2024-2025学年九年级下学期人教测试卷（1）2024-2025学年九年级数学下册核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

2024-2025学年九年级下学期人教测试卷（1） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 考试范围： 二次函数、图形的相似、 锐角三角函数、 统计和概率的简单应用； 第I卷（选择题） 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．如图，与是位似图形，点O为位似中心，若，则与周长比是（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知直线，若，，则的长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 3．某几何体如图所示，它的左视图与俯视图都正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在平面点角坐标系中AOB与COD是位似图形，以原点O为位似中心，若，B点坐标为(4，2)，则点D的坐标为（    ） A．( 8，4) B．(8，6) C．(12，4) D．(12，6) 5．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB=6，AE=9，DE=2，则EF的长是（　　） A．4 B．5 C． D． 6．老师要求同学们设计一个测量某池塘两端A、B距离的方案，王兵设计的方案如下：如图，在池塘外选一点C，测得∠CAB＝90°，∠C＝30°，AC＝36m，则可知AB的距离为（　　） A．19m B．19m C．12m D．12m 7．某司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以70千米/时的平均速度行驶了6小时到达目的地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度v(千米/时)与时间t(时)的函数解析式为(       ) A． B． C． D． 8．将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形（     ） A．可能是锐角三角形 B．不可能是直角三角形 C．仍然是直角三角形 D．可能是钝角三角形 9．如图是自行车骑行训练场地的一部分，半圆O的直径AB=100，在半圆弧上有一运动员C从B点沿半圆周匀速运动到M（最高点），此时由于自行车故障原地停留了一段时间，修理好继续以相同的速度运动到A点停止．设运动时间为t，点B到直线OC的距离为d，则下列图象能大致刻画d与t之间的关系是（ ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，平分交于点，过点作于点，则的长为（    ）    A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分） 11．身高相同的小刚和小美站在一盏路灯下的不同位置，已知小刚的影子比小美长，我们可以判定小刚离灯较 ． 12．若则= ． 13．如图，已知A （4，2），B（2，﹣2），以点O为位似中心，按位似比1：2把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标为 ． 14．一天，小明的爸爸送给小明一个礼物，小明打开包装后画出它的主视图和俯视图如图所示．根据小明画的视图，你猜小明的爸爸送给小明的礼物是 . 15．如图，点B和点C是反比例函数（）在第一象限上的点，过点B的直线与x轴交于点A，轴，垂足为D，与交于点E，，．则 ． 16．如图，大楼的底部右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为，测得大楼顶端A的仰角为（点B，C，E在同一水平直线上），已知，则障碍物B，C两点间的距离为 米．（结果保留根号） 17．如图，已知和是以点C为位似中心的位似图形，且点C与点D在直线同侧和的周长之比为，点C的坐标为(-2，0)，若点A的坐标为(-4，3)，则点E的坐标为 ． 18．规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点为整点，双曲线经过点，直线与y轴相交于点，与双曲线相交于点，线段、及、两点之间的曲线所围成的区域记作． （1） ； （2）若区域（不包括边界）内的整点的个数大于等于，则的取值范围是 ． 三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分） 19．在中，，于点，（1）写出图中所有的相似三角形；（2）写出（1）中相似三角形对应边的比例式． 20．如图，P是反比例函数（x＞0）的图象上的一点，PN垂直x轴于点N，PM垂直y轴于点M，矩形OMPN的面积为2，且ON＝1，一次函数y＝x＋b的图象经过点P． (1)求该反比例函数和一次函数的解析式； (2)设直线y＝x＋b与x轴的交点为A，点Q在y轴上，当△QOA的面积等于矩形OMPN的面积的时，直接写出点Q的坐标． 21．（1）用配方法解方程：； （2）如图，已知四边形四边形，求，和的值． 22．如图，某武警部队在一次地震抢险救灾行动中，探险队员在相距4米的水平地面A，B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知在A处测得探测线与地面的夹角为30°，在B处测得探测线与地面的夹角为60°，求该生命迹象C处与地面的距离．(结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73) 23．如图，已知AB是⊙O的直径，AC为弦，且平分∠BAD，AD⊥CD，垂足为D． (1) 求证：CD是⊙O的切线； (2) 若⊙O的直径为4，AD=3，试求∠BAC的度数． 