第03章 圆 章节整合练习（20个知识点+40题练习）- 2024-2025学年九年级数学下册核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第03章 圆 章节整合练习（20个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．圆的认识 （1）圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． （2）与圆有关的概念 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等． 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性． 知识点2．圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 知识点3．垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 知识点4．垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 知识点5．圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 知识点6．圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 知识点7．相交弦定理 （1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）． 几何语言：若弦AB、CD交于点P，则PA•PB＝PC•PD（相交弦定理） （2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．　　 （3）几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2＝PA•PB（相交弦定理推论）． 知识点8．点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 知识点9．确定圆的条件 不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 知识点10．三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 知识点11．直线与圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d＝r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 知识点12．切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 知识点13．切线的判定 （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 知识点14．切线的判定与性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 知识点15．弦切角定理 （1）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角． （2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半． 　如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，则有∠PCA＝∠PBC（∠PCA为弦切角）． 知识点16．切割线定理 （1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 几何语言： ∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线 ∴PT的平方＝PA•PB（切割线定理） （2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等． 几何语言： ∵PBA，PDC是⊙O的割线 ∴PD•PC＝PA•PB（切割线定理推论）（割线定理） 由上可知：PT2＝PA•PB＝PC•PD． 知识点17．三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 知识点18．正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 知识点19．弧长的计算 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 知识点20．扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 章节题型整合练习 一、单选题 1．已知⊙O的半径为3cm，若OP=2cm，那么点P与⊙O的位置关系是  （          ） A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．都有可能 2．如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（    ） A．2 B．3 C． D． 3．如图，AB是圆O的直径，D是BA延长线上一点，DC与圆O相切于点C，连接BC，∠ABC＝20°，则∠BDC的度数为（　　） A．50° B．45° C．40° D．35° 4．如果在两个圆中有两条相等的弦，那么（    ） A．这两条弦所对的圆心角相等 B．这两条弦所对的弧相等 C．若两圆为等圆，则这两条弦所对的圆心角相等 D．这两条弦所对的弦心距相等 5．如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD=140°，则∠BCD等于（ ） A．140° B．110° C．70° D．20° 6．如图，是的直径，若，∠D=60°，则长等于（　　） A．4 B．5 C． D． 7．如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（ ） A．AE＝OE B．CE＝DE C．OE＝CE D．∠AOC＝60° 8．如图，CD是的直径，弦AB⊥CD于点G，直线EF与相切与点D，则下列结论中不一定正确的是（    ）   A．AG=BG B．AB∥EF C．AD∥BC D．∠ABC=∠ADC 9．如图，∠A＝70°，若O分别为△ABC的外心和内心，则∠BOC分别为（   ） A．