5.3.2函数的极值课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3导数在研究函数中的应用 第五章 一元函数的导数及其应用 课时2 函数的极值 新知探究 探究一：函数的极值 情境设置 问题1：如图在点，处的导数值是多少？ 问题2：在点，附近，的导数的正负性有什么规律？ 2 新知生成 知识点一 函数的极值 1.极值点与极值的概念 如图，函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，；而且在点附近的左侧，右侧，则把叫作函数的极小值点，叫作函数 的极小值. 函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大， ；而且在点附近的左侧，右侧，则把𝑏 叫作函数 𝑦=𝑓(𝑥)的极大值点，𝑓(𝑏)叫作函数𝑦=𝑓(𝑥) 的极大值.极大值点、极小值点统称为极 值点，极大值、极小值统称为极值. 3 新知生成 知识点一 函数的极值 2.对极值概念的再理解 (1)极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值，与它附近点的函数值比较它 是最大值或最小值，但并不意味着它在函数的整个定义域内是最大值或最小值； (2)一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个； (3)函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系； (4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点； (5)单调函数一定没有极值. 3. 的极值点与 的关系 一般来说，“”是“函数在点处取得极值”的必要不充分条件.若可导函数在点处可导，且在点处取得极值，则 ；反之，若，则不一定是函数的极值点.可导函数的极值点一定是导函数的变号零点. 4 一、函数的极值 例题1 求函数的极值. 【解析】，令，解得， . 当变化时，和 的变化情况如表所示： 因此，当时，取得极大值，极大值为 ； 当时，取得极小值，极小值为 . 0 - 0 5 反思感悟 方法总结 1. 求可导函数 的极值的步骤 (1)确定函数的定义域，求导数 . (2)求方程 的根. (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格.检测在方程根左、右两侧的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么𝑓(𝑥) 在这个根处取得极小值；如果左、右不改变符号，那么𝑓(𝑥) 在这个根处无极值. 6 新知运用 跟踪训练1 求下列函数的极值： (1) ； (2) . 【解析】(1) 函数的定义域为 ， . 令，得，解得或 . 当变化时，， 的变化情况如表所示： 因此，当时，取得极小值，且极小值为； 当时，取得极大值，且极大值为 . 0 2 - 0 0 - 0 7 新知运用 跟踪训练1 求下列函数的极值： (1) ； (2) . 【解析】(2) 函数的定义域为 ，且 ， 令，解得 . 当变化时，与 的变化情况如表所示： 故当时，函数取得极大值，且极大值为 . 0 - 8 二、求含参函数的极值 例题2 已知函数，求函数 的极值. 【解析】由 知， ①当时，，函数为上的增函数，函数 无极值； ②当时，令，解得 ， 又当时， ， 当时， ， 所以函数在处取得极小值，且极小值为 ，无极大值. 时，函数无极值；当时，函数在处取得极小值， 极小值为𝑎−𝑎ln 𝑎 ，无极大值. 9 反思感悟 方法总结 求解析式中含有参数的函数极值时，有时需要用分类讨论的思想才能解决问题.讨论的依据有两种： 一是看参数是否对𝑓′(𝑥) 的零点有影响，若有影响，则需要分类讨论； 二是看𝑓′(𝑥) 在其零点附近的符号的确定是否与参数有关，若有关，则需要分类讨论. 10 新知运用 跟踪训练2 已知函数 . (1) 若，求函数的极值； (2)求函数𝑓(𝑥) 的极值. 【解析】(1) 当时，，则 . 令，解得；令，解得 . 所以在上单调递增，在 上单调递减， 故在处取得极大值，极大值为 ，无极小值. (2) 因为，所以 . 当时，恒成立，所以在 上单调递增，无极值. 当时，令，解得；令，解得 . 因此，在，上单调递增，在，上单调递减，所以在处取得极 大值，极大值为 ，无极小值.综上，当时，无极值；当时，有极大值，极大值为 ，无极小值. 11 三、已知极值（点）求参数 例题3 函数在处有极大值，则实数的值为( ) . A.1 B.或 C. D. 【解析】函数， ， 在处有极大值，所以 ， 解得或 . 当时，，当,时，，当 时， ， 所以在,上单调递减，在上单调递增，所以在处有极小值， 不符合题意. 当时，，当时，，当 时， ， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以在处有极大值， 符合题意. 综上可得，𝑎=−3 .故选D. D 12 反思感悟 方法总结 若可导函数在处取得极大（小）值，则，且在 左侧 ，在右侧 ， 即：可导函数的极值点一定是导数值为0的点，但导数值为0的点不一定是该函数的极值点，还需检验两侧导函数的正负是否发生改变. 13 新知运用 跟踪训练3 (1) 已知是函数的极小值点,则( ). A.0 B. C.0或4 D.0或 【解析】对函数求导得 ， 又是函数 的极小值点， 所以 ， 即，解得或 ， 当时， ， 当时，，在区间 上单调递减， 当时，，在区间 上单调递增， 所以是的极小值点，故 满足题意； 当时， ， 当时，，在区间 上单调递增， 当时，，在区间 上单调递减， 所以是的极大值点，故 不满足题意. 综上所述， . A 14 新知运用 跟踪训练3 (2) 如果函数在 时有极值，极大值为4，极小值为0，试求函数的解析式. 【解析】 ， ， 依题意知，为方程 的两个根. ， ， . ，， 的变化情况如表所示：解得 .综上， . 0 1 0 - 0 - 0 15 随堂检测 1. 函数的导数的图象如图所示，则下列结论正确的是( ) . A.在上， 是增函数 B.在上， 是减函数 C.当时， 取得极大值 D.当时， 取得极大值 2. 函数的极值点为( ) . A.0，1 B. C. D.， 3. 若函数的极大值为13，则实数 _____. B C -19 16 随堂检测 4. 已知在处的极值为，则 ___. 【解析】由题意可知， ， 且在处有极值 ， 所以即解得 所以 ， 此时 ， 令，解得或 ， 令，解得 ， 所以在 ,，上单调递增，在, 上单调递减， 所以为函数 的极小值点，满足题意， 所以 ， 所以 . 3 17 课堂小结 1.知识清单： (1)函数的极值； (2)求含参函数的极值； (3)已知极值（点）求参数. 18 $$