24．如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°．根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险．学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？（结果取整数）（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，≈1.41，≈1.73，≈2.24） 25．（1）【操作发现】 如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上． ①请按要求画图：将绕点A顺时针方向旋转90°，点B的对应点为点，点C的对应点为点．连接； ②在①中所画图形中，＝　　°． （2）【问题解决】 如图2，在中，BC＝1，∠C＝90°，延长CA到D，使CD＝1，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°到AE，连接DE，求∠ADE的度数． （3）【拓展延伸】 如图3，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝1，CD＝3，AD＝kAB（k为常数），求BD的长（用含k的式子表示）． 26．如图1，抛物线与坐标轴分别交于三点，其中点坐标为． (1)求抛物线解析式； (2)点是直线下方抛物线上的一动点，点是轴上一动点，当四边形的面积最大时，求的最小值； (3)在（2）条件下，将抛物线沿轴翻折得到，则点的对应点为，并将沿射线方向平移个单位长度得到，记在抛物线上的对应点为，过作轴于点是直线上一点，连接，则是否存在点使得；若存在，请直接写出点的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级下学期人教测试卷（1） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 考试范围： 二次函数、图形的相似、 锐角三角函数、 统计和概率的简单应用； 第I卷（选择题） 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．如图，与是位似图形，点O为位似中心，若，则与周长比是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据位似图形是相似图形，相似三角形的周长比等于相似比，进行求解即可． 【详解】解：∵与是位似图形， ∴， ∵， ∴相似比为：， ∴与周长比等于相似比； 故选A． 【点睛】本题考查相似三角形的性质．熟练掌握位似图形是相似图形，相似三角形的周长比等于相似比，是解题的关键． 2．如图，已知直线，若，，则的长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，正确列出比例式是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 3．某几何体如图所示，它的左视图与俯视图都正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图解答即可. 【详解】该几何体的左视图和俯视图都是矩形. 故选D. 【点睛】本题考查三视图的知识，解决此类图的关键是理解三视图的定义.从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，被遮挡的线画虚线. 4．如图，在平面点角坐标系中AOB与COD是位似图形，以原点O为位似中心，若，B点坐标为(4，2)，则点D的坐标为（    ） A．( 8，4) B．(8，6) C．(12，4) D．(12，6) 【答案】D 【分析】先求出位似比，根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴AOB与COD的位似比为， ∵B点坐标为(4，2)，AOB与COD是以坐标原点O为位似中心， ∴点D的坐标（4×3，2×3），即（12，6）， 故选：D． 【点睛】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k． 5．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB=6，AE=9，DE=2，则EF的长是（　　） A．4 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】由△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得DF的长，然后利用勾股定理，求EF的长． 【详解】解：∵△ABE∽△DEF， ∴， ∵AB＝6，AE＝9，DE＝2， ∴， 解得：DF＝3， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝90°， ∴EF＝． 故选C． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质、矩形的性质以及勾股定理．难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 6．老师要求同学们设计一个测量某池塘两端A、B距离的方案，王兵设计的方案如下：如图，在池塘外选一点C，测得∠CAB＝90°，∠C＝30°，AC＝36m，则可知AB的距离为（　　） A．19m B．19m C．12m D．12m 【答案】C 【分析】直接利用直角三角形的性质结合勾股定理得出答案． 【详解】∵∠CAB＝90°，∠C＝30°，AC＝36m， ∴设AB＝x，则BC＝2x， ∴AC2+AB2＝BC2， 即362+x2＝（2x）2， 解得：x＝12． 