使得，连接， 四边形为对角互补四边形， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 过点D作交于点N， ， N为的中点， ， 在中，， ， ， ， ， 故答案为：．    【点睛】本题属于四边形综合题，考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等，解题的关键是理解“对角互补四边形”的定义，正确作出辅助线构造全等三角形． 模型2.全等模型之60°-120°对角互补型 1）“等边三角形对120°模型”（1） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°， ∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。 又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴。 2）“等边三角形对120°模型”（2） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D， 结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∠AOB+∠MCN＝180°，∴∠DCE=∠MCN＝60° ∴∠DCE-∠MCE=∠MCN-∠MCE，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。 又∵OD-OE＝OM+DM-（NE-ON），∴OD-OE=ON+OM=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴。 例1．（23-24八年级下·湖北咸宁·期中）【问题提出】（1）如图1，在四边形中，，，，连接．试探究、、之间的数量关系． 小明的思路是：他发现和互补，推得，于是想到延长到点，使，连接．从而得到，然后证明，不难得到、、之间的数量关系是______； 【问题变式】（2）如图2，四边形中，，，连接，试探究、、之间的数量关系，并说明理由； 【问题拓展】（3）如图3，四边形中，，，，连接，若，求四边形的面积．（直接写出结果）    【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）延长到点，使，连接．根据等角的补角相等得出，利用证明，再根据全等三角形的性质得出，，根据角的和差易证为等边三角形，然后根据等边三角形的性质得出，最后根据线段的和差及等量代换即可得证； （2）延长到点E，使，连接，根据等角的补角相等得出，利用证明，再根据全等三角形的性质得出，，然后得出是等腰直角三角形，进而得出结论； （3）延长到点E，使，连接，根据等角的补角相等得出，利用证明，再根据全等三角形的性质得出，，根据角的和差得出过点A作交于点F，根据三线合一得出，根据含30度角的直角三角形的性质、勾股定理以及三角形面积公式得出，最后根据全等三角形的面积相等即可得出四边形的面积，从而得出答案． 【详解】（1）延长到点，使，连接．   ，， 在和中 ， 为等边三角形 （2）如图，延长到点E，使，连接    在和 ， 是等腰直角三角形， 即 （3）如图：延长到点E，使，连接，   ，， 在和中 ， 过点A作交于点F， 在中，， 四边形的面积． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质以及勾股定理，添加合适的辅助线是解题的关键． 模型3.全等模型α—180°-α对角互补型 1）“α对180°-α模型” 条件：四边形ABCD中，AP=BP，∠A+∠B=180°。结论：OP平分∠AOB。 证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°， ∵∠A+∠B=180°，∠OAP+∠PAE=180°，∴∠EAP=∠B。 ∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。 注意：如下图：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三个条件可知二推一。 例1．（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）如图（1）~（3），已知的平分线OM上有一点P，的两边与射线OA、OB交于点C、D，连接CD交OP于点G，设，． (1)如图（1），当时，试猜想PC与PD，与的数量关系（不用说明理由）； (2)如图（2），当，时，（1）中的两个猜想还成立吗？请说明理由． (3)如图（3），当时，你认为（1）中的两个猜想是否仍然成立，若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)，(2)成立，理由见详解(3)， 【分析】（1）过P点作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F点，延长DP交OA于点N，根据角平分线的性质可得PF=PE，先证明∠EPF=∠CPD，再证明∠CPE=∠EPD，即可证明△FPC≌△EPD，则有PC=PD，∠PDC=∠PCD，则有2∠PDC=∠CPN，根据∠AOB+∠CPD=180°，∠CPD+∠CPN=180°，可得∠AOB=∠CPN，即问题得解；（2）解答方法同（1）；（3）解答方法同（2）． 