第16章 二次根式（单元测试·基础卷）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

第16章 二次根式（单元测试·基础卷） 一、选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（22-23八年级下·四川泸州·期中）下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河南平顶山·阶段练习）若 ，则a的值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·四川达州·期末）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·四川广安·期末）若，，则的值为（    ） A． B． C．4 D．10 6．（23-24八年级下·全国·假期作业）把中根号外的因式移到根号内，得（    ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知，，则x与y的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法比较 8．（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）小英在中的“■”填入运算符号“”得到的结果为，小康在中的“■”填入运算符号“”得到的结果为，则，之间的关系为（    ） A． B． C． D． 9．（2024八年级下·浙江温州·竞赛）的末位数字是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 10．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，在数值转换机中输入，第1次输出的结果为，将第1次输出的结果再重复输入数值转换机中，第2次输出的结果为2，以此类推，则第5次输出的结果是（    ） A．1 B． C． D． 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 12．（24-25八年级上·吉林长春·期末）计算： ． 13．（2024八年级上·全国·专题练习）已知，则的值为 ． 14．（22-23八年级下·广东广州·期中）已知，，化简 ． 15．（24-25八年级上·重庆长寿·阶段练习）若最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 16．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知，则 ． 17．（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为，可以有效的去掉根号，若，则 ． 18．（23-24八年级下·山东菏泽·期中）将边长分别为1，，，的正方形的面积分别记为，，，令，，，，则的值为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（23-24八年级下·湖北恩施·阶段练习）计算： （1）； （2）． 20．（本小题满分8分）（24-25八年级上·河北邯郸·期末）计算： （1）； （2）． 21．（本小题满分10分）（23-24八年级上·四川成都·期末）已知，，求代数式的值： （1）； （2） ． 22．（本小题满分10分）（2024八年级上·全国·专题练习）观察下列各等式，其中反映了某种规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第4个等式： ． （2）请你用含n（n为正整数，且）的等式表示表述上面的规律并证明这个等式． 23．（本小题满分10分）（24-25八年级上·四川雅安·期中）阅读材料：像，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号，请你根据上述材料，解决如下问题： （1）化简：_____； （2）的有理化因式是______，______； （3）比较大小：______（填，，，或中的一种）； （4）若，求的值． 24．（本小题满分12分）（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）有一块矩形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． （1）求矩形木板的面积； （2）木工乙想从矩形木板中裁出一个面积为，宽为的矩形木料，则该矩形木料的长为_______； （3）木工丙想从矩形木板中截出长为、宽为的矩形木条，最多能截出_________根这样的木条． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B A C D C B D B 1．C 【分析】本题考查了二次根式的定义，熟知这个定义是解题的关键．形如的式子叫做二次根式，由此判断即可． 解：A、被开方数为负数，所以不是二次根式，故此选项不符合题意； B、被开方数x有可能为负数，所以不是二次根式，故此选项不符合题意； C、被开方数3为正数，所以是二次根式，故此选项不符合题意； D、根指数为3，所以不是二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．C 【分析】本题考查了最简二次根式：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式；根据此定义进行判断即可． 解：中被开方数含有弄得尽方的因数9，中被开方数含有开得尽方的因式，它们不是最简二次根式；中被开方数含有分母，故不是最简二次根式；而满足最简二次根式的条件； 故选：C． 3．B 【分析】本题考查的是二次根式的除法运算，根据乘法的意义可得. 解：∵， ∴， 故选：B 4．A 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式的运算法则是解题的关键．根据二次根式的运算法则对各选项进行解答即可． 解：A、，正确，符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意， 故选：A． 5．C 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，根据平方差公式进行计算即可 解：∵，， ∴, 故选：C 6．D 【解析】略 7．C 【分析】本题主要考查二次根式的大小比较，解题的关键是熟练掌握二次根式的大小比较的方法和二次根式的运算法则．将、分别平方后，比较即可得． 解：∵，， ∴、， ∵， ∴． 故选C 8．B 【分析】根据题意计算与，即可求解． 解：依题意，， ∴， 故选：B． 【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 9．D 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键中熟练掌握幂的乘方法则和二次根式的性质与化简． 先根据乘方的意义，把、化成、，再求出它们的末位数字，从而可求解． 解：∵， 又∵，，，，，… ∴的末位数字依次为：2，4，8，6，2，4，…，每4个一循环， ∵， ∴的末位数字为6． ∵，，，，，… ∴的末位数字依次为：3，9，7，1，3，9，… ∵， ∴的末位数字为1． ∴的末位数字为：． 故选：D． 10．B 【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，直接按照程序规定的计算法则计算即可． 解：第次，； 第次，； 第次，； 第次，； 第次，； 故选B 11．/ 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据被开方数大于等于，分母不等于列式计算即可得解． 解：由题意得，，且， 解得． 故答案为：． 12．/ 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算、平方差公式及积的乘方的逆用；因此此题可根据积的乘方、平方差公式及二次根式的运算法则进行求解． 解： ； 故答案为：． 13． 【分析】本题考查二次根式的混合运算，方程两边同时除以，进行求解即可． 解：∵， ∴； 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，根据算术平方根的非负性可求得结果，熟练掌握性质是解题的关键． 解：∵，， ∴， 故答案为： ． 15．7 【分析】本题考查了同类二次根式和最简二次根式．根据同类二次根式的定义得出，再求出答案即可． 解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴． 故答案为：7． 16． 【分析】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．先将所求式子根据完全平方公式进行变形，代入求值后，再求平方根即可． 解：∵， ∴， ∵, ∴, 故答案为：． 17．7 【分析】易知与是一对“对偶式”，可根据化简计算即可． 解：根据材料可知，与是一对“对偶式”， ∵， ∴ 故答案为：7． 【点拨】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的乘法运算及题中所给运算是解题的关键． 18．/ 【分析】本题考查了二次根式的化简，正确计算出结果是关键．根据正方形的面积，得出，以此类推得出；结合，代入数值计算即可． 解：依题意， ， 以此类推： 则 ∴ ， ． 故答案为：． 19．（1）；（2） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算规则和运算顺序是解题的关键． （1）先进行二次根式的除法运算，再进行二次根式的化简，然后从左到右进行计算即可； （2）先计算二次根式的乘法，再化简二次根式，然后从左到右进行计算即可． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 20．（1）；（2） 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）运用二次根式的混合运算法则计算即可； （2）运用乘法公式，二次根式的混合法则计算即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 21．（1）16；（2）4 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的运用，注意整体思想的运用； （1）先分别计算出的值，由完全平方公式得，再代入求值即可； （2）原式化为，再整体代入即可． 解：（1）解：∵，； ∴； （2）解：． 22．（1）；（2），见分析 【分析】本题考查了二次根式的应用，旨在考查学生的抽象概括能力． （1）根据题目给出的例子求出相应的值； （2）由（1）探求的结果可以写出用含n（n为正整数，且）的等式表示表述上面的规律； 解：（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …； 第4个等式：； 故答案为：； （2）解：第n个式子是：n； 证明如下： ． 23．（1）；（2），；（3）；（4）9 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，理解题目中所给的有理化因式的定义，熟知二次根式的运算法则是解答关键． （1）利用二次根式的运算法则进行化简求解； （2）利用有理化因式的定义和二次根式的运算法则进行化简求解； （3）根据题意得到所给的两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们倒数的大小来求解； （4）先利用有理化因式的定义求出，再将所求值的代数式进行配方得到，再将代入求解． 解：（1）解：． 故答案为：． （2）解：的有理化因式是． ． 故答案为：， （3）解：因为 ，， 而， ． 和都是大于的数， ． 故答案为：． （4）解： ， ， ， ． 24．（1）；（2）；（3）5 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，矩形面积的计算，正方形面积的计算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则． （1）先求出正方形的边长，然后再求出长方形的各边长，再求出结果即可； （2）根据矩形面积公式列式计算即可； （3）根据，，得出最多能截出5根这样的木条． 解：（1）解：∵木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． ∴正方形的边长为：， ∴，， ∴矩形木板的面积为； （2）解：该矩形木料的长为： ； （3）解：∵， 又∵， ∴从矩形木板中截出长为、宽为的矩形木条，最多能截出5根这样的木条． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$