第6章 空间向量与立体几何 章末题型归纳总结（5知识点+11题型+好题必刷）高二数学苏教版选择性必修第二册

第6章 空间向量与立体几何 章末题型归纳总结 空间向量、加减运算及数乘运算 （1）空间向量 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或． （2）零向量与单位向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记作．当有向线段的起点与终点重合时，． 模为1的向量称为单位向量． （3）相等向量与相反向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量． 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为． （4）空间向量的加法和减法运算 ①，．如图所示． ②空间向量的加法运算满足交换律及结合律 ， （5）数乘运算 实数与空间向量的乘积称为向量的数乘运算．当时，与向量方向相同；当时，向量与向量方向相反．的长度是的长度的倍． （6）空间向量的数乘运算满足分配律及结合律 ，． （7）共线向量与平行向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，平行于，记作． （8）共线向量定理 对空间中任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使． （9）直线的方向向量 如图8-153所示，为经过已知点且平行于已知非零向量的直线．对空间任意一点，点在直线上的充要条件是存在实数，使①，其中向量叫做直线的方向向量，在上取，则式①可化为② ①和②都称为空间直线的向量表达式，当，即点是线段的中点时，，此式叫做线段的中点公式． （10）共面向量 如图8-154所示，已知平面与向量，作，如果直线平行于平面或在平面内，则说明向量平行于平面．平行于同一平面的向量，叫做共面向量． （11）共面向量定理 如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使． 推论：①空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使；或对空间任意一点，有，该式称为空间平面的向量表达式． ②已知空间任意一点和不共线的三点，，，满足向量关系式（其中）的点与点，，共面；反之也成立． 如图，在平行六面体中，与的交点为点，设，，，则下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 空间向量的数量积运算 （1）两向量夹角 已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作，通常规定，如果，那么向量，互相垂直，记作． （2）数量积定义 已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作，即．零向量与任何向量的数量积为0，特别地，． （3）空间向量的数量积满足的运算律： ，（交换律）； （分配律）． 如图所示，平行六面体中，，，，． (1)求； (2)求的长度． 空间向量的坐标运算及应用 （1）设，，则； ； ； ； ； ． （2）设，，则． 这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标． （3）两个向量的夹角及两点间的距离公式． ①已知，，则； ； ； ； ②已知，，则， 或者．其中表示与两点间的距离，这就是空间两点的距离公式． （4）向量在向量上的投影为． 已知向量，，若，则（   ） A． B．2 C． D．1 向量法证明平行、垂直 （1）平面的法向量： 如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量． 注意： ①法向量一定是非零向量；②一个平面的所有法向量都互相平行；③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有． 第一步：写出平面内两个不平行的向； 第二步：那么平面法向量，满足． （2）判定直线、平面间的位置关系 ①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线，的方向向量分别为，． 若∥，即，则； 若，即，则． ②直线与平面的位置关系：直线的方向向量为，平面的法向量为，且． 若∥，即，则； 若，即，则． （3）平面与平面的位置关系 平面的法向量为，平面的法向量为． 若∥，即，则；若⊥，即，则⊥． 已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中.是的中点，是的中点. (1)求与的夹角余弦值 (2)求证平面 空间角公式及距离 （1）异面直线所成角公式：设，分别为异面直线，上的方向向量，为异面直线所成角的大小，则． （2）线面角公式：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为 与所成角的大小，则． （3）二面角公式： 设，分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则或（需要根据具体情况判断相等或互补），其中． 求解空间中的距离 （4）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算． 如图，设两条异面直线的公垂线的方向向量为，这时分别在上任取两点，则向量在上的正射影长就是两条异面直线的距离．则即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值． （5）点到平面的距离 为平面外一点（如图），为平面的法向量，过作平面的斜线及垂线． 