精品解析：福建省泉州市安溪县2026年 九年级 中考模拟数学试卷

2026届初中毕业班数学学科模拟练习 （满分：150分；考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称”，据此逐一判断各选项即可． 【详解】解：A．是有限小数，属于有理数，故此选项不符合题意； B．是无理数，故此选项符合题意； C．是分数，属于有理数，故此选项不符合题意； D．，是整数，属于有理数，故此选项不符合题意． 2. “鼓之舞之”是“鼓舞”一词的重要源头和雏形．如图是喜庆集会时所击的鼓的立体图形，则这个图形的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵该几何体是中间粗、两头细的鼓， ∴从正面看，其轮廓上下为水平线段，左右为向外凸出的曲线， 观察选项，只有A选项符合题意． 3. 宋·苏轼《赤壁赋》：“寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟．”比喻非常渺小，据测量，1粒粟的重量大约为0.0000052千克，用科学记数法表示一粒粟的重量约为（ ） A. 千克 B. 千克 C. 千克 D. 千克 【答案】B 【解析】 【分析】利用科学记数法的定义，把数表示为的形式，其中，n为整数，确定a和n的值即可求解． 【详解】∵原数0.0000052是绝对值小于1的正数，将0.0000052的小数点向右移动6位可得，满足，n的绝对值等于小数点移动的位数，原数小于1时n为负， ∴， ∴0.0000052用科学记数法表示为千克． 4. 如图，在中，，，为的两个外角，则当减少时，的变化是（ ） A. 减少 B. 增大 C. 保持不变 D. 增大 【答案】B 【解析】 【分析】根据外角的性质，推出为定值，进行分析即可. 【详解】解：由题意，， ∴， ∴当减少时，∠2增大. 5. 若，则方程根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，根据确定方程是一元二次方程，再计算判别式判断符号即可得出根的情况． 【详解】解：∵， ∴，，方程是一元二次方程， ， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 6. 在方差计算公式中，数据2026和25分别表示（ ） A. 该组数据的个数和方差 B. 该组数据的个数和平均数 C. 该组数据的方差和个数 D. 该组数据的平均数和个数 【答案】B 【解析】 【分析】根据方差的定义对比判断即可． 【详解】解：方差的标准计算公式为 ， ∵公式中表示该组数据的个数，表示该组数据的平均数， ∴对比题目给出的方差公式，可得对应公式中的，是该组数据的个数，对应公式中的，是该组数据的平均数， 故选B符合题意． 7. 一辆卡车沿倾斜角为的斜坡向上行驶，已知，当行驶时，高度约上升了（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：如图，过点B作于点C， 在中，， ∴， 即高度约上升了． 8. 下表是绘制反比例函数（常数，且）图象时所列表的一部分，若，则的大小关系是（ ） x 1 2 3 y a b A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据已知条件判断反比例函数中的符号，再利用反比例函数的性质比较的大小． 【详解】解：∵当时，，当时，，且， ∴，整理得，解得， ∵反比例函数中， ∴当时，，且在范围内，随的增大而增大， 又∵， ∴． 9. 如图，正边形内接于，点，是正边形的两个相邻顶点，点是异于，的一个顶点，若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由圆周角定理可得的度数，再根据正多边形中心角的计算方法进行计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴ ∴， 解得． 10. 抛物线经过四点：，，，，其中，则下列选项中，值不变的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线上纵坐标相等的两点关于对称轴对称的性质，先求出抛物线对称轴，再得到与的关系，最后判断各选项即可． 【详解】解：∵抛物线经过点和，两点纵坐标相等 ∴抛物线对称轴为直线， ∵点和点在抛物线上，且到对称轴的距离相等， ∴两点关于抛物线对称轴对称， ∴两点纵坐标相等，即，得， 依次判断选项：A、，值随变化，不是定值，不符合题意； B、，值随变化，不是定值，不符合题意； C、，值恒为，是定值，符合题意； D、，值随变化，不是定值，不符合题意． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 已知某商品每件标价为100元，按照标价的8折出售，那么每件商品的售价是______元． 【答案】80 【解析】 【详解】解：由题意得，8折指售价为标价的， 则每件商品的售价是（元）． 12. 不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 系数化为1得：． 13. 物理课上，同学们做“让小灯泡亮起来”的实验．“智慧小组”的实验电路图如图所示，其中，，，表示电路的开关．所有开关初始均断开，随机闭合其中两个开关，则灯泡发光的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】列表得出共有种等可能的结果，其中灯泡发光的结果有种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 由表可知，共有种等可能的结果，其中灯泡发光的结果有种，和 ∴灯泡发光的概率为， 14. 如图，，平分，，，则点D到的距离为______． 【答案】2 【解析】 【详解】解：如图，过点作， ，， ， 平分，， ， 点D到的距离为2． 15. 若关于x的分式方程有正整数解，若m为正整数，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】将分式方程化为整式方程，求解得到x的表达式，根据x为正整数且m为正整数，确定m的可能值，并检验分母不为零即可． 【详解】解：原方程可化为， 两边同乘，得：， 整理得：， 解得：． ∵分式方程有正整数解， ∴是2的正因数，即或，解得或． ∵m为正整数， ∴， 当时，，代入原方程，分母，，符合题意． 16. 如图，已知中，，，，点是内部一点，连接，，，若，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】在上取点，使，构造出，得，再根据两点之间线段最短得出即当在上时，取最小值. 【详解】解：在上取点，使， 又∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即当在上时，取最小值，为. 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解： 18. 课堂上，屏幕上呈现一题： 已知：如图，在四边形中，，__________． 求证：． 请在空格处添加条件并证明． 小明：“添加，就可以证明．” 小丽：“要添加才可以证明．” 你支持__________（填“小明”或“小丽”）的观点，并写出相应的证明过程． 【答案】小丽，证明见解析 【解析】 【详解】解：支持小丽的观点，证明如下： ∵，，， ∴ ∴． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 20. 为了解某校400名学生在校午餐所需的时间，抽查了该校20名学生在校午餐所花的时间．由图示分组信息得：A，C，B，B，C，C，C，A，B，C，C，C，D，B，C，C，C，E，C，C． 某校被抽查的20名学生在校午餐所花时间的频数表 分组信息 A组：； B组：； C组：； D组：； E组：． 注：x（分钟）为午餐时间 组别 “正字法”记录 频数 A 2 B 4 C 12 D _______ _______ E _______ _______ 合计 20 （1）请填写频数表，并估计这400名学生午餐所花时间在C组的人数． （2）在既考虑学生午餐用时需求，又考虑食堂运行效率的情况下，校方准备在15分钟，20分钟，25分钟，30分钟中选择一个作为午餐时间，你认为应选择几分钟为宜？说明理由． 【答案】（1）频数表填写如图， 组别 “正字法”记录 频数 A 2 B 4 C 12 D 1 E 1 合计 20 20 240名 （2）①选择25分钟，人能按时完成用餐，可以鼓励最后5%同学适当加快用餐速度，有利于食堂提高运行效率， ②选择20分钟，人能按时完成用餐，可以鼓励最后10%的同学适当加快用餐速度或采用合理照顾如优先用餐等方式，以满足学生午餐用时需求，又提高食堂的运行效率． ③选择30分钟，能说明所有学生都能完成用餐，但未考虑食堂的运行效率． ④选择15分钟，只有的人能按时完成用餐，不科学，也不健康．（选择15分钟不得分） 【解析】 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）根据题意进行合理作答即可． 【小问1详解】 解：频数表略， (名)． 答：这400名学生午餐所花时间在C组的有240名． 【小问2详解】 略 21. 