140°，125° B．130°　115° C．120°　135° D．110°　105° 10．如图，O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是（　   　） A． B． C． D． 11．如图，已知的周长是20，点O为三角形内心，连接、，于点D，且，则的面积是（　　） A．20 B．25 C．30 D．35 12．如图，将⊙O上的沿弦BC翻折交半径OA于点D，再将沿BD翻折交BC于点E，连接DE． 若AD＝2OD，则的值为（   ） A． B． C． D． 13．已知的直径，是的弦，，垂足为，且，则的长为（    ） A． B． C．或 D．或 14．如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA=30°，则弦BC的长为（　　） A．4 B．2 C． D．2 15．如图，等腰直角△ABC中，AB=AC=8，以AB为直径的半圆O交斜边BC于D，则阴影部分面积为（结果保留π）（ ） A．24﹣4π B．32﹣4π C．32﹣8π D．16 16．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，则圆心坐标是（  ）    A．点（1，0） B．点（2，1） C．点（2，0） D．点(2.5，1) 二、填空题 17．若一个圆锥的底面圆的周长是4cm，母线长是6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是 度． 18．如图，是的直径.若，则 . 19．小明很喜欢钻研问题，一次数学老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在圆的半径．小明连接瓦片弧线两端，量得弧的中心C到的距离，，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为 ． 20．如图，在中，是等边三角形，是直径，则 度, 度 21．如图，A．B．C．D四点在⊙O上，OC⊥AB，∠AOC=40°，则∠BDC的度数是 22．已知点A、B、C、D在圆O上，且切圆O于点D，于点E，对于下列说法：①圆上是优弧；②圆上是优弧；③线段是弦；④和都是圆周角；⑤是圆心角，其中正确的说法是 ． 23．已知圆锥的底面半径是，母线长是，则圆锥侧面积是 . 24．小明把半径为1的光盘、直尺和三角尺形状的纸片按如图所示放置于桌面上，此时，光盘与AB，CD分别相切于点N，M．现从如图所示的位置开始，将光盘在直尺边上沿着CD向右滚动到再次与AB相切时，光盘的圆心经过的距离是 ． 25．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，若∠BOC=100°，则∠BAC= ． 26．如图，为的弦，的半径为5，于点，交于点，且，则弦的长是 ． 27．如图所示，正方形的对角线所在的直线上有一点，，将正方形绕点顺时针旋转，在旋转过程中，正方形扫过的面积是 ． 28．如图，圆锥的轴截面是边长为6cm的正三角形ABC，P是母线AC的中点．则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长为 cm． 三、解答题 29．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝96°，∠CAB＝60°，点D是的中点．求∠ABD的度数． 30．蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知，半径，求高度． 31．已知：如图，中，，以A点为圆心，长为半径作，求与围成的阴影部分的面积． 32．如图所示，的底边BC的长为10cm，，，求它外接圆的直径. 33．如图，D，E分别是半径，的中点，，和的大小有什么关系？为什么？ 34．如图，为的直径，点D是的中点，过点D作于点E，延长交于点F．若，求的长． 35．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E． （1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）过点D作DF⊥AB于点F，若BE=3，DF=3，求图中阴影部分的面积． 36．如图，的弦、相交于点，且．求证．    37．一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图），此时的水面宽AB为0.6米． （1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）； （2）当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度． 38．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于D点，连接CD． （1）求证：∠A=∠BCD； （2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由． 39．已知：∠MON，A为射线ON上一点． 求作：，使得点B在射线OM上，且． 作法：①以点O为圆心，OA长为半径画弧，交射线OM于点F，交射线ON的反向延长线于点E； ②以E为圆心，AF长为半径画弧，交弧EF于点P； ③连接AP，交射线OM于点B． 所以就是所求作的三角形． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明： 证明：连接EP，AF，OP， ∵点A，E，P在⊙O上， ∴．（______）（填写推理的依据） ∵在⊙O中，， ∴______．（______）（填写推理的依据） ∴． 40．问题提出： (1)如图1，已知是边长为2的等边三角形，则的面积为___________． 问题探究： (2)如图2，在中，已知，，求的最大面积． 问题解决： (3)如图3，某校学生礼堂的平面示意图为矩形ABCD，其宽米，长米，为了能够监控到礼堂内部情况，现需要在礼堂最尾端墙面上安装一台摄像头M进行观测，并且要求能观测到礼堂前端墙面区域，同时为了观测效果达到最佳，还需要从点M出发的观测角．请你通过所学的知识进行分析，在墙面区域上是否存在点M满足要求？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03章 圆 章节整合练习（20个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．