2025届中考复习专题13：几何选填压轴之一题多解与一题多变

2025届中考复习 2025届中考复习专题13：几何选填压轴之一题多解与题多变(1) 一、瓜豆最值问题的3类处理策略 2 【变式1】直线型瓜豆最值 2 【变式2】圆弧型瓜豆最值问题 3 【变式3】路径问题 3 【变式4】瓜豆+将军饮马 4 【变式5】瓜豆+胡不归 4 二、加权线段和最值问题·7种解法 6 【变式1】阿氏圆问题（3类） 6 【变式2】加权费马点问题 7 【变式3】胡不归问题(3类) 8 【变式4】加权逆等线问题 8 【变式5】瓜豆加权线段和问题 9 【变式6】2024·四川泸州·中考真题 10 【变式7】2024·四川凉山·中考真题 10 三、相似构造·一题10解 10 【变式1】2024深圳坪山区中考一模 11 【变式2】2023武汉中考几何压轴 11 【变式3】2024深圳南山区部分学校中考一模压轴 12 【变式4】2025成都青白江区统考B卷压轴 12 四、结合相似求比值·一题5解 13 【变式1】四川省遂宁市九年级填空压轴 13 【变式2】线段比转化为相似比 13 【变式3】求线段比 14 五、旋转六法构造手拉手共8种解法 15 【变式1】2022深圳中考填空压轴 15 【变式2】2024-2025学年深圳市九年级二十校联考压轴 15 【变式3】湖北襄阳·中考真题 16 【变式4】2020武汉市中考几何压轴 16 六、1234模型，45°与线段比构造相似·一题6解 16 【变式1】12345模型 17 【变式2】线段比构造相似 18 【变式3】利用特殊角度解三角形 18 一、瓜豆最值问题的3类处理策略 如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为　　． 【变式1】直线型瓜豆最值 【练1-1】如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为底向右侧作等腰直角△EFG，连接CG，则CG的最小值为　　　　． 【练1-1】如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,P是对角线AC上的动点,连接DP,将直线DP绕点P顺时针旋转,使∠1=∠2,且过点D作DG⊥PG,连接CG.则CG最小值为 【变式2】圆弧型瓜豆最值问题 【练2-1】如图，，为的中点，的半径为1，点是上一动点，以为直角边的等腰直角三角形（点、、按逆时针方向排列），则线段的长的取值范围为　　　　． 【练2-2】如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝，将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，连接AD，则AD的最大值是_________． D A B C 【变式3】路径问题 【练3-1】如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，动点E从点A运动到点D，以CE为边在CE的右侧构造正方形CEFG，连接AF，则AF的最小值为_________，点F运动的路径长为_________． F D A G C E B 【练3-2】如图，在正方形中，，点E在边上，且，点P为边上的动点，连接，过点E作，交射线于点F，则 ．若点M是线段的中点，则当点P从点A运动到点B时，点M运动的路径长为 ．    【变式4】瓜豆+将军饮马 【练4-1】如图1，对于平面内的点A、P，如果将线段绕点P逆时针旋转得到线段，就称点B是点A关于点P的“放垂点”．如图2，已知点，点P是y轴上一点，点B是点A关于点P的“放垂点”，连接、，则的最小值是（    ）    A．4 B． C．8 D． 【练4-2】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝9，M为BC上一点，连接MA，将线段MA绕点M顺时针90°得到线段MN，连接CN、DN，则CN+DN的最小值为 ． 【变式5】瓜豆+胡不归 【练5-1】如图,在平面直角坐标系中,点的坐标是(0,2),点的坐标是(0,-2).点是轴上的动点,点在轴上移动时,始终保持是等边三角形(点不在第二象限),连接,求得的最小值为（ ） A. B.4 C. D. 【练5-2】综合与实践课上，徐老师和同学们开展了一场以“最值”为主题的探究活动． 【提出问题】徐老师提出了一个问题：如图1，在矩形中，，，P为边上的一动点，以为边向右作等边，连接，如何求的最小值？ 【探究发现】小亮发现：如图4所示，以为边向下构造一个等边，便可得到，进而将的最小值转化为的最小值的问题． （1）按照小明的想法，求证：；并求出的最小值． 【拓展应用】 （2）小刚受此启发，举一反三，提出新问题：如图2，若将图1当中构造的等边三角形，改为以为边向右构造正方形，在运动过程中，求出的最小值． （3）小红同学深入研究了小刚的问题，并又提出了新的问题：如图3，若将图2当中构造的正方形改为以为边向右构造菱形，使，请求得的最小值；再请你直接写出的最小值________. （4）第二天徐老师对同学们说：我看到了大家在解决复杂问题时所展现出来的创造力和逻辑思维能力，这正是我们学习数学的意义所在，并又提出了新的问题：求的最大值. 二、加权线段和最值问题·7种解法 如图，在菱形ABCD中，∠BAD = 120°，AB = 6，连接BD ． (1)求BD的长； (2)点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合）， 点F在边AD上，且BE=DF，当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+CF的值是否也最小？如果是，求CE+CF的最小值；如果不是，请说明理由． 【变式1】阿氏圆问题（3类） 【练1-1】如图，在中，，，，圆的半径为2，点为圆上一动点，连接，． 求①；②；③；④的最小值． 【练1-2】如图，在中，点A、点在上，，，点在上，且，点是的中点，点是劣弧上的动点，则的最小值为 ． 【变式2】加权费马点问题 【练2-1】在等边三角形ABC中，边长为4，P为三角形ABC内部一点，求的最小值 【练2-2】如图，在△ABC中，，，，在△ABC内部有一点P，连接，则（1）的最小值为________；（2）的最小值为________ 【变式3】胡不归问题(3类) 【练3-1】如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4．过点B作于点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为 ．    【练3-2】如图，二次函数与x轴交于点A，B，对称轴为直线l，顶点C到x轴的距离为．点P为直线l上一动点，另一点从C出发，先以每秒2个单位长度的速度沿运动到点P，再以每秒1个单位长度的速度沿运动到点A停止，则时间最短为 秒． 【练3-3】如图，在长方形中，，，点在上，连接，在点的运动过程中，的最小值为 ．    【变式4】加权逆等线问题 【练4-1】如图，在中，，，．D，E分别是边，上的动点，且，则的最小值为 ． 【练4-2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．若点D，E分别是线段，上的动点，且，求的最小值．    