如图，方格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上．请用无刻度的直尺按下列要求画图． （1）在方格纸中，在的边上取一点，使得平分 （2）点在的边上，且满足．（保留作图痕迹，体现作图过程）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理求出，，再根据网格即可确定点D； （2）根据构建，即，即可； 【小问1详解】 解：如图所示，点D即为所求； 根据网格得：， 根据网格找出点D，连接即可； 【小问2详解】 解：点E的位置如图所示： 22. 考拉兹猜想（又称猜想）是近代数学中最著名的未解猜想之一，由德国数学家考拉兹提出，其内容是：任意正整数，若是偶数就除以2，若是奇数就乘3加1，重复操作，最终都会得到1．例如，当时，分步进行考拉兹运算： 第1步：；第2步：；第3步：；第4步：；第5步：；第6步： （1）若从某正整数出发，第一步考拉兹运算得到16，求所有满足条件的正整数； （2）小杭同学说：若（为任意正整数）已被证明符合考拉兹猜想，则（为任意正整数）一定也符合考拉兹猜想． 为偶数 若为奇数，则下一步考拉兹运算后为； 若为偶数，则下一步考拉兹运算继续除以2，多次运算，直至出现奇数，则下一步考拉兹运算得到； 可以多次考拉兹运算为的形式； 一定也符合考拉兹猜想． 若（为任意正整数）已被证明符合考拉兹猜想，请继续证明（为任意正整数）一定也符合考拉兹猜想． 【答案】（1）或32 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）分两种情况讨论：当n是偶数时，；当n是奇数时，； （2）经过三步考拉兹运算后得到，由此证明即可． 【小问1详解】 解：当为偶数时：， ， 当为奇数时：， ， 或32； 【小问2详解】 解：为任意正整数， 为奇数， 则下一步考拉兹运算结果为. 为偶数， 则下一步考拉兹运算结果为. 为偶数， 则下一步考拉兹运算结果为， ∴ 经过三步考拉兹运算后得到． ∵ 为正整数， ∴ 是形如（为正整数）的数．根据题设，形如的数均符合考拉兹猜想，故一定也符合考拉兹猜想． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． （1）求抛物线的对称轴； （2）点是抛物线上的一点，且在直线下方．过点作轴的垂线，垂足为，直线交直线于点，设点为．若的长随的长的增大而增大，求的取值范围． 【答案】（1）对称轴为直线 （2） 【解析】 【分析】（1）将点代入解析式得出，进而代入得出，根据对称轴公式，即可求解； （2）根据题意得出，其中，进而根据二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：将点代入，抛物线， 可得， ∴该抛物线解析式为， 将点代入，抛物线， 可得，解得；此时该抛物线为， ∴该抛物线的对称轴为直线； 【小问2详解】 解：∵轴，， ∴， 将代入，可得，即， 设直线的表达式为，代入， 那么， ∴， ∴直线为， 将代入，可得，即， ∵抛物线位于直线下方， ∴，其中， 对于，，则其图象开口向下，对称轴为直线， ∵的长随的长的增大而增大，即的长随t的增大而增大， ∴ 的取值范围为． 24. 综合与实践：折黄金矩形 【问题提出】 我们把宽与长之比为的矩形称为黄金矩形．黄金矩形以协调、匀称的美感，常见于艺术、建筑、自然界中，那么，如何用不同形状的纸片折出黄金矩形，并证明这个矩形是黄金矩形呢？ 【操作探究】 （1）小创小组将一张矩形纸片（如图1）按照图2至图5的方式操作，那么图5中哪些矩形是黄金矩形？请直接写出结论． （2）小智小组将一张正方形纸片（如图6）按照图7至图10的方式操作，得到矩形，你能证明矩形是黄金矩形吗？请写出证明过程． 【学以致用】 （3）将一张矩形纸片（如图11），先按下列操作画出示意图，再按要求解决问题． ①沿过点C的直线折叠，使点B落在边上的点E处，折痕交边于点G； ②沿过点E的直线折叠，使点D落在线段CE上的点H处，折痕交边于点F； ③沿过点E的直线折出矩形，折痕交线段于点M，连接． 如果，请说明点G是线段的黄金分割点． 【答案】（1）矩形、矩形 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）设，则，，根据勾股定理和折叠的性质得，进而得到和，然后计算，即可判断； （2）将折到上的对应点为点，连接，，设，则，，，求得，然后设，则，再根据折叠的性质表示出、，结合在和中，利用勾股定理建立方程，求得x，最后计算即可； （3）根据题中步骤画出示意图，然后延长、交于点T，设，，根据矩形的性质和折叠的性质可得，，，，然后根据平行线的性质和等角对等边推出，接着由，可知，代入求得m、n的关系，最后由，即可证得结论． 