7 2024年莱山区第二学期第一阶段检测练习题-【中考321】2025年中考数学3年真题2年模拟1年预测（山东烟台专版）

— ３７— — ３８— — ３９— 一、选择题（本大题共１０个小题，每小题３分，满分３０分） １．２０２４的相反数是 （　　） 　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　 Ａ．２０２４ Ｂ．－２０２４ Ｃ． １ ２０２４ Ｄ．－ １ ２０２４ ２．遵守交通规则是每个人的责任，下列交通指示牌既是轴对称图形又是中心对称图形的是 （　　） Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ３．下列算式正确的是 （　　） Ａ．（－３ａ２）３＝－９ａ６ Ｂ．（－ａ）２·ａ３＝ａ５ Ｃ．（２ｘ－ｙ）２＝４ｘ２－ｙ２ Ｄ．ａ２＋４ａ２＝５ａ４ ４．“斗”是我国古代称量粮食的量器，它无盖，其示意图如图所示，下列图形是“斗”的俯视图的是 （　　） Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ５．对于任意整数ｎ，（２ｎ＋１）２－２５都能 （　　） Ａ．被３整除 Ｂ．被４整除 Ｃ．被５整除 Ｄ．被６整除 ６．在２０２４年初中毕业生体育测试中，某校随机抽取了１０名男生的引体向上成绩，将这组数据整理后 制成如下统计表： 成绩（次） １２ １１ １０ ９ 人数 １ ３ ４ ２ 关于这组数据的结论不正确的是 （　　） Ａ．中位数是１０．５ Ｂ．平均数是１０．３ Ｃ．众数是１０ Ｄ．方差是０．８１ ７．七巧板被西方人称为“东方魔板”，下面的两幅图是由同一副七巧板拼成的，若七巧板拼成的正方形 的边长为 槡２２，则“衣服型”的周长为 （　　） Ａ．１０ Ｂ．１２ Ｃ．１０＋槡４２ Ｄ．１２＋槡２２ 　　　 第７题图 　　　　 第８题图 ８．如图是由全等的含６０°角的小菱形组成的网格，每个小菱形的顶点叫做格点，其中点 Ａ，Ｂ，Ｃ在格点 上，则ｔａｎ∠ＡＣＢ的值为 （　　） Ａ． １ ２ Ｂ．槡 ３ ３ Ｃ． ２ ３ Ｄ．槡 ２３ ３ ９．抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的对称轴为直线ｘ＝１，与ｘ轴的一个交点坐标为（－１，０），其部分图象如图所示， 下列结论：①ａｂｃ＜０；②２ａ＋ｂ＝０；③当 ｙ＞０时，ｘ的取值范围是－１≤ｘ≤３；④ ｂ２＋ｃ２ ａ２ ＝１３；⑤若抛物线顶 点为（１，ｎ），则有４ａｃ－ｂ２＜４ａｎ，其中正确的个数为 （　　） Ａ．５ Ｂ．４ Ｃ．３ Ｄ．２ 第９题图 　　　　　 图１ 　　 图２ 第１０题图 １０．如图１，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ａ＝９０°，点 Ｐ从点 Ａ出发，沿三角形的边以１ｃｍ／ｓ的速度逆时针运动一 周，图２是点Ｐ运动时，线段ＡＰ的长度ｙ（ｃｍ）随运动时间ｘ（ｓ）变化的关系图象，则图２中，点Ｐ的 纵坐标为 （　　） Ａ．５ Ｂ．４．８ Ｃ．３．６ Ｄ．６．４ 二、填空题（本大题共６个小题，每小题３分，满分１８分） １１．国际数学日是由国际数学联盟发起的节日。２０２０年３月１４日，是人类第一个“国际数学日”，这个 节日的昵称是“π日”。目前π的最准确值超过小数点后６２．８万亿位。６２．８万亿用科学记数法表 示为 。 １２．从不等式 ｘ－３（ｘ－２）≤４， ２＋２ｘ ３ ≥ ｘ－１{ 的所有整数解中任取一个数，它是奇数的概率是 。 １３．如图，将长方形ＡＢＣＤ沿ＥＦ翻折，使得点Ｄ落在边ＡＢ上的点Ｇ处，点Ｃ落在点Ｈ处，若∠１＝３２°， 则∠２＝ 度。 第１３题图 　　　 第１４题图 １４．如图，⊙Ｏ与反比例函数ｙ＝ ３ ｘ 的图象交于点Ａ（１，ａ），则图中阴影部分的面积为 。 １５．