故选C． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键． 7．某司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以70千米/时的平均速度行驶了6小时到达目的地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度v(千米/时)与时间t(时)的函数解析式为(       ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得路程，再由等量关系“速度=路程÷时间”列出关系式即可． 【详解】解：该司机以70千米/时的平均速度行驶了6小时到达目的地， 行驶的路程为(千米)， 汽车的速度v(千米/时)与时间t(时)的函数解析式为：． 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，重点是找出题中的等量关系． 8．将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形（     ） A．可能是锐角三角形 B．不可能是直角三角形 C．仍然是直角三角形 D．可能是钝角三角形 【答案】C 【详解】试题解析：∵将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形的三条边与原三角形的三条边对应成比例， ∴两三角形相似． 又∵原来的三角形是直角三角形，而相似三角形的对应角相等， ∴得到的三角形仍是直角三角形． 故选C． 9．如图是自行车骑行训练场地的一部分，半圆O的直径AB=100，在半圆弧上有一运动员C从B点沿半圆周匀速运动到M（最高点），此时由于自行车故障原地停留了一段时间，修理好继续以相同的速度运动到A点停止．设运动时间为t，点B到直线OC的距离为d，则下列图象能大致刻画d与t之间的关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：设运动员C的速度为v，则运动了t的路程为vt， 设∠BOC=α， 当点C从运动到M时， ∵vt= ∴α=， 在直角三角形中，∵d=50sinα=50sin ∴d与t之间的关系d=50sin， ∴在到M点之前，d与t并不是一次函数关系，同时在中间过程中会有一段时间d不会发生改变，故选C． 考点：动点问题的函数图象． 10．如图，在中，，平分交于点，过点作于点，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于点，如图所示，结合角平分线的性质，利用三角形全等的判定得到，进而求出线段长度，再由三角形相似的判定得到，再由相似比求出线段长，在中，由勾股定理求出，最后由等面积法列方程求解即可得到答案． 【详解】解：过点作于点，如图所示：   ，则， 是直角三角形，且． 平分． ， ， ，则， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理、角平分线性质、三角形全等的判定与性质、三角形相似的判定与性质、三角形面积公式等知识，熟练掌握相关几何判定与性质是解决问题的关键． 第II卷（非选择题） 二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分） 11．身高相同的小刚和小美站在一盏路灯下的不同位置，已知小刚的影子比小美长，我们可以判定小刚离灯较 ． 【答案】远 【分析】根据中心投影的特点判断即可． 【详解】解：中心投影的特点是：等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．所以小刚离灯较远． 故答案为远. 【点睛】本题综合考查了中心投影的特点和规律．中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短． 12．若则= ． 【答案】12 【分析】根据已知得出a=2b，b=6c，从而得出a和c的关系，继而得出答案 【详解】解：∵，∴a=2b； ∵，∴b=6c； ∴a=12c ∴； 故答案为：12 【点睛】本题考查了比例的性质，得出a=12c是解本题的关键 13．如图，已知A （4，2），B（2，﹣2），以点O为位似中心，按位似比1：2把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标为 ． 【答案】（2，1）或（﹣2，﹣1）/（﹣2，﹣1）或（2，1） 【分析】利用位似图形的性质得出对应点横纵坐标乘以或﹣，得出即可． 【详解】解：∵A （4，2），B（2，﹣2）， 以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小， ∴点A的对应点A'的坐标是：（2，1）或（﹣2，﹣1）． 故答案为：（2，1）或（﹣2，﹣1）． 【点睛】本题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确把握位似图形的性质是解题的关键． 14．一天，小明的爸爸送给小明一个礼物，小明打开包装后画出它的主视图和俯视图如图所示．根据小明画的视图，你猜小明的爸爸送给小明的礼物是 . 【答案】生日蛋糕 【分析】由主视图确定几何体是柱体,由俯视图确定几何体是圆柱. 【详解】由主视图可判断该几何体上下两部分都是柱体,再由俯视图判断该几何体上下两部分都是圆柱.从而得出答案: 生日蛋糕. 【点睛】本题考查了几何体的三视图,直接利用三视图即可判断几何体的形状. 15．如图，点B和点C是反比例函数（）在第一象限上的点，过点B的直线与x轴交于点A，轴，垂足为D，与交于点E，，．则 ． 【答案】4 【分析】先求出，进而依次求出，，，则可得反比例函数解析式，联立且，可得，问题随之得解． 