1  2024年潍坊市初中学业水平考试-【中考321】2025年中考数学3年真题2年模拟1年预测（山东潍坊专版）

书 — １— — ２— — ３— 一、单项选择题（共６小题，每小题４分，共２４分。每小题的四个选项中只有一项正确） １．下列著名曲线中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是 （　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ２．２０２４年３月份，低空经济首次被写入《政府工作报告》。截至２０２３年底，全国注册通航企业６９０家、无 人机１２６．７万架，运营无人机的企业达１．９万家。将１２６．７万用科学记数法表示为 （　　） Ａ．１．２６７×１０５ Ｂ．１．２６７×１０６ Ｃ．１．２６７×１０７ Ｄ．１２６．７×１０４ ３．某厂家生产的海上浮漂的形状是中间穿孔的球体，如图１所示。该浮漂的俯视图是图２，那么它的主 视图是 （　　） 图１ 　　　　　　 图２ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ４．中国中医科学院教授屠呦呦因其在青蒿素抗疟方面的研究获２０１５年诺贝尔生理学或医学奖。某科 研小组用石油醚做溶剂进行提取青蒿素的实验，控制其他实验条件不变，分别研究提取时间和提取温 度对青蒿素提取率的影响，其结果如图所示。由图可知，最佳的提取时间和提取温度分别为 （　　） Ａ．１００ｍｉｎ，５０℃ Ｂ．１２０ｍｉｎ，５０℃ Ｃ．１００ｍｉｎ，５５℃ Ｄ．１２０ｍｉｎ，５５℃ 提取时间对青蒿素提取率的影响 　 提取温度对青蒿素提取率的影响 第４题图 　　 第５题图 ５．一种路灯的示意图如图所示，其底部支架ＡＢ与吊线ＦＧ平行，灯杆ＣＤ与底部支架ＡＢ所成锐角α＝１５°。顶 部支架ＥＦ与灯杆ＣＤ所成锐角β＝４５°，则ＥＦ与ＦＧ所成锐角的度数为 （　　） Ａ．６０° Ｂ．５５° Ｃ．５０° Ｄ．４５° ６．已知关于ｘ的一元二次方程ｘ２－ｍｘ－ｎ２＋ｍｎ＋１＝０，其中ｍ，ｎ满足ｍ－２ｎ＝３，关于该方程根的情况，下列 判断正确的是 （　　） Ａ．无实数根 Ｂ．有两个相等的实数根 Ｃ．有两个不相等的实数根 Ｄ．无法确定 二、多项选择题（共４小题，每小题５分，共２０分。每小题的四个选项中，有多项正确，全部选对得５分， 部分选对得３分，有错选的得０分） ７．下列命题是真命题的有 （　　） Ａ．若ａ＝ｂ，则ａｃ＝ｂｃ Ｂ．若ａ＞ｂ，则ａｃ＞ｂｃ Ｃ．两个有理数的积仍为有理数 Ｄ．两个无理数的积仍为无理数 ８．如图，圆柱的底面半径为槡３，高为１，下列关于该圆柱的结论正确的有 （　　） Ａ．体积为π Ｂ．母线长为１ Ｃ．侧面积为 槡２３π Ｄ．侧面展开图的周长为２＋槡８３π 第８题图 　　　　　 第９题图 　　　　　 第１０题图 ９．如图，已知抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的对称轴是直线ｘ＝１，且抛物线与ｘ轴的一个交点坐标为（４，０）。下列 结论正确的有 （　　） Ａ．ａ－ｂ＋ｃ＞０ Ｂ．该抛物线与ｘ轴的另一个交点坐标为（－３，０） Ｃ．