如图，已知Ｐ是⊙Ｏ外一点，用直尺和圆规过点Ｐ作一条直线ＰＭ，使它与⊙Ｏ相切。下面是三位同 学给出的作法： ①作法一：如图１，作线段 ＯＰ的垂直平分线交 ＯＰ于点 Ｇ；以点 Ｇ为圆心，ＰＧ长为半径画弧交⊙Ｏ 于点Ｍ，作直线ＰＭ，直线ＰＭ即为所求作。 ②作法二：如图２，连接ＯＰ，交⊙Ｏ于点Ｂ，作直径ＢＣ，以点Ｏ为圆心，ＢＣ长为半径作弧；以点Ｐ为 圆心，ＯＰ长为半径作弧，两弧相交于点 Ｄ，连接 ＯＤ，交⊙Ｏ于点 Ｍ，作直线 ＰＭ，直线 ＰＭ即为所 求作。 ③作法三：如图３，连接ＰＯ并延长，交⊙Ｏ于Ａ，Ｂ两点，在直线ＡＢ上截得ＯＱ＝ＯＰ，以点Ｑ为圆心，ＡＢ 长为半径画弧；以点Ｏ为圆心，ＯＰ长为半径画弧，两弧交于点Ｍ，作直线ＰＭ，直线ＰＭ即为所求作。 三位同学的作法中，作法正确的序号是 。 图１ 　　　 图２ 　　　 图３ １６．如图，在△ＡＢＣ中，∠Ａ＝１５°，ＡＢ＝６，Ｐ是边 ＡＣ上的一个动点（不与点 Ａ，Ｃ重合），连接 ＢＰ，则 槡２ ２ ＡＰ＋ＢＰ的最小值为 。 三、解答题（本大题共８个小题，满分７２分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） １７．（６分）先化简，再求值：( ａａ２－ｂ２－ １ ａ＋ｂ)÷ １ ａｂ－ａ２ ，其中ａ，ｂ是一元二次方程ｘ２－４ｘ－８＝０的两实数根。 １８．（７分）打造书香文化，培养阅读习惯。某校举行读书活动，并开展以“我最喜欢的书籍”为主题的调 查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（Ａ历史类，Ｂ文学类，Ｃ科技类，Ｄ艺术类，Ｅ其他类）。 数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图， 如图所示。 （１）此次调查采用的是 调查方式，样本容量为 ，并补全条形统计图； （２）在扇形统计图中，“Ｃ科技类”所对应的圆心角度数为 度； （３）本次调查中，选择“Ｅ其他类”的五人中有两名男生和三名女生，若从中随机抽取两人，请利用画 树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率。 　　　 ７ ２０２４年莱山区第二学期第一阶段检测练习题 （时间：１２０分钟　总分：１２０分） — ４０— — ４１— — ４２— １９．（８分）围棋起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有４０００多年的历史。某商家销售Ａ， Ｂ两种材质的围棋，每套进价分别为２００元，１７０元，下表是近两个月的销售情况。 销售时段 销售数量 Ａ种材质 Ｂ种材质 销售额（元） 第一个月 ３ ５ １８００ 第二个月 ４ １０ ３１００ （１）求Ａ，Ｂ两种材质的围棋每套的售价； （２）若商家准备用不多于５４００元的金额再采购Ａ，Ｂ两种材质的围棋共３０套，求如何采购才能使 获得的利润最大？最大利润为多少？ ２０．（８分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数ｙ＝２ｘ＋６的图象与反比例函数的图象交于 Ａ（ａ，４），Ｂ 两点。 （１）求反比例函数的表达式及点Ｂ的坐标； （２）过点Ａ作直线ＡＣ交反比例函数的图象于另外一点Ｃ，连接ＢＣ，当线段ＡＣ被ｙ轴分成长度比为 １∶２的两部分时，求ＢＣ的长。 ２１．（９分）实验是培养学生的创新能力的重要途径之一。图１是小红同学安装的化学实验装置，安装 要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处。图２为实验装置示意图，已知试 管ＡＢ＝２１ｃｍ，ＢＥ＝ １ ３ ＡＢ，试管倾斜角α为１０°。 （１）求酒精灯与铁架台的水平距离ＣＤ的长度； （２）实验时，导气管紧贴水槽ＭＮ，如图２，延长ＢＭ交ＣＮ的延长线于点Ｆ，且ＭＮ⊥ＣＦ（点Ｃ，Ｄ，Ｎ，Ｆ 在一条直线上），经测得ＤＥ＝２７．