【详解】∵当时，，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，，即， ∵轴， ∴，即：， ∵， ∴，即， ∵点C是反比例函数（）在第一象限上的点， ∴反比例函数（）， 联立且， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了一次函数以反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的图象与性质是解答本题的关键． 16．如图，大楼的底部右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为，测得大楼顶端A的仰角为（点B，C，E在同一水平直线上），已知，则障碍物B，C两点间的距离为 米．（结果保留根号） 【答案】 【分析】过D作DF⊥AB，交AB于点F，过C作CG⊥DF，交DF于点G，可得四边形FBED与四边形CGDE为矩形，由AB-BF求出AF的长，在直角三角形AFD中，利用锐角三角函数定义求出FD的长，在直角三角形CGD中，利用锐角三角函数定义求出GD的长，由FD-DG求出FG的长，即为BC的长． 【详解】解：如图，过点D作于点F，过点C作于点G，则四边形与矩形， ∴， 由题意可知，， ∵， ∴， 在中， ， ∴， 在中， ，即， 解得， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键． 17．如图，已知和是以点C为位似中心的位似图形，且点C与点D在直线同侧和的周长之比为，点C的坐标为(-2，0)，若点A的坐标为(-4，3)，则点E的坐标为 ． 【答案】 【分析】先利用位似的性质得到△ABC和△EDC的位似比为1：2，然后利用平移的方法把位似中心平移到原点解决问题． 【详解】解：∵△ABC和△EDC是以点C为位似中心的位似图形， 而△ABC和△EDC的周长之比为1：2， ∴△ABC和△EDC的位似比为1：2， 把C点向右平移2个单位到原点，则A点向右平移2个单位的对应点的坐标为（-2，3）， 点（-2，3）以原点为位似中心的对应点的坐标为（4，-6）， 把点（4，-6）向左平移2个单位得到（2，-6）， ∴E点坐标为（2，-6）． 故填：． 【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．也考查了转化的思想． 18．规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点为整点，双曲线经过点，直线与y轴相交于点，与双曲线相交于点，线段、及、两点之间的曲线所围成的区域记作． （1） ； （2）若区域（不包括边界）内的整点的个数大于等于，则的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查的是反比例函数的图象和性质、平面直角坐标系中整点的定义，掌握待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤、灵活运用数形结合思想是解题的关键． （1）根据反比例函数图象上点的坐标特征，求出． （2）先由题意得出点坐标，再加上，从而得出直线表达式，再确定，根据在和进行分类讨论，写出区域内所有整数点，列举出满足条件的整数点，进而综合两种情况得到答案． 【详解】解：（1）将代入中， 解得：， 故答案为：． （2）， 当时，， ，且, 设直线表达式为， 代入和坐标可得， 解得：， 直线表达式为， ∴直线过点，， 时，与无交点，不合题意，   、、在上， 均不在区域， 当时，， 当在时，若恰好经点过时，点在直线上， 此时内有一个整点，即， 将代入中， 解得：， 中至少有个整点， ． 当在时，若恰好经过点时， 此时内有两个整点，即，， 将代入中， 解得：，即， 中至少有个整点， , 综上：的取值范围是或， 故答案为：或． 三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分） 19．在中，，于点，（1）写出图中所有的相似三角形；（2）写出（1）中相似三角形对应边的比例式． 【答案】（1）△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD；（2），，. 【分析】（1）根据两角相等可判定△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，再由相似的传递性可得△ACD∽△CBD； （2）再由相似三角形对应边成比例写出比例式. 【详解】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB， ∴∠ACB=∠ADC=90°， 又∵∠A=∠A ∴△ABC∽△ACD 同理可得△ABC∽△CBD， ∴△ACD∽△CBD 故相似三角形为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD； （2）∵△ABC∽△ACD ∴ ∵△ABC∽△CBD ∴ ∵△ACD∽△CBD ∴ 故比例式为：，，. 【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握由两组对角相等判定三角形相似，以及相似三角形对应边成比例是解决本题的关键. 20．如图，P是反比例函数（x＞0）的图象上的一点，PN垂直x轴于点N，PM垂直y轴于点M，矩形OMPN的面积为2，且ON＝1，一次函数y＝x＋b的图象经过点P． (1)求该反比例函数和一次函数的解析式； (2)设直线y＝x＋b与x轴的交点为A，点Q在y轴上，当△QOA的面积等于矩形OMPN的面积的时，直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)， (2)(0，1)和(0，-1) 【分析】（1）利用矩形的面积和ON的值即可求出PM，进而得到P点的坐标，再利用待定系数法即可求得反比例函数和一次函数的解析式； （2）利用一次函数的解析式求出A点的坐标，即可得到OA的长度；利用矩形的面积求出△QOA的面积，根据G点在y轴上，则有OG⊥OA，即可表示出△QOA的面积，进而求出OG的长度，则在y轴的正半轴和负半轴各有一个符合要求的G点，其坐标可得． 