【变式5】瓜豆加权线段和问题 【练5-1】（原创题）已知点，点B是直线y＝－2上一个动点，将线段绕点B逆时针旋转90°得到线段BC. （1）求OC的最小值； （2）求的最小值； （3）记，①求的最小值；②求的最小值 【练5-2】如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝，点E为边AD上一动点，以CE为边向右作直角三角形CEF，使∠CEF＝90°，∠CFE＝30°，连接BE，BF，求BE＋的最小值． A D B C E F 【变式6】2024·四川泸州·中考真题 【练6-1】如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（    ）    A．4 B．5 C．8 D．10 【变式7】2024·四川凉山·中考真题 【练7-1】如图，在菱形中，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点．连接．    (1)求证：；(2)求的最小值． 三、相似构造·一题10解 如图，在菱形中，，点E是上一点，连接，将绕点E顺时针旋转至，连接与交于点G，若，则 ．    【变式1】2024深圳坪山区中考一模 【练1-1】如图，E是菱形边BC上一点，，把绕点E顺时针旋转 得到交于点G，，则 ． 【变式2】2023武汉中考几何压轴 【练2-1】问题提出：如图（1），是菱形边上一点，是等腰三角形，，交于点，探究与的数量关系．      问题探究： (1)先将问题特殊化，如图（2），当时，直接写出的大小； (2)再探究一般情形，如图（1），求与的数量关系． 问题拓展： (3)将图（1）特殊化，如图（3），当时，若，求的值． 【变式3】2024深圳南山区部分学校中考一模压轴 【练3-1】“转化”是解决数学问题的重要思想方法，通过构造图形全等或者相似建立数量关系是处理问题的重要手段． （1）【问题情景】：如图（1），正方形中，点是线段上一点（不与点、重合），连接．将绕点顺时针旋转90°得到，连接，求的度数． 以下是两名同学通过不同的方法构造全等三角形来解决问题的思路， ①小聪：过点作的延长线的垂线； ②小明：在上截取，使得； 请你选择其中一名同学的解题思路，写出完整的解答过程． （2）【类比探究】：如图（2）点是菱形边上一点（不与点、重合），，将绕点顺时针旋转得到，使得（），则的度数为______（用含的代数式表示） （3）【学以致用】：如图（3），在（2）的条件下，连结，与相交于点，当时，若，求的值． 【变式4】2025成都青白江区统考B卷压轴 【练4-1】如图，在菱形中，，是边上一点，在的右侧作，且，连接，连接交于点．若为边的三等分点，则的长为 ． 四、结合相似求比值·一题5解 如图，在中，，，D为上一点，且满足，过D作交延长线于点E，则 ． 【变式1】四川省遂宁市九年级填空压轴 【练1-1】如图，在中，，，为上一点，若满足，过作交延长线于点，则= ． 【变式2】线段比转化为相似比 【练2-1】如图，在中，，，点在上，且轴平分角，求 . 【练2-2】如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，，则 ． 【练2-3】在锐角中，分别为的中线和角平分线，，且，则 ． 【变式3】求线段比 【练3-1】（深圳中考）如图，在中，，，点D为上一动点，连接，将沿翻折得到，交于点G，，且，则 ．    【练3-2】（深圳中考）如图，已知四边形ABCD，AC与BD相交于点O，∠ABC=∠DAC=90°，，则= ． 五、旋转六法构造手拉手共8种解法 已知：如图，在四边形中，，，，连接、，若，，则的长为 ． 【变式1】2022深圳中考填空压轴 【练1-1】已知是直角三角形，连接以为底作直角三角形且是边上的一点，连接和且则长为 ．    【变式2】2024-2025学年深圳市九年级二十校联考压轴 【练2-1】如图，四边形中， ，若 ，则的长为 ． 【变式3】湖北襄阳·中考真题 【练3-1】如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点，点在上，，与交于点，连接，若，，则 ． 【变式4】2020武汉市中考几何压轴 【练4-1】如图，是内一点，，，，，则的长为 ． 六、1234模型，45°与线段比构造相似·一题6解 如图，在等腰Rt△ABC中，∠B=90°，BA=BC，D为BC上一点，且，为AD上点，连接CE，∠CED=45°，，则的长________. 【变式1】12345模型 【练1-1】在中，，平分，平分，相交于点，且，则 ． 【练1-2】（广东省中考）如图，已知正方形 ABCD 的边长为 6，E 为 BC 的中点，将△ABE沿直线 AE 折叠后，点 B 落在点F 处，AF 交对角线 BD 于点 G，则 FG 的长是________． 【练1-3】如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（    ）    A． B． C． D．4 【变式2】线段比构造相似 【练2-1】如图，点，点分别在菱形的边，上，且，交于点，延长交的延长线于，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【练2-2】如图，菱形的边长为4，、分别是、上的点，连接、、，与相交于点，若，，则的值为 ．    【变式3】利用特殊角度解三角形 【练3-1】如图，在中，，，，为中点，为上一点，连接、交于点，若，则的长为 【练3-2】（2024·四川达州·中考真题）如图，在中，．点在线段上，．若，，则的面积是 ． 【练3-3】如图，的半径为1，四边形内接于，是的直径，若，，则 ．    【练3-4】（2024·广东深圳·模拟预测）在中，，点E为边上的中点，连接，已知点F为的中点，连接并延长，交于点D．若，则的值为 ． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2025届中考复习 2025届中考复习专题18：几何选填压轴之一题多解与题多变(1) 一、瓜豆最值问题的3类处理策略 3 【变式1】直线型瓜豆最值 5 【变式2】圆弧型瓜豆最值问题 7 【变式3】路径问题 9 【变式4】瓜豆+将军饮马 12 【变式5】瓜豆+胡不归 14 二、加权线段和最值问题·7种解法 19 【变式1】阿氏圆问题（3类） 24 【变式2】加权费马点问题 25 【变式3】胡不归问题(3类) 29 【变式4】加权逆等线问题 32 【变式5】瓜豆加权线段和问题 35 【变式6】2024·四川泸州·中考真题 38 【变式7】2024·四川凉山·中考真题 39 三、相似构造·一题10解 41 【变式1】2024深圳坪山区中考一模 46 【变式2】2023武汉中考几何压轴 48 【变式3】2024深圳南山区部分学校中考一模压轴 51 【变式4】2025成都青白江区统考B卷压轴 54 四、结合相似求比值·一题5解 56 【变式1】四川省遂宁市九年级填空压轴 59 【变式2】线段比转化为相似比 60 【变式3】求线段比 64 五、旋转六法构造手拉手共8种解法 67 【变式1】2022深圳中考填空压轴 71 【变式2】2024-2025学年深圳市九年级二十校联考压轴 72 【变式3】湖北襄阳·中考真题 75 【变式4】2020武汉市中考几何压轴 77 六、1234模型，45°与线段比构造相似·一题6解 78 【变式1】12345模型 80 【变式2】线段比构造相似 83 【变式3】利用特殊角度解三角形 85 一、瓜豆最值问题的3类处理策略 如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为　　． 