2024-2025学年九年级下学期沪科测试卷（1）2024-2025学年九年级数学下册核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

2024-2025学年九年级下学期沪科测试卷（1） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 考试范围： 圆、 投影与视图、 概率初步 ； 第I卷（选择题） 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．将图形  按顺时针方向旋转90°后的图形是(　　) A．   B．   C．   D．   2．平面上与直线，，，的位置关系如图.如果的半径为，且点到其中一直线的距离为，那么此直线为（      ） A． B． C． D． 3．下列图形属于中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 4．如图，夜晚路灯下有一排同样高的旗杆，离路灯越近，旗杆的影子（   ） A．越长 B．越短 C．一样长 D．随时间变化而变化 5．小亮和小刚按如下规则做游戏：每人从1，2，…，12中任意选择一个数，然后两人各掷一次均匀的骰子，谁事先选择的数等于两人掷得的点数之和谁就获胜；如果两人选择的数都不等于掷得的点数之和，就再做一次上述游戏，直至决出胜负．从概率的角度分析，游戏者事先选择（ ）获胜的可能性较大． A．5 B．6 C．7 D．8 6．关于四边形ABCD有以下4个条件：①两组对边分别平行；②两条对角线互相平分；③两条对角线互相垂直；④一组邻边相等．从中任取2个条件，能得到四边形ABCD是菱形的概率是（ ） A． B． C． D． 7．下列命题是真命题的是（    ） A．一个角的补角一定大于这个角 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．等边三角形是中心对称图形 D．旋转改变图形的形状和大小 8．在y=□x2□4x□4的□中，任意填上“+”或“－”，可组成若干个不同的二次函数，其中其图象与x轴只有一个交点的概率是（　　） A． B． C． D．1 9．如图是经典微信表情，下列选项是由该图经过旋转得到的是（    ） A． B． C． D． 10．已知一个圆心角为270°的扇形工件，未搬动前如图所示，两点触地放置，搬动时，先将扇形以为旋转中心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当两点再次触地时停止，半圆的直径为，则圆心所经过的路线长是（结果保留）（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二．填空题：（本大题共4题，每题3分，满分12分） 11．如果和关于点成中心对称，那么和的关系是 ． 12．直角三角形的两直角边是，，则此三角形的外接圆的半径是 ． 13．半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为 ． 14．如图，△OAB中，OA=OB=4，∠A=30°，AB与⊙O相切于点C，则图中阴影部分的面积为 .（结果保留π）    三．解答题：（本大题共9题，15-19题每题6分，20-23题每题7分，满分58分） 15．某同学发明了一个游戏∶掷两个各面上标有1，2，3，4，5，6的均匀的骰子， 用两次朝上的点数相乘，得到一个乘积，如果积为奇数，A胜，结果得到偶数，B胜，你认为这个游戏公平吗？试一试，检验它是否公平． 16．如图，与关于原点成中心对称，已知，，求的值． 17．已知是的弦，点在上，连接，． (1)如图①，当时，___________°； (2)如图②，当时，___________°； (3)如图③，当时，___________°． 18．甲、乙两人做掷六面体骰子的游戏，双方规定，若掷出的骰子的点数大于3，则甲胜，若掷出的点数小于3，则乙胜，游戏公平吗？若不公平，请你设计出一种对于双方都公平的游戏． 19．操作与探索： （1）用数对表示图中三角形的顶点A、O的位置，A．　　，O．　　． （2）将图中三角形绕点O顺时针旋转90°，并画出旋转后的图形． （3）画出图中原来三角形按2：1放大后的图形． 20．一个圆锥的轴截面平行于投影面，圆锥的正投影是△ABC，已知AB＝AC＝5cm，BC＝6cm，求圆锥的体积和侧面积． 21．如图，AB＝AC，D为BC的中点，⊙D与AB切于E点．求证：AC与⊙D相切． 22．如图，中，，．P是底边上的一个动点（P与B、C不重合），以P为圆心，为半径的与射线交于点D，射线交射线于点E． （1）若点E在线段的延长线上，设，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围． （2）连接，若，求的长． 23．已知⊙O的弦的长等于⊙O的半径，求此弦所对的圆周角的度数．安安的解题过程如下： 解：如图所示，连接，在优弧上任取一点，连接．因为，所以，所以，即弦所对的圆周角等于30°． 请问安安的解题过程正确吗？如果不正确，请写出正确的解题步骤． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级下学期沪科测试卷（1） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 考试范围： 圆、 投影与视图、 概率初步 ； 第I卷（选择题） 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．