１９ｃｍ，∠ＡＢＭ＝１４５°，求线段ＤＦ的长度。 （结果精确到０．１，参考数据：ｓｉｎ１０°≈０．１７，ｃｏｓ１０°≈０．９８，ｔａｎ１０°≈０．１８） 图１ 　　 图２ ２２．（１０分）如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝９０°，以 ＡＢ为直径作⊙Ｏ，Ｄ是⊙Ｏ上一点，且 ＣＤ＝ＢＣ，连接 ＤＯ并延长交ＣＢ的延长线于点Ｅ。 （１）判断直线ＣＤ与⊙Ｏ的位置关系，并说明理由； （２）若ＢＥ＝２，ＤＥ＝４，求圆的半径及ＡＣ的长。 ２３．（１１分）【尝试探究】 （１）如图１，在△ＯＡＢ和△ＯＣＤ中，ＯＡ＝ＯＢ，ＯＣ＝ＯＤ，∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＤ＝４０°，连接ＡＣ，ＢＤ交于点Ｍ。 则 ＡＣ ＢＤ ＝ ，∠ＡＭＢ的度数为 ； 【类比延伸】 （２）如图２，在△ＯＡＢ和△ＯＣＤ中，∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＤ＝９０°，∠ＯＡＢ＝∠ＯＣＤ＝３０°，连接 ＡＣ交 ＢＤ的延 长线于点Ｍ。请求出 ＡＣ ＢＤ 的值及∠ＡＭＢ的度数； 【拓展迁移】 （３）在（２）的条件下，将△ＯＣＤ中的点Ｏ在平面内旋转，ＡＣ，ＢＤ所在直线交于点Ｍ，若ＯＤ＝１，ＯＢ＝ 槡２３，请直接写出当点Ｃ与点Ｍ重合时ＡＣ的长。 图１ 　　　 图２ 　　　 备用图 ２４．（１３分）如图所示，抛物线与ｘ轴交于Ａ，Ｂ两点，与ｙ轴交于点Ｃ，且ＯＡ＝１，ＯＢ＝ＯＣ＝４。 （１）求抛物线的表达式； （２）若连接 ＡＣ，ＢＣ，动点 Ｄ从点 Ａ出发，在线段 ＡＢ上以每秒１个单位长度向点 Ｂ做匀速运动；同 时，动点Ｅ从点Ｂ出发，在线段ＢＣ上以每秒槡２个单位长度向点 Ｃ做匀速运动，当其中一点到达终 点时，另一点随之停止运动。连接ＤＥ，设运动时间为ｔ秒。在点Ｄ，Ｅ运动的过程中，当ｔ为何值时， 四边形ＡＤＥＣ的面积最小，最小值为多少？ （３）Ｍ是抛物线上位于ｘ轴上方的一点，点Ｎ在ｘ轴上，是否存在以Ｍ为直角顶点的等腰直角三角 形ＣＭＮ？若存在，求出点Ｍ的坐标；若不存在，请说明理由。 　 　　　 备用图 则四边形ＡＰＱＤ是正方形。 ∴ＰＱ＝ＤＱ＝ＡＰ＝ＡＢ＋ＢＰ＝８。 设ＤＭ＝ｘ，则ＭＱ＝８－ｘ。 ∵ＰＱ∥ＢＣ， ∴△ＡＢＮ∽△ＡＰＥ。 ∴ ＡＢ ＡＰ ＝ＢＮ ＰＥ ＝３ ４ 。 ∴ＰＥ＝ ４ ３ ＢＮ＝ ８ ３ 。 ∴ＥＱ＝ＰＱ－ＰＥ＝８－ ８ ３ ＝１６ ３ 。 由（１），得ＥＭ＝ＰＥ＋ＤＭ＝ ８ ３ ＋ｘ， 在Ｒｔ△ＱＥＭ中，由勾股定理， 得（ １６ ３ ）２＋（８－ｘ）２＝（ ８ ３ ＋ｘ）２， 解得ｘ＝４，即ＤＭ的长为４。 ２５．解：（１）∵抛物线ｙ＝－ｘ２＋ｂｘ过点Ｂ（４，－４）， ∴－１６＋４ｂ＝－４。 ∴ｂ＝３。 ∴抛物线的表达式为ｙ＝－ｘ２＋３ｘ。 （２）四边形ＯＣＰＤ是平行四边形。理由如下： 如图１，作 ＰＤ⊥ＯＡ交 ｘ轴于点 Ｈ，交抛物线于点 图１ Ｄ，连接ＰＣ，ＯＤ，ＢＣ。 ∵点Ｐ在ｙ＝－ｘ上， ∴ＯＨ＝ＰＨ，∠ＰＯＨ＝４５°。 ∵ＯＣ＝ＢＣ＝４，∴ＯＢ＝槡４２。 ∵ＢＰ＝槡２２， ∴ＯＰ＝ＯＢ－ＢＰ＝槡２２。 ∴ＯＨ＝ＰＨ＝槡 ２ ２ ＯＰ＝槡 ２ ２ ×槡２２＝２。 当ｘＤ＝２时，ＤＨ＝ｙＤ＝－４＋３×２＝２， ∴ＰＤ＝ＤＨ＋ＰＨ＝２＋２＝４。 ∵Ｃ（０，－４）， ∴ＯＣ＝４。 ∴ＰＤ＝ＯＣ。 ∵ＯＣ⊥ｘ轴，ＰＤ⊥ｘ轴，∴ＰＤ∥ＯＣ。 ∴四边形ＯＣＰＤ是平行四边形。 （３）如图 ２，连接 ＢＣ，在 ＯＡ上方作△ＯＭＱ，使得 ∠ＭＯＱ＝４５°，ＯＭ＝ＢＣ，连接ＢＭ。 图２ 由题意，得ＢＰ＝ＯＱ。 ∵ＯＣ＝ＢＣ＝４，ＢＣ⊥ＯＣ， ∴∠ＣＢＰ＝４５°。 ∴∠ＣＢＰ＝∠ＭＯＱ。 ∵ＢＰ＝ＯＱ，∠ＣＢＰ＝∠ＭＯＱ， ＢＣ＝ＯＭ， ∴△ＣＢＰ≌△ＭＯＱ（ＳＡＳ）。 ∴ＣＰ＝ＭＱ。 ∴ＣＰ＋ＢＱ＝ＭＱ＋ＢＱ≥ＢＭ。 ∴ＣＰ＋ＢＱ的最小值为ＢＭ。 ∵∠ＭＯＢ＝∠ＭＯＱ＋∠ＢＯＱ＝４５°＋４５°＝９０°， ∴ＢＭ＝ ＯＭ２＋ＯＢ槡 ２＝ ４２＋（槡４２）槡 ２＝槡４３， 即ＣＰ＋ＢＱ的最小值为 槡４３。 ７２０２４年莱山区第二学期第一阶段检测练习题 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｂ Ｄ Ｂ Ｃ Ｂ Ａ Ｃ Ｄ Ｃ Ａ １．Ｂ　【解析】２０２４的相反数是－２０２４。故选Ｂ。 ２．Ｄ　【解析】Ａ既不是轴对称图形，也不是中心对称图 形，故选项不符合题意；Ｂ是轴对称图形，不是中心对 称图形，故选项不符合题意；Ｃ是轴对称图形，不是中 心对称图形，故选项不符合题意；Ｄ既是轴对称图形， 也是中心对称图形，故选项符合题意。故选Ｄ。 ３．Ｂ　【解析】Ａ．（－３ａ２）３＝－２７ａ６，故本选项错误； Ｂ．（－ａ）２·ａ３＝ａ５，故本选项正确；Ｃ．（２ｘ－ｙ）２＝４ｘ２＋ ｙ２－４ｘｙ，故本选项错误；Ｄ．ａ２＋４ａ２＝５ａ２，故本选项错 误。故选Ｂ。 ４．Ｃ　【解析】从上面看，看到的图形为一个正方形，在 这个正方形里面还有一个小正方形，即看到的图形 是 。故选Ｃ。 ５．Ｂ　【解析】∵（２ｎ＋１）２－２５＝（２ｎ＋１）２－５２＝（２ｎ＋１－ ５）（２ｎ＋１＋５）＝（２ｎ－４）（２ｎ＋６）＝４（ｎ－２）（ｎ＋３）， ∴对任意整数ｎ，４都是４（ｎ－２）（ｎ＋３）的一个因数。 ∴对任意整数ｎ，（２ｎ＋１）２－２５都能被４整除。 故选Ｂ。 ６．Ａ　【解析】根据题目给出的数据可得中位数是 １０＋１０ ２ ＝１０，平均数是 １２×１＋１１×３＋１０×４＋９×２ １＋３＋４＋２ ＝１０．３。 ∵１０出现了４次，出现的次数最多，∴众数是１０。 方差是 １ １０ ×［（１２－１０．３）２＋３×（１１－１０．３）２＋４×（１０－ １０．３）２＋２×（９－１０．３）２］＝０．８１。这组数据的结论不 正确的是Ａ。故选Ａ。 ７．Ｃ　【解析】如图１所示， 图１ ∵七巧板里面的各个三角形均是等腰直角三角形， ∴所有锐角都等于４５°。 ∵正方形的边长为 槡２２， ∴根据勾股定理，得ＯＡ＝ＯＤ＝ＯＣ＝ＥＦ＝２，ＡＥ＝ＢＥ＝ ＢＦ＝ＣＦ＝ＨＩ＝槡２，ＡＧ＝ＥＧ＝ＥＩ＝ＯＧ＝ＯＩ＝ＯＨ＝ＣＨ＝１。 如图２所示，当七巧板拼成“衣服型”时， 图２                                                                —３２— 则“衣服型”的周长为 ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＤ＋ＤＥ＋ＥＦ＋ＦＧ＋ ＧＨ＋ＨＩ＋ＩＪ＋ＪＫ＋ＫＡ＝２＋２＋２＋槡２＋１＋槡２＋１＋１＋槡２＋ １＋槡２＝１０＋槡４２。故选Ｃ。 ８．Ｄ　【解析】如图，连接ＢＥ。 ∵每个网格是小菱形， ∴对角线垂直。∴ＢＥ⊥ＡＣ。 由题意，得∠１＝６０°。 设小菱形的边长为ａ，则ＣＥ＝槡３ａ，ＢＥ＝２ａ。 ∴ｔａｎ∠ＡＣＢ＝ ＢＥ ＣＥ ＝２ａ 槡３ａ ＝槡２３ ３ 。故选Ｄ。 ９．Ｃ　【解析】由所给函数图象可知，ａ＜０，ｂ＞０，ｃ＞０， ∴ａｂｃ＜０。故①正确；∵抛物线的对称轴为直线 ｘ＝１，∴－ ｂ ２ａ ＝１，即 ２ａ＋ｂ＝０。故②正确；∵抛物线 与ｘ轴的一个交点坐标为（－１，０），且对称轴为直线 ｘ＝１，∴抛物线与ｘ轴的另一个交点坐标为（３，０）。 又∵抛物线开口向下，∴当－１＜ｘ＜３时，函数图象在 ｘ轴的上方，即 ｙ＞０。∴当 ｙ＞０时，ｘ的取值范围是 －１＜ｘ＜３。故③错误；∵当ｘ＝－１时，ｙ＝ａ－ｂ＋ｃ＝０，即 ｃ＝ｂ－ａ。∵ｂ＝－２ａ，∴ ｂ２＋ｃ２ ａ２ ＝（２ａ） ２＋（－３ａ）２ ａ２ ＝１３ａ ２ ａ２ ＝１３。