【分析】 策略一：找始末，定轨迹 我们分别以BE，AE为边，按题目要求构造等边三角形得到G1与G2，连接G1与G2得到点G的轨迹，再作垂线CH得到最小值. 前面提到过从动点轨迹和主动点轨迹的夹角与旋转角有关，我们可以调用这个结论，得到∠AMG1＝60°， 进一步得到△MBG1为等腰三角形后，求CH就不难了，可得 策略二：在点F轨迹上找一点进行旋转，解出从动点轨迹 我们分别对A，B顺时针旋转60°，构造手拉手模型，再通过角度相等得到从动点轨迹， 对A点旋转会得到一个正切值为的角，即，然后进一步算出最值 或 【简证】,则 对B点旋转得到∠EMG＝∠FBE＝90°，相对来说要容易一些.  策略三：反向旋转相关定点，构造手拉手模型，代换所求线段. 讲点C逆时针旋转60°，得到点H，易证△CGE≌△HFE，则有CG＝HF，作MH⊥AB于M，HM即为所求．相比之下，先求轨迹后再求垂线段时，比较麻烦，而反向旋转代换所求线段感觉清爽很多.  【变式1】直线型瓜豆最值 【练1-1】如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为底向右侧作等腰直角△EFG，连接CG，则CG的最小值为　　　　． 【简析】策略一：反向构造＋伸缩 如图从主动点F到从动点G可以理解为，将线段FE绕定点E顺时针旋转了45°再缩短为原来的，反向构造则需要把CE绕点E逆时针旋转45°，再扩大变为原来的倍，得到EH，显然△ECH为等腰直角三角形，进一步得到，相似比为，所以． 策略二：求轨迹——以BE为底向上作等腰Rt△BHE，易得G点轨迹所在直线为BD，故CG最小值为 【练1-1】如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,P是对角线AC上的动点,连接DP,将直线DP绕点P顺时针旋转,使∠1=∠2,且过点D作DG⊥PG,连接CG.则CG最小值为 【答案】 【分析】策略一：得到G点轨迹直线后，画出起点G1和终点G2 策略2：旋转相似: 【变式2】圆弧型瓜豆最值问题 【练2-1】如图，，为的中点，的半径为1，点是上一动点，以为直角边的等腰直角三角形（点、、按逆时针方向排列），则线段的长的取值范围为　　　　． 【答案】 【解答】解： 【法一：解出C点轨迹】 如图，作，在上截取，连接、、、． ，，，， 是等腰直角三角形，，， ，，，， ，点的运动轨迹是以点为圆心，为半径的圆，， 的最大值为，的最小值，． 【法二：反向构造手拉手】 【简析】易知，，故 【练2-2】如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝，将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，连接AD，则AD的最大值是_________． D A B C 【答案】 【分析】旋转的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理． 思路：定点为B，A、D两点旋转相似中的定位是一样的，BD是斜边，则构造以AB为斜边的等腰直角三角形， 思路2：将AB绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接BD，BE，DE，证△EBD∽△ABC， 可得DE＝＝，由AD≤AE＋DE，可得AD的最大值． 总结：熟悉模型，补全结构 【解析】法一：如图，构造等腰直角三角形ABE，由旋转相似可知， 而，故 法二：将AB绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接BD，BE，DE． E D A B C 由题意，△ABE和△BCD都是等腰直角三角形， ∴BE＝，BD＝，∠ABE＝∠CBD＝45°， ∴＝＝，∠EBD＝∠ABC， ∴△EBD∽△ABC，∴＝＝， ∴DE＝＝． ∵AB＝8，AD≤AE＋DE，∴AD的最大值是． 【变式3】路径问题 【练3-1】如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，动点E从点A运动到点D，以CE为边在CE的右侧构造正方形CEFG，连接AF，则AF的最小值为_________，点F运动的路径长为_________． F D A G C E B 【答案】， 【解析】 法一：如图，作等腰直角三角形AGC，易知△ACF∽△GCE，且 而，由12345模型可知,故，则 故AF的最小值为，又因为，故F的路径为点E路径的倍，故F的路径为 法二：延长AD到点P，使DP＝DC，连接FP，过点F作AD的垂线，垂足为H． 注：F D P A G C B 由一线三等角全等模型可知△CDE≌△EHF，(注：也可以用旋转相似来证) ∴EH＝CD＝DP，ED＝FH， ∴ED＝HP，∴FH＝HP，∴∠P＝45°． 当AF⊥FP时AF最小，最小值＝＝( 4＋2 )＝． ∵∠FHP＝90°，FH＝HP，∴FP＝＝． 当动点E从点A运动到点D时，DE的长从AD变化到0， ∴点F运动的路径长为＝． 【练3-2】如图，在正方形中，，点E在边上，且，点P为边上的动点，连接，过点E作，交射线于点F，则 ．若点M是线段的中点，则当点P从点A运动到点B时，点M运动的路径长为 ．    【答案】 【分析】过作交延长线于点，证明，得到即可求解；过作交于点，交于点，证明，得到，故点的运动轨迹是一条平行于的线段，当点与重合时，，当点与重合时，由得到，即，从而求解． 【详解】解：过作交延长线于点    则四边形为矩形， ∴ 由题意可得： ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 过作交于点，交于点，如下图    ∵， ∴ 在和中 ∴ ∴， 故点的运动轨迹是一条平行于的线段， 当点与重合时， 当点与重合时，， ∴ ∵ ∴ ∴，即 解得 ∵、分别为、的中点 ∴是的中位线 ∴，即点运动的路径长为 【变式4】瓜豆+将军饮马 【练4-1】如图1，对于平面内的点A、P，如果将线段绕点P逆时针旋转得到线段，就称点B是点A关于点P的“放垂点”．如图2，已知点，点P是y轴上一点，点B是点A关于点P的“放垂点”，连接、，则的最小值是（    ）    A．4 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】在y轴的正半轴上截取，使得，连接、，首先证明，点B在直线上运动，作点O关于直线的对称点E，连接交于点T，当点B与T重合时，的值最小，再利用勾股定理进行求值即可． 【详解】解：如图，在y轴的正半轴上截取，使得，连接、，且的延长线与x轴交于点M， ∴、是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴, ∴点B在直线上运动， 作点O关于直线的对称点E，与交于点F，连接、连接交于点T， 当点B与T重合时，的值最小， ∵,， ∴， 根据对称得：，，， ∴， ∴、 ∵， ∴， ∴的最小值为：， 故选：B．    【练4-2】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝9，M为BC上一点，连接MA，将线段MA绕点M顺时针90°得到线段MN，连接CN、DN，则CN+DN的最小值为 ． 【答案】 【分析】在BC上取一点H，使得BH＝BA，连接AH，HN．证明∠HTC＝45°，推出点N的运动轨迹是射线HN，设射线HN交CD的延长线于T，作点D关于NH的对称点J，连接CJ交HT于O，连接OD．当点N与O重合时，OC+OD＝OC+OJ＝CJ，此时CN+DN的值最小． 