若点（－１，ｙ１）和（２，ｙ２）在该抛物线上，则ｙ１＜ｙ２ Ｄ．对任意实数ｎ，不等式ａｎ ２＋ｂｎ≤ａ＋ｂ总成立 １０．如图，⊙Ｏ是△ＡＢＣ的外接圆，ＯＡ∥ＢＣ，连接ＣＯ并延长交⊙Ｏ于点Ｄ。分别以点Ａ，Ｃ为圆心，以大 于 １ ２ ＡＣ的长为半径作弧，并使两弧交于圆外一点Ｍ。直线ＯＭ交ＢＣ于点Ｅ，连接ＡＥ，下列结论一定 正确的是 （　　） Ａ．ＡＢ ) ＝ＡＤ ) Ｂ．ＡＢ＝ＯＥ Ｃ．∠ＡＯＤ＝∠ＢＡＣ Ｄ．四边形ＡＯＣＥ是菱形 三、填空题（共４小题，每小题４分，共１６分。只写最后结果） １１．请写出同时满足以下两个条件的一个函数：　　　　　　　　。 ①ｙ随着ｘ的增大而减小；②函数图象与ｙ轴正半轴相交。 １２．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形 ＡＢＣ的顶点 Ａ的坐标为（０，４），点 Ｂ，Ｃ均在 ｘ轴上。将 △ＡＢＣ绕顶点Ａ逆时针旋转３０°得到△ＡＢ′Ｃ′，则点Ｃ′的坐标为　　　　。 第１２题图 　　　 第１４题图 １３．小莹在做手抄报时，用到了红色、黄色、蓝色三支彩笔，这三支彩笔的笔帽和笔芯颜色分别一致。完 成手抄报后，她随机地将三个笔帽分别盖在三支彩笔上，每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是 　　　　。 １４．将连续的正整数排成如图所示的数表。记ａ（ｉ，ｊ）为数表中第ｉ行第ｊ列位置的数字，如ａ（１，２）＝４，ａ（３，２）＝ ８，ａ（５，４）＝２２。若ａ（ｍ，ｎ）＝２０２４，则ｍ＝　　　　，ｎ＝　　　　。 四、解答题（共８小题，共９０分。请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） １５．（１０分）（１）计算：３－槡 ８＋ １ ２( ) －２ －－３； （２）先化简，再求值：ａ＋１－ ３ ａ－１( )÷ａ＋２ａ－１，其中ａ＝槡３＋２。 １６．（１０分）如图，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＞２ＡＤ，点Ｅ，Ｆ分别在边ＡＢ，ＣＤ上。将△ＡＤＦ沿ＡＦ折叠，点Ｄ的 对应点Ｇ恰好落在对角线ＡＣ上；将△ＣＢＥ沿ＣＥ折叠，点Ｂ的对应点Ｈ恰好也落在对角线ＡＣ上。 连接ＥＧ，ＦＨ。 求证：（１）△ＡＥＨ≌△ＣＦＧ； （２）四边形ＥＧＦＨ是平行四边形。 １７．（１０分）如图，正比例函数ｙ＝－槡 ３ ３ ｘ的图象与反比例函数ｙ＝ ｋ ｘ 的图象的一个交点为Ａ（ｍ，槡３）。点Ｐ （槡２３，ｎ）在直线ｙ＝－ 槡３ ３ ｘ上，过点Ｐ作ｙ轴的平行线，交ｙ＝ ｋ ｘ 的图象于点Ｑ。 （１）求这个反比例函数的表达式； （２）求△ＯＰＱ的面积。 １８．（１１分）在某购物电商平台上，客户购买商家的商品后，可从“产品质量”“商家服务”“发货速度”“快 递服务”等方面给予商家分值评价（分值为１分，２分，３分，４分和５分）。该平台上甲、乙两个商家 以相同价格分别销售同款Ｔ恤衫，平台为了了解他们的客户对其“商家服务”的评价情况，从甲、乙两 个商家各随机抽取了一部分“商家服务”的评价分值进行统计分析。 【数据描述】 下图是根据样本数据制作的不完整的统计图，请回答问题（１）（２）。 “商家服务”评价分值的条形统计图 　　　 “商家服务”评价分值的扇形统计图 甲商家 乙商家 （１）平台从甲、乙两个商家分别抽取了多少个评价分值？请补全条形统计图； （２）求甲商家的“商家服务”评价分值的扇形统计图中圆心角α的度数； １ ２０２４年潍坊市初中学业水平考试 （时间：１２０分钟　总分：１５０分） — ４— — ５— — ６— 【分析与应用】 样本数据的统计量如下表，请回答问题（３）（４）。 商家 统计量 中位数 众数 平均数 方差 甲商家 ａ ３ ３．５ １．０５ 乙商家 ４ ｂ ｘ １．２４ （３）直接写出表中ａ和ｂ的值，并求ｘ的值； （４）小亮打算从甲、乙两个商家中选择“商家服务”好的一家购买此款Ｔ恤衫。你认为小亮应该选择 哪一家？说明你的观点。 １９．（１０分）２０２４年６月，某商场为了减少夏季降温和冬季供暖的能源消耗，计划在商场的屋顶和外墙建 造隔热层，其建造成本Ｐ（万元）与隔热层厚度ｘ（ｃｍ）满足函数表达式：Ｐ＝１０ｘ。预计该商场每年的 能源消耗费用Ｔ（万元）与隔热层厚度 ｘ（ｃｍ）满足函数表达式：Ｔ＝２１－ （ｘ＋２）（ｘ＋４） ８ ，其中０≤ｘ≤９。 设该商场的隔热层建造费用与未来８年能源消耗费用之和为ｙ（万元）。 （１）若ｙ＝１４８万元，求该商场建造的隔热层厚度； （２）已知该商场未来８年的相关规划费用为ｔ（万元），且ｔ＝ｙ＋ｘ２，当１７２≤ｔ≤１９２时，求隔热层厚度 ｘ（ｃｍ）的取值范围。 ２０．（１２分）如图，已知△ＡＢＣ内接于⊙Ｏ，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，∠ＢＡＣ的平分线交⊙Ｏ于点 Ｄ，过点 Ｄ作 ＤＥ⊥ＡＣ，交ＡＣ的延长线于点Ｅ，连接ＢＤ，ＣＤ。 （１）求证：ＤＥ是⊙Ｏ的切线； （２）若ＣＥ＝１，ｓｉｎ∠ＢＡＤ＝ １ ３ ，求⊙Ｏ的直径。 ２１．（１４分）在光伏发电系统运行时，太阳能板（如图１）与水平地面的夹角会对太阳辐射的接收产生直 接影响。某地区工作人员对日平均太阳辐射量ｙ（单位：ｋＷ·ｈ·１０－１·ｍ－２·ｄ－１）和太阳能板与水平 地面的夹角ｘ°（０≤ｘ≤９０）进行统计，绘制了如图２所示的散点图，已知该散点图可用二次函数刻画。 图１ 　　 图２ 　　 图３ （１）求ｙ关于ｘ的函数表达式； （２）该地区太阳能板与水平地面的夹角为多少度时，日平均太阳辐射量最大？ （３）图３是该地区太阳能板安装后的示意图（此时，太阳能板与水平地面的夹角使得日平均太阳辐 射量最大），∠ＡＧＤ为太阳能板ＡＢ与水平地面ＤＧ的夹角，ＣＤ为支撑杆。已知ＡＢ＝２ｍ，Ｃ是ＡＢ的 中点，ＣＤ⊥ＤＧ。在ＧＤ的延长线上选取一点 Ｍ，在 Ｄ，Ｍ两点间选取一点 Ｅ，测得 ＥＭ＝４ｍ，在 Ｍ，Ｅ 两点处分别用测角仪测得太阳能板顶Ａ的仰角为３０°，４５°，该测角仪支架的高为１ｍ。求支撑杆ＣＤ 的长。（精确到０．１ｍ，参考数据：槡２≈１．４１４，槡３≈１．７３２） ２２．（１３分）【问题提出】 在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长为１８ｍ 的正方形草坪（如图１）中安装自动喷洒装置，既为了节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要 设计合适的安装方案。 