在四棱台中，底面为平行四边形，侧面为等腰梯形，且侧面底面，与BC的距离为，点分别在棱，上，且． (1)求证：平面； (2)求四棱台的高； (3)求异面直线与所成的角的余弦值． 空间向量的加法、减法、数乘运算 【例1】如图，空间四边形中，，，，，点在上，且，点为中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】在四面体中，为中点，为中点，则用，，表示为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在正四面体中，过点作平面的垂线，垂足为点，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】在四面体中， 若，，，，，则（   ） A． B． C． D． 【解题方法总结】 空间向量的运算包括空间向量的加法、减法、数乘、数量积的几何意义及坐标运算，可以类比平面向量的运算法则． 空间共线向量定理的应用 【例2】设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D．8 【变式2-1】已知空间四点，，，，且，则满足条件点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知向量，，且，则（    ） A．3 B． C．9 D． 【解题方法总结】 空间共线向量定理：． 利用此定理可解决立体几何中的平行问题． 空间向量的数量积运算 【例3】已知空间向量. (1)求在上的投影向量； (2)若，求； (3)若，求的值. 【变式3-1】如图，已知平行六面体. (1)若，求的长度； (2)若，求与所成角的余弦值. 【变式3-2】已知向量，且. (1)求向量与的夹角； (2)求的值； (3)若向量与互相垂直，求的值． 【解题方法总结】 ； 求模长时，可根据； 求空间向量夹角时，可先求其余弦值．要判断空间两向量垂直时，可以求两向量的数量积是否为0，即． 为锐角；为钝角．由此，通常通过计算的值来判断两向量夹角是锐角还是钝角． 三点共线问题 【例4】在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】平行六面体中，，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【变式4-2】在平行六面体中，底面是正方形，，，，M是棱的中点，与平面交于点H，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】如图，在三棱锥中，，，，，为的中点，为的中点，为的重心，与相交于点，则的长为（    ） A． B．1 C． D． 【解题方法总结】 先构造共起点的向量，，然后证明存在非零实数，使得． 多点共面问题 【例5】已知向量，若共面，则 ． 【变式5-1】已知是空间的一组基底，其中，，．若四点共面，则 ． 【变式5-2】在三棱锥中，与中点分别为，点为中点．若在上满足，在上满足，平面交于点，且，则 ． 【变式5-3】已知三棱锥，如图所示，为重心，点，为，中点，点，分别在，上，，，若四点共面，则 ． 【解题方法总结】 要证明多点（如，，，）共面，可使用以下方法解题． 先作出从同一点出发的三个向量（如，，），然后证明存在两个实数，使得. 利用空间向量证明垂直、平行问题 【例6】如图，在直三棱柱中，. (1)证明：三棱柱是正三棱柱； (2)证明：； (3)设平面平面，若直线与平面的距离为，求三棱柱外接球的表面积. 【变式6-1】如图所示，直三棱柱 中，分别是的中点. (1)求的长； (2)求证： 平面 【变式6-2】如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．求证： (1)∥平面； (2)平面平面． 【变式6-3】如图所示，已知空间四面体的每条棱长都等于1，点分别是的中点，    求证：． 【解题方法总结】 利用向量法证明 求两异面直线所成角 【例7】如图，四面体的各棱长均为2，，分别为棱，的中点，又设，，； (1)用向量，，的线性组合表示向量，； (2)求两条异面直线，所成角的大小． 【变式7-1】如图，在直三棱柱中，，，点E，F分别为棱，的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与直线的夹角的余弦值． 【变式7-2】如图，在空间四边形中，已知、分别是线段、的中点． (1)设，试用向量、、表示和； (2)若空间四边形是棱长为2的正四面体，求直线和夹角的余弦值． 【解题方法总结】 设两异面直线a和b的方向向量为和，利用求角余弦公式可求得和的夹角，由于两向量所成角的范围是，而两异面直线所成角的范围是．所以. 求直线与平面所成角 【例8】如图，四棱锥中，平面平面ABCD，是以P为顶点，腰长为的等腰直角三角形，，，． (1)求证：平面平面PAB； (2)求直线PB与平面PCD所成角的余弦值． 【变式8-1】梯形ABCD中E为AD上的一点且有将沿BE翻折到使得二面角的平面角为连接PC，PD，F为棱PD的中点.    (1)求证：面； (2)当时，求直线PC与平面BCF所成角的正弦值. 【变式8-2】如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是菱形，点E是PD的中点，且． (1)求证：平面ACE； (2)若，求BE与平面ACE所成角的正弦值． 【解题方法总结】 设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为与所成角的大小，则． 