拓展提升01 导数与不等式（5大热点题型+精讲精练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（人教B版2019选择性必修第三册）

拓展提升01 导数与不等式 题型01 不等式的证明 考向一 单变量不等式的证明 策略1 作差构造法 解题锦囊 （1）待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，有时对复杂的式子要进行变形，利用导数研究其单调性和最值，借助所构造函数的单调性和最值即可得证． （2）利用作差构造法证明不等式的基本步骤 ①作差或变形； ②构造新的函数g（x）； ③利用导数研究g（x）的单调性或最值； ④根据单调性及最值，得到所证不等式. 【典例1】（24-25高二下·广东阳江·期中）已知函数，其中. (1)若，求的极值； (2)证明：. 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2)证明见解析 【分析】（1）求的导数，利用导数与函数极值的关系即可得解； （2）利用，结合放缩法将不等式转化为证明恒成立，再构造函数，利用导数即可得证. 【详解】（1）易知的定义域为， 则， 若，则，， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得极大值，极大值为，无极小值. （2）因为，所以， 要证，只需证即可， 即证即可，即证即可， 令，则， 令，解得，令，解得或， 所以在上单调递增，在，上单调递减， 所以的最大值在或处取得，又，， 所以，即恒成立， 所以. 【变式1】（2025高二·全国·专题练习）当时，证明：. 【答案】证明见解析 【分析】利用构造函数法，结合导数来证得不等式成立. 【详解】证明：令， 则，， 因为，所以， 所以在上单调递增， 所以当时，， 即， 所以当时，. 【变式2】（24-25高三上·广东江门·阶段练习）设函数. (1)求在处的切线方程； (2)证明：： 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据切点和斜率求得切线方程. （2）利用构造函数法，结合导数证得不等式成立. 【详解】（1），则. 在处的切线方程为，即. （2）令 . 令，解得. ；. 在上单调递减，在上单调递增. ，即. 【变式3】（24-25高二上·山西·期末）已知函数（为自然对数的底数，），函数的极值点为0． (1)求的值； (2)证明：对 【分析】（1）运用极值点的性质，借助导数可解；（2）通过构造新函数，研究其单调性来证明不等式. 【详解】（1）由，得， 因为函数的极值点为0，所以，解得． 若，当时，单调递减；当时，单调递增．所以0是函数的极值点． 综上所述，． （2）令，则． 因为，在上单调递增，， 所以，使得． 当时，单调递减； 当时，单调递增．所以的极小值为，也是的最小值． 由，得，且， 所以， 当且仅当时等号成立，但，所以等号不成立，即． 所以，即． 【变式4】（2024·河北石家庄高三统考模拟）已知函数，. (1)若函数在上单调递增，求a的取值范围； (2)若，求证：. 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【分析】（1）对求导后，问题转化为在[1,4]上恒成立，进而求得的最小值即可求解； （2）由可得只需证明，令，求导后求得；令，求导后求得，从而可得，问题得证. 【详解】（1），因为函数在[1,4]上单调递增， 所以在[1,4]上恒成立， 又在[1,4]上单调递增，所以， 所以，解得，所以的取值范围是. （2）因为，所以要证，只需证， 令，则. 当时，，函数单调递减； 当时， ，函数单调递增. 所以， 令，则， 当时，单调递减，当时，单调递增. 所以时，取最小值, 则, 所以时，，因此. 所以. 策略2 双函数构造法 解题锦囊 若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标． 【典例2】（2024·银川一中高三模拟）已知. (1)求曲线在处的切线方程； (2)当时，证明. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义可求解； （2）将问题转化为证明成立，再分别求与的最值即可证明. 【详解】（1）因为，则，， 则， 所以所求切线方程为，即. （2）由题意，可知，要证明， 即证， 令，则， 当，当， 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以. 令，则，因为， 所以当，当， 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以， 所以恒成立，即恒成立， 所以当时，. 【变式1】（2024·四川成都高三模拟）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，. 【答案】(1)函数在上单调递增 (2)证明见解析 【详解】（1）函数的定义域为， ， 记，则， 所以当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以， 所以， 所以函数在上单调递增； （2）原不等式为，即， 即证在上恒成立， 设，则， 所以，当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以， 令， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，所以， 且在上有，所以可得到，即， 所以在时，有成立. 