【详解】在BC上取一点H，使得BH＝BA，连接AH，HN． ∵△ABH，△AMN都是等腰直角三角形， ∴AH＝AB，AN＝AM，∠BAH＝∠MAN＝45°， ∴＝，∠BAM＝∠HAN， ∴△BAM∽△HAN， ∴∠AHN＝∠B＝90°， ∵∠AHB＝45°， ∴∠NHC＝45°， ∴点N的运动轨迹是射线HN，设射线HN交CD的延长线于T，作点D关于NH的对称点J，连接CJ交HT于O，连接OD． 当点N与O重合时，OC+OD＝OC+OJ＝CJ，此时CN+DN的值最小， ∵AB＝CD＝4，BH＝4，BC＝9， ∴CH＝CT＝5，DT＝TJ＝1， ∵∠CTH＝∠HTJ＝45°， ∴∠CTJ＝90°，∴CJ＝＝＝ 【变式5】瓜豆+胡不归 【练5-1】如图,在平面直角坐标系中,点的坐标是(0,2),点的坐标是(0,-2).点是轴上的动点,点在轴上移动时,始终保持是等边三角形(点不在第二象限),连接,求得的最小值为（ ） A. B.4 C. D. 【解析】以为边作等边三角形,易证如图所示,;将射线绕点顺时针转,过、分别做该射线的垂线,垂足为、；的最小值为 【练5-2】综合与实践课上，徐老师和同学们开展了一场以“最值”为主题的探究活动． 【提出问题】徐老师提出了一个问题：如图1，在矩形中，，，P为边上的一动点，以为边向右作等边，连接，如何求的最小值？ 【探究发现】小亮发现：如图4所示，以为边向下构造一个等边，便可得到，进而将的最小值转化为的最小值的问题． （1）按照小明的想法，求证：；并求出的最小值． 【拓展应用】 （2）小刚受此启发，举一反三，提出新问题：如图2，若将图1当中构造的等边三角形，改为以为边向右构造正方形，在运动过程中，求出的最小值． （3）小红同学深入研究了小刚的问题，并又提出了新的问题：如图3，若将图2当中构造的正方形改为以为边向右构造菱形，使，请求得的最小值；再请你直接写出的最小值________. （4）第二天徐老师对同学们说：我看到了大家在解决复杂问题时所展现出来的创造力和逻辑思维能力，这正是我们学习数学的意义所在，并又提出了新的问题：求的最大值. 【答案】（1）见解析，；（2）；（3） 【详解】解：（1）如图，过点M作于K，交于L， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中，， ∴ ∴当最小时，最小， ∵M为定点， ∴当时，即点P与点K重合时，最小， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值为； （2）如图，以为边向下作正方形，连接交于点O，连接，过点O作于，交于T， ∵四边形是正方形， ∴，，，是等腰直角三角形， ∴，即， ∵，∴，∴，当BG取得最小值时，最小， ∵点O为定点，∴当时，即点P与点重合时，最小， ∵，∴，即，∴， ∵，∴四边形是矩形， ∴，∴，∴的最小值为12， ∴的最小值为， （3）①如图，连接交于O，在下方作射线、射线，使，射线、射线交于点Q，过点Q作于，交于K，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，，，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当取得最小值时，最小， ∵点Q为定点， ∴当，即点P与点重合时，最小， 由（2）知：，∴，∴的最小值． ②【简证】如图，易知,，故 （4）由（3）可知，将射线AD绕点A顺时针旋转30°得到直线，再过点作，则有，故，过E作，则有，即，故当重合时取到最小值，作，则四边形为矩形，故 二、加权线段和最值问题·7种解法 如图，在菱形ABCD中，∠BAD = 120°，AB = 6，连接BD ． (1)求BD的长； (2)点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合）， 点F在边AD上，且BE=DF，当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+CF的值是否也最小？如果是，求CE+CF的最小值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)；(2)最小值为12 【分析】（1）证明△ABC是等边三角形，可得BO= ，即可求解； （2）过点E作AD的垂线，分别交AD和BC于点M，N， 根据菱形的面积可求出MN=，设BE=，则EN=，从而得到EM=MN-EN=，再由BE=DF，可得DF=，从而得到四边形ABEF的面积s= S△ABD - S△DEF ，作CH⊥AD于H，可得当点E和F分别到达点O和点H位置时，CF和CE分别达到最小值；再由，可得当，即BE=时， s达到最小值，从而得到此时点E恰好在点O的位置，而点F也恰好在点H位置，即可求解． 【详解】（1）解∶连接AC，设AC与BD的交点为O，如图， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD ， OA=OC，AB∥CD，AC平分∠DAB， ∵∠BAD = 120°， ∴∠CAB=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴BO=AB▪sin60°==， ∴BD=2BO=； （2）解：如图，过点E作AD的垂线，分别交AD和BC于点M，N， ∵△ABC是等边三角形， ∴AC=AB=6， 由（1）得：BD=； 菱形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，AB∥CD，BC=AB=6， ∴MN⊥BC， ∵∠BAD=120°， ∴∠ABC=60°， ∴∠EBN=30°； ∴EN=BE ∵， ∴MN=， 设BE=，则EN=， ∴EM=MN-EN=， ∵S菱形ABCD= AD▪MN=， ∴S△ABD= S菱形ABCD=， ∵BE=DF， ∴DF=， ∴S△DEF=DF ▪EM= =， 记四边形ABEF的面积为s， ∴s= S△ABD - S△DEF =-（）， ∵点E在BD上，且不在端点，∴0<BE<BD，即； 作CH⊥AD于H，如图， ∵CO⊥BD，CH⊥AD，而点E和F分别在BD和AD上， ∴当点E和F分别到达点O和点H位置时，CF和CE分别达到最小值； 在菱形ABCD中，AB∥CD，AD=CD，∵∠BAD=120°，∴∠ADC=60°， ∴△ACD是等边三角形，∴AH=DH=3，∴CH=， ∵，∴当，即BE=时， s达到最小值， ∵BE=DF，∴DF=3，此时点E恰好在点O的位置，而点F也恰好在点H位置， ∴当四边形ABEF面积取得最小值时，CE和CF也恰好同时达到最小值， ∴CE+CF的值达到最小，其最小值为CO+CH==12． 【其它几何构造方法】 法2：核心是处理，刚好有，还有CE和CF两个动点需要拼一起，所以考虑把△CDF放大倍后拼到BE处 过B作CE＋＝CE 法3：过D作DG⊥CD，取△DGF∽△BCE 则 法4：先把DF放大倍，再把△CBE拼过来，延长CD到G使CG＝BD，作GH∥AD交CF于H，作GO⊥CG且，下略 法5：CE对称转化为AE，过B作BI⊥AB，BI＝BD＝AB⇒△CDF∽△IBE 由于对称性，CE＝AE，所以拼在上面也可以~这个算凑数吧 法6：先把DF放大倍，再把△CBE拼过来 延长DC到G使作交AD于H 作DO⊥DC，且DO＝AB＝6⇒△CDF∽△GDH， ⇒△DOH≌△BCE，CE＝OH 则有 法7：先把BE缩小放大倍到IH，再把△CDF拼过来 在BC上取，过H作HI∥BD交CE于I，作HG⊥BC，则HG＝AB⇒△CIH∽△CEB，BE＝HI，HI＝DF⇒△CDF≌△GHI⇒CF＝GH 故 【变式1】阿氏圆问题（3类） 【练1-1】如图，在中，，，，圆的半径为2，点为圆上一动点，连接，． 