【小问1详解】 解：设，则 由题知，， ∴， 由折叠可知，， ∴，， ∴，， ∴矩形是黄金矩形；矩形是黄金矩形； 【小问2详解】 证明：如图所示，将折到上的对应点为点，连接，， 设，则，， 由题知，， ∴， 设，则， ∵将折到上，对应点为点， ∴，，， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， ∴矩形是黄金矩形． 【小问3详解】 解：如图所示示意图即为所求， 设，， ∵四边形、为矩形， ∴，，， 如图，延长、交于点T， 由折叠可知，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点G是线段的黄金分割点． 【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，黄金分割点，等腰三角形的判定与性质等，熟练掌握折叠的性质，作出合适的辅助线是解题的关键． 25. 如图1，内接于，作直径交边于点，平分，连接，． （1）若，求的度数． （2）如图2，作于点，交于点． ①求证：． ②若，且，求的最小值． 【答案】（1） （2）①证明：方法1：设，则， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； 方法2：连接， ∵， ∴， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴； 方法3：延长交于点，交于点，交于点， ∵，为直径， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴； ② 【解析】 【分析】（1）由为直径得，求出，由平分得，根据可得结论； （2）①方法1：设，则，证明即可；方法2：连接，证明，根据平行线的性质即可得证；方法3：延长交于点，交于点，交于点，得出（垂径定理），进而证明，根据平行线的性质即可得证； ②证明，得，设，，则， 代入比例式得，整理得，求得，根据二次函数的性质得从而得出的最小值为1，即的最小值为1． 【小问1详解】 解：∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：方法1：由①得，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，，则， ∴， 整理得， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为1． 方法2：由①得，， 设，得，， 由，所以（Ⅰ式）， 由，所以（Ⅱ式）， 由（Ⅰ）：（Ⅱ）得，， 由所以，得， 即， 所以， 因为， 所以， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届初中毕业班数学学科模拟练习 （满分：150分；考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. “鼓之舞之”是“鼓舞”一词的重要源头和雏形．如图是喜庆集会时所击的鼓的立体图形，则这个图形的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 宋·苏轼《赤壁赋》：“寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟．”比喻非常渺小，据测量，1粒粟的重量大约为0.0000052千克，用科学记数法表示一粒粟的重量约为（ ） A. 千克 B. 千克 C. 千克 D. 千克 4. 如图，在中，，，为的两个外角，则当减少时，的变化是（ ） A. 减少 B. 增大 C. 保持不变 D. 增大 5. 若，则方程根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 6. 在方差计算公式中，数据2026和25分别表示（ ） A. 该组数据的个数和方差 B. 该组数据的个数和平均数 C. 该组数据的方差和个数 D. 该组数据的平均数和个数 7. 一辆卡车沿倾斜角为的斜坡向上行驶，已知，当行驶时，高度约上升了（ ） A. B. C. D. 8. 下表是绘制反比例函数（常数，且）图象时所列表的一部分，若，则的大小关系是（ ） x 1 2 3 y a b A. B. C. D. 9. 如图，正边形内接于，点，是正边形的两个相邻顶点，点是异于，的一个顶点，若，则为（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线经过四点：，，，，其中，则下列选项中，值不变的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 已知某商品每件标价为100元，按照标价的8折出售，那么每件商品的售价是______元． 