九年级下学期北师大综合测试卷（1）-2024-2025学年九年级数学下册核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

2024-2025学年九年级下学期北师大测试卷（1） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 考试范围： 直角三角形的边角关系、二次函数、圆 ； 第I卷（选择题） 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=4米，则迎水坡宽度AC的长为(      ) A．米 B．米 C．米 D． 【答案】A 【分析】根据坡比的定义列出关系式即可解决问题． 【详解】解：迎水坡AB的坡比是1：，即tan∠A=， 又BC=4米， ∴AC=米. 故选：A. 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 2．对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴是过（1，0）且平行于轴的直线；③顶点坐标为；④≤-2时，y随x的增大而增大，其中正确结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据二次函数图象的性质逐个判定即可. 【详解】①则抛物线的开口向下，正确 ②抛物线的对称轴为，所以对称轴是过且平行于y轴的直线，错误 ③因为顶点在对称轴上，所以顶点的横坐标为，代入函数解析式得纵坐标为3，即顶点坐标为，正确 ④当时，y随x的增大而增大，因此时，y随x的增大而增大，正确 综上，正确的有3个 故答案为：C. 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，熟记二次函数图象的性质是解题关键. 3．如图，是的直径，是的弦，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理；解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据圆周角定理即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 4．用min{a，b}表示a，b两数中的最小数，若函数，则y的图象为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，把问题转化为二次函数问题． 【详解】根据题意，min{x2+1，1-x2}表示x2+1与1-x2中的最小数， 不论x取何值，都有x2+1≥1-x2， 所以y=1-x2； 可知，当x=0时，y=1；当y=0时，x=±1； 则函数图象与x轴的交点坐标为（1，0），（-1，0）；与y轴的交点坐标为（0，1）． 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数图像的性质是解决此题的关键． 5．如图，某数学兴趣小组将长为，宽为的矩形铁丝框变形为以为圆心，为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得扇形的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件可得弧BD的弧长为6，然后利用扇形的面积公式：计算即可． 【详解】解：∵矩形的长为6，宽为3， ∴AB=CD=6，AD=BC=3， ∴弧BD的长=18-12=6， 故选：B． 【点睛】此题考查了扇形的面积公式，解题的关键是：熟记扇形的面积公式 6．小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆（阴影）区域的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】针扎到内切圆区域的概率就是内切圆的面积与正三角形面积的比. . 【详解】解：∵如图所示的正三角形， ∴∠CAB=60°， 设三角形的边长是a， ∴AB=a， ∵⊙O是内切圆， ∴∠OAB=30°，∠OBA=90°， ∴BO=tan30°AB=a， 则正三角形的面积是a2，而圆的半径是a，面积是a2， 因此概率是a2÷a2=π． 故选C． 【点睛】本题考查了边长为a的正三角形的面积为：a2；求三角形内切圆的半径应构造特殊的直角三角形求解． 7．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC＝α，∠ADC＝β，则竹竿AD与AB的长度之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先在Rt△ABC和Rt△ADC中，求出AB＝、AD＝，再求长度之比即可． 【详解】解：在Rt△ABC中，∵sin∠ABC＝，即sinα＝， ∴AB＝， 在Rt△ADC中，∵sin∠ADC＝，即sinβ＝， ∴AD＝， ∴＝＝， 故选：C． 【点睛】本题考查锐角的三角函数、解直角三角形的应用，借助中间参数AC，利用正弦函数的定义求解是解答的关键． 8．方程实数根的情况是（ ） A．仅有三个不同实根 B．仅有两个不同实根 C．仅有一个不同实根 D．无实根 【答案】C 【分析】原方程有意义，则，把方程去分母、整理可得，，分解因式得，讨论其根的情况，即可解答． 【详解】解：原方程整理得， ， ， 方程，其，无解， ， ，即． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数、反比例函数的性质，主要应用了一元二次方程的根与判别式的关系． 9．函数的图象如图所示，那么关于一元二次方程的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个异号的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】由图可知ax2＋bx＋c－2＝0的根的情况即图中图象和x轴交点的横坐标，为两个不相等的正数． 【详解】∵函数的顶点的纵坐标为3， ∴直线y＝3与函数图象只有一个交点， ∴y＝ax2＋bx＋c−2，相当于函数y＝ax2＋bx＋c的图象向下平移2个单位， ∴方程ax2＋bx＋c−2＝0的根为两个不相等的实数根. 故选A. 【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，解题的关键是熟练的掌握二次函数的图象的相关知识. 10．将含有角的直角三角板按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，在x轴上，若，将三角板绕原点O逆时针旋转，每秒旋转，则第2022秒时，点A的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点A作轴于点D，结合，，得到， ，，确定，根据旋转意义，得到第一秒后的位置为，第二秒后的位置为，第三秒后的位置为，第四秒后的位置为，第五秒后的位置为，第六秒后的位置为，确定循环节为6，根据，确定其坐标与的相同，解答即可． 【详解】解：过点A作轴于点D， ∵，， ∴， ，， ∴， 根据旋转意义，得到第一秒后的位置为，第二秒后的位置为，第三秒后的位置为，第四秒后的位置为，第五秒后的位置为，第六秒后的位置为， ∴循环节为6， ∵， ∴坐标与的相同， 故选C． ． 【点睛】本题考查了坐标系中的点的坐标规律，勾股定理，三角函数的应用，数形结合思想，熟练掌握坐标规律是解题的关键． 第II卷（非选择题） 二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分） 11．已知A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝（x﹣1）2的图象上，若x1＜x2＜1，则y1 y2． 【答案】＞ 【分析】根据y＝（x﹣1）2的图像是抛物线，且开口向上，对称轴为x=1，当x<1时，y随x增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大即可得出结论． 【详解】解：∵二次函数y＝（x﹣1）2的图象开口向上，对称轴为x=1，当x<1时，y随x增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大， ∴x1＜x2＜1时，y1＞y2． 故答案为：＞． 【点睛】本题考查了二次函数的增减性，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 12．数量关系： （1）销售额＝ 售价× ； （2）利润＝ 销售额－总成本＝ ×销售量； （3）单件利润＝售价－ ． 【答案】 销售量 单件利润 进价 【解析】略 13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，CD=6，则BE= ． 【答案】4- 【详解】解：如图，连接OC， ∵弦CD⊥AB于点E，CD=6， ∵在中， 故答案为： 14．如图，与的边，，分别相切于点，，，如果，，，那么的长为 ．    【答案】7 【分析】由切线长定理证明，，，结合，，可得，，从而可得答案． 【详解】解：∵与的边，，分别相切于点，，，， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴； 故答案为7 【点睛】本题考查的是切线长定理的应用，熟记切线长定理的含义是解本题的关键． 15．已知二次函数其中是自变量，当时，随的增大而增大，且当时，的最大值为，则的值为 ． 【答案】 【分析】二次函数的对称轴为．开口向上的抛物线，在对称轴右侧随的增大而增大．时，的最大值在处取到． 【详解】解：（其中是自变量）是二次函数式， 对称轴是直线． 当时，随的增大而增大， ． 时，的最大值为9， 把代入函数式得， ， 移项得，， ，或（不合题意舍去）． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握其性质是解决此题的关键． 16．如图，内接于，BD为的切线，连接AD，若AD经过圆心O，且，则的大小为 度． 【答案】70 【分析】连接OB、BM，利用BD与⊙O相切，可得∠OBD=90°，进而∠BOD=40°，即可得∠OAB=∠OBA=20°，根据AD过圆心O点，可知AM为⊙O的直径，即有∠ABM=90°，则∠OAB=20°，即有∠AMB=70°，则∠C可求． 【详解】连接OB、BM，如图， ∵BD与⊙O相切， ∴OB⊥BD， ∴∠OBD=90°， ∵∠D=50°， ∴∠BOD=40°， ∵AO=BO， ∴∠OAB=∠OBA， ∵∠OAB+∠OBA=∠BOD=40°， ∴∠OAB=∠OBA=20°， ∵AD过圆心O点， ∴AM为⊙O的直径， ∴∠ABM=90°， ∵∠OAB=20°， ∴∠AMB=70°， ∴∠C=70°， 故答案为：70． 【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的性质以及三角形外角的性质等知识，添加辅助线求得∠AMB=70°是解答本题的关键． 