【详解】（1），， 证明：过P点作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F点，延长DP交OA于点N，如图， ∵OM平分AOB，∴∠AOP=∠BOP，∵PF⊥OA，PE⊥OB，∴∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE， ∵∠AOB+∠ODC+∠OCD=180°，∠PCD+∠PDC+∠CPD=180°， ∴∠AOB+∠ODC+∠OCD+∠PCD+∠PDC+∠CPD=360°，∴四边形OCPD的内角和为360°， 同理，四边形OFPE的内角和为360°，∴∠AOB+∠PFO+∠PEO+∠EPF=360°， ∴∠AOB+90°+90°+∠EPF=360°，即∠AOB+∠EPF=180°， ∵∠AOB=∠CPD=90°，即∠AOB+∠CPD=180°，∴∠EPF=∠CPD， ∵∠EPF=∠EPC+∠CPE，∠CPD=∠EPC+∠EPD，∴∠CPE=∠EPD， 又∵∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，∴△FPC≌△EPD，∴PC=PD，∴∠PDC=∠PCD， ∵∠PDC+∠PCD=∠CPN，∴2∠PDC=∠CPN， ∵∠AOB+∠CPD=180°，∠CPD+∠CPN=180°，∴∠AOB=∠CPN，∴2∠PDC=∠AOB，结论得证； （2）成立，理由如下：过P点作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F点，延长DP交OA于点N，如图， ∵OM平分AOB，∴∠AOP=∠BOP，∵PF⊥OA，PE⊥OB，∴∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE， ∵四边形OFPE的内角和为360°，∴∠AOB+∠PFO+∠PEO+∠EPF=360°， ∴∠AOB+90°+90°+∠EPF=360°，即∠AOB+∠EPF=180°， ∵∠AOB=60°，∠CPD=120°，即∠AOB+∠CPD=180°，∴∠EPF=∠CPD， ∵∠EPF=∠EPC+∠CPE，∠CPD=∠EPC+∠EPD，∴∠CPE=∠EPD， 又∵∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，∴△FPC≌△EPD，∴PC=PD，∴∠PDC=∠PCD， ∵∠PDC+∠PCD=∠CPN，∴2∠PDC=∠CPN， ∵∠AOB+∠CPD=180°，∠CPD+∠CPN=180°，∴∠AOB=∠CPN，∴2∠PDC=∠AOB，结论得证； （3）成立，，， 证明：过P点作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F点，延长DP交OA于点N，如图， ∵OM平分AOB，∴∠AOP=∠BOP，∵PF⊥OA，PE⊥OB，∴∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE， ∵四边形OFPE的内角和为360°，∴∠AOB+∠PFO+∠PEO+∠EPF=360°， ∴∠AOB+90°+90°+∠EPF=360°，即∠AOB+∠EPF=180°，∵∠AOB+∠CPD=180°，∴∠EPF=∠CPD， ∵∠EPF=∠EPC+∠CPE，∠CPD=∠EPC+∠EPD，∴∠CPE=∠EPD， 又∵∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，∴△FPC≌△EPD，∴PC=PD，∴∠PDC=∠PCD， ∵∠PDC+∠PCD=∠CPN，∴2∠PDC=∠CPN， ∵∠AOB+∠CPD=180°，∠CPD+∠CPN=180°，∴∠AOB=∠CPN，∴2∠PDC=∠AOB，结论得证． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质以及三角形内角和定理等知识，证明△FPC≌△EPD是解答本题的关键． 模型4.相似模型之对角互补模型 1）对角互补相似1 条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点， 结论：如图，过点O作OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，则：①△ODE∼△OHF；② 证明：∵OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，∴∠EDO＝∠FHO＝90°， ∵∠C＝90°，∴四边形OHCD为矩形，∴∠DOH＝90°，DO＝CH ∴∠DOF+∠HOF＝90°， ∵∠EOF＝90°，∴∠DOF+∠DOE＝90°，∴∠HOF＝∠DOE，∴△ODE∼△OHF，∴， ∵∠C＝∠OHD＝90°，点O是AB的中点，∴H为BC中点，∴BH＝CH，∴BH＝DO，∴ ∵∠C＝∠OHD＝90°，∠B＝∠B，∴△OHB∼△ACB，∴，∴ 2）对角互补相似 2 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 结论1：如图1，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；则①△ECG∼△DCF；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；∴∠EGC＝∠DFC＝90°， ∵∠AOB＝90°，∴四边形OGCF为矩形，∴∠GCF＝90°，CF=OG，∴∠FCD+∠DCG＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠GCE+∠DCG＝90°，∴∠GCE＝∠FCD，∴ECG∼△DCF，∴， ∵CF=OG，∴，∵在Rt△COG中，，∴CE＝CD· 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 结论2：如图2，过点C作CF⊥OC，交OB于F；则：①△CFE∼△COD；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OC，∴∠OCF＝90°，∴∠OCE+∠ECF＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠OCE+∠DCO＝90°，∴∠ECF＝∠DCO， ∵∠AOB＝90°，∠OCF＝90°，∴∠COE+∠DOC＝90°，∴∠COE+∠CFO＝90°， ∴∠DOC＝∠CFO，∴CFE∼△COD，∴，∵在Rt△OCF中，，∴CE＝CD·. 3）对角互补相似3 条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°。 结论：如图，过点D作DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分别为E、F；则：①△DAE∼△DCF；②A、B、C、D四点共圆。 