将图形  按顺时针方向旋转90°后的图形是(　　) A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据已知首先将固定任意一点，绕着这点按顺时针旋转90°，即可得到答案． 【详解】首先将图形的一端固定，按照顺时针旋转90°，即可得到B是正确答案．故选B． 【点睛】本题主要考查图形的旋转，关键点在于固定一定点，绕这个定点旋转即可，还要注意是顺时针． 2．平面上与直线，，，的位置关系如图.如果的半径为，且点到其中一直线的距离为，那么此直线为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系：当d=r，则直线和圆相切；当d<r，则直线和圆相交；当d>r，则直线和圆相离，进行分析判断． 【详解】因为所求直线到圆心O点的距离为14cm<半径20 cm，所以此直线为圆O的割线,即为直线.故选B. 【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，解题的关键是掌握直线和圆的位置关系求法. 3．下列图形属于中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误；． B．不是中心对称图形，故选项错误；． C．是中心对称图形，故选项正确；． D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误． 故选C． 4．如图，夜晚路灯下有一排同样高的旗杆，离路灯越近，旗杆的影子（   ） A．越长 B．越短 C．一样长 D．随时间变化而变化 【答案】B 【分析】作图连线，即可找出规律，进行判断. 【详解】由图易得AB＜CD，那么离路灯越近，它的影子越短， 故选：B． 【点睛】 本题考查了中心投影，用到的知识点为：影长是点光源与物高的连线形成的在地面的阴影部分的长度． 5．小亮和小刚按如下规则做游戏：每人从1，2，…，12中任意选择一个数，然后两人各掷一次均匀的骰子，谁事先选择的数等于两人掷得的点数之和谁就获胜；如果两人选择的数都不等于掷得的点数之和，就再做一次上述游戏，直至决出胜负．从概率的角度分析，游戏者事先选择（ ）获胜的可能性较大． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】找到点数之和为几的次数最多，选择那个数的获胜的可能性就大． 【详解】解：两人抛掷骰子各一次，共有6×6=36种等可能的结果， 点数之和为7的有6种，最多， 故选择7获胜的可能性大， 故选C． 6．关于四边形ABCD有以下4个条件：①两组对边分别平行；②两条对角线互相平分；③两条对角线互相垂直；④一组邻边相等．从中任取2个条件，能得到四边形ABCD是菱形的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】画树状图得： ∵共有12种等可能的结果， 能得到四边形ABCD是菱形的有①③，①④，②③，②④，③①，③②，④①，④②， ∴能得到四边形ABCD是菱形的概率是：=， 故选：A． 7．下列命题是真命题的是（    ） A．一个角的补角一定大于这个角 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．等边三角形是中心对称图形 D．旋转改变图形的形状和大小 【答案】B 【分析】由补角的定义、平行线公理，中心对称图形的定义、旋转的性质分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、一个角的补角不一定大于这个角，故A错误； B、平行于同一条直线的两条直线平行，故B正确； C、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误； D、旋转不改变图形的形状和大小，故D错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了补角的定义、平行线公理，中心对称图形的定义、旋转的性质，以及判断命题的真假，解题的关键是熟练掌握所学的知识，分别进行判断． 8．在y=□x2□4x□4的□中，任意填上“+”或“－”，可组成若干个不同的二次函数，其中其图象与x轴只有一个交点的概率是（　　） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】列出情况根据概率公式计算即可． 【详解】在“□”中，任意填上“+”或“－”，共有+、+、+；+、+、－；+、－、+；+、－、－；－、+、+；－、+、－；－、－、+；－、－、－共8种情况， 当a、c的符号相同时，b2-4ac=0，这种情况有4种，概率为． 故选C． 【点睛】此题考查了概率的计算方法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率． 9．如图是经典微信表情，下列选项是由该图经过旋转得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移的定义和旋转的性质进行判断． 【详解】解：A．由平移变换得到，故本选项不合题意； B．由轴对称变换得到，故本选项不合题意； C．由旋转变换得到，故本选项符合题意； D．由轴对称变换和旋转变换得到，故本选项不合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查平移的定义和旋转的性质，解答此题要明确平移和旋转的性质：（1）平移：①经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等；②平移变换不改变图形的形状、大小和方向（平移前后的两个图形是全等形）．（2）旋转：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等． 