17．如图，是的直径，弦，分别过、作的垂线，垂足为、，以下结论 ①； ②； ③若四边形是正方形，则； ④若为弧的中点，则为中点． 所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】先证明四边形是矩形，再证明，可得结论①②正确，证明，可得③错误；证明是等边三角形，可得④正确，从而可得答案． 【详解】解：连接、，如图， 、， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 在和中， ， ， ，， ，故②正确， ，， ，故①正确， 当四边形是正方形时，， ， ， 故③错误， 若是的中点，连接，而 ， ， 是等边三角形， ， ，故④正确． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，直角三角形全等的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的性质，圆心角、弧、弦的关系；掌握“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”是解题的关键． 18．如图，四边形内接于，，，点为的中点，连接，连接并延长，交于点，交于点．若，，则 ， 【答案】 10 【分析】作，连接，，，证明四边形是矩形，延长交的延长线于点，再证明，推出，，设，则，，在中，利用勾股定理列式计算即可求得；过点作直径，连接，，证明是的中位线，推出，，证明和，进一步计算即可求解． 【详解】解：作，连接，，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴是的直径， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 延长交的延长线于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，即， 解得（负值已舍）， ∴，，； 过点作直径，连接，， ∵点为的中点， ∴，是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴，即， 故答案为：10；． 【点睛】本题考查了解直角三角形，圆周角定理，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分） 19．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CE⊥AB于E，BD交CE于点F，CF＝BF， （1）求证：C是的中点； （2）若CD＝4，AC＝8，则⊙O的半径为　 　． 【答案】（1）见解析；（2）2. 【分析】（1）由AB是直径知∠CAB+∠CBE=90°，由CE⊥AB知∠ECB+∠CBE=90°，据此得∠CAB=∠ECB，由CF=BF知∠FCB=∠FBC，从而得∠CDB=∠FBC，即可得证； （2）利用（1）中所得结论得出BC=CD=4，再根据勾股定理可求得AB的长，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠CAB+∠CBE＝90°， ∵CE⊥AB， ∴∠ECB+∠CBE＝90°， ∴∠CAB＝∠ECB， ∵∠CAB＝∠CDB， ∴∠CDB＝∠ECB， 又∵CF＝BF， ∴∠FCB＝∠FBC， ∴∠CDB＝∠FBC， ∴圆弧CD ＝圆弧BC， ∴C是圆弧BD的中点； （2）由（1）知C是圆弧BD的中点， ∴BC＝CD＝4， ∵∠ACB＝90°， ∴AB＝ ＝ ＝4 ， ∴⊙O的半径为2， 故答案为（1）见解析；（2）2． 【点睛】本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质以及勾股定理，也考查了直径所对的圆周角为90度．注意数形结合思想的应用． 20．如图，的两条弦（AB不是直径），点E为AB中点，连接EC，ED． （1）直线EO与AB垂直吗？请说明理由； （2）求证：． 【答案】（1）直线EO与AB垂直．理由见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）依据垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦可得结论； （2）易证，由垂径定理可得结论. 【详解】解：（1）直线EO与AB垂直．理由如下： 如图，连接EO，并延长交CD于F． ∵ EO过点O，E为AB的中点， ． （2），， ． ∵ EF过点O， ， 垂直平分CD， ． 【点睛】本题考查了垂径定理，灵活利用垂径定理及其推论是解题的关键. 21．如图，中，的长分别为．求的内切圆半径r． 【答案】r＝ 【分析】连接OA，OB，OC，设OO与AB，BC，CA的切点分别为点D，E，F，连接OD，OE，OF，然后结合三角形面积进行分析求解． 【详解】解：如图所示，连接OA，OB，OC，设OO与AB，BC，CA的切点分别为点D，E，F，连接OD，OE，OF，则OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC， ∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△AOC ＝AB·OD＋BC·OE＋AC·OF ＝AB·r＋BC·r＋AC·r ＝r(AB＋BC＋AC) ＝r(a＋b＋c)． 