说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为ｒｍ的圆面。喷洒覆盖率ρ＝ ｋ ｓ ，ｓ为待喷洒区域面积，ｋ 为待喷洒区域中的实际喷洒面积。 【数学建模】 这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题。 【探索发现】 （１）如图２，在该草坪中心位置设计安装１个喷洒半径为９ｍ的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率 ρ＝　　　　； 图１ 　 图２ 　 图３ 　 图４ 　 图５ 　 图６ （２）如图３，在该草坪内设计安装４个喷洒半径均为 ９ ２ ｍ的自动喷洒装置；如图４，设计安装９个喷洒 半径均为３ｍ的自动喷洒装置……以此类推，如图５，设计安装ｎ２个喷洒半径均为 ９ ｎ ｍ的自动喷洒 装置。与（１）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？ 请判断并给出理由； （３）如图６所示，该公司设计了用４个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率 ρ＝１。已知正方形ＡＢＣＤ各边上依次取点Ｆ，Ｇ，Ｈ，Ｅ，使得ＡＥ＝ＢＦ＝ＣＧ＝ＤＨ，设ＡＥ＝ｘｍ，⊙Ｏ１的面 积为ｙｍ２，求ｙ关于ｘ的函数表达式，并求当ｙ取得最小值时ｒ的值； 【问题解决】 （４）该公司现有喷洒半径为 槡３２ｍ的自动喷洒装置若干个，至少安装几个这样的喷洒装置可使该草 坪的喷洒覆盖率ρ＝１？（直接写出结果即可） 参考答案及解析 （部分答案不唯一） １２０２４年潍坊市初中学业水平考试 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｃ Ｂ Ｄ Ｂ Ａ Ｃ ＡＣ ＢＣ ＡＣＤＡＢＤ １．Ｃ　【解析】Ａ是轴对称图形，不是中心对称图形，故选 项不符合题意；Ｂ不是轴对称图形，是中心对称图形， 故选项不符合题意；Ｃ既是轴对称图形，也是中心对 称图形，故选项符合题意；Ｄ是轴对称图形，不是中心 对称图形，故选项不符合题意。故选Ｃ。 ２．Ｂ　【解析】１２６．７万＝１２６７０００＝１．２６７×１０６。故选Ｂ。 ３．Ｄ　【解析】它的主视图如图所示。 故选Ｄ。 ４．Ｂ　【解析】由图象可知，在 １２０ｍｉｎ时提取率最高， ５０℃时提取率最高。故选Ｂ。 ５．Ａ　【解析】如图，过点Ｅ作ＥＨ∥ＡＢ。 ∵ＡＢ∥ＦＧ，∴ＡＢ∥ＥＨ∥ＦＧ。 ∴∠ＢＥＨ＝α＝１５°，∠ＦＥＨ＋∠ＥＦＧ＝１８０°。 ∵β＝４５°，∴∠ＦＥＨ＝１８０°－４５°－１５°＝１２０°。 ∴∠ＥＦＧ＝１８０°－∠ＦＥＨ＝１８０°－１２０°＝６０°。 ∴ＥＦ与ＦＧ所成锐角的度数为６０°。 故选Ａ。 ６．Ｃ　【解析】∵ｍ－２ｎ＝３，∴ｍ＝２ｎ＋３。 ∴Δ＝（－ｍ）２－４（－ｎ２＋ｍｎ＋１） ＝ｍ２＋４ｎ２－４ｍｎ－４ ＝（２ｎ＋３）２＋４ｎ２－４ｎ（２ｎ＋３）－４ ＝４ｎ２＋１２ｎ＋９＋４ｎ２－８ｎ２－１２ｎ－４ ＝５＞０。 ∴原方程有两个不相等的实数根。故选Ｃ。 ７．ＡＣ　【解析】Ａ．