10．已知一个圆心角为270°的扇形工件，未搬动前如图所示，两点触地放置，搬动时，先将扇形以为旋转中心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当两点再次触地时停止，半圆的直径为，则圆心所经过的路线长是（结果保留）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】经过的路线是两个半径是3，圆心角的的弧，平移的距离是半径长是3，圆心角是的弧长，二者的和就是所求的路线长． 【详解】解： ，则， 则， 旋转的长度是：， 移动的距离是：， 则圆心所经过的路线长是：． 故选：． 【点睛】本题考查了弧长的计算公式，难度较大，解答本题的关键是正确理解经过的路线． 第II卷（非选择题） 二．填空题：（本大题共4题，每题3分，满分12分） 11．如果和关于点成中心对称，那么和的关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是中心对称的性质，直接利用中心对称的性质可得答案． 【详解】解：∵和关于点成中心对称， ∴； 故答案为： 12．直角三角形的两直角边是，，则此三角形的外接圆的半径是 ． 【答案】 【分析】利用勾股定理可以求得该直角三角形的斜边长为，然后由“直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆”来求该直角三角形外接圆半径即可． 【详解】解：直角三角形的两条直角边分别为和， 根据勾股定理知，该直角三角的斜边长为， 此三角形的外接圆的半径是； 故答案是：． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心、勾股定理．熟练掌握直角三角形的外接圆半径为斜边边长的一半是解题的关键． 13．半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为 ． 【答案】1：：. 【分析】一般地：半径的r的正n边形的边心距为：，由此可分别计算出边心距． 【详解】由题意可得，正三角形的边心距是：， 正四边形的边心距是：2×sin45°=2×， 正六边形的边心距是：2×sin60°=2×， ∴半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为：1：：． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，注意的是，正多边形外接圆半径、边心距及正多边形边长一半构成一个直角三角形，且外接圆半径与边心距的夹角是五边形中心角的一半． 14．如图，△OAB中，OA=OB=4，∠A=30°，AB与⊙O相切于点C，则图中阴影部分的面积为 .（结果保留π）    【答案】 【分析】由AB为圆的切线，得到OC垂直于AB，再由OA=OB，利用三线合一得到C为AB中点，且OC为角平分线，在Rt△AOC中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出OC的长，利用勾股定理求出AC的长，进而确定出AB的长，求出∠AOB度数，从而根据阴影部分面积=△AOB面积-扇形面积，求出即可． 【详解】解：∵AB与圆O相切，∴OC⊥AB ∵OA=OB，∴∠AOC=∠BOC，∠A=∠B=30° 在Rt△AOC中，∠A=30°，OA=4，∴OC=OA=2，∠AOC=60° ∴∠AOB=120°， ∴AB=2AC= ∴ 故答案为： 【点睛】此题考查了切线的性质，含30度直角三角形的性质，以及扇形面积计算，熟练掌握切线的性质是解本题的关键． 三．解答题：（本大题共9题，15-19题每题6分，20-23题每题7分，满分58分） 15．某同学发明了一个游戏∶掷两个各面上标有1，2，3，4，5，6的均匀的骰子， 用两次朝上的点数相乘，得到一个乘积，如果积为奇数，A胜，结果得到偶数，B胜，你认为这个游戏公平吗？试一试，检验它是否公平． 【答案】这个游戏不公平 【分析】分别计算出积为奇数与积为偶数的可能性，再比较即可． 【详解】这个游戏不公平． 两个奇数相乘得奇数，故结果是奇数的概率为，偶数的概率为， 即甲乙获胜的概率不相等，故这个游戏不公平． 【点睛】本题考查了游戏公平性的判断，游戏是否公平，关键要看游戏双方取胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等． 16．如图，与关于原点成中心对称，已知，，求的值． 【答案】2 【分析】本题主要考查了等角对等边，中心对称图形的性质，根据等角对等边得到，再根据中心对称图形的性质可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵与关于原点成中心对称， ∴． 17．已知是的弦，点在上，连接，． (1)如图①，当时，___________°； (2)如图②，当时，___________°； (3)如图③，当时，___________°． 【答案】(1)70 (2)100 (3)100 【分析】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理． （1）根据等弧所对圆心角相等，求得，再利用等边对等角即可求解； （2）利用平行线的性质求得，再利用等腰三角形的性质即可求解； （3）先证明是等边三角形，求得，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：70； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：100； （3）解：∵，又， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：100． 