证明：∵∠B+∠D=180°，∠A+∠C=180°，∴A、B、C、D四点共圆。 ∵DE⊥BA，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°， ∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAE=180°，∴∠C=∠DAE，∴△DAE∼△DCF； 例1．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题： (1)如图1，正方形中，是上的点，将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，四边形是“直等补”四边形吗？请说明理由； (2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，．点到直线的距离为． ①求的长； ②若、分别是、边上的动点，求周长的最小值． 【答案】(1)是，见解析 (2)①4；② 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）由旋转知，，从而得，则由“直等补”四边形定义即可求解； （2）①过C作于点F，由四边形是“直等补”四边形，得四边形是矩形，；再证明，得；设，则，在中由勾股定理建立方程求得x的值，从而求得； ②延长到F，使得，延长到G，使得，连接，分别与交于点M、N，过G作，与的延长线交于点H．则的周长的值最小；再证明，由对应边成比例求得，从而由勾股定理求得，最后由勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：是；理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， 由旋转性质得：， ∴， ∴， ∴四边形BEDF为“直等补”四边形； （2）解：①过C作于点F，如图1， 则； ∵四边形是“直等补”四边形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，设，则， ∵， ∴， 解得，或（舍）， ∴； ②如图2，延长到F，使得，延长到G，使得，连接，分别与交于点M、N，过G作，与的延长线交于点H． 则， ∵， ∴， ∴的周长的值最小， ∵四边形是“直等补”四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴周长的最小值为． 【点睛】本题考查了新定义，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质等知识，证明三角形全等与相似是解题的关键． 例2．（23-24九年级上·吉林长春·期中）【问题解决】如图①，在中，点在边上（点不与点重合），点在边上，且．连结并延长至点，使，连结．求证：． 【拓展探究】如图②，在中，，点是边的中点，点在边上，过点作交边于点，连结．若，，则的长为__________． 【答案】【问题解决】见解析；【拓展探究】 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】[问题解决]先证明，得到，进而得到，根据两直线平行同旁内角互补，得到； [拓展探究]延长到G，使得，连接，证明，得，再证明，由勾股定理求得，由线段垂直平分线性质得． 【详解】[问题解决] 证明：，， ． ， ． ． ． ． [拓展探究] 延长到G，使得，连接，如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 由勾股定理，得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，通过作辅助线构造全等是解题的关键． 例3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）探究与实践：“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆． 该小组继续利用上述结论进行探究． 【提出问题】如图， 在线段同侧有两点，，连接，，，， 如果，那么，，，四点在同一个圆上． 【探究展示】如图，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与， 重合），连接，， 则（依据） ∵， ∴， ∴点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） ∴点， 都在点，，所确定的上（依据） ∴点，，，四点在同一个圆上； 【反思归纳】 圆内接四边形对角互补； 对角互补的四边形四个顶点共圆； 过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆； 同圆中，同弧所对的圆周角相等； （）上述探究过程中的“依据”、“依据”分别是指什么？依据： ；依据： ．（从框内选一个选项，直接填序号） （） 如图，在四边形中，，，则的度数为 ； 【拓展探究】 （）如图4， 已知 是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于， 连接，． 求证：，，，四点共圆； 若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】（），；（）；（）证明见解析；． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、圆周角定理、已知圆内接四边形求角度、线段问题(轴对称综合题) 【分析】（）根据圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆作答即可； （）根据同弧所对的圆周角相等即可求解； （）根据（）中的结论证明即可得证； 证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（）解：如图，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，则（圆内接四边形对角互补） ∵， ∴， ∴点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） ∴点，在点，，所确定的上（过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆） ∴点，，，四点在同一个圆上， 故答案为：，； （）解：∵在线段同侧有两点，，， ∴，，，四点共圆， ∵， ∴， 故答案为：； （）证明：∵， ∴， ∵点与点关于对称， ∴， ∴， ∴，，，四点共圆； 解：，理由如下， 如图，∵，，，四点共圆， ∴， ∵，关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角相等，轴对称的性质，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． 