【变式2】(2025高三专题训练)已知函数f(x)＝ex＋x2－x－1. (1)求f(x)的最小值； (2)证明：ex＋xln x＋x2－2x>0. 【解析】(1)解　由题意可得 f′(x)＝ex＋2x－1， 则函数f′(x)在R上单调递增，且f′(0)＝0. 由f′(x)>0，得x>0； 由f′(x)<0，得x<0. 则f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， 故f(x)min＝f(0)＝0. (2)证明　要证ex＋xln x＋x2－2x>0， 即证ex＋x2－x－1>－xln x＋x－1. 由(1)可知当x>0时，f(x)>0恒成立． 设g(x)＝－xln x＋x－1，x>0， 则g′(x)＝－ln x. 由g′(x)>0，得0<x<1； 由 g′(x)<0，得x>1. 则g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 从而g(x)≤g(1)＝0，当且仅当x＝1时，等号成立． 故f(x)>g(x)，即ex＋xln x＋x2－2x>0. 策略3 放缩法 解题锦囊 从参数范围切入主要由两种方法：（1）在给出了参数取值范围来证明不等式恒成立的题目中,把参数按取值范围放缩为常数.例如:已知参数,证明恒成立,按去参数放缩可得,只需要证明即可. （2）根据参数的范围，可以去除参数或者简化不等式,进而快速得到证明.比如要证明,如果能够得到,则把直接扔掉,若成立,则不等式恒成立. 【典例3】已知函数,若,证明:. 【解析】证.明：由得, 根据,可得,故只需要证明 令,则, 当时,. 当时,设。,则. 故函数在上单调递增. 又当时,.当时,. 函数在区间上单调递减,在区间上单调递增. ,即. 故. 【变式1】设函数，证明： 【证明】要证 即证 记，由得， 时，递减；时，递增； 所以，即 于是， （利用进行放缩） 两等号成立的条件不同 所以 故成立. 【变式2】（2024·陕西榆林高三模拟）已知函数，. (1)求函数的极值； (2)证明：当时，在上恒成立. 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2)证明见解析 【分析】（1）求得，令，求得，结合，得到函数的单调性，进而求得极值； （2）由，根据题意，由且，放缩得到，令，求得，得出函数单调性，结合单调性求得，得出，即可得证. 【详解】（1）解：由函数，可得定义域为， 且， 令，可得，所以单调递增， 又因为， 所以当时，，可得，单调递减； 当时，，可得，单调递增， 所以当时，函数取得极小值，极小值为，无极大值. （2）解：由， 因为且， 可得 令， 可得， 因为，即或， 又因为方程的两根都是负数根（舍去）， 所以，可得 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，函数取得极小值，同时也为在上的最小值， 即，所以， 所以，所以，     故当时，在恒成立. 考向二 双变量不等式的证明 解题锦囊 （1）分离变量构造：将两个变量分离，根据式子的特点构造新函数，利用导数研究新函数的单调性及最值，从而得到所证不等式． （2）换元构造：将两个变量分离，根据式子的特点构造新函数，利用导数研究新函数的单调性及最值，从而得到所证不等式； （3）换元构造：将要求证的不等式等价变形，然后利用整体思想换元，再构造函数，结合函数的单调性可证得. 【典例4】（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有两个零点，且，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而根据点斜式即可求解； （2）令得，令，则，从而令，则利用导数求出最小值可得答案. 【详解】（1）当时， 曲线在处切线的斜率为， 又切线方程为， 即曲线在处的切线方程为； （2）若有两个零点，， 则， 得. ，令，则， 故， 则， ， 令，则， 令，则， 在上单调递增， ， ，则在上单调递增， ， 故. 【变式1】（24-25高二上·重庆·期末）已知函数． (1)讨论函数的单调区间； (2)若有两个极值点，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导数，再按进行分类讨论，由导函数正负求出单调区间. （2）由（1）求出的范围，再结合韦达定理将用表示，进而构造函数，利用导数推理得证. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 方程中，， 当时，恒成立，，在上单调递增； 当时，由，解得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为， 递减区间为. （2）由（1）知，有两个极值点，则， ， 令函数，求导得，令， 求导得，函数在上单调递减，， 函数在上单调递减，， 所以. 