求①；②；③；④的最小值． 【解答】解：①取的中点，连结，， ，，，， ，，，， ，当在上时，最小， 最小值为的长，，的最小值为， ②，的最小值为， ③在取一点，使 ，， ，，，， ，当在上，， ，的最小值为， ④，的最小值为． 【练1-2】如图，在中，点A、点在上，，，点在上，且，点是的中点，点是劣弧上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】延长到，使得，连接，，利用相似三角形的性质证明，求的最小值问题转化为求的最小值．求出即可判断． 【详解】解：延长到，使得，连接，． ，，， ， ，，，， ，， 又在中，，，， ， ，的最小值为 【变式2】加权费马点问题 【练2-1】在等边三角形ABC中，边长为4，P为三角形ABC内部一点，求的最小值 【简析】本题有2种解题策略，旋转特殊角和旋转放缩 【策略一：旋转特殊角】如图1，△APC绕点C逆时针旋转90°，易知P’P＝PC， A’B即为所求 方法一：如图2，B，P，P’，A’共线时取最小，此时∠BPC＝∠APC＝135°，易知BP＝A’P’＝2， PC＝CH－PH＝，∴PP’＝，PB＋PP’＋A’P’＝ 方法二：作AH⊥BC于H，易知∠A’CH＝30°，∴AH＝2，CH＝，由勾股可得A’B＝ 【策略二：旋转放缩】可按如下方法去旋转放缩（方法不唯一） 如图4，将三角形BPC绕点B旋转45°，再扩大为原来的倍，得到 则 补充：也可以按图5方式旋转 【练2-2】如图，在△ABC中，，，，在△ABC内部有一点P，连接，则（1）的最小值为________；（2）的最小值为________ 【简答】（1）将最小系数提到括号外，得到 中间大小系数为，故放大倍数为倍，最大系数在PC前面，故以点C为旋转中心，旋转△PBC． 如图1，将△PBC绕点C逆时针旋转90°，并放大为倍，，． ． （2）将最小系数提到括号外，得到， 如图2，将△APB绕点C逆时针旋转90°，并放大为倍，，． 【变式3】胡不归问题(3类) 【练3-1】如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4．过点B作于点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为 ．    【答案】6 【分析】过点P作，连接并延长交于点F，连接，根据等边三角形的性质和圆内接三角形的性质得到，，然后利用含角直角三角形的性质得到，进而求出，然后利用代入求解即可． 【详解】如图所示，过点P作，连接并延长交于点F，连接    ∵是等边三角形， ∴ ∵是等边三角形的外接圆，其半径为4 ∴，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴的最小值为的长度 ∵是等边三角形，， ∴ ∴的最小值为6 【练3-2】如图，二次函数与x轴交于点A，B，对称轴为直线l，顶点C到x轴的距离为．点P为直线l上一动点，另一点从C出发，先以每秒2个单位长度的速度沿运动到点P，再以每秒1个单位长度的速度沿运动到点A停止，则时间最短为 秒． 【答案】 【分析】如图，连接，作于点D，与交点即为符合题意的点P，可得，利用角所对的直角边等于斜边的一半得到动点运动的时间为解题即可． 【详解】如图，连接，作于点D，与交点即为符合题意的点P， 令，则， 解得或， ∴A，B两点坐标为，， ∴， ∵A，B两点关于对称， ∴， ∵顶点C到x轴的距离为， ∴ ∴， ∵都是的高， ∴， 由题意得动点运动的时间为， ∵是等边三角形，， ∴， ∵作， ∴， ∴， 显然在l上另取一点，连接， ∵， ∴当时，运动时间最短为， 故答案为：． 【练3-3】如图，在长方形中，，，点在上，连接，在点的运动过程中，的最小值为 ．    【答案】 【分析】在线段下方作，过点作于点，连接，求出此时的的长度便可． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， 在线段下方作，过点作于点，连接，      ∴， ∴， 当、、三点共线时，的值最小， 此时， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为：， ∴的最小值为 【变式4】加权逆等线问题 【练4-1】如图，在中，，，．D，E分别是边，上的动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】过作于，使，连接、，即可得到，，即最小值为的长． 【详解】方法一：过作于，使，连接、， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴当三点共线时有最小值，最小值为的长 ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴的最小值为 方法二：，则，， ∴， 设， ∴ ∴可以看成点到点和的距离之和， ∴当、、三点共线时最小，最小值 【练4-2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．若点D，E分别是线段，上的动点，且，求的最小值．    【答案】． 【分析】作，证明且相似比为，故当、、共线时，为最小，进而求解． 【详解】解：作，    设， ， 且相似比为， 则， 故当、、共线时，为最小， 在中，设边上的高为， 则， 即，解得：， 则，则， 过点作轴于点，则，即点的纵坐标为：， 同理可得，点的横坐标为：，即点， 由点、的坐标得，， 即的最小值为． 【变式5】瓜豆加权线段和问题 【练5-1】（原创题）已知点，点B是直线y＝－2上一个动点，将线段绕点B逆时针旋转90°得到线段BC. （1）求OC的最小值； （2）求的最小值； （3）记，①求的最小值；②求的最小值 【第（1）问简析】 角度1：反向旋转构造手拉手（不用求从动点轨迹，直接转换为垂线段最短） 如图，构造等腰直角△AOE，由旋转相似可知 角度2：构造手拉手求从动点轨迹（略，可参考第（2）问） 【第（2）问简析】，求出C点轨迹，再将军饮马，如图，在B点轨迹上取一点，构造旋转相似，易知，可知C点轨迹为，作，，补充：此时加权线段和对应三边之比 【第（3）问简析】①由旋转相似可知，则 ②，补充：此时加权线段和对应相似比 【练5-2】如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝，点E为边AD上一动点，以CE为边向右作直角三角形CEF，使∠CEF＝90°，∠CFE＝30°，连接BE，BF，求BE＋的最小值． A D B C E F 【答案】 【解析】解：以BC为斜边向下作Rt△BCG，使∠CBG＝30°，连接EG． A D B C H G E F G′ 则CG＝＝，△BGC∽△FEC，∴△EGC∽△FBC， ∴＝＝，∴EG＝． 作点G关于AD的对称点G'，连接G'G交BC于点H，连接G'B，G'E． 则G'G⊥BC，CH＝＝，GH＝， BH＝，G'H＝， ∴BG'＝＝， ∴BE＋＝BE＋EG＝BE＋EG'≥BG'＝， ∴BE＋的最小值为． 