求平面与平面所成角 【例9】如图，在四棱锥中，平面，，，． (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【变式9-1】如图所示，在直三棱柱中，，，D，E分别为棱，的中点.    (1)证明： (2)求二面角的余弦值. 【变式9-2】如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，平面平面，，，. (1)证朋：平面平面. (2)若平面与平面的夹角为，求的长度. 【变式9-3】如图，在四棱锥中，底面.    (1)求点到平面的距离； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【变式9-4】如图，在直三棱柱中，，且，E为的中点，为线段上一点，设.    (1)当时，求证： 平面. (2)当平面与平面所成二面角的余弦值为时，求的值. 【解题方法总结】 （1）在平面内，，在平面β内，（是交线的方向向量），其方向如图所示，则二面角的平面角的余弦值为． （2）设是二面角的两个半平面的法向量，其方向一个指向二面角内侧，另一个指向二面角的外侧，则二面角的余弦值为． 求点面距、线面距、面面距 【例10】如图，在四棱锥中，底面，，，点是的中点，且，． (1)求证：； (2)求点到平面的距离． 【变式10-1】如图，正方体的棱长为2，点为的中点． (1)求点到平面的距离为； (2)求到平面的距离． 【变式10-2】如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，为上一点． (1)求证：平面平面； (2)当Q为中点时，求点B到平面的距离． 【变式10-3】如图，已知正方体的棱长为2，、分别是，的中点． (1)求证：平面； (2)求到平面的距离. 【变式10-4】如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为线段AB，的中点． (1)求F点到的距离； (2)求点F到平面的距离. 【解题方法总结】 如图所示，平面的法向量为，点是平面内一点，点是平面外的任意一点，则点到平面的距离，就等于向量在法向量方向上的投影的绝对值，即或 点到直线距离、异面直线的距离 【例11】如图所示，在四棱锥中，是矩形，平面，，，E是PB上一点，且，求点E到直线PD的距离. 【变式11-1】如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是，的中点． (1)求到直线的距离； (2)求到平面的距离． 【变式11-2】如图，正方体的棱长为1，点M，N分别在线段，上，且，. (1)若，证明：； (2)若，点P，Q分别在直线，上，且，，求的取值范围. 【变式11-3】如图，在平行六面体中，，，，，.求： (1)证明直线直线； (2)求异面直线和间的距离. 【变式11-4】如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为底面内一动点（包括边界），且满足. (1)是否存在点，使得平面？ (2)求的取值范围. (3)求点到直线的距离的最小值. 【解题方法总结】 设两条异面直线的公垂线的方向向量为，这时分别在上任取两点，则向量在上的正射影长就是两条异面直线的距离．则即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值． 一、单选题 1．已知长方体中，，向量，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．如图所示，若长方体的底面是边长为2的正方形，高为4．E是的中点，则（    ） A． B．平面平面 C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的外接球的表面积为 3．如图，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．已知点，平面，其中向量，则点到平面的距离是（   ） A． B． C．2 D．3 5．下列命题不正确的是（    ） A．设为实数，若直线平面，且的方向向量为，的法向量为，则 B．已知空间向量，，，若，，共面，则 C．已知两点，，若沿轴将坐标平面折成直二面角，则折叠后、两点间的距离为 D．在空间四边形中，设，，，，分别为，的中点，则 6．在长方体中，，线段与交于点，点P 为空间中任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．直三棱柱中，，，点是的中点，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在四棱台中，，，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 9．在长方体中，，，为的中点，动点在长方体内（含表面），且满足，记动点的轨迹为，则（    ） A．的面积为 B．的面积为 C．当时，存在点，使得 D．当时，三棱锥的体积为定值 10．已知正方体的棱长为1，N为的中点，以下结论正确的是（    ） A． B． C．平面 D． 11．在空间直角坐标系中，已知点，，，，则（   ） A． B．与夹角的余弦值为 C．在上的投影向量为 D．点到直线BC的距离为 三、填空题 12．如图，分别是二面角的两个半平面内两点，，，若，则异面直线，的夹角的余弦值为 . 13．若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则实数 ． 14．如图，二面角的大小为是棱上两点，，且，，则 . 四、解答题 15．如图，已知四边形是矩形，，三角形是正三角形，且平面平面. (1)若是的中点，证明:； (2)求二面角的余弦； (3)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由 16．