【变式2】（24-25高二上·湖南·期末）已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意，不等式恒成立，求a的值； (3)若实数m，n满足，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导，得到，结合，利用导数几何意义得到切线方程； （2）求导，得到的单调性，进而得到所以，设，求导，得到的单调性，，故，当且仅当时等号成立，若满足，必有，求出； （3）变形后得到，换元后化为，由（2）知，当时，，当且仅当时取等号，故，从而成立，同理，要证明，即证明，即，令，，求导得到的单调性，所以，即，整理得，从而成立. 【详解】（1）若，则，定义域为， ， 则，又， 所以曲线在点处的切线方程为. （2），令，得， 当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 所以， 要使恒成立，需满足. 设， 则，令，得， 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 所以， 故，当且仅当时等号成立， 若满足，必有， 故. （3）要证明， 即证明， 令，由，得，不等式化为. 由（2）知，当时，，当且仅当时取等号， 所以，整理得，从而成立； 同理，要证明，即证明， 即. 令，因为，所以， 所以在上单调递减，所以， 即，整理得，从而成立. 综上，. 【点睛】关键点点睛：第三问，对所证不等式进行变形，先证不等式左边，只需证明，令，不等式化为，，二元问题转化为单元问题，同理再变形不等式右边，证明出结论 【变式3】（24-25高三上·江苏镇江·开学考试）已知函数． (1)函数是否具有奇偶性?为什么? (2)当时，求的单调区间； (3)若有两个不同极值点，，证明：． 【答案】(1)函数不具有奇偶性 (2)的单调递增区间为，单调递减区间为 (3)证明见解析 【分析】（1）根据奇偶性的定义判断即可. （2）根据导函数求单调区间即可. （3）由题知即有两个不等的实根，令，所以有两个不等的正数根，可得，且，进而，利用单调性可得. 【详解】（1），而， 显然，且， 所以既不是奇函数，也不是偶函数，故函数不具有奇偶性. （2）时，， ， 故当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 故的单调递增区间为，单调递减区间为 （3）， 因为有两个不同极值点，，故即有两个不等的实根， 令，所以有两个不等的正数根， 所以，得，且， 所以 ， 设，， 所以在上单调递增， 所以， 故. 考向三 求和型不等式的证明 【典例5】（24-25高二上·湖南长沙·期末）设函数（）. (1)当时，讨论函数的单调性； (2)当时，曲线与直线交于，两点，求证：； (3)证明：（，）. 【答案】(1)时，单调递减；时，单调递增. (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求导，利用导数的正负即可求解； （2）求导得，进而代入化简将问题转化成，构造函数即可利用导数求解； （3）利用（2）的结论取，，利用累加法即可求解. 【详解】（1）当时，， ， 时，，单调递减； 时，，单调递增. （2），则， 由题意，知有两解，，不妨设， 要证，即证， ①若，则； ②若，由知， 在上单调递减，在上单调递增，也有， 综合①②知，， 所以只需证（*）. 又， ∴两式相减，整理得， 代入（*）式，得，即. 令（），即证. 令（），则， ∴在上为增函数，∴， ∴成立. （3）由（2）知，， 故，，取， 所以（）， 则（） 【变式1】（23-24高二下·山东菏泽·期末）已知函数. (1)讨论 的单调性； (2)当，时，证明：； (3)证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求出导函数，分类讨论的值，得到的单调性； （2）当时，结合(1)得到，可将问题转化为为证明，令，结合导数研究单调性即可证明； （3）由（2）知：，令，有，，……，，利用累加法即可证明. 【详解】（1）由， ①当时，，因此在上单调递增； ②当时，由， 所以当时，，在上单调递增， 当时，，在单调递减； ③当时，，因此在上单调递减. （2）由（1）知，当时，在上单调递减， 又，所以，即，因此， 因此要证明 即证明， 只需证明， 即证：， ，即证 令， 则， 因此在上单调递增，，则， 即，得证. （3）由（2）知：，令，有 …… 累加得 即得：. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键是由单调性得到以及，令，结合累加法证明. 【变式2】（2023·四川自贡·统考三模）已知函数（e为自然对数底数）． (1)判断，的单调性并说明理由； (2)证明：对，． 【答案】(1)在上单调递增，理由见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）通过二次求导，即可求解； （2）由（1）可得，变形为，令得，令得，从而可得，利用裂项相消法，即可整理得证. 【详解】（1）在上单调递增.理由如下： 因为，所以， 令，则， 所以当，单调递增， 所以，即， 所以在上单调递增. （2）由（1）知， ，令，则， 令，则 而 所以， 故对，. 题型02 不等式的恒成立与能成立问题 考向一 不等式的恒成立问题 【典例6】（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，结合分类讨论思想，可得答案； （2）利用参数分离整理不等式，构造函数，利用导数求得新函数的最大值，可得答案. 