一、解答题 1．（23-24九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在四边形中，，，平分． (1)如图，若，，则 ； (2)问题解决：如图，求证：； (3)问题拓展：如图，在等腰中，，平分，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理、三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定义及外角性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）若，可得， ，再根据角平分线的性质即可求解； （2）如图，过点分别作于，的延长线于点，由角平分线的性质可得，再由，可得，即可证明，得到； （3）如图3，在上取，由等腰三角形的性质可得，进而得到，再得到，即得，再由（2）可得，然后根据三角形外角性质可得，可得到，进而得到，即得，据此即可求证． 【详解】（1）解：若，则，， ，， 平分， ， 故答案为：； （2）证明：如图，过点分别作于，的延长线于点，则， 平分， ， ， ， ， ， ， ； （3）证明：如图，在上取， 是等腰三角形，， ， 平分， ， ， ， ， 由（2）可得，， ， ， ， ， ， ， 即． 2．（22-23八年级下·四川绵阳·开学考试）在四边形中，是钝角，，对角线平分． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，当时，请判断、与之间的数量关系？并加以证明． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)，证明见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． （1）在上取点，使得，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出，根据等腰三角形的判定可得，由此即可得证； （2）延长至点，使得，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出是等边三角形，，由此即可得； （3）延长至点，使得，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】（1）证明：如图，在上取点，使得，连接， ∵对角线平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，延长至点，使得，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． （3）解：，证明如下： 如图，延长至点，使得，连接， 由（2）已证：， ∴， ∵对角线平分，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵，， ∴． 3．（2023·河南信阳·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F． （1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则＝　 　； （2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则＝　 　（用含m，n的代数式表示）； ②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明； （3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长． 【答案】（1）1；；（2）①；②；（3）或 【分析】（1）先用等量代换判断出，，得到∽，再判断出∽即可；（2）方法和一样，先用等量代换判断出，，得到∽，再判断出∽即可；（3）由的结论得出∽，判断出，求出DE，再利用勾股定理，计算出即可． 【详解】解：当时，即：， ，， ，，， ，， 即，∽，， ，，∽，， ，，，，， ，， 即，∽，， ，，∽，， 成立如图3， ，，又，，， ，， 即，∽，， ，，∽，，． 由有，∽， ，，， 如图4图5图6，连接EF．在中，，，， 如图4，当E在线段AC上时， 在中，，， 根据勾股定理得，，，或舍 如图5，当E在AC延长线上时， 在中，，， 根据勾股定理得，，，，或舍， ③如图6，当E在CA延长线上时， 在中，，， 根据勾股定理得，，， ，或（舍），综上：或． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形相似的性质和判定，勾股定理，判断相似是解决本题的关键，求CE是本题的难点． 4．（24-25八年级上·福建泉州·期中）（1）如图①，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：______； （2）如图②，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立?若成立，请写出证明过程； （3）在四边形中，，，E、F分别是边、所在直线上的点，且，请画出图形（除图②外），并求证线段，，之间的数量关系． 