由等式的性质可得，若ａ＝ｂ，则 ａｃ＝ｂｃ， 原命题是真命题； Ｂ．由不等式的性质可得，若ａ＞ｂ，且ｃ＞０，则ａｃ＞ｂｃ，原命 题是假命题； Ｃ．两个有理数的积仍为有理数，原命题是真命题； Ｄ．两个无理数的积不一定为无理数，比如槡２×槡２＝２， 原命题是假命题。故选ＡＣ。 ８．ＢＣ　【解析】Ａ．圆柱的体积为π×（槡３） ２×１＝３π。故选 项不符合题意；Ｂ．∵圆柱的高为１，∴圆柱的母线长为 １。故选项符合题意；Ｃ．圆柱的侧面积为 ２π×槡３×１＝ 槡２３π。故选项符合题意；Ｄ．圆柱的侧面展开图的周长 为２π×槡３×２＋１×２＝槡４３π＋２。故选项不符合题意。 故选ＢＣ。 ９．ＡＣＤ　【解析】当ｘ＝－１时，ｙ＝ａ－ｂ＋ｃ。 由图象可知，此时图象在ｘ轴上方，即ａ－ｂ＋ｃ＞０。 故选项Ａ正确； 对称轴是直线ｘ＝１，∴ ４＋ｘ ２ ＝１，即 ｘ＝－２。故该抛物线 与ｘ轴的另一个交点坐标为（－２，０）。故选项Ｂ错误； 当ｘ＝１时，函数有最大值，（２，ｙ２）距离对称轴更近，故 ｙ１＜ｙ２。故选项Ｃ正确； 当ｘ＝１时，函数有最大值，故ａｎ２＋ｂｎ＋ｃ≤ａ＋ｂ＋ｃ，即不 等式ａｎ２＋ｂｎ≤ａ＋ｂ总成立。故选项Ｄ正确。 故选ＡＣＤ。 １０．ＡＢＤ　【解析】如图，设ＡＣ，ＯＥ交于点Ｆ，连接ＡＤ。 由题意，得ＯＥ是ＡＣ的垂直平分线，∴ＡＥ＝ＣＥ。 ∵ＯＡ＝ＯＣ，∴△ＡＯＥ≌△ＣＯＥ（ＳＳＳ）。 ∴∠ＡＯＥ＝∠ＣＯＥ。 ∵ＯＦ＝ＯＦ，ＯＡ＝ＯＣ，∴△ＡＯＦ≌△ＣＯＦ（ＳＡＳ）。 ∴∠ＯＡＦ＝∠ＯＣＦ。 ∵ＯＡ∥ＢＣ，∴∠ＯＡＦ＝∠ＡＣＥ。 ∴∠ＯＣＡ＝∠ＡＣＥ。∴ＡＢ ) ＝ＡＤ) 。故选项Ａ正确； ∵∠ＯＣＦ＝∠ＥＣＦ，∠ＯＦＣ＝∠ＥＦＣ＝９０°，ＣＦ＝ＣＦ， ∴△ＥＦＣ≌△ＯＦＣ（ＡＳＡ）。∴ＯＣ＝ＣＥ＝ＯＡ。 ∵ＯＡ∥ＣＥ，∴四边形ＡＯＣＥ是菱形。故选项Ｄ正确； ∵ＡＢ) ＝ＡＤ) ，∴ＡＢ＝ＡＤ。 ∵四边形ＡＯＣＥ是菱形，∴ＡＥ＝ＯＣ＝ＯＤ。 ∴四边形ＡＥＯＤ是平行四边形。 ∴ＡＤ＝ＯＥ。∴ＡＢ＝ＯＥ。故选项Ｂ正确； ∠ＡＯＤ＝∠ＯＡＥ。故选项Ｃ错误。故选ＡＢＤ。 １１．ｙ＝－ｘ＋２（答案不唯一）　【解析】∵ｙ随着ｘ的增大而 减小，∴一次函数的比例系数ｋ＜０。 又∵函数图象与ｙ轴正半轴相交，∴ｂ＞０。 ∴同时满足两个条件的一次函数为ｙ＝－ｘ＋２。（答案 不唯一） １２．４，４－槡 ４３ ３( ) 　【解析】如图，作 Ｃ′Ｆ⊥ＯＡ，交 ｙ轴于点 Ｆ，Ｃ′Ｄ⊥ＢＣ，交ｘ轴于点Ｄ。 由题可得ＯＡ＝４。 ∵△ＡＢＣ是等边三角形，ＯＡ⊥ＢＣ， ∴ＯＡ是∠ＢＡＣ的平分线。 ∴∠ＯＡＣ＝３０°。∴ＯＣ＝ １ ２ ＡＣ。 在Ｒｔ△ＡＯＣ中，ＯＡ２＋ＯＣ２＝ＡＣ２， 即１６＋ １ ２ ＡＣ( ) ２ ＝ＡＣ２，解得ＡＣ＝槡 ８３ ３ 。 ∴ＡＣ′＝ＡＣ＝槡 ８３ ３ 。 ∴ＯＦ＝ＯＡ－ＡＦ＝４－ＡＣ′·ｃｏｓ６０°＝４－槡 ４３ ３ ， Ｃ′Ｆ＝ＡＣ′·ｓｉｎ６０°＝槡 ８３ ３ ×槡３ ２ ＝４。                                                            —１— ∴Ｃ′４，４－槡 ４３ ３( ) 。 １３． １ ３ 　【解析】共有６种结果：红红，黄黄，蓝蓝；红红，蓝 黄，黄蓝；黄红，红黄，蓝蓝；黄红，蓝黄，红蓝；蓝红，红 黄，黄蓝；蓝红，黄黄，红蓝。 