【详解】（1）由，已知其定义域为， 求导可得， 当时，在上恒成立，则在上单调递增； 当时，令，解得，可得下表： 极大值 所以当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）要证，只需证， 令，求导可得， 令，解得，可得下表： 极大值 则，所以. 【变式1】（24-25高二上·山西·期末）已知函数在上没有极值. (1)求实数的取值范围； (2)若对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意将函数求导，将问题等价转化为不等式恒成立问题，整理不等式，构造新函数，利用导数研究新函数的单调性，结合分类讨论，可得答案； （2）由（1）可得函数的单调性，化简不等式，整理不等式利用同构思想，构造新函数，利用导数研究新函数单调性，进一步化简不等式，再利用对数运算分离参数，再构造新函数，利用导数研究新函数的最值，可得答案. 【详解】（1）因为，所以. 因为在上没有极值，且，所以在上恒成立. 设，则. 当时，，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 当时，要证，只需证对恒成立， 因为在上单调递减，在上单调递增，所以，所以； 当时，要证，只需证对恒成立， 因为在上单调递减，且，所以. 故. （2）由（1）知在上单调递增. 因为，所以，即. 设，则，所以在上单调递增， 所以等价于. 因为，所以， 所以，所以恒成立. 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以，即，故的取值范围为. 【点睛】难点点睛：本题解题的难点在于第二问，解题的关键在于两点：1、利用函数单调性化简不等式，在化简不等式时要注意括号里代数式的取值范围与函数单调区间的包含关系；2、整理不等式同构函数，在同构函数时要注意整体思想的应用. 【变式2】（24-25高二上·上海闵行·期末）已知函数. (1)曲线在点处的切线过点，求的值； (2)求函数的单调区间； (3)若不等式恒成立，求整数的最大值. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线方程，将点代入求值即可； （2）利用导数分类讨论、两种情况下的单调性即可； （3）将原问题转化为不等式在R上恒成立问题，利用导数证明该不等式即可. 【详解】（1）函数的定义域为，则. 因为曲线在点处的切线为过点， 所以，解得. （2）因为， 当时，恒成立，则在上单调递增； 当时，由，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （3）依题知，恒成立， 即恒成立， 化简为. 设， 则， 当时，恒成立，故在上单调递增， 因为，所以不符合题意； 当时，由，得，由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则恒成立， 整理得. 设， 则恒成立，所以在上单调递增， 又，且， 故整数的最大值为. 【点睛】关键点点睛：解决本题第3问的关键是将原问题转化为不等式在R上恒成立问题. 【变式3】（24-25高二上·陕西西安·期末）已知函数（其中e为自然对数的底数）． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在上的最值； (3)设函数，若对，不等式恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)最小值为，最大值为1； (3). 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数几何意义求出切线方程. （2）利用导数求出函数在指定区间上的最值. （3）由（2）的结论，将问题转化为成立，再分离参数构造函数求出最大值即可得解. 【详解】（1）数，求导得， 则，而， 所以曲线在点处的切线方程为：，即. （2）由（1）知，当时，，函数在上单调递增， 所以. （3）由（2）知，，， 由对，不等式恒成立， 得，而函数在上单调递减， 当时，，因此， 所以实数的取值范围为. 【变式4】（24-25高二上·江苏南京·期末）设函数，. (1)当（为自然对数的底数）时，求的极小值； (2)若对任意，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用极小值点的定义求解即可； （2）原不等式可转化为对任意，恒成立，令，则在上单调递减，利用导数求的取值范围即可. 【详解】（1）当时，，， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以当时，取得极小值，极小值为. （2）因为对任意，恒成立， 即对任意，恒成立， 所以在上单调递减， 令，则， 所以在上恒成立， 又因为的对称轴为， 所以恒成立只需，解得， 所以的取值范围为. 考向二 不等式的能成立问题 【典例7】（24-25高三上·天津西青·期中）已知函数. (1)当时，求函数在处切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3). 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程； （2）对函数求导，讨论参数的符号研究函数的单调区间； （3）问题化为在上存在实数解，利用导数求右侧表达式在上最小值，即可得范围. 