又∵S△ABC＝·AC·BC＝ab， ∴r·(a＋b＋c)＝ab， ∴r＝ 【点睛】此题考查了内切圆的性质、以及直角三角形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键． 22．如图,A、B、C、D四点都在⊙O上,AD是⊙O的直径,且AD=6cm,若∠ABC=∠CAD,求弦AC的长. 【答案】3cm 【详解】试题分析：连接DC，根据圆周角定理可得∠ADC=∠ABC=∠CAD，即可得到AC=CD，由AD是直径可得∠ACD=90°，再根据勾股定理即可求得结果. 连接DC, 则∠ADC=∠ABC=∠CAD, 故AC=CD. ∵AD是直径, ∴∠ACD=90°, ∴AC2+CD2=AD2, 即2AC2=36,AC2=18,AC=3. 考点：圆周角定理，勾股定理 点评：辅助线问题是初中数学学习中的难点，能否根据具体情况正确作出恰当的辅助线往往能够体现一个学生对图形的理解能力，因而这类问题在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度较大，需多加关注. 23．已知：中，，以点C为圆心，作半径为的圆.问： (1)当R为何值时，和直线相离？ (2)当R为何值时，和直线相切？ (3)当R为何值时，和直线相交？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系．根据题意画出图形，过点C作于点D，由勾股定理求出的长，再求出的长，根据直线与圆的三种位置关系进行解答即可． 【详解】（1）解：过点C作于点D，    ∵中，， ∴， ∴， ∴当，和直线相离； （2）解：当时，和直线相切； （3）解：当时，和直线相交． 24．如图所示，体育场内一看台与地面所成夹角为30°，看台最低点A到最高点B的距离为10，A，B两点正前方有垂直于地面的旗杆DE．在A，B两点处用仪器测量旗杆顶端E的仰角分别为60°和15°（仰角即视线与水平线的夹角） （1）求AE的长； （2）已知旗杆上有一面旗在离地1米的F点处，这面旗以0.5米/秒的速度匀速上升，求这面旗到达旗杆顶端需要多少秒？ 【答案】（1）AE的长为10米；（2）旗子到达旗杆顶端需要28秒． 【分析】（1）先求得∠ABE和AEB的度数，再利用等腰直角三角形即可求得AE； （2）解RT△ADE可得ED的长，进而可求得这面旗到达旗杆顶端需要的时间． 【详解】（1）∵BG∥CD， ∴∠GBA=∠BAC=30°， 又∵∠GBE=15°， ∴∠ABE=45°， ∵∠EAD=60°， ∴∠BAE=90°， ∴∠AEB=45°， ∴AB=AE=，故AE的长为米； （2）在RT△ADE中，sin∠EAD=， ∴DE==15， 又∵DF=1， ∴FE=14， ∴时间t==28（秒）． 故旗子到达旗杆顶端需要28秒． 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 25．在直角坐标系中，以点为圆心作圆，使圆经过点，如图所示，试判断、 、与的位置关系.若点在外，求的取值范围. 【答案】在上、在内、在外，或 【分析】先根据勾股定理得到A的半径，再根据点与圆的位置关系可得C（0，4）、D（-2，0）、E（0，8）与A的位置关系，及m的取值范围． 【详解】在Rt△ABO中， ∵、， ∴OA＝2，OB＝4， ∴AB= ， 的半径为， 在上、在内、在外. 在外， 的取值范围或 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系.利用勾股定理求出的半径是解题的关键. 26．如图，在中，，，点D为射线上一点，连接，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，所在直线与射线交于点F，且． (1)当点D在线段上， ①求证：； ②求的值； (2)连接，，若，直接写出的长． 【答案】(1)①证明见解析；② (2)或 【分析】（1）①根据题意可得和为等腰直角三角形，可得，，再根据三角形外角的性质即可得证； ②过点C作于点E，设，可得，，根据等腰三角形三线合一及直角三角形斜边上中线的性质可得，由勾股定理可得，证明，由相似三角形的性质可得，，再代入计算即可； （2）分点D在线段上和点D在线段延长线上两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）①证明：在中，，， ∴， ∵线段绕点C顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②解：过点C作于点E，如图， 设， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴， ∴， ∴的值为． （2）解：分以下两种情况： 当点D在线段上，过点E作，交的延长线于点M，如图， 在中，，，， ∴，， 在中，，， ∴，， ∴， ∵， 在中，， ∴， 解得， 在中， ； 当点D在线段延长线上，过点E作，交射线于点N，过点C作于点H，如图， 设， ∵， ∴，， ∵，，， ∴，， 在中，，，， ∴，， 在中，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴， ∵， 在中，， ∴， 解得， 在中，，， ∴ ， 综上所述，BE的长为或． 