【答案】（1） （2）（1）中的结论仍然成立，理由见解析 （3）或 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的性质和判定，四边形内角和的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线得出全等三角形． （1）延长到G，使，连接，证明．由全等三角形的性质得出，证明．由全等三角形的性质得出， （2）延长到点G，使，连接．证明．由全等三角形的性质得出，证明．由全等三角形的性质得出， （3）在上截取，使，连接．方法同（1）（2）可得出结论． 【详解】（1）证明：延长到G，使，连接，， ∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 又， ∴． ∴， ∵， ∴； （2）解：（1）中的结论仍然成立． 理由：延长到G，使，连接，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）结论不成立，应当是或， ① 证明：在上截取，使，连接． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ②． 证明：在上截取，如图， 同第一种情况方法，证， 证， ∴． 5．（24-25九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）问题：如图，点、分别在正方形的边，上，，试判断、、之间的数量关系． (1)【发现】、、之间的数量关系为_______． (2)【类比引申】 如图，四边形中，，，，点、分别在边、上，则当与满足_______关系时，仍有中的结论，请证明． (3)【探究应用】 如图，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形，已知米，，，，道路 、上分别有景点型、，且与垂直，米，现要在 、之间修一条笔直的道路，求这条道路的长．（结果取整数，参考数据：，） 【答案】(1)； (2)； (3)米． 【知识点】全等三角形综合问题、根据正方形的性质证明、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】【发现】根据正方形的性质可得：，，利用可证，根据全等三角形的性质可证，，从而可证，根据全等三角形对应边相等可证； 【类比引申】延长到，使，连接，可证，根据全等三角形的性质可得，利用可证，根据全等三角形对应角相等可得； 过点作垂足为点，连接，可知是等边三角形，根据已知角的度数可知，根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半可以得到的长度，利用勾股定理可求的长度，从而可证是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质可得，由【类比引申】可知． 【详解】（1）【发现】解：如下图所示， 延长到点，使， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：； （2）【类比引申】解：当时，中结论仍然成立， 理由如下： 如下图所示，延长到，使，连接， ，， ， 在和中， ， ，， 又， 在和中， ， ， 又， ， ； （3）【探究应用】解：如下图所示，过点作垂足为点，连接， 与垂直， ， ， ， ， 是等边三角形， 米， 在中，， ， 米， 米， 米， 米， ， ， ， ， ， 由【类比引申】可知(米)． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质．解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质找到边和角之间的关系． 6．（2024·江苏淮安·一模）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，我们做以下探究． 在中，，，是边上一点，且(为正整数），、分别是边和边上的点，连接，且． 【初步感知】（）如图，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程． 【深入探究】（）如图，当，试探究线段，，之间的数量关系，请写出结论并证明； 请通过类比、归纳、猜想，探究出线段，，之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）． 【拓展运用】（）如图，点为靠近的四等分点，连接，设的中点为，若，求点从点运动到点的过程中，请直接写出点运动的路径长． 【答案】（）证明见解析；（），理由见解析；；（） 【分析】（1）由“”可证，可得，即可求解； （2）①先证和是等腰直角三角形，可得，，，，可求，，通过证明，可求，即可求解； ②分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解； （3）连接，，，由题意可得点在线段的垂直平分线上运动，由题意易得，当点E与点A重合时，过点M作于点H，当点E与点C重合时，假设此时的中点为N，即为原来的点M，进而得出点M的运动轨迹，然后问题可求解． 【详解】（）证明：连接，∵，，且当时，， ，，，， ，，∴∠EDF，， 在和中，，∴， ， ，即； （），理由如下：过点作于，于， ，，， ，，和是等腰直角三角形， ，，，，， ，，设，则，，，， ，，，四边形是矩形， ，， 又，，，， ； 如图4，当点在射线上时，过点作于，于， ，，，，，和是等腰直角三角形， ，，，，， ∴，，设，， ，，，，，， 四边形是矩形，，， 又，，，， ； 当点在的延长线上时，如图5，，，， ，，和是等腰直角三角形， ，，，，， ∴，， 设，，，，， ，，，四边形是矩形， ，， 又，，，， ； 综上所述：当点在射线上时，，当点在延长线上时，； （3）解：连接，，，如图（1）， 的中点为，，，∴点在线段的垂直平分线上运动， ∵点D为靠近B的四等分点，∴， 由（2）得，∴ 当点E与点A重合时，过点M作于点H，如图， ∴，∴，∴∴，∴， ∵，代入得，∴； 当点E与点C重合时，假设此时的中点为N，即为原来的点M，如图， ∵，代入得，∴， ∴如图，点M的运动轨迹即为的长， ∵在Rt中，∴∴∴点运动的路径长为 【点睛】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 7．