【变式6】2024·四川泸州·中考真题 【练6-1】如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（    ）    A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理等等，先证明得到，进而得到，则由直角三角形的性质可得，如图所示，在延长线上截取，连接，易证明，则，可得当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，求出，在中，由勾股定理得，责任的最小值为5． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴； 如图所示，在延长线上截取，连接，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为5， 【变式7】2024·四川凉山·中考真题 【练7-1】如图，在菱形中，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点．连接．    (1)求证：；(2)求的最小值． 【答案】(1)见详解；(2) 【分析】（1）根据菱形的性质证明，再结合是的垂直平分线，即可证明； （2）过点N作于点F，连接，，则，故，此时，在中，进行解直角三角形即可． 【详解】（1）证明：连接，    ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴； （2）解：过点N作于点F，连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， 当点A、N、F三点共线时，取得最小值，如图：      即， ∴在中，， ∴的最小值为． 三、相似构造·一题10解 如图，在菱形中，，点E是上一点，连接，将绕点E顺时针旋转至，连接与交于点G，若，则 ．    【答案】 解法1:构造手拉手+8字相似，设DG=1，则AD=5，， 则，故，故 解法2：一线三等角+等边三角形 解法3：作2条平行线构造出等腰+相似： 易知，，，故，即. 解法4：一线三等角，易知“红”+“蓝”=30° 解法5：构造手拉手相似 解法6：一线三等角+平行相似 导角可知∠FCH=90°，∠HCK=∠CKF=120°，由5GH=HF可知 解法7：构造2组手拉手相似+8字相似 过点D作CF平行线，则∠ADM=30°，下略 解法8简析：8字相似+子母相似 ，由，可得，下略 解法9简析：作垂直+导边+勾股 设，则，AD=10，设NE为，则，，下略 解法10简析：作垂直+导边+勾股 设，则，即MG=2，，， 设BN=x，则，下略 解法11简析：易知，，，，下略 解法12简析：求出即可 解法13简析：2组相似，,解出相关线段长即可 【解法10-详解】解：延长，交延长线于，在上截取，连接，，过于，    ∵四边形是菱形，， ∴，， 则，， ∴， ∴，即：， 设菱形的边长，， 则，， 由旋转可知：，， ∴， 又∵，则， ∴， 又∵，则， ∴， ∴， ∴，， ∴，∵，则， ∴，则， ∵，，∴，则， ∵，，∴，则， 则，又∵，∴， ∴，即，∵， ，在中，，则，即：， 整理得：，即：，亦即，则，（舍去） ∴，∵，，∴ 【变式1】2024深圳坪山区中考一模 【练1-1】如图，E是菱形边BC上一点，，把绕点E顺时针旋转 得到交于点G，，则 ． 【答案】 【分析】根据两边对应成比例，且夹角相等两三角形相似证明．连结交于，过作的平行线交于．连接．等腰三角形中，顶角，底角，得到，证明，得到，再证中，，，证明，理由相似三角形的对应边成比例，列式代入数值进行计算，即可作答． 【详解】证明： ，， ， ， ∴． 连结交于，过作的平行线交于．连接 菱形中，，， ， ，互相垂直平分， ， ， ． ， ． ， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 即 ， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴∴解得 【变式2】2023武汉中考几何压轴 【练2-1】问题提出：如图（1），是菱形边上一点，是等腰三角形，，交于点，探究与的数量关系．      问题探究： (1)先将问题特殊化，如图（2），当时，直接写出的大小； (2)再探究一般情形，如图（1），求与的数量关系． 问题拓展： (3)将图（1）特殊化，如图（3），当时，若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）延长过点F作，证明即可得出结论． （2）在上截取，使，连接，证明，通过边和角的关系即可证明． （3）过点A作的垂线交的延长线于点，设菱形的边长为，由（2）知，，通过相似求出，即可解出． 【详解】（1）延长过点F作， ∵， ， ∴， 在和中 ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴．      故答案为：． （2）解：在上截取，使，连接． ， ， ． ， ． ． ， ． ．    （3）解：过点作的垂线交的延长线于点，设菱形的边长为， ． 在中， ， ． ，由（2）知，． ． ， ， ， 在上截取，使，连接，作于点O． 由（2）知，， ∴， ∵， ∴，． ∵， ∴， ∵， ∴． ．    【变式3】2024深圳南山区部分学校中考一模压轴 【练3-1】“转化”是解决数学问题的重要思想方法，通过构造图形全等或者相似建立数量关系是处理问题的重要手段． （1）【问题情景】：如图（1），正方形中，点是线段上一点（不与点、重合），连接．将绕点顺时针旋转90°得到，连接，求的度数． 以下是两名同学通过不同的方法构造全等三角形来解决问题的思路， ①小聪：过点作的延长线的垂线； ②小明：在上截取，使得； 请你选择其中一名同学的解题思路，写出完整的解答过程． （2）【类比探究】：如图（2）点是菱形边上一点（不与点、重合），，将绕点顺时针旋转得到，使得（），则的度数为______（用含的代数式表示） （3）【学以致用】：如图（3），在（2）的条件下，连结，与相交于点，当时，若，求的值． 【答案】（1）解答见解析；（2）；（3） 【分析】（1）小聪解题思路：由“”可证，可得，，可得，由等腰直角三角形的性质可求解；小慧解题思路：由“”可得，可得，即可求解； （2）由“”可证，可得，由等腰三角形的性质可求解； （3）过点作交的延长线于点，设菱形的边长为3，由题中条件得到，由相似三角形的性质；上截取，使，连接，作于点，如图所示，通过证明，由相似三角形的性质，解直角三角形即可得到答案． 【详解】解：（1）任选一个思路求解即可，下面两种思路求解如下： 小聪解题思路：过点作交的延长线于点，如图1， 将绕点顺时针旋转得到，，， ，，， ，，，， ，，，，，； 小慧解题思路：在上截取，使得，连接，如图所示： ，， ，， ， 又，， ， ， ； （2）在上截取，使得，连接，如图2， 四边形是菱形，，，，，， 将绕点顺时针旋转得到， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：； （3）解：过点作交的延长线于点，设菱形的边长为3，，，， ，，，，， ，由（2）知，，，，， ，，上截取，使，连接，作于点，如图所示： 由（2）可知，，，，，， ，，，，． 【变式4】2025成都青白江区统考B卷压轴 【练4-1】如图，在菱形中，，是边上一点，在的右侧作，且，连接，连接交于点．若为边的三等分点，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查菱形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，掌握分类讨论的思想方法是解题的关键． 