【点睛】本题属于相似型综合题，考查等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨的思想思考问题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级下学期北师大测试卷（1） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 考试范围： 直角三角形的边角关系、二次函数、圆 ； 第I卷（选择题） 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=4米，则迎水坡宽度AC的长为(      ) A．米 B．米 C．米 D． 2．对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴是过（1，0）且平行于轴的直线；③顶点坐标为；④≤-2时，y随x的增大而增大，其中正确结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，是的直径，是的弦，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 4．用min{a，b}表示a，b两数中的最小数，若函数，则y的图象为(    ) A． B． C． D． 5．如图，某数学兴趣小组将长为，宽为的矩形铁丝框变形为以为圆心，为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得扇形的面积为（  ） A． B． C． D． 6．小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆（阴影）区域的概率为（　　） A． B． C． D． 7．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC＝α，∠ADC＝β，则竹竿AD与AB的长度之比为（　　） A． B． C． D． 8．方程实数根的情况是（ ） A．仅有三个不同实根 B．仅有两个不同实根 C．仅有一个不同实根 D．无实根 9．函数的图象如图所示，那么关于一元二次方程的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个异号的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 10．将含有角的直角三角板按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，在x轴上，若，将三角板绕原点O逆时针旋转，每秒旋转，则第2022秒时，点A的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分） 11．已知A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝（x﹣1）2的图象上，若x1＜x2＜1，则y1 y2． 12．数量关系： （1）销售额＝ 售价× ； （2）利润＝ 销售额－总成本＝ ×销售量； （3）单件利润＝售价－ ． 13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，CD=6，则BE= ． 14．如图，与的边，，分别相切于点，，，如果，，，那么的长为 ．    15．已知二次函数其中是自变量，当时，随的增大而增大，且当时，的最大值为，则的值为 ． 16．如图，内接于，BD为的切线，连接AD，若AD经过圆心O，且，则的大小为 度． 17．如图，是的直径，弦，分别过、作的垂线，垂足为、，以下结论 ①； ②； ③若四边形是正方形，则； ④若为弧的中点，则为中点． 所有正确结论的序号是 ． 18．如图，四边形内接于，，，点为的中点，连接，连接并延长，交于点，交于点．若，，则 ， 三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分） 19．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CE⊥AB于E，BD交CE于点F，CF＝BF， （1）求证：C是的中点； （2）若CD＝4，AC＝8，则⊙O的半径为　 　． 20．如图，的两条弦（AB不是直径），点E为AB中点，连接EC，ED． （1）直线EO与AB垂直吗？请说明理由； （2）求证：． 21．如图，中，的长分别为．求的内切圆半径r． 22．如图,A、B、C、D四点都在⊙O上,AD是⊙O的直径,且AD=6cm,若∠ABC=∠CAD,求弦AC的长. 23．已知：中，，以点C为圆心，作半径为的圆.问： (1)当R为何值时，和直线相离？ (2)当R为何值时，和直线相切？ (3)当R为何值时，和直线相交？ 24．如图所示，体育场内一看台与地面所成夹角为30°，看台最低点A到最高点B的距离为10，A，B两点正前方有垂直于地面的旗杆DE．在A，B两点处用仪器测量旗杆顶端E的仰角分别为60°和15°（仰角即视线与水平线的夹角） （1）求AE的长； （2）已知旗杆上有一面旗在离地1米的F点处，这面旗以0.5米/秒的速度匀速上升，求这面旗到达旗杆顶端需要多少秒？ 25．在直角坐标系中，以点为圆心作圆，使圆经过点，如图所示，试判断、 、与的位置关系.若点在外，求的取值范围. 26．如图，在中，，，点D为射线上一点，连接，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，所在直线与射线交于点F，且． (1)当点D在线段上， ①求证：； ②求的值； (2)连接，，若，直接写出的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$