6.4.3（第二课时）正弦定理 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第六章 平面向量 6.4.3 余弦定理、正弦定理 第二课时 正弦定理 学习目标 1.了解正弦定理的几何意义及面积公式. 2.掌握正弦定理并能判断三角形的形状. 3.能利用正弦定理计算三角形面积. 新知讲解 导入 同学们熟悉三角形吗？你熟知的三角形哪些几何量吗？他们之间有什么关系？ ①、三边边长、三个内角的度数、面积等. ②、直角三角形(勾股定理)、锐角三角函数等. ③、判定三角形全等的方法SSS、SAS、ASA、AAS等 给定三角形的三个角、三条边这六个元素中的某些元素，这个三角形就是唯一确定的 余弦定理及其推论： 利用余弦定理可以解决的问题： 1、已知两边和夹角求第三边。 2、已知三边求三角。 c2=a2+b2 - 2abcosC a2=b2+c2 - 2bccosA b2=c2+a2 - 2cacosB 复习回顾 新知讲解 探究 三角形有三个角、三条边共六个元素，确定哪些元素的三角形能唯一确定? HL SSS SAS ASA AAS 两角及一夹边 勾股定理 锐角三角函数 余弦定理 及其推论 两角及一 角的对边 新知讲解 在初中，我们有三角形中等边对等角的理论 实际上，三角形中还有大边对大角的边角关系 从量化的角度看，可以将这个边、角关系转化为：在中，设的对边为，的对边为，求之间的定量关系. 可以解决“在中，已知，求”的问题. 新知讲解—正弦定理 探究 通过对直角三角形的研究，观察它的角和三边之间的关系，猜想它们之间的联系 A B C a b c 新知讲解—正弦定理 思考 对于锐角三角形和钝角三角形，以上关系式是否仍然成立？ A C a b c B D 锐角三角形 钝角三角形 D A B C a b c ； 即： 同理，有 即： ； 即： 同理，有 即： 新知讲解—正弦定理 思考 你还能用其它方法证明以上关系式吗？ 因为涉及到三角形的边、角关系，所以我们仍然采用向量方法来研究. 我们希望获得中的边a，b，c与它们所对角A，B，C的正弦之间的关系式. 在向量运算中，两个向量的数量积与长度、角度有关，这就启示我们可以用向量的数量积来研究 新知讲解—正弦定理 向量法 A B C ·= ·()=·+ · 即| | ||cos()0+ | | ||cos() ⇒csinA=asinC ⇒ ⇒ A B C j ·= ·()= ·+ · 即|| ||cos()0+ | | ||cos() ⇒csinA=asinC ⇒ ⇒ j 新知讲解—正弦定理 外接圆法 D 如图，的外接圆为圆，其半径为， 连接并延长，交三角形的外接圆于点，连接， 易知， °,，且 在中，,且 同理可得， 、 综上， （为外接圆的半径） 新知讲解—正弦定理 正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 这个公式表达形式的统一性、对称性，不仅使结果更为和谐优美，而更突显了三角形边角关系的本质. 应用 1.已知两角和任一边，求其他的边和角； 2.已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角； 3.边角互相转化。 新知讲解—正弦定理 思考 正弦定理有些不同变形？ (1)边角关系 (2)边比=角正弦比 (3)连比式 (4)合比式 正弦定理是边角互化的依据 把边化成角，把角化成边 新知讲解—正弦定理 判断正误. (1)正弦定理只适用于锐角三角形.（ ） (2)正弦定理不适用于直角三角形.（ ） (3)在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是定值.（ ） (4)在中，（ ） × √ × √ 典例分析—正弦定理 例1：在△ABC中，BC=24，∠A=120°，∠B=30°，求AB． 由正弦定理，得 解：由三角形内角和定理，得C=30°. a c? ——已知元素为两角及一边 B A C 典例分析—正弦定理 例2：在中, 已知 , , 求. ——已知元素为两边及一对角 解：由，得. ∵，∴，∴或. 典例分析—正弦定理 两组解 无解 一组解 一组解 在△ABC中，已知a= ，b= ，A=45°，解三角形 变式： （1）若a= 呢 （2）若a= 呢 （3）若a= 呢 思考：为什么满足条件的三角形解不唯一,有些两解,有些一解,有些无解? 典例分析—正弦定理 ①已知两角及一边，可求其它边角！ 唯一解 ②已知两边及其中一边的对角，可求其它边角！ 解不唯一，解的情况呢? 如果出现两个解，根据“三角形中大边对大角、三角形内角和”来决定取舍！ 典例分析—正弦定理 例7：在中，已知，，，解这个三角形. 解：由三角形内角和定理，得： 由正弦定理，得： 典例分析—正弦定理 例8：在中，已知，，，解这个三角形. 解：由正弦定理 ，得： 因为，所以 于是或 ①当时， 此时， 典例分析—正弦定理 例8：在中，已知，，，解这个三角形. (2)当时， 此时， 学以致用—正弦定理 练习1：在中，已知，求边. 解：因为，所以 因为根据正弦定理， 得 学以致用—正弦定理 练习2：在中，已知求. 解：∵ ，∴，解得. 又∵，，∴. ∴， ， ∴. 学以致用—正弦定理 练习3：在中，若且试判断的形状. 解：(法一)根据正弦定理，得 . ∵∴ ∴是直角，， ∴ ∴.∵，∴ ∴是等腰直角三角形. 学以致用—正弦定理 练习3：在中，若且试判断的形状. 解：(法二)根据正弦定理，得 . ∵∴ ∴是直角， ∵ ∴ ∴.又，∴ ∴是等腰直角三角形. 课堂总结 1、正弦定理： 2、利用正弦定理可以解决的问题： 3、三角形面积公式： S = = = ①已知三角形的任意两角与一边，求其他两边和另一角； ②已知三角形的两边与其中一边的对角； 如果出现两个解，根据“三角形中大边对大角、三角形内角和”来决定取舍！ $$