如图，在的延长线上取点，使得，证明，得出，则，证明，作于点，则，证明，进而根据相似三角形的性质，求出，在上截取，连接，证明，得，过作于点，根据等腰三角形的性质和含度角的直角三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：如图，在的延长线上取点，使得， 则， 又∵， ∴， ∴， 由，得， ∴， ， 在菱形中， ∵， ∴， ∴， 如图所示，连接交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，作于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在上截取，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 过作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 综上所述，的长为或． 四、结合相似求比值·一题5解 如图，在中，，，D为上一点，且满足，过D作交延长线于点E，则 ． 【答案】 【分析】先设，根据，，得出再对ADEC相关的三角形分析即可，勾股定理求出 解法1:作平分线转化比例 【详解】解：如图，过点A作垂足为H, ∵，，设，∴，∵，， ∴，∵，∴，解得 ∴，，∴，， ∴， 过点C作垂足为M， ∴，， ∵,，∴，∴ 解法2:作垂线转化比例，易知 解法3：全等+射影+A字相似导比 解法4：A字相似导比 解法5：过E点作平行构造8字相似 【变式1】四川省遂宁市九年级填空压轴 【练1-1】如图，在中，，，为上一点，若满足，过作交延长线于点，则= ． 【答案】 【分析】由，得出，设，，推出，根据，，得出，，再分别用勾股定理求出，，故，再运用解直角三角形得出，，根据平行线分线段成比例，代入，化简得出答案即可． 【详解】解：如图，过点作垂足为，过点作垂足为， ∵， ∴， 设，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴，∵， ∴，， ∵，，∴，∴ 【变式2】线段比转化为相似比 【练2-1】如图，在中，，，点在上，且轴平分角，求 . 【答案】 【分析】作轴，证明△COD∽△AED，求得AE=1，再证明△CBO∽△BAE，求得OE=，进而可求出k的值. 【详解】如图所示：作轴 由题意：可证 又∵ ∴ 令，则 ∵轴平分 ∴ ∵轴 ∴可证 则，即，解得： ∴ 【练2-2】如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，，则 ． 【答案】 【分析】连接，过E作于F，设，，根据直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质证得，，，进而利用三角形的外角性质和三角形的中位线性质得到，，证明，利用相似三角形的性质和勾股定理得到；根据角平分线的定义和相似三角形的判定与性质证明得到，进而得到关于的一元二次方程，进而求解即可． 【详解】解：连接，过E作于F，设，，    ∵，为中点， ∴，又， ∴，，， ∴，， ∵， ∴，则，又， ∴， ∴，， ∴， 则； ∵是的一条角平分线， ∴，又， ∴， ∴， ∴，则， ∴，即， 解得，即． 【练2-3】在锐角中，分别为的中线和角平分线，，且，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，过点D作交于F，先证明得到，进而得到，设，则，证明，利用勾股定理得到；证明，得到，即，进一步证明，得到，则，求出，得到；求出，即可得到． 【详解】解：如图所示，过点D作交于F， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴； ∵为的角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 故答案为：．   【变式3】求线段比 【练3-1】（深圳中考）如图，在中，，，点D为上一动点，连接，将沿翻折得到，交于点G，，且，则 ．    【答案】 【分析】于点M，于点N，则，过点G作于点P，设，根据得出，继而求得，，，再利用，求得，利用勾股定理求得，，故， 【详解】由折叠的性质可知，是的角平分线，，用证明，从而得到，设，则，，利用勾股定理得到即，化简得，从而得出，利用三角形的面积公式得到：． 作于点M，于点N，则， 过点G作于点P，    ∵于点M， ∴， 设，则，， 又∵，， ∴，，， ∵，即， ∴，， 在中，，， 设，则 ∴ ∴， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 设，则，， 在中，，即， 化简得：，∴，∴ 【练3-2】（深圳中考）如图，已知四边形ABCD，AC与BD相交于点O，∠ABC=∠DAC=90°，，则= ． 【答案】 【分析】过B点作BE//AD交AC于点E，证明，得到再证明利用设利用三角形的面积公式可得答案． 【详解】解：过B点作BE//AD交AC于点E， BE⊥AD， ， ∴ ∴ 由， ∴ 设 则 五、旋转六法构造手拉手共8种解法 已知：如图，在四边形中，，，，连接、，若，，则的长为 ． 【答案】 法1:通过△ABC构造手拉手公共点为A，再导角得出135°，解线段长（AB转成AD） 详解:解：作于点，作交的延长线于点，则：，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴ ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 法2：通过△ADC来构造手拉手公共也是A，思路同上（AD转成AB） 法3：利用△ABC构造手拉手，公共端点在B点处，易知∠ECD=45°，下同（BA转成BD） 法4： 通过△ADC构造手拉手，公共端点在D点处（DA转成DB） 法5： BD转成BA，易知∠AEC=135°，解线即可 法6： DB转成DA，∠AEC=135° 法7：构造一线三垂直，补成矩形导边勾股 法8：作垂直再构造手拉手相似 【变式1】2022深圳中考填空压轴 【练1-1】已知是直角三角形，连接以为底作直角三角形且是边上的一点，连接和且则长为 ．    【答案】 【分析】将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，HE，利用证明，得，，则，即可解决问题． 【详解】解：将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，HE，   是等腰直角三角形， ∴∠HBD=45° ∵∠FBD=45° ∴点B、F、H共线 又是等腰直角三角形， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， 【变式2】2024-2025学年深圳市九年级二十校联考压轴 【练2-1】如图，四边形中， ，若 ，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：过A作于E，作于F，与的延长线交于点F， ，，， ，，，， 在中，， 中，， ， ，， ，，， ，得，， 中，，，． 【补充旋转六法】 法一：BA转到BC 法二：BC转到BA 法三：AB转到AC 法四：AC转到AB 法五：CA转到CB 法六：CB转到CA 【变式3】湖北襄阳·中考真题 【练3-1】如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点，点在上，，与交于点，连接，若，，则 ． 