（2024·四川成都·二模）如图，在矩形中，（n为正整数），点E是边上一动点，P为中点，连接，将射线绕点P按逆时针方向旋转，与矩形的边交于点F． 【尝试初探】（1）在点E的运动过程中，当点F在边上时，试探究线段，之间的数量关系，请写出结论并证明； 【深入探究】（2）若，在点E的运动过程中，当点F在边上时，求的最小值； 【拓展运用】（3）若，设的中点为M，求点E从点B运动到点C的过程中，点M运动的路程（用含n的代数式表示）． 【答案】（1），理由见解析；（2）的最小值为；（3）点运动的路程为． 【分析】（1）过点作于，于，可证得，得出，再由，，得出：，，可得：，，则，，结合已知即可求得答案；（2）设，，，过点作于，可证得，得出，进而推出，，则，即可求得答案；（3）确定以下几个关键点时点的位置：当点在点处时，当点运动到点处时，当点在边上时，即可求得答案． 【详解】解：（1）结论：，理由：如图1，过点作于，于， 则，四边形是矩形，， ，四边形是矩形，，，， 由旋转得：，，即， ，，，为中点，， ∵，，，， ，，，， ，，，； （2）当时，，设，，，过点作于，如图2， 则，，，， ，，，， ，，， ，点在边上，，即，， ，的最小值为； （3），，， 在中，，为中点，， 当点在点处时，如图3，，，， ，即，， 的中点为，；当点运动到点处时，如图4， 是斜边的中点，，，，， ，即，，的中点为，，；当点在边上时，如图5，过点作于， 则，，， 点运动的路程为． 【点睛】本题是矩形综合题，主要考查了矩形的性质，旋转变换的性质，勾股定理，直角三角形性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等，综合性较强，要求学生有较强的识图和逻辑思维能力，属于中考压轴题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 全等与相似模型之对角互补模型模型 目录 1 模型1.全等模型之90°-90°对角互补型 1 模型2.全等模型之60°-120°对角互补型 10 模型3.全等模型α—180°-α对角互补型 15 模型4.相似模型之对角互补模型 18 28 模型1.全等模型之90°-90°对角互补型 1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型） 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE， 根据上述条件易证：四边形ONCM为正方形，∴∠CON＝45°，OM=ON， 又∵OD＋OE＝OM-DM+ON+NE，∴OD＋OE=OM+ON=2ON=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴ 2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型） 条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.[来源:学科网ZXXK] 结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE， ∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE，根据上述条件易证：四边形ONCM为正方形， ∴∠CON＝45°，OM=ON，又∵OE－OD＝ON+NE-（DM-OM），∴OE－OD=ON+OM=2ON=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，. 例1．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）综合与实践 已知，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕点D旋转，它的两边分别交AC，CB（或它们的延长线）于点E，F． （1）【问题发现】如图1，当∠EDF绕点D旋转到DE⊥AC于点E时（如图1）， ①证明：△ADE≌△BDF；②猜想：S△DEF+S△CEF＝　 　S△ABC． （2）【类比探究】如图2，当∠EDF绕点D旋转到DE与AC不垂直时，且点E在线段AC上，试判断S△DEF+S△CEF与S△ABC的关系，并给予证明． （3）【拓展延伸】如图3，当点E在线段AC的延长线上时，此时问题（2）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S△DEF，S△CEF，S△ABC又有怎样的关系？（写出你的猜想，不需证明） 图1 图2 图3 例2．（23-24九年级上·贵州贵阳·期中）问题背景：“对角互补”是经典的四边形模型，解决相应问题，通常会涉及到旋转构造、全等三角形的证明等综合性较高的几何知识．如果问题中有“，”角度出现，一般会和等腰直角三角形、正方形、等边三角形等特殊图形结合起来考察．    (1)【问题解决】如图①，，平分，小明同学从P点分别向，作垂线，，由此得到正方形，与全等的三角形是________； (2)【问题探究】如图②，若，，平分，，，求的长； (3)【拓展延伸】如图③，点P是正方形外一点，，，对角线，交于点O，连接，且，求正方形的面积． 2．（23-24八年级下·山东青岛·期末）图形定义：四边形若满足，则我们称该四边形为“对角互补四边形”．    （1）若四边形为对角互补四边形，且，则的度数为_________． （2）如图1，四边形为对角互补四边形，．求证：平分． 小云同学是这么做的：延长至，使得，连，可证明，得到是等腰直角三角形，由此证明出平分，还可以知道三者关系为：_________； （3）如图2，四边形为对角互补四边形，且满足，则，三者关系为：_________． 模型2.全等模型之60°-120°对角互补型 1）“等边三角形对120°模型”（1） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°， ∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。 又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴。 