18．甲、乙两人做掷六面体骰子的游戏，双方规定，若掷出的骰子的点数大于3，则甲胜，若掷出的点数小于3，则乙胜，游戏公平吗？若不公平，请你设计出一种对于双方都公平的游戏． 【答案】不公平，可设计掷出的点数为偶数时甲胜，掷出的点数为奇数时乙胜 【分析】根据题意先求出小明获胜的概率，然后再求出小兵获胜的概率，二者比较一下大小就可以了． 【详解】不公平， P（甲获胜）=，P（乙获胜）=， ∵ 所以不公平． 可设计掷出的点数为偶数时甲胜，掷出的点数为奇数时乙胜． 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 19．操作与探索： （1）用数对表示图中三角形的顶点A、O的位置，A．　　，O．　　． （2）将图中三角形绕点O顺时针旋转90°，并画出旋转后的图形． （3）画出图中原来三角形按2：1放大后的图形． 【答案】（1）（2，6），（3，3）；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）根据图象用有序数对表示点A、O的位置即可； （2）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B的对应点A′、B′即可； （3）延长OA到A″，使OA″=2OA，延长OB到B″，使OB″=2OB． 【详解】解：（1）A（2，6），O（3，3）；故答案为（2，6），（3，3）； （2）如图，△OA′B′为所作； （3）如图，△OA″B″为所作． 【点睛】本题考查了作图，注意图形旋转的性质是解题的关键． 20．一个圆锥的轴截面平行于投影面，圆锥的正投影是△ABC，已知AB＝AC＝5cm，BC＝6cm，求圆锥的体积和侧面积． 【答案】V＝12πcm3，S侧＝15πcm2. 【详解】试题分析：先根据正投影得到圆锥的母线长为5cm，圆锥的底面直径为6cm，再根据勾股定理计算出圆锥的高，然后根据圆锥的体积公式和扇形的面积公式求解． 试题解析： 解： 过A作AD⊥BC，则CD＝3cm ，根据勾股定理得AD＝＝4cm， 所以圆锥的体积＝π×32×4＝12πcm3； 侧面积＝×6π×5＝15πcm2． 点睛：本题考查了正投影和圆锥的计算，根据正投影得出圆锥的母线长、底面直径和高是解决此题的关键． 21．如图，AB＝AC，D为BC的中点，⊙D与AB切于E点．求证：AC与⊙D相切． 【答案】证明见解析. 【分析】连接DE，作DF⊥AC，垂足为F，根据已知条件易证△BDE≌△CDF，根据全等三角形的性质可得DF＝DE，再由切线的判定定理即可证得AC与⊙D相切． 【详解】证明：连接DE，作DF⊥AC，垂足为F. ∵AB是⊙D的切线， ∴DE⊥AB. 又∵DF⊥AC， ∴∠DEB＝∠DFC＝90°. ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C. ∵BD＝CD， ∴△BDE≌△CDF. ∴DF＝DE. ∴F在⊙D上． ∴AC与⊙D相切． 【点睛】本题考查了切线的判定定理，熟练运用切线的判定定理是解决问题的关键. 22．如图，中，，．P是底边上的一个动点（P与B、C不重合），以P为圆心，为半径的与射线交于点D，射线交射线于点E． （1）若点E在线段的延长线上，设，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围． （2）连接，若，求的长． 【答案】（1）；；（2）或或 【分析】（1）首先过点A作于点F，过点P作于点H，由，，得出，再由圆的性质得出，进而得出，，，即可列出y关于x的函数关系式，然后根据即可得出x的取值范围； （2）首先分类讨论点D，在线段上时和在延长线上时，然后分别求出△ABC和△APE的面积，建立方程即可得出BP. 【详解】（1）过点A作于点F，过点P作于点H ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ （2）当D点在线段上时，连， ∵ ∴ ∴ 代入得 当D在延长线上时 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴或 ∴或 综上：或或 【点睛】此题主要考查直线与圆的位置关系，熟练掌握，即可解题. 23．已知⊙O的弦的长等于⊙O的半径，求此弦所对的圆周角的度数．安安的解题过程如下： 解：如图所示，连接，在优弧上任取一点，连接．因为，所以，所以，即弦所对的圆周角等于30°． 请问安安的解题过程正确吗？如果不正确，请写出正确的解题步骤． 【答案】不正确，见解析 【分析】弦AB的长恰好等于⊙O的半径，则△OAB是等边三角形，则∠AOB=60°；而弦AB所对的弧有两段，一段是优弧，一段是劣弧；因此本题要分类讨论． 【详解】解：安安的解题过程不正确，正确的解法如下： 有两种情况： ①如图（1）所示，连接，在优弧上任取一点连接． 因为弦AB的长恰好等于⊙O的半径，则△OAB是等边三角形，则∠AOB=60°；而弦AB所对的弧有两段，一段是优弧，一段是劣弧；因此本题要分类讨论．， 所以， 所以， 即弦所对的圆周角等于30°． ②如图（2）所示，连接，在劣弧上任取一点，连接， 则， 所以． 因为的长等于的半径， 所以为等边三角形， 所以， 所以， 所以， 即弦所对的圆周角为150°． 综上，弦所对的圆周角的度数为30°或150°．    【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、圆周角定理和圆内接四边形的性质．要注意的是弦AB所对的圆周角有两种情况，需分类讨论，以免漏解． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$