12. 不等式的解集是______． 13. 物理课上，同学们做“让小灯泡亮起来”的实验．“智慧小组”的实验电路图如图所示，其中，，，表示电路的开关．所有开关初始均断开，随机闭合其中两个开关，则灯泡发光的概率是______． 14. 如图，，平分，，，则点D到的距离为______． 15. 若关于x的分式方程有正整数解，若m为正整数，则______． 16. 如图，已知中，，，，点是内部一点，连接，，，若，则的最小值为______． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： 18. 课堂上，屏幕上呈现一题： 已知：如图，在四边形中，，__________． 求证：． 请在空格处添加条件并证明． 小明：“添加，就可以证明．” 小丽：“要添加才可以证明．” 你支持__________（填“小明”或“小丽”）的观点，并写出相应的证明过程． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 为了解某校400名学生在校午餐所需的时间，抽查了该校20名学生在校午餐所花的时间．由图示分组信息得：A，C，B，B，C，C，C，A，B，C，C，C，D，B，C，C，C，E，C，C． 某校被抽查的20名学生在校午餐所花时间的频数表 分组信息 A组：； B组：； C组：； D组：； E组：． 注：x（分钟）为午餐时间 组别 “正字法”记录 频数 A 2 B 4 C 12 D _______ _______ E _______ _______ 合计 20 （1）请填写频数表，并估计这400名学生午餐所花时间在C组的人数． （2）在既考虑学生午餐用时需求，又考虑食堂运行效率的情况下，校方准备在15分钟，20分钟，25分钟，30分钟中选择一个作为午餐时间，你认为应选择几分钟为宜？说明理由． 21. 如图，方格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上．请用无刻度的直尺按下列要求画图． （1）在方格纸中，在的边上取一点，使得平分 （2）点在的边上，且满足．（保留作图痕迹，体现作图过程）． 22. 考拉兹猜想（又称猜想）是近代数学中最著名的未解猜想之一，由德国数学家考拉兹提出，其内容是：任意正整数，若是偶数就除以2，若是奇数就乘3加1，重复操作，最终都会得到1．例如，当时，分步进行考拉兹运算： 第1步：；第2步：；第3步：；第4步：；第5步：；第6步： （1）若从某正整数出发，第一步考拉兹运算得到16，求所有满足条件的正整数； （2）小杭同学说：若（为任意正整数）已被证明符合考拉兹猜想，则（为任意正整数）一定也符合考拉兹猜想． 为偶数 若为奇数，则下一步考拉兹运算后为； 若为偶数，则下一步考拉兹运算继续除以2，多次运算，直至出现奇数，则下一步考拉兹运算得到； 可以多次考拉兹运算为的形式； 一定也符合考拉兹猜想． 若（为任意正整数）已被证明符合考拉兹猜想，请继续证明（为任意正整数）一定也符合考拉兹猜想． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． （1）求抛物线的对称轴； （2）点是抛物线上的一点，且在直线下方．过点作轴的垂线，垂足为，直线交直线于点，设点为．若的长随的长的增大而增大，求的取值范围． 24. 综合与实践：折黄金矩形 【问题提出】 我们把宽与长之比为的矩形称为黄金矩形．黄金矩形以协调、匀称的美感，常见于艺术、建筑、自然界中，那么，如何用不同形状的纸片折出黄金矩形，并证明这个矩形是黄金矩形呢？ 【操作探究】 （1）小创小组将一张矩形纸片（如图1）按照图2至图5的方式操作，那么图5中哪些矩形是黄金矩形？请直接写出结论． （2）小智小组将一张正方形纸片（如图6）按照图7至图10的方式操作，得到矩形，你能证明矩形是黄金矩形吗？请写出证明过程． 【学以致用】 （3）将一张矩形纸片（如图11），先按下列操作画出示意图，再按要求解决问题． ①沿过点C的直线折叠，使点B落在边上的点E处，折痕交边于点G； ②沿过点E的直线折叠，使点D落在线段CE上的点H处，折痕交边于点F； ③沿过点E的直线折出矩形，折痕交线段于点M，连接． 如果，请说明点G是线段的黄金分割点． 25. 如图1，内接于，作直径交边于点，平分，连接，． （1）若，求的度数． （2）如图2，作于点，交于点． ①求证：． ②若，且，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $