第16章 二次根式（单元测试·培优卷）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

第16章 二次根式（单元测试·培优卷） 一、选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（12-13九年级上·江苏·期末）下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·河北廊坊·期末）下列二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是的选项是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·河北沧州·模拟预测）一矩形的长是宽的2倍，它的面积用科学记数法表示为，则它的宽用科学记数法表示后可能是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·广东深圳·期中）下列各数中，与的积仍为无理数的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）已知，化简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 7．（21-22八年级上·全国·课后作业）若直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，则斜边上的高为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·四川遂宁·阶段练习）已知，，则值是（   ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级下·河南周口·期中）已知，，，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）若在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 12．（2023·山东烟台·模拟预测）已知：，则 ． 13．（24-25九年级上·河南周口·期中）若最简二次根式 与 是同类二次根式，则的值为 ． 14．（2021九年级·北京·专题练习）化简的结果为 ． 15．（22-23八年级下·安徽·阶段练习）已知，，，其中A，B为最简二次根式，且，则的值为 ． 16．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）对于任意不相等的两个数，，定义一种运算如下：，如，那么 ． 17．（2023·江苏苏州·一模）若表示不超过的最大整数，，则______． 18．（23-24八年级下·河南驻马店·期中）如图，它是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示） ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）计算： （1） （2） 20．（本小题满分8分）（24-25八年级上·全国·期末）已知，， （1）求及的值； （2）求的值． 21．（本小题满分10分）（24-25八年级上·湖南常德·期末）阅读与思考 配方思想，是初中数学重要的思想方法之一，用配方思想方法，可以简化数学运算，常用的配方公式有：，．用配方思想方法，解答下面问题： （1）已知：，求的值； （2）已知：，，求的值； （3）已知：，，（，），求的值． 22．（本小题满分10分）（24-25八年级上·宁夏银川·期中）小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ， ． ，即． ． ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）计算∶_____． （2）计算：； （3）若，求的值． 23．（本小题满分10分）（23-24八年级下·全国·单元测试）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； （1）根据上面三个等式，请猜想的结果（直接写出结果） （2）根据上述规律，解答问题： 设，求不超过的最大整数是多少？ 24．（本小题满分12分）（24-25八年级上·湖南常德·期末）阅读下面材料： 将边长分别为，，，的正方形面积分别记为，，，．则． 根据以上材料解答下列问题： （1） ， ； （2）把边长为的正方形面积记作，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想； （3）令，，，且，求T的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B D D B C B D A 1．C 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，理解二次根式中被开方数是非负数是解决问题的关键． 一般地，我们把形如的式子叫做二次根式．直接利用二次根式的定义分别分析得出答案． 解：A．当时，原式无意义，故A不一定不是二次根式； B．当时，原式无意义，故B不一定是二次根式； C．恒成立，故C一定是二次根式； D．当时，原式无意义，故D不一定是二次根式； 故选：C． 2．B 【分析】根据二次根式有意义的条件，A选项保证被开放式大于等于0，且分母不为0；B选项保证被开放式大于等于0；C选项保证被开放式大于等于0，且坟墓不为0；D选项保证被开放式大于等于0，且分母不为0，求出x的取值范围即可． 解：A. 中，的取值范围是，故此项不符合题意； B. 中，的取值范围是，故此项符合题意； C. 中，的取值范围是，且，故此项不符合题意； D. 中，的取值范围是，故此项不符合题意； 故选B． 【点拨】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键． 3．B 【分析】本题考查最简二次根式的定义．解题的关键在于明确最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式必须满足两个条件进行判断即可． 解：A、，选项不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，选项不符合题意； D、，不符合题意； 故选：B． 4．D 【分析】设矩形的宽为x，则矩形的长为，则有，根据得到，即可判断B、C；再分别求出，时a的值即可得到答案． 解：设矩形的宽为x，则矩形的长为， 由题意得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故B、C不符合题意； 当，则， ∴，不符合题意，故A不符合题意； 当，则， ，符合题意，故D符合题意； 故选D． 【点拨】本题主要考查了科学记数法，二次根式比较大小，熟知科学记数法的表现形式为的形式，其中是解题的关键． 