其中每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的结果有２种， ∴每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是 ２ ６ ＝１ ３ 。 １４．４５　２　【解析】由图可知，当正整数为ｋ２时， 若ｋ为奇数，则ｋ２在第ｋ行，第１列， 下一个数在下一行，上一个数在第２列； 若ｋ为偶数，则ｋ２在第１行，第ｋ列， 下一个数在下一列，上一个数在第２行。 ∵ａ（ｍ，ｎ）＝２０２４＝２０２５－１＝４５ ２－１， ∴２０２４在第４５行，第２列。∴ｍ＝４５，ｎ＝２。 １５．解：（１）原式＝－２＋４－３＝－１。 （２）原式＝ ａ２－１－３ ａ－１ ÷ａ ＋２ ａ－１ ＝（ａ ＋２）（ａ－２） ａ－１ · ａ－１ ａ＋２ ＝ａ－２。 当ａ＝槡３＋２时，原式＝槡３＋２－２＝槡３。 １６．证明：（１）∵四边形ＡＢＣＤ是矩形， ∴ＡＤ＝ＢＣ，∠Ｂ＝∠Ｄ＝９０°，ＡＢ∥ＣＤ。 ∴∠ＥＡＨ＝∠ＦＣＧ。 由折叠，得 ＡＧ＝ＡＤ，ＣＨ＝ＣＢ，∠ＣＨＥ＝∠Ｂ＝９０°， ∠ＡＧＦ＝∠Ｄ＝９０°。 ∴ＣＨ＝ＡＧ，∠ＡＨＥ＝∠ＣＧＦ＝９０°。∴ＡＨ＝ＣＧ。 在△ＡＥＨ和△ＣＦＧ中， ∠ＥＡＨ＝∠ＦＣＧ， ＡＨ＝ＣＧ， ∠ＡＨＥ＝∠ＣＧＦ＝９０°，{ ∴△ＡＥＨ≌△ＣＦＧ（ＡＳＡ）。 （２）由（１），知∠ＡＨＥ＝∠ＣＧＦ＝９０°，△ＡＥＨ≌△ＣＦＧ， ∴ＥＨ∥ＦＧ，ＥＨ＝ＦＧ。 ∴四边形ＥＧＦＨ是平行四边形。 １７．解：（１）把Ａ（ｍ，槡３）代入ｙ＝－ 槡３ ３ ｘ，得槡３＝－ 槡３ ３ ｍ， ∴ｍ＝－３。∴Ａ（－３，槡３）。 把Ａ（－３，槡３）代入ｙ＝ ｋ ｘ ，得槡３＝ ｋ －３ ， ∴ｋ＝－槡３３。 ∴反比例函数的表达式为ｙ＝－槡 ３３ ｘ 。 （２）把Ｐ（槡２３，ｎ）代入ｙ＝－ 槡３ ３ ｘ， 得ｎ＝－槡 ３ ３ ×槡２３＝－２。∴Ｐ（槡２３，－２）。 ∵ＰＱ∥ｙ轴，∴点Ｑ的横坐标为 槡２３。 把ｘ＝槡２３代入ｙ＝－ 槡３３ ｘ ，得ｙ＝－槡 ３３ 槡２３ ＝－３ ２ ， ∴Ｑ 槡２３，－ ３ ２( ) 。∴ＰＱ＝－３２－（－２）＝１２。 ∴Ｓ△ＯＰＱ＝ １ ２ ×１ ２ ×槡２３＝ 槡３ ２ 。 １８．解：（１）平台从甲商家抽取了１２÷４０％＝３０个评价分 值，从乙商家抽取了３÷１５％＝２０个评价分值， 所以甲商家４分的评价分值个数为３０－２－１－１２－５＝１０， 乙商家４分的评价分值个数为２０－１－３－３－４＝９， 补全条形统计图如下： “商家服务”评价分值的条形统计图 （２）α＝３６０°× １０ ３０ ＝１２０°。 （３）∵甲商家共有３０个数据，∴数据按照由小到大的 顺序排列，中位数为第１５个和第１６个数的平均数， ∴ａ＝ ３＋４ ２ ＝３．５。 由条形统计图可知，乙商家４分的个数最多， ∴众数ｂ＝４。 乙商家平均数ｘ＝ １×１＋２×３＋３×３＋４×９＋５×４ ２０ ＝３．６。 （４）小亮应该选择乙商家。理由如下： 由统计表可知，乙商家的中位数、众数和平均数都高 于甲商家的，方差较接近，因此小亮应该选择乙商家。 １９．解：（１）由题意，得ｙ＝Ｐ＋８Ｔ＝１０ｘ＋８×２１－ （ｘ＋２）（ｘ＋４） ８[ ] ＝－ｘ２＋４ｘ＋１６０。 当ｙ＝１４８时，－ｘ２＋４ｘ＋１６０＝１４８， 解得ｘ１＝６，ｘ２＝－２。 ∵０≤ｘ≤９，∴ｘ＝６。 ∴该商场建造的隔热层厚度为６ｃｍ。 （２）由（１），得ｙ＝－ｘ２＋４ｘ＋１６０。 ∵ｔ＝ｙ＋ｘ２， ∴ｔ＝－ｘ２＋４ｘ＋１６０＋ｘ２＝４ｘ＋１６０（１７２≤ｔ≤１９２）。 ∵４＞０，∴ｔ随ｘ的增大而增大。 当ｔ＝１７２时，４ｘ＋１６０＝１７２，解得ｘ＝３； 当ｔ＝１９２时，４ｘ＋１６０＝１９２，解得ｘ＝８。 ∴ｘ的取值范围是３≤ｘ≤８。 ２０．（１）证明：如图，连接ＯＤ。 ∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ，∴∠ＢＡＤ＝∠ＥＡＤ。 ∵ＯＡ＝ＯＤ，∴∠ＯＡＤ＝∠ＯＤＡ。 ∴∠ＯＤＡ＝∠ＥＡＤ。 ∵ＤＥ⊥ＡＥ，∴∠Ｅ＝９０°。 ∴∠ＥＡＤ＋∠ＡＤＥ＝９０°。 ∴∠ＯＤＡ＋∠ＡＤＥ＝９０°，即∠ＯＤＥ＝９０°。 ∴ＯＤ⊥ＤＥ。 ∵ＯＤ是⊙Ｏ的半径，∴ＤＥ是⊙Ｏ的切线。 （２）解：∵ＡＢ是⊙Ｏ的直径，∴∠ＡＤＢ＝９０°。 ∴∠ＢＡＤ＋∠ＡＢＤ＝９０°， 即∠ＢＡＤ＋∠ＡＢＣ＋∠ＤＢＣ＝９０°。 ∵∠ＥＡＤ＋∠ＡＤＥ＝９０°， ∴∠ＥＡＤ＋∠ＡＤＣ＋∠ＣＤＥ＝９０°。                                                                —２— ∴∠ＢＡＤ＋∠ＡＢＣ＋∠ＤＢＣ＝∠ＥＡＤ＋∠ＡＤＣ＋∠ＣＤＥ。 ∵∠ＢＡＤ＝∠ＥＡＤ，∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＣ， ∴∠ＤＢＣ＝∠ＣＤＥ。 ∵∠ＤＢＣ＝∠ＣＡＤ，∠ＤＣＢ＝∠ＢＡＤ，∠ＣＡＤ＝∠ＢＡＤ， ∴∠ＣＤＥ＝∠ＤＢＣ＝∠ＤＣＢ＝∠ＢＡＤ。 ∴ＢＤ＝ＣＤ，ｓｉｎ∠ＣＤＥ＝ｓｉｎ∠ＢＡＤ＝ １ ３ 。 在Ｒｔ△ＣＤＥ中， ＣＥ ＣＤ ＝ｓｉｎ∠ＣＤＥ＝ １ ３ ， ∴ＣＤ＝３ＣＥ＝３×１＝３。∴ＢＤ＝３。 在Ｒｔ△ＡＢＤ中， ＢＤ ＡＢ ＝ｓｉｎ∠ＢＡＤ＝ １ ３ ， ∴ＡＢ＝３ＢＤ＝３×３＝９，即⊙Ｏ的直径为９。 ２１．解：（１）设ｙ关于ｘ的函数表达式为ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ。 将（０，４０），（１０，４５），（３０，４９）代入， 得 ４０＝ｃ， ４５＝１００ａ＋１０ｂ＋ｃ， ４９＝９００ａ＋３０ｂ＋ｃ，{ 解得 ａ＝－ １ １００ ， ｂ＝ ３ ５ ， ｃ＝４０。      所以ｙ＝－ １ １００ ｘ２＋ ３ ５ ｘ＋４０。 （２）根据函数表达式得函数对称轴为ｘ＝－ ｂ ２ａ ＝ － ３ ５ －１ １００ ×２ ＝３０。 故太阳能板与水平地面的夹角为３０度时，日平均太 阳辐射量最大。 （３）ｙ＝－ １ １００ ｘ２＋ ３ ５ ｘ＋４０＝－ １ １００ （ｘ－３０）２＋４９。 如图，延长ＮＦ与过点 Ａ作 ＡＨ⊥ＧＭ的线交于点 Ｈ， 延长ＡＮ交ＧＭ与点Ｊ。 设ＦＤ＝ｐｍ，则ＡＨ＝ｐｍ，ＡＮ＝２ＡＨ＝２ｐｍ。 ∴ＨＮ＝ ＡＮ２－ＡＨ槡 ２＝槡３ｐｍ。 ∵ＨＮ＝ＦＨ＋ＦＮ＝（ｐ＋４）ｍ， 槡∴ ３ｐ＝４＋ｐ。 ∴ｐ＝槡２３＋２，即ＡＮ＝（槡４３＋４）ｍ。 ∵∠ＡＪＧ＝∠ＡＧＪ，∴ＡＪ＝ＡＧ。 ∵ＡＪ＝ＡＮ＋ ＮＭ ｃｏｓ６０° ＝（槡４３＋６）ｍ， ∴ＡＧ＝（槡４３＋６）ｍ。∴ＣＧ＝ＡＧ－ＡＣ＝（槡４３＋５）ｍ。 ∴ＣＤ＝ＣＧ·ｓｉｎ３０°＝ ＣＧ ２≈ ２．５＋２×１．７３２≈６．０（ｍ）。 ∴ＣＤ的长约为６．０ｍ。 ２２．解：（１）当喷洒半径为９ｍ时， 喷洒的圆面积ｋ＝π×９２＝８１π （ｍ２）。 正方形草坪的面积ｓ＝１８２＝３２４（ｍ２）。 故喷洒覆盖率ρ＝ ｋ ｓ ＝８１π ３２４ ＝π ４≈ ０．７８５。 故答案为０．７８５。 （２）对于任意的 ｎ，喷洒面积 ｋｎ＝ｎ ２π ９ ｎ( ) ２ ＝８１π （ｍ２），而草坪面积始终为３２４ｍ２， 因此，无论ｎ取何值，喷洒覆盖率始终为π ４≈ ０．７８５。 这说明增加装置个数同时减小喷洒半径，对提高喷洒 覆盖率不起作用。 （３）如图，连接ＥＦ。 要使喷洒覆盖率ρ＝１，即要求 ｋ ｓ ＝１，其中 ｓ为草坪面 积，ｋ为喷洒面积。 ∴⊙Ｏ１，⊙Ｏ２，⊙Ｏ３，⊙Ｏ４都经过正方形的中心点Ｏ， 在Ｒｔ△ＡＥＦ中，ＥＦ＝２ｒｍ，ＡＥ＝ｘｍ。 ∵ＡＥ＝ＢＦ＝ＣＧ＝ＤＨ，∴ＡＦ＝（１８－ｘ）ｍ。 在Ｒｔ△ＡＥＦ中，ＡＥ２＋ＡＦ２＝ＥＦ２， 即４ｒ２＝ｘ２＋（１８－ｘ）２。 ∴ｙ＝πｒ２＝π ｘ２＋（１８－ｘ）２ ４ ＝π ２ （ｘ－９）２＋ ８１π ２ 。 ∴当ｘ＝９时，ｙ取得最小值， 此时４ｒ２＝９２＋９２，解得ｒ＝槡 ９２ ２ 。 （４）由（３），得当⊙Ｏ１的面积最小时， 此时圆为边长为９ｍ的正方形的外接圆。 当ｒ＝槡３２ｍ时，圆的内接正方形的边长为 槡２ ２ ×２×槡３２ ＝６（ｍ）。 而草坪的边长为１８ｍ， １８ ６ ＝３，即将草坪分为 ９个正 方形，将半径为 槡３２ｍ的自动喷洒装置放置于９个正 方形的中心，此时所用装置个数最少。所以至少安装 ９个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率ρ＝１。 ２２０２３年潍坊市初中学业水平考试 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｄ Ｄ Ｃ Ｃ Ｂ Ａ ＢＣ ＡＢ ＢＣ ＡＣ １．Ｄ　【解析】∵－ 槡１＜０＜１＜２，∴在实数１，－１，０，槡２中， 最大的数是槡２。故选Ｄ。 ２．Ｄ　【解析】Ａ是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合 题意；Ｂ不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； Ｃ是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；Ｄ既 是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意。故选Ｄ。 ３．Ｃ　【解析】由数轴可得ａ＜ｂ＜０＜ｃ，｜ｃ｜＜｜ｂ｜＜｜ａ｜，∴－ｃ＞ ｂ，故选项Ａ错误，不符合题意；ａ＜－ｃ，故选项 Ｂ错误，                                                                —３—