如图，在四棱锥中，底面，四边形为矩形，且，为线段上一点，满足，设，． (1)求实数的值； (2)求二面角的余弦值． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6章 空间向量与立体几何 章末题型归纳总结 空间向量、加减运算及数乘运算 （1）空间向量 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或． （2）零向量与单位向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记作．当有向线段的起点与终点重合时，． 模为1的向量称为单位向量． （3）相等向量与相反向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量． 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为． （4）空间向量的加法和减法运算 ①，．如图所示． ②空间向量的加法运算满足交换律及结合律 ， （5）数乘运算 实数与空间向量的乘积称为向量的数乘运算．当时，与向量方向相同；当时，向量与向量方向相反．的长度是的长度的倍． （6）空间向量的数乘运算满足分配律及结合律 ，． （7）共线向量与平行向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，平行于，记作． （8）共线向量定理 对空间中任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使． （9）直线的方向向量 如图8-153所示，为经过已知点且平行于已知非零向量的直线．对空间任意一点，点在直线上的充要条件是存在实数，使①，其中向量叫做直线的方向向量，在上取，则式①可化为② ①和②都称为空间直线的向量表达式，当，即点是线段的中点时，，此式叫做线段的中点公式． （10）共面向量 如图8-154所示，已知平面与向量，作，如果直线平行于平面或在平面内，则说明向量平行于平面．平行于同一平面的向量，叫做共面向量． （11）共面向量定理 如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使． 推论：①空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使；或对空间任意一点，有，该式称为空间平面的向量表达式． ②已知空间任意一点和不共线的三点，，，满足向量关系式（其中）的点与点，，共面；反之也成立． 如图，在平行六面体中，与的交点为点，设，，，则下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】=. 故选：C. 空间向量的数量积运算 （1）两向量夹角 已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作，通常规定，如果，那么向量，互相垂直，记作． （2）数量积定义 已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作，即．零向量与任何向量的数量积为0，特别地，． （3）空间向量的数量积满足的运算律： ，（交换律）； （分配律）． 如图所示，平行六面体中，，，，． (1)求； (2)求的长度． 【解析】（1）在平行六面体中，． 因为，，，，， 所以，， ， 则 ． （2）因为， 所以 ， 则． 空间向量的坐标运算及应用 （1）设，，则； ； ； ； ； ． （2）设，，则． 这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标． （3）两个向量的夹角及两点间的距离公式． ①已知，，则； ； ； ； ②已知，，则， 或者．其中表示与两点间的距离，这就是空间两点的距离公式． （4）向量在向量上的投影为． 已知向量，，若，则（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【解析】因为，所以，则，，所以. 故选：A. 向量法证明平行、垂直 （1）平面的法向量： 如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量． 注意： ①法向量一定是非零向量；②一个平面的所有法向量都互相平行；③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有． 第一步：写出平面内两个不平行的向； 第二步：那么平面法向量，满足． （2）判定直线、平面间的位置关系 ①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线，的方向向量分别为，． 若∥，即，则； 若，即，则． ②直线与平面的位置关系：直线的方向向量为，平面的法向量为，且． 若∥，即，则； 若，即，则． （3）平面与平面的位置关系 平面的法向量为，平面的法向量为． 若∥，即，则；若⊥，即，则⊥． 已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中.是的中点，是的中点. (1)求与的夹角余弦值 (2)求证平面 【解析】（1）以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， 则，故，， ， ， 与的夹角余弦值为. （2）设平面的法向量为， 由（1）得，，， 则有，令，得， 即平面. 空间角公式及距离 （1）异面直线所成角公式：设，分别为异面直线，上的方向向量，为异面直线所成角的大小，则． （2）线面角公式：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为 与所成角的大小，则． （3）二面角公式： 设，分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则或（需要根据具体情况判断相等或互补），其中． 求解空间中的距离 （4）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算． 如图，设两条异面直线的公垂线的方向向量为，这时分别在上任取两点，则向量在上的正射影长就是两条异面直线的距离．则即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值． （5）点到平面的距离 为平面外一点（如图），为平面的法向量，过作平面的斜线及垂线． 在四棱台中，底面为平行四边形，侧面为等腰梯形，且侧面底面，与BC的距离为，点分别在棱，上，且． (1)求证：平面； (2)求四棱台的高； (3)求异面直线与所成的角的余弦值． 【解析】（1）取的中点，连接， 则是梯形的中位线， 所以且， 又因为且，所以且， 所以四边形AEFG是平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2）分别取的中点，如图所示： 因为侧面为等腰梯形，所以， 因为侧面底面，侧面底面，所以底面， 因为，所以，平面， 所以平面，平面， 所以，即， 且，所以为与BC的距离， 所以，解得． 所以四棱台的高为2． （3）以OA，OB，所在直线分别为轴如图建立空间直角坐标系， 则； 所以 所以； 所以异面直线与所成的角的余弦值为. 空间向量的加法、减法、数乘运算 【例1】如图，空间四边形中，，，，，点在上，且，点为中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】连接，如下图所示： 因为为的中点，则，即， 所以，， 因为点在上，且，则， 因此，. 故选：B. 【变式1-1】在四面体中，为中点，为中点，则用，，表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在四面体中，为中点，为中点， 则. 故选：B. 【变式1-2】如图，在正四面体中，过点作平面的垂线，垂足为点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由于底面为等边三角形，所以为其重心， 所以, 所以, 故选：C 【变式1-3】在四面体中， 若，，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图： ∵，，∴分别为中点， ∴ ， 故选：B. 【解题方法总结】 空间向量的运算包括空间向量的加法、减法、数乘、数量积的几何意义及坐标运算，可以类比平面向量的运算法则． 空间共线向量定理的应用 【例2】设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D．8 【答案】C 【解析】∵，，， ∴， ∵、、三点共线， ∴，使得， 即， ∴，，解得． 故选：C． 【变式2-1】已知空间四点，，，，且，则满足条件点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知，，，且设， 所以得，故，逐项检验后A正确. 故选：A. 【变式2-2】已知向量，，且，则（    ） A．3 B． C．9 D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 解得：， 所以. 故选：B. 【解题方法总结】 空间共线向量定理：． 利用此定理可解决立体几何中的平行问题． 空间向量的数量积运算 【例3】已知空间向量. (1)求在上的投影向量； (2)若，求； (3)若，求的值. 【解析】（1）由投影向量的定义， 在上的投影向量为. （2）若，则，所以， 所以 （3）若，则，所以，进而. 【变式3-1】如图，已知平行六面体. (1)若，求的长度； (2)若，求与所成角的余弦值. 【解析】（1）由题知， 又， 所以， 所以. （2）因为， 所以， 因为，所以， 因为 ，所以， 设与所成的角为，则， 即与所成角的余弦值为. 【变式3-2】已知向量，且. (1)求向量与的夹角； (2)求的值； (3)若向量与互相垂直，求的值． 【解析】（1）因为，. 得，所以. 由，可得， 因为，所以向量与的夹角为. （2）， 故4. （3）由向量与互相垂直，得， ，整理得，解得. 【解题方法总结】 ； 求模长时，可根据； 求空间向量夹角时，可先求其余弦值．要判断空间两向量垂直时，可以求两向量的数量积是否为0，即． 为锐角；为钝角．由此，通常通过计算的值来判断两向量夹角是锐角还是钝角． 三点共线问题 【例4】在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图：连接交于H，则H为中点，连接, 因为平面，平面，设，则， 又平面，所以平面，故K为与平面的交点， 又因为与平面交于点F，所以F与K重合， 又E为的中点，G为平面的重心， 因为点A，F，G三点共线，则 又因为点E，F，H三点共线，则， , 所以，解得，即，故. 故选：C. 【变式4-1】平行六面体中，，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【解析】 ， 所以， 故选：C. 【变式4-2】在平行六面体中，底面是正方形，，，，M是棱的中点，与平面交于点H，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在平行六面体中，取，，， ，，， ，， 而， 则 ，即， 设，则， 由于与共面， 故存在实数，使得 ， 故，解得，故， 故选：A. 【变式4-3】如图，在三棱锥中，，，，，为的中点，为的中点，为的重心，与相交于点，则的长为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【解析】设，由题意得， 则. 设， 则,故. 由得， 得， 所以 ， 故选：D 【解题方法总结】 先构造共起点的向量，，然后证明存在非零实数，使得． 多点共面问题 【例5】已知向量，若共面，则 ． 【答案】7 【解析】因为共面， 所以， 即，解得： 故答案为：7 【变式5-1】已知是空间的一组基底，其中，，．若四点共面，则 ． 【答案】/ 【解析】由四点共面，得， 而向量，，， 则，又不共面， 因此，解得， 所以. 故答案为： 【变式5-2】在三棱锥中，与中点分别为，点为中点．若在上满足，在上满足，平面交于点，且，则 ． 【答案】 【解析】 由题意得，， ∵，，，∴，，， ∴， ∵点四点共面， ∴，解得. 故答案为：. 【变式5-3】已知三棱锥，如图所示，为重心，点，为，中点，点，分别在，上，，，若四点共面，则 ． 【答案】4 【解析】如图所示： 设中点为，连接，因为点G为重心， 所以点在线段上面， 因为 ， 所以， 所以， 若M，D，E，F四点共面，则，解得， 故答案为：4. 【解题方法总结】 要证明多点（如，，，）共面，可使用以下方法解题． 先作出从同一点出发的三个向量（如，，），然后证明存在两个实数，使得. 利用空间向量证明垂直、平行问题 【例6】如图，在直三棱柱中，. (1)证明：三棱柱是正三棱柱； (2)证明：； (3)设平面平面，若直线与平面的距离为，求三棱柱外接球的表面积. 【解析】（1） 在直三棱柱中， 又因为， 所以， 所以， 所以三棱柱为正三棱柱. （2）取的中点，连结， 则. 因为平面， 所以平面. 以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系. 不妨设，则 ， ， 所以. 因为，所以， 所以，所以. 所以， 所以，即. （3）因为平面平面， 又因为， 所以不妨取平面的法向量. 因为直线与平面的距离为， 所以点到平面的距离为. 因为， 所以点到平面的距离， 所以. 所以正三角形的外接圆半径， 所以正三棱柱的外接球的半径 ， 所以三棱柱外接球的表面积为. 【变式6-1】如图所示，直三棱柱 中，分别是的中点. (1)求的长； (2)求证： 平面 【解析】（1）因为平面，，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，所以，. （2）依题意得， 所以， 则，即， 又因为，平面，所以平面. 【变式6-2】如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．求证： (1)∥平面； (2)平面平面． 【解析】（1） 依题意，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，． 由E为棱的中点，得． 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 所以向量为平面的一个法向量，而， 所以，又平面，所以平面． （2）设平面的一个法向量为， 则，即 不妨令，可得为平面的一个法向量． 设平面的法向量，又向量，， 则，即， 不妨令，可得为平面的一个法向量． 因为，所以． 所以平面平面． 【变式6-3】如图所示，已知空间四面体的每条棱长都等于1，点分别是的中点，    求证：． 【解析】设， ， 所以． 故，即． 【解题方法总结】 利用向量法证明 求两异面直线所成角 【例7】如图，四面体的各棱长均为2，，分别为棱，的中点，又设，，； (1)用向量，，的线性组合表示向量，； (2)求两条异面直线，所成角的大小． 【解析】（1）； （2）由四面体的各棱长均为2，可知四面体为正四面体，所以，，两两夹角为， 因此， ， ， 由于两条异面直线，所成角， 所以两条异面直线，所成角为. 【变式7-1】如图，在直三棱柱中，，，点E，F分别为棱，的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与直线的夹角的余弦值． 【解析】（1）∵是直三棱柱，∴， 又点E，F分别为棱的中点，∴， ∴四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面， 故平面． （2）如图，直三棱柱中， 以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 不妨设，则， 于是， 设直线与直线的夹角为， 则， 则直线与直线的夹角的余弦值为． 【变式7-2】如图，在空间四边形中，已知、分别是线段、的中点． (1)设，试用向量、、表示和； (2)若空间四边形是棱长为2的正四面体，求直线和夹角的余弦值． 【解析】（1）， ， （2） ， 又△和△均为等边三角形，∴． 设向量与的夹角为，则 ∴直线和夹角的余弦值为． 【解题方法总结】 设两异面直线a和b的方向向量为和，利用求角余弦公式可求得和的夹角，由于两向量所成角的范围是，而两异面直线所成角的范围是．所以. 求直线与平面所成角 【例8】如图，四棱锥中，平面平面ABCD，是以P为顶点，腰长为的等腰直角三角形，，，． (1)求证：平面平面PAB； (2)求直线PB与平面PCD所成角的余弦值． 【解析】（1）∵平面平面ABCD，且平面平面， 且，平面ABCD，∴平面PAD． ∵平面PAD，∴， 又，且，PA，平面PAB，∴平面PAB． ∵平面PCD，故平面平面PAB． （2）取AD中点为O，连接CO，PO． ∵，∴，∴． ∵，∴，则． 以O为坐标原点，分别以OC，OA，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系Oxyz， 则，，，，则，，，． 