2）“等边三角形对120°模型”（2） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D， 结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∠AOB+∠MCN＝180°，∴∠DCE=∠MCN＝60° ∴∠DCE-∠MCE=∠MCN-∠MCE，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。 又∵OD-OE＝OM+DM-（NE-ON），∴OD-OE=ON+OM=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴。 例1．（23-24八年级下·湖北咸宁·期中）【问题提出】（1）如图1，在四边形中，，，，连接．试探究、、之间的数量关系． 小明的思路是：他发现和互补，推得，于是想到延长到点，使，连接．从而得到，然后证明，不难得到、、之间的数量关系是______； 【问题变式】（2）如图2，四边形中，，，连接，试探究、、之间的数量关系，并说明理由； 【问题拓展】（3）如图3，四边形中，，，，连接，若，求四边形的面积．（直接写出结果）    模型3.全等模型α—180°-α对角互补型 1）“α对180°-α模型” 条件：四边形ABCD中，AP=BP，∠A+∠B=180°。结论：OP平分∠AOB。 证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°， ∵∠A+∠B=180°，∠OAP+∠PAE=180°，∴∠EAP=∠B。 ∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。 注意：如下图：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三个条件可知二推一。 例1．（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）如图（1）~（3），已知的平分线OM上有一点P，的两边与射线OA、OB交于点C、D，连接CD交OP于点G，设，． (1)如图（1），当时，试猜想PC与PD，与的数量关系（不用说明理由）； (2)如图（2），当，时，（1）中的两个猜想还成立吗？请说明理由． (3)如图（3），当时，你认为（1）中的两个猜想是否仍然成立，若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由． 模型4.相似模型之对角互补模型 1）对角互补相似1 条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点， 结论：如图，过点O作OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，则：①△ODE∼△OHF；② 证明：∵OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，∴∠EDO＝∠FHO＝90°， ∵∠C＝90°，∴四边形OHCD为矩形，∴∠DOH＝90°，DO＝CH ∴∠DOF+∠HOF＝90°， ∵∠EOF＝90°，∴∠DOF+∠DOE＝90°，∴∠HOF＝∠DOE，∴△ODE∼△OHF，∴， ∵∠C＝∠OHD＝90°，点O是AB的中点，∴H为BC中点，∴BH＝CH，∴BH＝DO，∴ ∵∠C＝∠OHD＝90°，∠B＝∠B，∴△OHB∼△ACB，∴，∴ 2）对角互补相似 2 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 结论1：如图1，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；则①△ECG∼△DCF；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；∴∠EGC＝∠DFC＝90°， ∵∠AOB＝90°，∴四边形OGCF为矩形，∴∠GCF＝90°，CF=OG，∴∠FCD+∠DCG＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠GCE+∠DCG＝90°，∴∠GCE＝∠FCD，∴ECG∼△DCF，∴， ∵CF=OG，∴，∵在Rt△COG中，，∴CE＝CD· 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 结论2：如图2，过点C作CF⊥OC，交OB于F；则：①△CFE∼△COD；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OC，∴∠OCF＝90°，∴∠OCE+∠ECF＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠OCE+∠DCO＝90°，∴∠ECF＝∠DCO， ∵∠AOB＝90°，∠OCF＝90°，∴∠COE+∠DOC＝90°，∴∠COE+∠CFO＝90°， ∴∠DOC＝∠CFO，∴CFE∼△COD，∴，∵在Rt△OCF中，，∴CE＝CD·. 3）对角互补相似3 条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°。 结论：如图，过点D作DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分别为E、F；则：①△DAE∼△DCF；②A、B、C、D四点共圆。 证明：∵∠B+∠D=180°，∠A+∠C=180°，∴A、B、C、D四点共圆。 ∵DE⊥BA，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°， ∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAE=180°，∴∠C=∠DAE，∴△DAE∼△DCF； 例1．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题： (1)如图1，正方形中，是上的点，将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，四边形是“直等补”四边形吗？