故④正确；∵顶点为（１，ｎ），∴ ４ａｃ－ｂ２ ４ａ ＝ｎ。整 理，得４ａｃ－ｂ２＝４ａｎ。故⑤错误。故选Ｃ。 １０．Ａ　【解析】由图象可知，ＡＢ＝８ｃｍ，ＢＣ＝１８－８＝１０ （ｃｍ），当ｘ＝１３时，即点Ｐ运动了１３ｃｍ。∵１３＞８， ∴此时点Ｐ在线段ＢＣ上，ＢＰ＝１３－８＝５（ｃｍ）。 ∴Ｐ是ＢＣ的中点。又∵∠Ａ＝９０°， ∴ＡＰ＝ １ ２ ＢＣ＝５ｃｍ。∴题图 ２中点 Ｐ的坐标为 （１３，５）。∴其纵坐标为５。故选Ａ。 １１．６．２８×１０１３　【解析】６２．８万亿＝６２８０００００００００００ ＝６．２８×１０１３。 １２． ３ ５ 　【解析】 ｘ－３（ｘ－２）≤４，① ２＋２ｘ ３ ≥ ｘ－１，②{ 解不等式①，得ｘ≥１，解不等式②，得ｘ≤５， ∴不等式组的解集为１≤ｘ≤５。 ∴整数解有１，２，３，４，５。 ∴它是奇数的概率是 ３ ５ 。 １３．１０６　【解析】由翻折的性质可知，∠ＤＥＦ＝∠ＧＥＦ。 ∵∠１＝３２°， ∴∠ＤＥＦ＝∠ＧＥＦ＝７４°。 ∴∠ＡＥＦ＝∠１＋∠ＧＥＦ＝３２°＋７４°＝１０６°。 ∵ＡＤ∥ＢＣ， ∴∠ＡＥＦ＝∠２＝１０６°。 １４． ５π ２ 　【解析】∵⊙Ｏ与反比例函数 ｙ＝ ３ ｘ 的图象交 于点Ａ（１，ａ）， ∴ａ＝３。∴Ａ（１，３）。 ∴ＯＡ＝ １２＋３槡 ２＝槡１０。根据圆和反比例函数图 象的性质，都属于中心对称图形， ∴Ｓ阴影＝ １ ４ Ｓ圆＝ １ ４ ×π×（槡１０） ２＝５π ２ 。 １５．①②③　【解析】作法一：如图１，连接ＯＭ，ＭＧ。 图１ ∵线段ＯＰ的垂直平分线交ＯＰ于点Ｇ， ∴ＯＧ＝ＰＧ。 ∵以点Ｇ为圆心，ＰＧ长为半径画弧交⊙Ｏ于点Ｍ， ∴点Ｏ在⊙Ｇ上，且ＯＰ是直径。 ∴∠ＯＭＰ＝９０°。 ∴直线ＰＭ与⊙Ｏ相切； 作法二：∵以点Ｏ为圆心，ＢＣ长为半径作弧， ∴ＯＭ＝ １ ２ ＢＣ＝ １ ２ ＯＤ。 ∵以点Ｐ为圆心，ＯＰ长为半径作弧，两弧相交于 点Ｄ， ∴ＰＤ＝ＯＰ。 ∴∠ＯＭＰ＝９０°。 ∴直线ＰＭ与⊙Ｏ相切； 作法三：如图２，过点Ｏ作ＯＦ⊥ＰＭ，连接ＱＭ。 图２ 设以点Ｏ为圆心，ＯＡ为半径的圆半径为 ｒ，则⊙Ｑ 半径为２ｒ，即ＱＭ＝２ｒ。 而以点 Ｏ为圆心，ＯＰ为半径的圆中，∠ＰＭＱ＝ ９０°，ＰＱ＝２ＯＰ， ∵∠ＭＰＱ＝∠ＭＰＱ，∠ＰＦＯ＝∠ＰＭＱ， ∴△ＰＯＦ∽△ＰＱＭ。 ∴ ＯＰ ＱＰ ＝ＯＦ ＱＭ ＝１ ２ ，即ＱＭ＝２ＯＦ。 ∴ＯＦ＝ｒ。 ∴点Ｆ在⊙Ｏ上。 又∵ＯＦ⊥ＰＭ， ∴直线ＰＭ与⊙Ｏ相切。 １６．槡３３　【解析】如图，以 Ａ为顶点，射线 ＡＣ为一边， 在ＡＣ下方作∠ＣＡＭ＝４５°，过点 Ｂ作 ＢＤ⊥ＡＭ于 点Ｄ，交ＡＣ于点Ｐ。                                                                —４２— 则△ＡＤＰ是等腰直角三角形。 ∴ＡＤ＝ＤＰ＝槡 ２ ２ ＡＰ。 ∴槡 ２ ２ ＡＰ＋ＢＰ＝ＤＰ＋ＢＰ。 ∴槡 ２ ２ ＡＰ＋ＢＰ取最小值，即 ＤＰ＋ＢＰ取最小值。此 时Ｂ，Ｐ，Ｄ三点共线，且ＢＤ⊥ＡＤ，槡 ２ ２ ＡＰ＋ＢＰ的最小 值即ＢＤ的长。 ∵∠ＢＡＣ＝１５°，∠ＣＡＭ＝４５°， ∴∠ＡＢＤ＝３０°。 ∴ＡＤ＝ １ ２ ＡＢ＝３，ＢＤ＝槡３ＡＤ＝槡３３。 ∴槡 ２ ２ ＡＰ＋ＢＰ的最小值为 槡３３。 １７．解：原式＝ ａ （ａ＋ｂ）（ａ－ｂ） －１ ａ＋ｂ[ ] ·ａ（ｂ－ａ） ＝ ａ －（ａ－ｂ） （ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）[ ] ·ａ（ｂ－ａ） ＝－ａｂ ａ＋ｂ 。 由题意，得ａ＋ｂ＝４，ａｂ＝－８，所以原式＝２。 １８．解：（１）此次调查采用的是抽样调查方式，样本容 量为 １０ １０％ ＝１００。故答案为抽样，１００。 选择“Ｄ艺术类”的人数为１００－１０－２０－４０－５＝２５。 补全条形统计图如下： （２）３６０°× ４０ １００ ＝１４４°。