圆的认识 （1）圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． （2）与圆有关的概念 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等． 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性． 知识点2．圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 知识点3．垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 知识点4．垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 知识点5．圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 知识点6．圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 知识点7．相交弦定理 （1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）． 几何语言：若弦AB、CD交于点P，则PA•PB＝PC•PD（相交弦定理） （2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．　　 （3）几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2＝PA•PB（相交弦定理推论）． 知识点8．点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 知识点9．确定圆的条件 不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 知识点10．三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 知识点11．直线与圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d＝r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 知识点12．切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 知识点13．切线的判定 （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 知识点14．切线的判定与性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 知识点15．弦切角定理 （1）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角． （2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半． 　如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，则有∠PCA＝∠PBC（∠PCA为弦切角）． 知识点16．切割线定理 （1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 几何语言： ∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线 ∴PT的平方＝PA•PB（切割线定理） （2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等． 几何语言： ∵PBA，PDC是⊙O的割线 ∴PD•PC＝PA•PB（切割线定理推论）（割线定理） 由上可知：PT2＝PA•PB＝PC•PD． 知识点17．三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 知识点18．正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 知识点19．弧长的计算 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 知识点20．扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 章节题型整合练习 一、单选题 1．已知⊙O的半径为3cm，若OP=2cm，那么点P与⊙O的位置关系是  （          ） A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．都有可能 【答案】A 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断． 【详解】解：∵2＜3， 即点P到圆心的距离小于圆的半径， ∴点P与⊙O内． 故选：A． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． 2．如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【知识点】三角形内心有关应用、应用切线长定理求解 【分析】标注A、B、C点，连接AD，OB，则AD过O，求出∠OBD=30°，求出OB，根据勾股定理求出BD，同法求出CD，求出BC即可． 【详解】如图，⊙O是△ABC的内切圆，⊙O切AB于F，切AC于E，切BC于D， 连接AD，OB，则AD过O(因为等边三角形的内切圆的圆心再角平分线上,也在底边的垂直平分线上)， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=60∘， ∵⊙O是△ABC的内切圆， ∴∠OBC=∠ABC=30∘， ∵⊙O切BC于D， ∴∠ODB=90∘， ∵OD=1， ∴OB=2， 由勾股定理得：BD==， 同理求出CD=， 即BC=2. 故选D. 【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心、等边三角形的性质，解题的关键是掌握三角形的内切圆与内心、等边三角形的性质. 3．如图，AB是圆O的直径，D是BA延长线上一点，DC与圆O相切于点C，连接BC，∠ABC＝20°，则∠BDC的度数为（　　） A．50° B．45° C．40° D．35° 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用、圆周角定理、切线的性质定理 【详解】连接OC，根据切线的性质得到∠OCD＝90°，根据圆周角定理得到∠COD＝2∠ABC＝40°，根据三角形内角和定理即可得到结论． 【解答】解：连接OC，如图： ∵DC与圆O相切于点C， ∴∠OCD＝90°， ∵∠ABC＝20°， ∴∠COD＝2∠ABC＝40°， ∴∠BDC＝90°﹣40°＝50°， 故选：A． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质定理是解题的关键． 4．如果在两个圆中有两条相等的弦，那么（    ） A．这两条弦所对的圆心角相等 B．这两条弦所对的弧相等 C．若两圆为等圆，则这两条弦所对的圆心角相等 D．这两条弦所对的弦心距相等 【答案】C 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，但在不同圆中则应另当别论． 【详解】解：A、这两条弦所对的圆心角不一定相等，原说法错误，故本选项错误； B、这两条弦所对的弧不一定相等，原说法错误，故本选项错误； C、若两圆为等圆，则这两条弦所对的圆心角相等，原说法正确，故本选项正确； D、这两条弦所对的弦心距不一定相等，原说法错误，故本选项错误； 故选C． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，注意在同圆和等圆这个条件，不要盲目解答． 5．如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD=140°，则∠BCD等于（ ） A．140° B．110° C．70° D．20° 【答案】B 【知识点】已知圆内接四边形求角度、圆周角定理 【详解】试题分析：∵∠BOD=140°， ∴∠A=∠BOD=70°， ∠C=180°﹣∠A=110°． 故选B． 考点：圆周角定理；圆内接四边形的性质． 6．如图，是的直径，若，∠D=60°，则长等于（　　） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、圆周角定理、同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】根据圆周角定理得出，，求出，根据含度角的直角三角形的性质求出，再根据勾股定理求出即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理和直角三角形的性质，熟练应用圆周角定理是解此题的关键． 7．如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（ ） A．AE＝OE B．CE＝DE C．OE＝CE D．∠AOC＝60° 【答案】B 【知识点】利用垂径定理求值 【分析】根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧求解． 【详解】解：∵直径AB⊥弦CD ∴CE＝DE 故选B. 【点睛】本题考查垂径定理，本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握垂径定理，即可完成． 8．如图，CD是的直径，弦AB⊥CD于点G，直线EF与相切与点D，则下列结论中不一定正确的是（    ）   A．AG=BG B．AB∥EF C．AD∥BC D．∠ABC=∠ADC 【答案】C 【知识点】切线的性质定理、利用垂径定理求值 【分析】根据垂径定理，切线的性质，平行的判定，圆周角定理逐一作出判断． 【详解】解：选项A：∵CD是的直径，弦AB⊥CD于点G，∴由垂径定理可知：AG=BG．结论正确． 选项B：∵直线EF与相切与点D，∴EF⊥AD．∴AB∥EF．结论正确． 选项C：要AD∥BC，即要∠ABC=∠BAD，由圆周角定理，∠ABC=∠ADC，即要∠BAD =∠ADC，即要AG=DG，但没此条件．结论错误． 选项D：∵∠ABC和∠ADC是同弧所对的圆周角，∴∠ABC=∠ADC．结论正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了切线的性质定理、圆周角定理以及垂径定理，理解熟记定理是解题的关键． 9．如图，∠A＝70°，若O分别为△ABC的外心和内心，则∠BOC分别为（   ） A．140°，125° B．130°　115° C．120°　135° D．110°　105° 【答案】A 【知识点】三角形内心有关应用 【分析】当点O是三角形的外心．根据圆周角定理，可得；当点O是三角形的内心，根据BO、CO平分∠ABC、∠ACB，可得答案. 【详解】当点O是三角形的外心． 根据圆周角定理，得 ∠BOC＝2∠A＝140°； 当点O是三角形的内心， ∴BO、CO平分∠ABC、∠ACB， ∴∠BOC＝180°－（∠OBC＋∠OCB） ＝180°－（∠ABC＋∠ACB） ＝180°－（180°－∠A） ＝90°＋∠A＝125°， 故答案为A． 【点睛】本题考查的是三角形，熟练掌握三角形的内心和外心是解题的关键. 10．如图，O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是（　   　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】圆与三角形的综合(圆的综合问题)、圆周角定理、等边三角形的判定和性质 【分析】连结OA、OB，如图1，由OA=OB=AB=1可判断△OAB为等边三角形，则∠AOB=60°，根据圆周角定理得∠APB=∠AOB=30°，由于AC⊥AP，所以∠C=60°，因为AB=1，则要使△ABC的最大面积，点C到AB的距离要最大；由∠ACB=60°，可根据圆周角定理判断点C在⊙D上，且∠ADB=120°，如图2，于是当点C优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC为等边三角形，从而得到△ABC的最大面积． 【详解】解：连结OA、OB，作△ABC的外接圆D，如图1， ∵OA=OB=1，AB=1， ∴△OAB为等边三角形， ∴∠AOB=60°， ∴∠APB=∠AOB=30°， ∵AC⊥AP， ∴∠C=60°， ∵AB=1，要使△ABC的最大面积，则点C到AB的距离最大， ∵∠ACB=60°，点C在⊙D上， ∴∠ADB=120°， 如图2， 当点C优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC为等边三角形，且面积为， ∴△ABC的最大面积为． 故选D． 【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和等边三角形的判断与性质；记住等边三角形的面积公式． 11．如图，已知的周长是20，点O为三角形内心，连接、，于点D，且，则的面积是（　　） A．20 B．25 C．30 D．35 【答案】C 【知识点】三角形内心有关应用 【分析】连接，过点O作于点E，于点F，根据三角形内心的性质，得到，再利用三角形面积进行计算，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，过点O作于点E，于点F， 点O为三角形内心，， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形内心的定义，三角形的面积公式，熟练掌握三角形内心的性质是解题关键． 12．如图，将⊙O上的沿弦BC翻折交半径OA于点D，再将沿BD翻折交BC于点E，连接DE． 若AD＝2OD，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、圆周角定理、折叠问题 【分析】如图，连接AC，CD，OC，过点C作CH⊥AB于H．设OA＝3a，则AB＝6a．首先证明AC＝CD＝DE，求出AC（用a表示），即可解决问题． 【详解】解：如图，连接AC，CD，OC，过点C作CH⊥AB于H．设OA＝3a，则AB＝6a． ∵在同圆或等圆中，∠ABC所对的弧有，，， ∴AC＝CD＝DE， ∵CH⊥AD， ∴AH＝DH， ∵AD＝2OD， ∴AH＝DH＝OD＝a， 在Rt△OCH中，CH＝， 在Rt△ACH中，AC＝， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查圆周角定理，翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题． 13．已知的直径，是的弦，，垂足为，且，则的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】利用垂径定理求值、垂径定理的实际应用、用勾股定理解三角形 【分析】先画好一个圆，标上直径CD，已知AB的长为8cm，可知分为两种情况，第一种情况AB与OD相交，第二种情况AB与OC相交，利用勾股定理即可求出两种情况下的AC的长； 【详解】连接AC，AO， ∵圆O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm， ∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm， 当C点位置如图1所示时， ∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB， ∴OM==3cm， ∴CM=OC+OM=5+3=8cm， ∴AC=cm； 当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm， ∵OC=5cm， ∴MC=5−3=2cm， 在Rt△AMC中，AC=cm． 故选C． 【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理，根据题意正确画出图形进行分类讨论，熟练运用垂径定理是解决本题的关键． 14．如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA=30°，则弦BC的长为（　　） A．4 B．2 C． D．2 【答案】D 【知识点】利用垂径定理求值 【分析】根据垂径定理得到CH=BH，，根据圆周角定理求出∠AOB，根据正弦的定义求出BH，计算即可． 【详解】如图BC与OA相交于H ∵OA⊥BC， ∴CH=BH，， ∴∠AOB=2∠CDA=60°， ∴BH=OB⋅sin∠AOB=， ∴BC=2BH=2， 故选D． 【点睛】本题考查的是垂径定理、圆周角定理，熟练掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 15．如图，等腰直角△ABC中，AB=AC=8，以AB为直径的半圆O交斜边BC于D，则阴影部分面积为（结果保留π）（ ） A．24﹣4π B．32﹣4π C．32﹣8π D．16 【答案】A 【知识点】求其他不规则图形的面积 【详解】试题分析：连接AD，OD， ∵等腰直角△ABC中， ∴∠ABD=45°． ∵AB是圆的直径， ∴∠ADB=90°， ∴△ABD也是等腰直角三角形， ∴． ∵AB=8， ∴AD=BD=4， ∴S阴影=S△ABC-S△ABD-S弓形AD=S△ABC-S△ABD-（S扇形AOD-S△ABD） =×8×8-×4×4-+××4×4 =16-4π+8=24-4π． 故选A． 考点： 扇形面积的计算． 16．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，则圆心坐标是（  ）    A．点（1，0） B．点（2，1） C．点（2，0） D．点(2.5，1) 【答案】C 【知识点】确定圆心(尺规作图)、判断确定圆的条件、利用垂径定理求解其他问题 【详解】试题分析：根据勾股定理可知A、B、C点到2的距离均为，然后可知圆心为（2，0）或者通过AB、BC的垂直平分线求解也可以. 故选C. 二、填空题 17．若一个圆锥的底面圆的周长是4cm，母线长是6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是 度． 【答案】120 【知识点】求圆锥侧面展开图的圆心角 【分析】根据弧长=圆锥底面周长=4π，圆心角=弧长×180÷母线长÷π计算． 【详解】解：由题意知：弧长=圆锥底面周长=2×2π=4πcm， 扇形的圆心角=弧长×180÷母线长÷π=4π×180÷6π=120°． 故答案为：120． 18．如图，是的直径.若，则 . 【答案】35°. 【分析】直接利用圆周角定理求解即可． 【详解】根据圆周角定理,得：∠A=∠COB=35°. 【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理. 19．小明很喜欢钻研问题，一次数学老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在圆的半径．小明连接瓦片弧线两端，量得弧的中心C到的距离，，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为 ． 【答案】10 【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用 【分析】利用垂径定理和勾股定理进行求解即可． 【详解】解：设圆的半径为， ∵C为弧的中心，， ∴延长必过圆的圆心，设圆心为，连接，如图， ∴， 由勾股定理，得：， 即：， 解得：； ∴圆形瓦片所在圆的半径为：； 故答案为：10． 【点睛】本题考查垂径定理．熟练掌握垂径定理，是解题的关键． 20．如图，在中，是等边三角形，是直径，则 度, 度 【答案】 60 90 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、同弧或等弧所对的圆周角相等 【详解】解：根据等边三角形的性质可知：， 根据同弧所对的圆周角相等可得：； 根据直径所对的圆周角为直角可得：； 故答案为：60，90． 21．如图，A．B．C．D四点在⊙O上，OC⊥AB，∠AOC=40°，则∠BDC的度数是 【答案】20° 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等 【详解】连接OB，OA=OB， ∵OC⊥AB，∴∠BOC=∠AOC=40°， ∴∠D=∠BOC=20°. 故答案为20°. 点睛：本题结合圆的性质和等腰三角形三线合一性质求解. 22．已知点A、B、C、D在圆O上，且切圆O于点D，于点E，对于下列说法：①圆上是优弧；②圆上是优弧；③线段是弦；④和都是圆周角；⑤是圆心角，其中正确的说法是 ． 【答案】①②③⑤ 【知识点】圆的基本概念辨析、切线的性质定理 【分析】本题考查了圆有关的概念，切线的性质，熟练掌握圆的有关概念是解题的关键．由优弧，弦，圆周角的概念及切线的性质可得出答案． 【详解】解：由图可知圆上及圆上是优弧，故①②正确， 由弦的定义可知线段是弦，故③正确； ∵切圆O于点D， ∴不是圆周角， 故④错误； ∵A，C是圆上的点， ∴是圆心角，故⑤正确； 故答案为：①②③⑤． 23．已知圆锥的底面半径是，母线长是，则圆锥侧面积是 . 【答案】 【知识点】求圆锥侧面积 【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2=． 【详解】根据圆锥的侧面积公式： 底面半径是2cm，母线长是3cm的圆锥侧面积为 故答案是： 【点睛】本题考查圆锥的侧面积，解题的关键是记住圆锥是侧面积公式． 24．小明把半径为1的光盘、直尺和三角尺形状的纸片按如图所示放置于桌面上，此时，光盘与AB，CD分别相切于点N，M．现从如图所示的位置开始，将光盘在直尺边上沿着CD向右滚动到再次与AB相切时，光盘的圆心经过的距离是 ． 【答案】 【知识点】解直角三角形的相关计算、切线的性质定理 【详解】解：如图，当圆心O移动到点P的位置时，光盘在直尺边上沿着CD向右滚动到再次与AB相切，切点为Q， ∵ON⊥AB，PQ⊥AB， ∴ON∥PQ， ∵ON=PQ，∴OH=PH， 在Rt△PHQ中，∠P=∠A=30°，PQ=1， ∴PH=， 则OP= 故答案为： 【点睛】本题考查切线的性质． 25．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，若∠BOC=100°，则∠BAC= ． 【答案】50° 【知识点】圆周角定理 【分析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半得． 【详解】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC=100°， ∴∠BAC=∠BOC=×100°=50°． 故答案为：50°． 【点睛】本题考查圆周角定理，题目比较简单． 26．如图，为的弦，的半径为5，于点，交于点，且，则弦的长是 ． 【答案】6 【知识点】利用垂径定理求值 【分析】连接AO，得到直角三角形，再求出OD的长，就可以利用勾股定理求解． 【详解】连接， ∵半径是5，， ∴， 根据勾股定理， ， ∴， 因此弦的长是6． 【点睛】解答此题不仅要用到垂径定理，还要作出辅助线AO，这是解题的关键． 27．如图所示，正方形的对角线所在的直线上有一点，，将正方形绕点顺时针旋转，在旋转过程中，正方形扫过的面积是 ． 【答案】 【知识点】求图形旋转后扫过的面积 【分析】根据直角三角形性质求出，根据扇形面积公式可求解：. 【详解】∵， ∴，， 故答案为 【点睛】考核知识点：旋转时扫过扇形面积. 28．如图，圆锥的轴截面是边长为6cm的正三角形ABC，P是母线AC的中点．则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长为 cm． 【答案】3． 【知识点】求弧长、圆锥侧面上最短路径问题、用勾股定理解三角形、最短路径问题 【分析】求出圆锥底面圆的周长，则以AB为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径的扇形，根据弧长公式求出展开后扇形的圆心角，求出展开后∠BAC=90°，连接BP，根据勾股定理求出BP即可． 【详解】解：圆锥底面是以BC为直径的圆，圆的周长是BCπ＝6π， 以AB为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径的扇形，弧长是l＝6π， 设展开后的圆心角是n°，则， 解得：n＝180， 即展开后∠BAC＝×180°＝90°， AP＝AC＝3，AB＝6， 则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长就是展开后线段BP的长， 由勾股定理得：BP＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，平面展开-最短路线问题，勾股定理，弧长公式等知识点的应用，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 三、解答题 29．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝96°，∠CAB＝60°，点D是的中点．求∠ABD的度数． 【答案】∠ABD=102°． 【知识点】三角形内角和定理的应用、圆周角定理、同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】根据∠CAB＝60°，可得，再由点D是的中点可得，由圆周角定理可知∠CBD＝30°，由此即可求出∠ABD的度数． 【详解】解：∠AOB＝96°， ∴∠ACB＝48°， ∵∠CAB＝60°， ∴∠ABC＝180°-∠ACB-∠CAB=72°，， 又∵点D是的中点， ∴， ∴∠CBD＝30°， ∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝102°． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，找准同弧所对圆周角和圆心角是解题关键． 30．蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知，半径，求高度． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用 【分析】弦，半径，根据题意得是直角三角形，可求出的长，由此即可求解． 【详解】解：根据题意得，在中，，半径， ∴，，， ∴， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键． 31．已知：如图，中，，以A点为圆心，长为半径作，求与围成的阴影部分的面积． 【答案】阴影部分的面积为 【知识点】求其他不规则图形的面积、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形 【分析】设，先根据含30°的直角三角形的性质可得，再根据勾股定理即可求得AC的长，最后根据进行计算即可． 【详解】解：设， ∵在中，，， ∴，， ∵在中，，， ∴， 解得：（舍负）， ， ． 答：阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查的是扇形面积的计算及直角三角形的性质，勾股定理，熟知三角形及扇形的面积公式是解答此题的关键． 32．如图所示，的底边BC的长为10cm，，，求它外接圆的直径. 【答案】 【知识点】求特殊三角形外接圆的半径 【分析】连接OA交BC于D，根据三线合一定理得出BD=DC，∠OAC=∠BAC，得出等边三角形OAC，推出∠AOC=60°，在△ODC中根据勾股定理求出即可半径，进而求得直径． 【详解】解：如图所示，是的外接圆，连接OA交BC于D， ∵O是等腰三角形ABC的外心，AB=AC， ∴∠AOC=∠BOA， ∵OB=OC， ∴BD=DC，OA⊥BC， ∴由垂径定理得：BD=DC=5cm， ∠OAC=∠BAC=×120°=60°， ∵OA=OC， ∴△AOC是等边三角形， ∴∠AOC=60°， ∴∠DCO=90°-60°=30° ∴OC=2OD， 设OD=a，OC=2a，由勾股定理得：a2+52=（2a）2， a=， ∴OC=2a=， ∴外接圆的直径=2OC=（cm）． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形的外接圆和外心，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识点，此题有一定的难度，注意：此等腰三角形的外心在三角形外部． 33．如图，D，E分别是半径，的中点，，和的大小有什么关系？为什么？ 【答案】，理由见解析． 【知识点】圆周角定理、用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】应该是相等的关系，连接，只要证明和全等即可． 【详解】解：结论：． 理由：连接， 、分别是、的中点，， ， 又 ， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 34．如图，为的直径，点D是的中点，过点D作于点E，延长交于点F．若，求的长． 【答案】 【知识点】利用垂径定理求值、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查了垂径定理及其推论，弧、弦的关系，熟练掌握垂径定理是解题的关键．根据点是弧的中点，得到；根据为的直径，，得到，从而得到，得到，得到 【详解】解：∵， ∴． ∵点D是的中点， ∴． ∴． ∴． ∴． 35．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E． （1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）过点D作DF⊥AB于点F，若BE=3，DF=3，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）DE与⊙O相切，理由见解析；（2）阴影部分的面积为2π﹣． 【知识点】切线的性质和判定的综合应用、求其他不规则图形的面积 【分析】（1）直接利用角平分线的定义结合平行线的判定与性质得出∠DEB=∠EDO=90°，进而得出答案； （2）利用勾股定理结合扇形面积求法分别分析得出答案． 【详解】（1）DE与⊙O相切， 理由：连接DO， ∵DO=BO， ∴∠ODB=∠OBD， ∵∠ABC的平分线交⊙O于点D， ∴∠EBD=∠DBO， ∴∠EBD=∠BDO， ∴DO∥BE， ∵DE⊥BC， ∴∠DEB=∠EDO=90°， ∴DE与⊙O相切； （2）∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BE，DF⊥AB， ∴DE=DF=3， ∵BE=3， ∴BD==6， ∵sin∠DBF=， ∴∠DBA=30°， ∴∠DOF=60°， ∴sin60°=， ∴DO=2， 则FO=， 故图中阴影部分的面积为：． 【点睛】此题主要考查了切线的判定方法以及扇形面积求法等知识，正确得出DO的长是解题关键． 36．如图，的弦、相交于点，且．求证．    【答案】见解析 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求证 【分析】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系、等腰三角形的判定．连接，由弧、弦、圆心角的关系进行证明，结合等角对等边，即可得到结论成立． 【详解】证明：连接．    ∵， ∴ ∴， 即，    ∴， ∴． 37．一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图），此时的水面宽AB为0.6米． （1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）； （2）当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度． 【答案】当水位上升到水面宽为0.8米时，水面上升的高度为0.1米或0.7米 【知识点】垂径定理的实际应用、用勾股定理解三角形 【分析】（1）作半径，并交于，连接，则即为弓形高，根据垂径定理得，然后根据已知条件求出的长； （2）当水位上升到水面宽为0.8米时，直线与相交于，可得米，然后根据与在圆心同侧或异侧时两种情况解答． 【详解】 解：（1）作半径，垂足为点，连接，则即为弓形的高， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴米，即此时的水深为0.1米． （2）当水位上升到水面宽为0.8米时，直线与相交于点 同理可得，当与在圆心同侧时，水面上升的高度为0.1米；当在在圆心异侧时水面上升的高度为0.7米． ∴综上所述，当水位上升到水面宽为0.8米时，水面上升的高度为0.1米或0.7米． 【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握垂径定理． 38．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于D点，连接CD． （1）求证：∠A=∠BCD； （2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由． 【答案】（1）证明见试题解析；（2）M为BC的中点． 【知识点】判断或补全使直线为切线的条件、90度的圆周角所对的弦是直径 【详解】试题分析：（1）根据圆周角定理可得∠ADC=90°，再根据直角三角形的性质可得∠A+∠DCA=90°，再由∠DCB+∠ACD=90°，可得∠DCB=∠A； （2）当MC=MD时，直线DM与⊙O相切，连接DO，根据等等边对等角可得∠1=∠2，∠4=∠3，再根据∠ACB=90°可得∠1+∠3=90°，进而证得直线DM与⊙O相切． 试题解析：（1）证明：∵AC为直径， ∴∠ADC=90°， ∴∠A+∠DCA=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠DCB+∠ACD=90°， ∴∠DCB=∠A； （2）当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与⊙O相切； 解：连接DO， ∵DO=CO， ∴∠1=∠2， ∵DM=CM， ∴∠4=∠3， ∵∠2+∠4=90°， ∴∠1+∠3=90°， ∴直线DM与⊙O相切， 故当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与⊙O相切． 考点：切线的判定． 39．已知：∠MON，A为射线ON上一点． 求作：，使得点B在射线OM上，且． 作法：①以点O为圆心，OA长为半径画弧，交射线OM于点F，交射线ON的反向延长线于点E； ②以E为圆心，AF长为半径画弧，交弧EF于点P； ③连接AP，交射线OM于点B． 所以就是所求作的三角形． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明： 证明：连接EP，AF，OP， ∵点A，E，P在⊙O上， ∴．（______）（填写推理的依据） ∵在⊙O中，， ∴______．（______）（填写推理的依据） ∴． 【答案】(1)见解析 (2)同弧(或等弧)所对的圆周角的度数等于圆心角度数的一半；；在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等 【知识点】圆周角定理、利用弧、弦、圆心角的关系求证、尺规作图——作三角形 【分析】(1)根据题意即可作出图； (2)根据圆周角定理及弦、弧、圆心角之间的关系即可解答． 【详解】（1）解：作图如下： （2）证明：连接EP，AF，OP， ∵点A，E，P在⊙O上， ∴．（同弧(或等弧)所对的圆周角的度数等于圆心角度数的一半） ∵在⊙O中，， ∴．（在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等） ∴． 故答案为：同弧(或等弧)所对的圆周角的度数等于圆心角度数的一半；；在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等． 【点睛】本题考查了圆周角定理及弦、弧、圆心角之间的关系，准确作出图是解决本题的关键． 40．问题提出： (1)如图1，已知是边长为2的等边三角形，则的面积为___________． 问题探究： (2)如图2，在中，已知，，求的最大面积． 问题解决： (3)如图3，某校学生礼堂的平面示意图为矩形ABCD，其宽米，长米，为了能够监控到礼堂内部情况，现需要在礼堂最尾端墙面上安装一台摄像头M进行观测，并且要求能观测到礼堂前端墙面区域，同时为了观测效果达到最佳，还需要从点M出发的观测角．请你通过所学的知识进行分析，在墙面区域上是否存在点M满足要求？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，的长度为8米或12米 【知识点】等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、圆周角定理、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）过作于，根据已知算出的长，即可求出面积； （2）作的外接圆，当点在的中点时，最大，根据题意，此时是等腰 三角形，，，根据锐角三角函数求得的长，进而求出的最大 面积； （3）存在，如图③，以为斜边作等腰，使得，再以点为圆心， 长为半径作圆，过作于，延长交于点，根据圆周角定理得出 ，根据等腰直角三角形的性质，求出，算出的半径，算出的长与比较 得出此时的顶点在矩形的边的外侧，与有两个交点，故在上存在 点，满足，再根据勾股定理算出的长，进而得到结论． 【详解】（1）解：如图①：过作于， ∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）如图②，作的外接圆，当点在的中点时，最大， 根据题意，此时是等腰三角形，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）存在，如图③，以为斜边作等腰，使得，再以点为圆心，长为半径作圆，过作于，延长交于点， ∵， ∴， ∵在等腰中，米，， ∴米， ∴的半径米， ∴米， ∵米， ∴， ∴此时的顶点在矩形的边的外侧， ∴与有两个交点，故在上存在点，满足． 记与的两个交点为，，过点作于，过点作于，因此，，连接， ∵ ，， ∴（米）， ∵在中，米， ∴（米）， ∴（米）， 同理（米）， ∴在墙面区域上存在点满足，且的长度为8米或12米． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，圆心角与圆周角的关系，这是一道几何综合题，学会灵活运用所学知识解决问题是解本题的关键． 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