【答案】． 【分析】过点C作CM⊥DE于点M，过点E作EN⊥AC于点N，先证△BCD∽△ACE，求出AE的长及∠CAE=60°，推出∠DAE=90°，在Rt△DAE中利用勾股定理求出DE的长，进一步求出CD的长，分别在Rt△DCM和Rt△AEN中，求出MC和NE的长，再证△MFC∽△NFE，利用相似三角形对应边的比相等即可求出CF与EF的比值． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵，， ∴， ∵在中，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴∽， ∴，∴， ∴，， ∴， 在中， ， 在中，， ∴，， 在中， ， 在中， ， ∵， ∴∽，∴ 【变式4】2020武汉市中考几何压轴 【练4-1】如图，是内一点，，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，连接，证明，由相似三角形的性质得出，证明，得出，求出，由勾股定理求出AM，最后由直角三角形的性质可求出的长． 【详解】如图，过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，连接， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，即， ， ， ， ， 在中，， ． 六、1234模型，45°与线段比构造相似·一题6解 如图，在等腰Rt△ABC中，∠B=90°，BA=BC，D为BC上一点，且，为AD上点，连接CE，∠CED=45°，，则的长________. 【法1简析】做垂直得等腰，再导角得出2个相似的三边之比 【法2简析】一线三等角 【法3简析】12345模型 作CG⊥ED与G，则△EGC为等腰直角三角形，记EC=，故AE=EG=GC=m，则AG=2CG，则，进而得出，故AB=9，，而，，下略 简析：如图作辅助线，易知，则AB=9，EC= 【法4简析】作平行得一线三等角： 【法5简析】相似+角平分线定理 【法6简证】利用线段比构造相似比 【变式1】12345模型 【练1-1】在中，，平分，平分，相交于点，且，则 ． 【答案】 【详解】 【简析】易知 【详解】如图，∵AD、BE分别平分∠CAB和∠CBA， ∴∠1=∠2，∠3=∠4， ∵∠C=90°，∴∠2+∠3=45°，∴∠AFE=45°， 过E作EG⊥AD，垂足为G， 在Rt△EFG中，∠EFG=45°，EF=，∴EG=FG=1， 在Rt△AEG中，AG=AF-FG=4-1=3，∴AE=， 过F分别作FH⊥AC垂足为H， FM⊥BC垂足为M，FN⊥AB垂足为N，易得CH=FH， 设EH=a，则FH2=EF2-EH2=2-a2， 在Rt△AHF中，AH2+HF2=AF2， 即+2-a2=16，∴a=，∴CH=FH=，∴AC=AE+EH+HC=，故答案为. 【练1-2】（广东省中考）如图，已知正方形 ABCD 的边长为 6，E 为 BC 的中点，将△ABE沿直线 AE 折叠后，点 B 落在点F 处，AF 交对角线 BD 于点 G，则 FG 的长是________． 【答案】 【练1-3】如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（    ）    A． B． C． D．4 【答案】A 【简证】易知，故 【详解】解：如图，设与交于点O，与交于点R，作于点Q，    矩形中，， ， ． 由作图过程可知，平分， 四边形是矩形， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ． ． ， ． ，， ， ，即，解得． 【变式2】线段比构造相似 【练2-1】如图，点，点分别在菱形的边，上，且，交于点，延长交的延长线于，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定、菱形的性质、比例的选择等知识，解题的关键是得到，学会设参数，属于中考常考题型． 设，则，，由，得，求出，再由，得，求出，再通过计算即可得结论． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， 设，则，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ∴， ∴． 【练2-2】如图，菱形的边长为4，、分别是、上的点，连接、、，与相交于点，若，，则的值为 ．    【答案】 【分析】作延长线于M，过点E作交于点N，利用勾股定理求出，进而求出、，证明是等边三角形，再利用证明即可求解． 【详解】解：作延长线于M，过点E作交于点N，如图，    ∵， ， ∵菱形的边长为4，， ， 在中，，， ， 在中，， ∵， ∴，则， ∵， ， ∴ 是等边三角形， ， ∵， ， ， ∵与同高， ，即 【变式3】利用特殊角度解三角形 【练3-1】如图，在中，，，，为中点，为上一点，连接、交于点，若，则的长为 【答案】 【分析】利用勾股定理求得和的长，证明，得到，推出，得到，设，，再证明，得到，据此求解即可． 【详解】解：取的中点，连接，过点B作的垂线，垂足为点，如图， ∵，，， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 设，，， ∵，， ∴， ∴，即， 整理得， 解得或， 经检验或都是原方程的解，但不符合题意，舍去， ∴ 【练3-2】（2024·四川达州·中考真题）如图，在中，．点在线段上，．若，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理．过作于，设，则，利用列出等式即可． 【详解】解：过作于， ，，， 是等腰直角三角形 设，则 解得（舍去）或 经检验是原分式方程的解， ． 【练3-3】如图，的半径为1，四边形内接于，是的直径，若，，则 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质,三角函数等知识点，由为的直径和得出，由得出，作交于点M，由三角函数的性质得出，的长，进而即可得解，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决问题的关键． 【详解】∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 作交于点M，    在中，，， ∴，， 在中，，， ∴为等腰直角三角形， ∴，∴ 【练3-4】（2024·广东深圳·模拟预测）在中，，点E为边上的中点，连接，已知点F为的中点，连接并延长，交于点D．若，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查本题考查了相似三角形的性质、直角三角形相关定理、锐角三角函数、中点的解题策略等知识点．掌握相似三角形的判定与性质成为解题的关键． 如图：过点C作交的延长线于点G，先证明可得，再根据中点的定义可得，进而得到；设可得，再证可得，过点E作于点H，易得，运用勾股定理可得，最后代入求出比值即可． 【详解】解：如图：过点C作交的延长线于点G， ∵点E是中点， ∴, ∵，， ∴， ∴, ∵ ∴， ∴ ∵点F为的中点， ∴， ∴, ∵ ∴设， ∴ ∵, ∴, ∴,即， 过点E作于点H， ∴， ∴， ∴． 26 / 91 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$