【详解】（1）∵PM⊥y轴，PN⊥x轴，矩形ONPM的面积是2，ON=1， ∴PM=ON=1， ∴PN=OM=2，即P点坐标为(1,2)， ∵反比例函数和一次函数都进过P点， ∴将P点坐标分别代入得：，， ∴k=2，b=1， ∴反比例函数的解析式为：和一次函数； （2）将y=0代入得x=-1， ∴直线与x轴的交点A的坐标为(-1,0)， ∴OA=1， ∵，=2， ∴， ∵G点在y轴上， ∴OG⊥OA，即， 又∵OA=1， ∴OG=1，即G点到x轴的距离为1， ∵G点在y轴上， ∴在y轴的正半轴和负半轴各有一个满足要求的G点， ∴G的坐标为：(0，1)、(0，-1)． 【点睛】本题考查了用待定系数法求解反比例函数、一次函数的解析式等知识，正确求出P点坐标是解答本题的关键． 21．（1）用配方法解方程：； （2）如图，已知四边形四边形，求，和的值． 【答案】（1）（2），， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，相似多边形的性质，多边形内角和． （1）利用配方法解方程即可； （2）根据“相似多边的对应角相等，对应边成比例”，即可求解． 【详解】解：（1） 解得：； （2）四边形四边形， ， ， ，即， ，即， ， ． 22．如图，某武警部队在一次地震抢险救灾行动中，探险队员在相距4米的水平地面A，B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知在A处测得探测线与地面的夹角为30°，在B处测得探测线与地面的夹角为60°，求该生命迹象C处与地面的距离．(结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73) 【答案】3.5米 【详解】分析： 如下图，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，结合题意可得∠ADC=90°，∠CAD=30°，∠CBD=60°，这样由三角形外角的性质可得∠ACB=∠CBD-∠CAD=30°=∠CAD，由此可得BC=AB=4米，这样在Rt△CBD中，由sin∠CBD=即可求得CD的长了. 详解： 如下图，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D， ∴∠ADC=90°， ∵由题意可得：∠CAD＝30°，∠CBD＝60°， ∴∠CBD-∠CAD=30°， ∴∠CAB＝∠ACB＝30°， ∴BC＝AB＝4米． ∵在Rt△CDB中，sin∠CBD＝， ∴sin60°＝， ∴CD＝4sin60°＝4×＝2≈3.5(米)． 故该生命迹象C处与地面的距离约为3.5米． 点睛：“作出如图所示的辅助线，结合已知条件证得BC=AB=4米，知道在Rt△CDB中，sin∠CBD＝”是解答本题的关键. 23．如图，已知AB是⊙O的直径，AC为弦，且平分∠BAD，AD⊥CD，垂足为D． (1) 求证：CD是⊙O的切线； (2) 若⊙O的直径为4，AD=3，试求∠BAC的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）30°. 【分析】(1)连接OC,证先利用角平分线的定义和等腰三角形的性质证明∠OCA=∠DAC，从而OC∥AD，由平行线的性质可得OC⊥CD，从而得出CD是⊙O切线； (2)连接BC,证明△ACB∽△ADC,求出AC的长度,再求出∠BAC的余弦,得出∠BAC的度数. 【详解】解：(1) 连结OC. ∵平分，∴∠BAC=∠DAC. 又OA=OC, ∴∠BAC=∠OCA, ∴∠OCA=∠DAC, ∴OC∥AD. ∵AD⊥CD, ∴OC⊥CD, ∴CD是⊙O的切线. (2) 连结BC. ∵AB是⊙O的直径, ∴∠ACB=90°, ∴∠ACB=∠ADC=90°. 又∠BAC=∠DAC, ∴△ACB∽△ADC. ∴, , , ∴AC=. 在Rt△ACB中, cos∠BAC=, ∴∠BAC=30°. 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，圆的切线的判定及锐角三角函数的知识.连接半径是证明切线的一种常用辅助线的做法,求角的度数可以借助于三角函数. 24．如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°．根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险．学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？（结果取整数）（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，≈1.41，≈1.73，≈2.24） 【答案】7 【分析】假设点D移到D′的位置时，恰好∠α=39°，过点D作DE⊥AC于点E，作D′E′⊥AC于点E′，根据锐角三角函数的定义求出DE、CE、CE′的长，进而可得出结论． 【详解】假设点D移到D’的位置时，恰好∠α=39°，过D点作DE⊥AC于E点，作D’E⊥AC于E’ ∵CD=12，∠DCE=60° ∴DE=CD·sin60°=6，CE=CD·cos60°=6 ∵DE⊥AC，D’E’⊥AC，DD’∥CE’ ∴四边形DEE’D’是矩形 ∴DE=D’E’=6， ∵∠D’CE’=39° ∴CE′=≈13 ∴EE′=CE′﹣CE=13﹣6=7（米）． 即 答：学校至少要把坡顶D向后水平移动7米才能保证教学楼的安全． 【点睛】本题考查了解直角三角的应用，锐角三角函数是解题的关键． 25．