【详解】（1）当时，，则， 所以，，故在处切线方程为， 所以. （2）由题设，且， 当时，，即的递增区间为，无递减区间； 当时，有，有， 此时的递增区间为，递减区间为. （3）原条件等价于在上存在实数解. 所以在上存在实数解， 令，则， 在上，得，故在上单调递增， 所以的最小值为，故时不等式在上存在实数解. 【变式1】（23-24高二下·四川眉山·期末）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若存在，使，求的取值范围． 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减 (2) 【分析】（1）对求导，得到，再利用导数与函数单调性间的关系，即可求出结果； （2）对进行讨论，分，和，当，利用函数值的符号即可求解；当和，设，利用导数与函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）易知函数定义域为，因为 ， 令 ，得 令 ，得，令 ，得， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减. （2）由 ，得 ， 因为，所以，， 当时，，符合题意； 设， 当时，则，所以在上单调递增， 所以，不符合题意； 当时，令，得 ， 令，得 ，所以 ， 则存在，使，满足题意， 综上，的取值范围是. 【变式2】24-25高三上·贵州·阶段练习）函数． (1)求在点处的切线方程； (2)若存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出函数的导函数，根据导数的几何意义计算可得； （2）求出函数的导函数，令，，利用导数说明函数的单调性，从而得到的单调性，求出，即可得解. 【详解】（1）因为， 所以， 则，又， 所以在处的切线方程为； （2）因为，， 令，，则， 因为在上单调递增，，， 所以，使得， 当，，单调递减， 当，，单调递增， ，， 所以，使得， 当，，单调递减， 当，，单调递增， 又，，所以， 所以，即的取值范围为． 【变式3】（2024高二上·全国·专题练习）已知函数. (1)求函数在上的最大值和最小值； (2)若不等式有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)最大值为，最小值为. (2). 【分析】（1）对函数求导，根据单调性即可求得最值； （2）代入函数，参变分离，即可得到新的函数，，构造函数求最值即可. 【详解】（1）易得， 令，则或（舍去）. 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得极大值，也是最大值，最大值为. 又，，， 所以当时，取得最小值，最小值为. 故在上的最大值为，最小值为. （2）易知的定义域为， 故不等式可化为. 记，则原不等式有解可转化为， 易得，令，则， 所以当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 故. 于是，解得. 所以实数a的取值范围为. 【变式4】（24-25高三上·福建龙岩·期中）已知函数. (1)求的单调区间; (2)设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导，根据导数分情况讨论导函数零点情况及函数单调性； （2）根据题意可得，分别求最大值即可得不等式，解不等式即可求解. 【详解】（1）由，， 得. 令，解得. 当时，， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增. 当时，恒成立，在上单调递增. 当时，， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增. 综上所述，当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为，； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为. （2）因为对任意，均存在，使得， 所以， 当时，取得最大值，最大值为0. 由（1）得，当时，在]上单调递增， 即当时，取得最大值， 所以，解得，即. 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，取得最大值. 设， 则，单调递增， 所以成立，所以无解. 综上所述，的取值范围为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 拓展提升01 导数与不等式 题型01 不等式的证明 考向一 单变量不等式的证明 策略1 作差构造法 解题锦囊 （1）待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，有时对复杂的式子要进行变形，利用导数研究其单调性和最值，借助所构造函数的单调性和最值即可得证． （2）利用作差构造法证明不等式的基本步骤 ①作差或变形； ②构造新的函数g（x）； ③利用导数研究g（x）的单调性或最值； ④根据单调性及最值，得到所证不等式. 【典例1】（24-25高二下·广东阳江·期中）已知函数，其中. (1)若，求的极值； (2)证明：. 