故答案为１４４。 （３）列表如下： 男１ 男２ 女１ 女２ 女３ 男１ （男１，男２）（男１，女１）（男１，女２）（男１，女３） 男２（男２，男１） （男２，女１）（男２，女２）（男２，女３） 女１（女１，男１）（女１，男２） （女１，女２）（女１，女３） 女２（女２，男１）（女２，男２）（女２，女１） （女２，女３） 女３（女３，男１）（女３，男２）（女３，女１）（女３，女２） 共有２０种等可能的结果，其中恰好抽到一名男生 和一名女生的结果有１２种，所以恰好抽到一名男 生和一名女生的概率是 ３ ５ 。 １９．解：（１）设 Ａ种材质的围棋每套的售价为 ｘ元，Ｂ 种材质的围棋每套的售价为ｙ元， 根据题意，得 ３ｘ＋５ｙ＝１８００， ４ｘ＋１０ｙ＝３１００。{ 解得 ｘ＝２５０，ｙ＝２１０。{ 答：Ａ种材质的围棋每套的售价为２５０元，Ｂ种材 质的围棋每套的售价为２１０元。 （２）设采购 Ａ种材质的围棋 ｍ套，则采购 Ｂ种材 质的围棋（３０－ｍ）套，获得的利润为ｗ元。 根据题意，得２００ｍ＋１７０（３０－ｍ）≤５４００。 解得ｍ≤１０。 ｗ＝（２５０－２００）ｍ＋（２１０－１７０）（３０－ｍ） ＝１０ｍ＋１２００。 ∵１０＞０，∴ｗ随ｍ的增大而增大。 ∵ｍ≤１０， ∴当ｍ＝１０时，ｗ取最大值，最大值为１３００。 此时３０－ｍ＝３０－１０＝２０。 答：采购Ａ种材质的围棋 １０套，Ｂ种材质的围棋 ２０套，利润最大，最大利润为１３００元。 ２０．解：（１）把Ａ（ａ，４）代入ｙ＝２ｘ＋６，得４＝２ａ＋６， 解得ａ＝－１。∴Ａ（－１，４）。 ∵反比例函数ｙ＝ ｋ ｘ 经过点Ａ，∴ｋ＝－１×４＝－４。 ∴反比例函数的表达式为ｙ＝－ ４ ｘ 。 由 ｙ＝２ｘ＋６， ｙ＝－ ４ ｘ ，{ 解得 ｘ＝－１，ｙ＝４，{ 或 ｘ＝－２，ｙ＝２。{ ∴点Ｂ的坐标为（－２，２）。 （２）当ＡＤ∶ＣＤ＝１∶２时， 如图，过点Ａ作ＡＥ⊥ｙ轴，过点Ｃ作ＣＦ⊥ｙ轴。 ∵∠ＡＤＥ＝∠ＣＤＦ，∠ＡＥＤ＝∠ＣＦＤ， ∴△ＡＥＤ∽△ＣＦＤ。 ∴ ＡＥ ＣＦ ＝ＡＤ ＣＤ ＝１ ２ 。 ∴ＣＦ＝２。 ∴Ｃ（２，－２）。 ∴ＢＣ＝ （－２－２）２＋［２－（－２）］槡 ２ ＝槡４２； 当ＡＤ∶ＣＤ＝２∶１时， ∴ＣＦ＝ １ ２ 。∴Ｃ（ １ ２ ，－８）。 ∴ＢＣ＝ （－２－ １ ２ ）２＋［２－（－８）］槡 ２＝ 槡５ １７ ２ 。 ∴ＢＣ的长为 槡４２或 槡５ １７ ２ 。 ２１．解：（１）如图，过点Ｅ作ＥＧ⊥ＡＣ于点Ｇ。 ∵ＡＢ＝２１ｃｍ，ＢＥ＝ １ ３ ＡＢ，∴ＢＥ＝７ｃｍ，ＡＥ＝１４ｃｍ。 在Ｒｔ△ＡＥＧ中，ＡＥ＝１４ｃｍ，∠ＡＥＧ＝１０°，                                                                —５２— ∴ＥＧ＝ＡＥ·ｃｏｓ１０°≈１４×０．９８＝１３．７２≈１３．７（ｃｍ）。 由题意，得四边形ＣＤＥＧ是矩形， ∴ＣＤ＝ＥＧ＝１３．７ｃｍ。 答：酒精灯与铁架台的水平距离 ＣＤ的长度约为 １３．７ｃｍ。 （２）如图，过点Ｂ分别作ＢＨ⊥ＤＥ于点Ｈ，ＢＰ⊥ＣＦ 于点Ｐ，在Ｒｔ△ＢＥＨ中，ＢＥ＝７ｃｍ，∠ＥＢＨ＝１０°， ＥＨ＝ＢＥ·ｓｉｎ１０°≈７×０．１７＝１．１９（ｃｍ）， ＢＨ＝ＢＥ·ｃｏｓ１０°≈７×０．９８＝６．８６（ｃｍ）。 ∴ＤＨ＝ＤＥ－ＥＨ＝２７．１９－１．１９＝２６（ｃｍ）。 由题意，得四边形ＨＤＰＢ是矩形， ∴ＢＰ＝ＤＨ＝２６ｃｍ，ＢＨ＝ＤＰ＝６．８６ｃｍ。 ∵∠ＡＢＦ＝１４５°，∴∠ＰＢＦ＝１４５°－９０°－１０°＝４５°。 ∴ＦＰ＝ＢＰ＝２６ｃｍ。 ∴ＤＦ＝ＤＰ＋ＦＰ＝６．８６＋２６＝３２．８６≈３２．９（ｃｍ）。 答：线段ＤＦ的长度约为３２．９ｃｍ。 ２２．解：（１）ＣＤ是⊙Ｏ的切线。 理由：如图，连接ＯＣ。 ∵ＣＢ＝ＣＤ，ＯＣ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ， ∴△ＯＣＢ≌△ＯＣＤ（ＳＳＳ）。 ∴∠ＯＤＣ＝∠ＯＢＣ＝９０°。 ∴ＯＤ⊥ＣＤ。 ∵ＯＤ是⊙Ｏ的半径， ∴ＣＤ是⊙Ｏ的切线。 （２）设⊙Ｏ的半径为ｒ。 在Ｒｔ△ＯＢＥ中，ＯＥ＝ＤＥ－ＯＤ＝４－ｒ， ∵ＯＥ２＝ＢＥ２＋ＯＢ２，∴（４－ｒ）２＝２２＋ｒ２。 ∴ｒ＝１．５。 ∵ｔａｎＥ＝ ＯＢ ＢＥ ＝ＣＤ ＤＥ ，∴ １．５ ２ ＝ＣＤ ４ 。 ∴ＣＤ＝ＢＣ＝３。 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＣ＝ ＡＢ２＋ＢＣ槡 ２＝ ３２＋３槡 ２＝槡３２。 ∴圆的半径为１．５，ＡＣ的长为 槡３２。 ２３．解：（１）∵∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＤ＝４０°， ∴∠ＡＯＣ＝∠ＢＯＤ。 ∵ＯＣ＝ＯＤ，ＯＡ＝ＯＢ， ∴△ＡＯＣ≌△ＢＯＤ（ＳＡＳ）。 ∴ＡＣ＝ＢＤ。∴ ＡＣ ＢＤ ＝１。 ∵△ＡＯＣ≌△ＢＯＤ， ∴∠ＯＡＣ＝∠ＯＢＤ。 ∵∠ＡＯＢ＝４０°， ∴∠ＯＡＢ＋∠ＯＢＡ＝１４０°。 在△ＡＭＢ中，∠ＡＭＢ＝１８０°－（∠ＯＡＣ＋∠ＯＡＢ＋ ∠ＡＢＤ）＝１８０°－（∠ＯＢＤ＋∠ＯＡＢ＋∠ＡＢＤ）＝１８０°－ １４０°＝４０°。 故答案为１，４０°。 （２）在Ｒｔ△ＣＯＤ中，∠ＯＣＤ＝３０°，∠ＣＯＤ＝９０°， ∴ ＯＤ ＯＣ ＝ｔａｎ３０°＝槡 ３ ３ 。 同理可得 ＯＢ ＯＡ ＝ｔａｎ３０°＝槡 ３ ３ ， ∴ ＯＤ ＯＣ ＝ＯＢ ＯＡ 。 ∵∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＤ＝９０°， ∴∠ＡＯＣ＝∠ＢＯＤ。 ∴△ＡＯＣ∽△ＢＯＤ。 ∴ ＡＣ ＢＤ ＝ＯＣ ＯＤ ＝槡３，∠ＯＡＣ＝∠ＯＢＤ。 在△ＡＭＢ中，∠ＡＭＢ＝１８０°－（∠ＢＡＭ＋∠ＡＢＭ）＝ １８０°－（∠ＯＡＢ＋∠ＡＢＭ＋∠ＯＢＤ）＝９０°。 （３）①如图１，同理可得△ＡＯＣ∽△ＢＯＤ， 图１ ∴∠ＡＭＢ＝９０°， ＡＣ ＢＤ ＝槡３。 设ＢＤ＝ｘ，则ＡＣ＝槡３ｘ。 在Ｒｔ△ＣＯＤ中，∠ＯＣＤ＝３０°，ＯＤ＝１， ∴ＣＤ＝２ＯＤ＝２，ＢＣ＝ｘ－２。 在Ｒｔ△ＡＯＢ中，∠ＯＡＢ＝３０°，ＯＢ＝槡２３， ∴ＡＢ＝２ＯＢ＝槡４３。 在Ｒｔ△ＡＭＢ中，由勾股定理，得ＡＣ２＋ＢＣ２＝ＡＢ２， 即（槡３ｘ） ２＋（ｘ－２）２＝（槡４３） ２。 整理，得ｘ２－ｘ－１１＝０。 解得ｘ１＝ １＋槡３５ ２ ，ｘ２＝ １－槡３５ ２ （舍）。 ∴ＡＣ＝槡 ３＋ 槡３ １５ ２ ； ②如图２，同理可得△ＡＯＣ∽△ＢＯＤ， 图２ ∴∠ＡＭＢ＝９０°， ＡＣ ＢＤ ＝槡３。 设ＢＤ＝ｘ，则ＡＣ＝槡３ｘ。 在Ｒｔ△ＡＭＢ中，由勾股定理，得ＡＣ２＋ＢＣ２＝ＡＢ２， 即（槡３ｘ） ２＋（ｘ＋２）２＝（槡４３） ２。 整理，得ｘ２＋ｘ－１１＝０。 解得ｘ１＝ －１＋槡３５ ２ ，ｘ２＝ －１－槡３５ ２ （舍）。 ∴ＡＣ＝ 槡 ３ １５－槡３ ２ 。                                                                —６２— 综上所述，ＡＣ的长为槡 ３＋ 槡３ １５ ２ 或 槡 ３ １５－槡３ ２ 。 ２４．解：（１）∵ＯＢ＝ＯＣ＝４，ＯＡ＝１， ∴Ｃ（０，４），Ｂ（４，０），Ａ（－１，０）。 ∴抛物线的表达式为ｙ＝－（ｘ＋１）（ｘ－４） ＝－ｘ２＋３ｘ＋４。 （２）∵ＯＢ＝ＯＣ＝４，∴△ＯＢＣ是等腰直角三角形。 由点Ｅ的运动可知ＢＥ＝槡２ｔ， 如图１，过点Ｅ作ＥＦ⊥ｘ轴，垂足为Ｆ。 ∴ＥＦ＝ＢＦ＝槡 ２ｔ 槡２ ＝ｔ。 ∵Ａ（－１，０），∴ＡＢ＝５。 ∴Ｓ四边形ＡＤＥＣ＝Ｓ△ＡＢＣ－Ｓ△ＢＤＥ＝ １ ２ ×４×５－ １ ２ ×（５－ｔ）ｔ＝ １ ２(ｔ－５２) ２ ＋５５ ８ 。 ∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动， ＢＣ＝ ４２＋４槡 ２＝槡４２，ＡＢ＝５， ∴０≤ｔ≤４。 ∴当ｔ＝ ５ ２ 时，四边形 ＡＤＥＣ的面积最小，最小值 为 ５５ ８ 。 图１ 　　 图２ （３）当点Ｍ在 ＣＮ的右侧时，如图 ２，过点 Ｍ作 ｙ 轴的平行线，交ｘ轴于点 Ｑ，过点 Ｃ作 ＣＰ⊥ＰＱ于 点Ｐ。 ∵△ＣＭＮ是以Ｍ为直角顶点的等腰直角三角形， ∴ＣＭ＝ＭＮ，∠ＣＭＮ＝９０°。 ∴∠ＰＣＭ＝９０°－∠ＰＭＣ＝∠ＮＭＱ。 ∵∠ＣＰＭ＝∠ＭＱＮ＝９０°， ∴△ＣＰＭ≌△ＭＱＮ（ＡＡＳ）。∴ＣＰ＝ＭＱ。 设Ｍ（ｍ，－ｍ２＋３ｍ＋４），∴－ｍ２＋３ｍ＋４＝ｍ。 解得ｍ＝１＋槡５或１－槡５（舍去）。 ∴Ｍ（１＋槡５，１＋槡５）； 当点Ｍ在ＣＮ的左侧时，同理可得－ｍ２＋３ｍ＋４＝－ｍ。 解得ｍ＝２－槡２２或２＋槡２２（舍去）。 ∴Ｍ（２－槡２２，槡２２－２）。 综上所述，Ｍ（１＋槡５，１＋槡５）或（２－槡２２，槡２２－２）。 ８２０２４年龙口市初中学业水平模拟考试 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｃ Ａ Ｂ Ｃ Ｂ Ｃ Ａ Ｄ Ｄ Ｂ １．Ｃ　【解析】由题意，得ａ＜０＜ｂ，∴ａ＜ｂ。故选Ｃ。 ２．Ａ　【解析】Ａ既是轴对称图形，也是中心对称图形； Ｂ不是轴对称图形，是中心对称图形；Ｃ是轴对称图 形，不是中心对称图形；Ｄ既不是轴对称图形，也不 是中心对称图形。故选Ａ。 ３．Ｂ　【解析】Ａ．２ａ２＋ａ２＝３ａ２，故选项不符合题意；Ｂ．ａ６ ÷ａ４＝ａ２，故选项符合题意；Ｃ．（４ａｂ）２＝１６ａ２ｂ２，故选 项不符合题意；Ｄ．（ａ＋ｂ）２＝ａ２＋２ａｂ＋ｂ２，故选项不符 合题意。故选Ｂ。 ４．Ｃ　【解析】该几何体的左视图是 。故选Ｃ。 ５．Ｂ　【解析】方差是反映一组数据的波动大小的一个 量，方差越大，则数据的离散程度越大，稳定性越 差；反之，则数据的离散程度越小，稳定性越好，故 可以用来评估这种小麦亩产量稳定程度的是方差。 故选Ｂ。 ６．Ｃ　【解析】∵∠ＢＡＣ＝７０°， ∴∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ＝１８０°－７０°＝１１０°。 ∵ＯＢ，ＯＣ分别平分∠ＡＢＣ，∠ＡＣＢ， ∴∠ＯＢＣ＋∠ＯＣＢ＝ １ ２ （∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ）＝５５°。 ∴∠ＢＯＣ＝１８０°－５５°＝１２５°。故选Ｃ。 ７．Ａ　【解析】如图，过点 Ｏ作 ＥＦ⊥ＯＭ，过点 Ａ作 ＡＧ ⊥ＥＦ于点Ｇ。 ∵ＡＢ＝６米，ＯＡ∶ＯＢ＝２∶１，∴ＯＡ＝４米。 ∵∠ＡＯＭ＝１２０°，∠ＥＯＭ＝９０°， ∴∠ＡＯＥ＝３０°。 在Ｒｔ△ＡＯＧ中，ＡＧ＝ＯＡ·ｓｉｎ３０°＝２（米），点Ａ位于 最高点时到地面的距离为２＋３＝５（米）。故选Ａ。 ８．Ｄ　【解析】由勾股定理，得 ＰＣ＝ＰＥ＝ＰＢ＝ ３２＋１槡 ２ ＝槡１０，∴点Ｐ到Ｂ，Ｃ，Ｅ三点的距离相等。 ∴点Ｐ是△ＢＣＥ的外心。故选Ｄ。 ９．Ｄ　【解析】小明的作法正确。小明的作法如图１。 图１ 理由：∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， ∴ＡＤ∥ＢＣ。∴∠ＡＥＯ＝∠ＣＦＯ。 ∵ＥＦ垂直平分线段ＡＣ，∴ＯＡ＝ＯＣ。 在△ＡＯＥ和△ＣＯＦ中， ∠ＡＥＯ＝∠ＣＦＯ， ∠ＡＯＥ＝∠ＣＯＦ， ＯＡ＝ＯＣ，{ ∴△ＡＥＯ≌△ＣＦＯ（ＡＡＳ）。∴ＡＥ＝ＣＦ。 ∵ＡＥ∥ＣＦ，∴四边形ＡＥＣＦ是平行四边形。 ∵ＡＣ⊥ＥＦ，∴四边形ＡＥＣＦ是菱形； 小亮的作法正确。小亮的作法如图２。                                                                —７２—