请说明理由； (2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，．点到直线的距离为． ①求的长； ②若、分别是、边上的动点，求周长的最小值． 例2．（23-24九年级上·吉林长春·期中）【问题解决】如图①，在中，点在边上（点不与点重合），点在边上，且．连结并延长至点，使，连结．求证：． 【拓展探究】如图②，在中，，点是边的中点，点在边上，过点作交边于点，连结．若，，则的长为__________． 例3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）探究与实践：“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆． 该小组继续利用上述结论进行探究． 【提出问题】如图， 在线段同侧有两点，，连接，，，， 如果，那么，，，四点在同一个圆上． 【探究展示】如图，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与， 重合），连接，， 则（依据） ∵， ∴， ∴点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） ∴点， 都在点，，所确定的上（依据） ∴点，，，四点在同一个圆上； 【反思归纳】 圆内接四边形对角互补； 对角互补的四边形四个顶点共圆； 过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆； 同圆中，同弧所对的圆周角相等； （）上述探究过程中的“依据”、“依据”分别是指什么？依据： ；依据： ．（从框内选一个选项，直接填序号） （） 如图，在四边形中，，，则的度数为 ； 【拓展探究】 （）如图4， 已知 是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于， 连接，． 求证：，，，四点共圆； 若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 一、解答题 1．（23-24九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在四边形中，，，平分． (1)如图，若，，则 ； (2)问题解决：如图，求证：； (3)问题拓展：如图，在等腰中，，平分，求证：． 2．（22-23八年级下·四川绵阳·开学考试）在四边形中，是钝角，，对角线平分． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，当时，请判断、与之间的数量关系？并加以证明． 3．（2023·河南信阳·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F． （1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则＝　 　； （2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则＝　 　（用含m，n的代数式表示）； ②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明； （3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长． 4．（24-25八年级上·福建泉州·期中）（1）如图①，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：______； （2）如图②，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立?若成立，请写出证明过程； （3）在四边形中，，，E、F分别是边、所在直线上的点，且，请画出图形（除图②外），并求证线段，，之间的数量关系． 5．（24-25九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）问题：如图，点、分别在正方形的边，上，，试判断、、之间的数量关系． (1)【发现】、、之间的数量关系为_______． (2)【类比引申】 如图，四边形中，，，，点、分别在边、上，则当与满足_______关系时，仍有中的结论，请证明． (3)【探究应用】 如图，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形，已知米，，，，道路 、上分别有景点型、，且与垂直，米，现要在 、之间修一条笔直的道路，求这条道路的长．（结果取整数，参考数据：，） 6．（2024·江苏淮安·一模）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，我们做以下探究． 在中，，，是边上一点，且(为正整数），、分别是边和边上的点，连接，且． 【初步感知】（）如图，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程． 【深入探究】（）如图，当，试探究线段，，之间的数量关系，请写出结论并证明； 请通过类比、归纳、猜想，探究出线段，，之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）． 【拓展运用】（）如图，点为靠近的四等分点，连接，设的中点为，若，求点从点运动到点的过程中，请直接写出点运动的路径长． 7．（2024·四川成都·二模）如图，在矩形中，（n为正整数），点E是边上一动点，P为中点，连接，将射线绕点P按逆时针方向旋转，与矩形的边交于点F． 【尝试初探】（1）在点E的运动过程中，当点F在边上时，试探究线段，之间的数量关系，请写出结论并证明； 【深入探究】（2）若，在点E的运动过程中，当点F在边上时，求的最小值； 【拓展运用】（3）若，设的中点为M，求点E从点B运动到点C的过程中，点M运动的路程（用含n的代数式表示）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$