（1）【操作发现】 如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上． ①请按要求画图：将绕点A顺时针方向旋转90°，点B的对应点为点，点C的对应点为点．连接； ②在①中所画图形中，＝　　°． （2）【问题解决】 如图2，在中，BC＝1，∠C＝90°，延长CA到D，使CD＝1，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°到AE，连接DE，求∠ADE的度数． （3）【拓展延伸】 如图3，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝1，CD＝3，AD＝kAB（k为常数），求BD的长（用含k的式子表示）． 【答案】（1）①见解析，②45；（2）135°；（3） 【分析】（1）①根据旋转角，旋转方向画出图形即可． ②只要证明△ABB′是等腰直角三角形即可． （2）如图2，过点E作EH⊥CD交CD的延长线于H．证明△ABC≌△EAH（AAS）即可解决问题． （3）如图3中，由AE⊥BC，BE＝EC，推出AB＝AC，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD＝CG，只要证明∠GDC＝90°，可得CG＝，由此即可解决问题． 【详解】解：（1）①如图，△AB′C′即为所求． ②由作图可知，△ABB′是等腰直角三角形， ∴∠AB′B＝45°， 故答案为45． （2）如图2中，过点E作EH⊥CD交CD的延长线于H． ∵∠C＝∠BAE＝∠H＝90°， ∴∠B+∠CAB＝90°，∠CAB+∠EAH＝90°， ∴∠B＝∠EAH， ∵AB＝AE， ∴△ABC≌△EAH（AAS）， ∴BC＝AH，EH＝AC， ∵BC＝CD， ∴CD＝AH， ∴DH＝AC＝EH， ∴∠EDH＝45°， ∴∠ADE＝135°． （3）如图③中，∵AE⊥BC，BE＝EC， ∴AB＝AC，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD＝CG， ∵∠BAD＝∠CAG， ∴∠BAC＝∠DAG， ∵AB＝AC，AD＝AG， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADG＝∠AGD， ∴△ABC∽△ADG， ∵AD＝kAB， ∴DG＝kBC＝2k， ∵∠BAE+∠ABC＝90°，∠BAE＝∠ADC， ∴∠ADG+∠ADC＝90°， ∴∠GDC＝90°， ∴CG＝＝． ∴BD＝CG＝． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用旋转法添加辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 26．如图1，抛物线与坐标轴分别交于三点，其中点坐标为． (1)求抛物线解析式； (2)点是直线下方抛物线上的一动点，点是轴上一动点，当四边形的面积最大时，求的最小值； (3)在（2）条件下，将抛物线沿轴翻折得到，则点的对应点为，并将沿射线方向平移个单位长度得到，记在抛物线上的对应点为，过作轴于点是直线上一点，连接，则是否存在点使得；若存在，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出，再把，代入得计算即可； （2）过作轴于，交于，先求直线解析式为，再设，则，，根据，求出面积最大时，再过在轴上方找一点，使，，连接，延长交轴于，根据，当在上时，最小，再求出的轨迹方程，设，根据求解即可； （3）先求出，，得到，直线解析式为，再根据的位置分情况讨论，分别画出图形求解即可． 【详解】（1）解：令，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， 把，代入得， 解得， ∴抛物线解析式； （2）解：过作轴于，交于， ∵， ∴设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， ∴设，则， ∴， ∴ ， ∴当时，最大，此时， 过在轴上方找一点，使，，连接，延长交轴于， ∴，， ∴，，即，点在直线上移动， ∴， ∴当在上时，最小， 设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， ∴设， ∴， ∴当时，最小，即， ∴的最小值； （3）解：∵关于轴翻折得到点， ∴将抛物线沿轴翻折得到，解析式为，整理得，的对应点， 连接交轴于，则轴，，    ∴，，， ∴将沿射线方向平移个单位长度得到，相当于先向左移动个单位长度，再向下移动12个单位长度， ∴在抛物线上的对应点为，即， ∵过作轴于点， ∴， ∵， ∴设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， 当点在点左边时，由外角可得，不合题意； 当点在线段上时，如图，连接交轴于点，过作于 ∵， ∴，即平分， ∵ ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵中，， ∴， 解得， ∴， 同理可求得直线解析式为， ∵直线与交点为， ∴联立，解得， ∴； 当点在点右边时，如图，过作交于，过作轴于， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，轴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， 同理可求得直线解析式为， ∵直线与交点为， ∴联立，解得， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及到求抛物线解析式，二次函数面积最值，二次函数线段和最值，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识点． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$