5．D 【分析】本题考查二次根式的乘法，无理数以及二次根式的性质与化简，各项中的式子与相乘，利用二次根式乘法法则计算得到结果，判断即可．解题的关键掌握二次根式的乘法法则：． 解：A．，积为有理数，故此选项不符合题意； B．，积为有理数，故此选项不符合题意； C．，积为有理数，故此选项不符合题意； D．，积为无理数，故此选项符合题意． 故选：D． 6．B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质进行化简．根据题意确定的取值范围是解题的关键． 利用二次根式的性质进行化简，即可求解； 解：， ， ； 故答案为：B 7．C 【分析】三角形面积计算既可以用直角边计算，又可以用斜边和斜边上的高计算，根据这个等量关系即可求斜边上的高． 解：直角三角形中，两直角边长的乘积等于斜边长与斜边上的高（h）的乘积，即， ∴． 故选：C． 【点拨】本题考查了二次根式的运算，根据面积相等的方法巧妙地计算斜边上的高是解本题的关键． 8．B 【分析】本题考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算，先根据，可得，，再根据二次根式的性质可得，，再利用二次根式的运算法则进行计算即可． 解：∵，， ∴，， ∴，， ∴ ， 故选：B． 9．D 【分析】此题考查二次根式的化简求值，把，，代入后计算即可． 解：∵，，， ∴， 故选：D． 10．A 【分析】本题考查了分母有理化，读懂题意，利用平方差公式进行分母有理化，是解答本题的关键． 根据题意，将展开，然后利用平方差公式进行分母有理化，化简整理，最终得到答案． 解：根据题意得： ， ． 故选：． 11．且 【分析】本题考查二次根式和分式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式和分式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，分式有意义的条件：分母不为零，即可求出的取值范围． 解：∵在实数范围内有意义， ， 解得：且． 故答案为：且． 12． 【分析】本题考查二次根式的性质和除法运算，理解二次根式的性质是解题关键． 根据二次根式的性质和除法运算法则进行分析计算． 解：∵， ， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了最简二次根式、同类二次根式，如果两个最简二次根式是同类二次根，那么这两个二次根式的被开方数相等，根据最简二次根式 与 是同类二次根式，可得关于的一元二次方程，解方程可得：，，又因为当时，，被开方数必须是非负数，所以只能选． 解：最简二次根式 与 是同类二次根式， ， 整理得：， 解得：，， 当时，， ． 故答案为：． 14． 【分析】先把化为平方的形式，再根据化简即可求解． 解：原式 ． 故答案为：． 【点拨】本题考查了双重二次根式的化简，把化为平方的形式是解题关键． 15．68 【分析】根据题意得出，求出，进而得出，求出，再代入求值即可． 解：∵A，B为最简二次根式，且， ∴， 解得， ∴，，， ∴， 解得， ∴． 故答案为：68． 【点拨】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义得出是解题的关键． 16． 【分析】利用新定义的运算规则将原式转化为二次根式的运算，然后化简得出答案即可． 解：， ， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了新定义下的实数运算，二次根式的混合运算，利用二次根式的性质化简，分母有理化等知识点，读懂题意，熟练掌握新定义的运算规则是解题的关键． 17． 【分析】先根据零指数幂和分母有理化得到，然后根据表示不超过x的最大整数得到． 解：，那么， ∴，． 故答案为：． 【点拨】本题考查了取整计算：表示不超过x的最大整数．也考查了分母有理化和零指数幂． 18．/ 【分析】本题考查了数字类规律探索，根据规律表示出代数式即可，观察发现“数阵将正整数的算术平方根按从小到大的顺序排列，第行从左向右数第个数是，即”的规律是解题的关键． 解：∵观察数阵发现，数阵将正整数的算术平方根按从小到大的顺序排列，第行从左向右数第个数是，即， ∴第（是整数，且）行从左向右数第个数是， 故答案为：． 19．（1）；（2） 【分析】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂以及平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算乘方，零指数幂，再运用平方差公式，计算即可； （2）利用二次根式乘法法则，负整数指数幂法，则以及绝对值的代数意义，计算即可． 【小题1】解：原式 ； 【小题2】解：原式 ． 20．（1），；（2）7 【分析】本题考查了分母有理化、二次根式的化简求值的知识，掌握分母有理化、二次根式的运算法则是关键． （1）先求出再代入求值即可； （2）先计算，再代入求值即可． 解：（1）解： ， ； （2）解：， 将代入得： 21．（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查完全平方公式的变形以及二次根式的混合运算，熟练掌握公式解答本题的关键． （1）运用完全平方公式的变形求解即可； （2）分别求出的值，再将所要求的式子变形，最后整体代入计算即可； （3）将变形为，最后整体代入计算即可． 解：（1）解：∵， ∴； （2）解： （3）解：∵，， ∴． 22．（1）；（2）9；（3）5 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的化简求值，二次根式的加减混合，熟练掌握分母有理化是解题的关键． （1）利用分母有理化计算； （2）先分母有理化，然后合并即可； （3）先化简a，求出，然后利用整体代入的方法计算． 解：（1）解：， 故答案为：． （2）解：， ， ， ， ， ． （3）解：， ∴， ∴． 23．（1）；（2）2023 【分析】（1）由①②③的规律写出式子即可； （2）根据题目中的规律计算即可得到结论． 本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是找出规律． 解：（1）解：① ； ② ； ③ ， 故． （2）解：① ； ② ； ③ ， ，…… ， 故． 故不超过的最大整数是2023． 24．（1），；（2），理由见详解；（3） 【分析】本题考查了规律探究，二次根式的应用； （1）由正方形的面积得，，即可求解； （2）根据（1）的结果进行猜想得，即可求解； （3），代入、，即可求解； 找出规律，能熟练利用平方差公式进行二次根式混合运算是解题的关键． 解：（1）解： ； ； 故答案为：，； （2）解：， 理由如下： ； （3）解： ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$