【变式1】（2025高二·全国·专题练习）当时，证明：. 【变式2】（24-25高三上·广东江门·阶段练习）设函数. (1)求在处的切线方程； (2)证明：： 【变式3】（24-25高二上·山西·期末）已知函数（为自然对数的底数，），函数的极值点为0． (1)求的值； (2)证明：对 【变式4】（2024·河北石家庄高三统考模拟）已知函数，. (1)若函数在上单调递增，求a的取值范围； (2)若，求证：. 策略2 双函数构造法 解题锦囊 若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标． 【典例2】（2024·银川一中高三模拟）已知. (1)求曲线在处的切线方程； (2)当时，证明. 【变式1】（2024·四川成都高三模拟）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，. 【变式2】(2025高三专题训练)已知函数f(x)＝ex＋x2－x－1. (1)求f(x)的最小值； (2)证明：ex＋xln x＋x2－2x>0. 策略3 放缩法 解题锦囊 从参数范围切入主要由两种方法：（1）在给出了参数取值范围来证明不等式恒成立的题目中,把参数按取值范围放缩为常数.例如:已知参数,证明恒成立,按去参数放缩可得,只需要证明即可. （2）根据参数的范围，可以去除参数或者简化不等式,进而快速得到证明.比如要证明,如果能够得到,则把直接扔掉,若成立,则不等式恒成立. 【典例3】已知函数,若,证明:. 【变式1】设函数，证明： 【变式2】（2024·陕西榆林高三模拟）已知函数，. (1)求函数的极值； (2)证明：当时，在上恒成立. 考向二 双变量不等式的证明 解题锦囊 （1）分离变量构造：将两个变量分离，根据式子的特点构造新函数，利用导数研究新函数的单调性及最值，从而得到所证不等式． （2）换元构造：将两个变量分离，根据式子的特点构造新函数，利用导数研究新函数的单调性及最值，从而得到所证不等式； （3）换元构造：将要求证的不等式等价变形，然后利用整体思想换元，再构造函数，结合函数的单调性可证得. 【典例4】（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有两个零点，且，证明：. 【变式1】（24-25高二上·重庆·期末）已知函数． (1)讨论函数的单调区间； (2)若有两个极值点，证明：． 【变式2】（24-25高二上·湖南·期末）已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意，不等式恒成立，求a的值； (3)若实数m，n满足，证明：. 【变式3】（24-25高三上·江苏镇江·开学考试）已知函数． (1)函数是否具有奇偶性?为什么? (2)当时，求的单调区间； (3)若有两个不同极值点，，证明：． 考向三 求和型不等式的证明 【典例5】（24-25高二上·湖南长沙·期末）设函数（）. (1)当时，讨论函数的单调性； (2)当时，曲线与直线交于，两点，求证：； (3)证明：（，）. 【变式1】（23-24高二下·山东菏泽·期末）已知函数. (1)讨论 的单调性； (2)当，时，证明：； (3)证明：. 【变式2】（2023·四川自贡·统考三模）已知函数（e为自然对数底数）． (1)判断，的单调性并说明理由； (2)证明：对，． 题型02 不等式的恒成立与能成立问题 考向一 不等式的恒成立问题 【典例6】（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若，求实数m的取值范围． 【变式1】（24-25高二上·山西·期末）已知函数在上没有极值. (1)求实数的取值范围； (2)若对恒成立，求实数的取值范围. 【变式2】（24-25高二上·上海闵行·期末）已知函数. (1)曲线在点处的切线过点，求的值； (2)求函数的单调区间； (3)若不等式恒成立，求整数的最大值. 【变式3】（24-25高二上·陕西西安·期末）已知函数（其中e为自然对数的底数）． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在上的最值； (3)设函数，若对，不等式恒成立，求a的取值范围． 【变式4】（24-25高二上·江苏南京·期末）设函数，. (1)当（为自然对数的底数）时，求的极小值； (2)若对任意，恒成立，求的取值范围. 考向二 不等式的能成立问题 【典例7】（24-25高三上·天津西青·期中）已知函数. (1)当时，求函数在处切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围. 【变式1】（23-24高二下·四川眉山·期末）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若存在，使，求的取值范围． 【变式2】24-25高三上·贵州·阶段练习）函数． (1)求在点处的切线方程； (2)若存在，使得成立，求的取值范围． 【变式3】（2024高二上·全国·专题练习）已知函数. (1)求函数在上的最大值和最小值； (2)若不等式有解，求实数的取值范围. 【变式4】（24-25高三上·福建龙岩·期中）已知函数. (1)求的单调区间; (2)设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$