设为平面PCD的一个法向量，则由，得 令，则． 设与平面PCD的夹角为，则，故． 【变式8-1】梯形ABCD中E为AD上的一点且有将沿BE翻折到使得二面角的平面角为连接PC，PD，F为棱PD的中点.    (1)求证：面； (2)当时，求直线PC与平面BCF所成角的正弦值. 【解析】（1）取PE中点G，连接GB，GF， 已知，且，得到 得到四边形BCFG为平行四边形，则， 又平面，平面，则 面 （2），则，且，，平面， 则平面，面，则面面， 二面角的平面角为. 在平面PDE内，过点E作交PD于点Q，面， 面面，面， 以为正交基底建立如图坐标系，则, 设，则，则.,则. 则，，， ，，， 设为面BCF的法向量，直线PC与平面BCF所成角为， 则，令，则，所以， 则， 【变式8-2】如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是菱形，点E是PD的中点，且． (1)求证：平面ACE； (2)若，求BE与平面ACE所成角的正弦值． 【解析】（1）证明：连接BD交AC于点F，连接EF， 底面ABCD是菱形，是BD的中点， 又E是PD的中点，， 平面ACE，平面ACE， 所以平面ACE； （2）记AD中点为O，连接EO，OC，则， 又底面ABCD，底面ABCD， 底面ABCD，， 又，，平面COE， 所以平面COE，又平面COE，， 所以是等边三角形， 是PD的中点，且，． 以O为原点，OA，OC，OE分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系． 不妨设，则，，，， ，，， 设平面ACE的法向量， ，， 可取，， 记BE与平面ACE所成角为，则， 即BE与平面ACE所成角的正弦值为. 【解题方法总结】 设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为与所成角的大小，则． 求平面与平面所成角 【例9】如图，在四棱锥中，平面，，，． (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【解析】（1）证明：因为，，， 所以在中，，在中，， 所以． 因为，所以，所以． 又平面，平面，所以． 又，，平面，所以平面． 又平面，所以． （2）不妨设，则，．由题意，知两两垂直， 所以以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则，，，， 所以，，，． 由（1），知平面，所以平面的一个法向量为． 又直线与平面所成角的正弦值为， 所以，解得， 所以． 设平面的法向量为，则， 即，令，得， 所以平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 【变式9-1】如图所示，在直三棱柱中，，，D，E分别为棱，的中点.    (1)证明： (2)求二面角的余弦值. 【解析】（1）证明：在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC， 所以，又， 所以，可以以C为坐标原点，分别以CA，CB所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 则，， 所以， 即 （2）由得，， 设向量是平面的一个法向量，则，， 即可取 显然为平面的一个法向量， 设二面角的平面角为，所以，， 又因为二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为 【变式9-2】如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，平面平面，，，. (1)证朋：平面平面. (2)若平面与平面的夹角为，求的长度. 【解析】（1）证明：因为平面平面，平面平面， 所以平面. 因为平面，所以平面平面. （2）取的中点，连接. 因为，所以. 因为平面平面，所以平面. 以为坐标原点，的方向分别为x，z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 设，平面PBC的法向量为， 因为， 所以令，得. 平面的一个法向量为. 因为平面与平面的夹角为， 所以， 所以，故. 【变式9-3】如图，在四棱锥中，底面.    (1)求点到平面的距离； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【解析】（1）过作于，因为， 所以四边形为平行四边形， 所以，，所以， 又因为，所以△为等边三角形， 取的中点，连接，则，即， 因为，所以， 因为底面，所以，，两两互相垂直， 则以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以，0，，，0，，，1，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，所以， 所以点到平面的距离为； （2）由（1）知，，， 设平面的法向量为， 则，解得，令，则，所以， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 【变式9-4】如图，在直三棱柱中，，且，E为的中点，为线段上一点，设.    (1)当时，求证： 平面. (2)当平面与平面所成二面角的余弦值为时，求的值. 【解析】（1）当时，F为的中点， 取的中点G，连接， 则，且， 在直三棱柱中，，所以. 因为， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面. （2）如图，以点C为原点，分别以所在的轴、轴和轴建立空间直角坐标系， 则 则 设平面的法向量为， 则，可取， 同理可求出平面的法向量为， 当平面与平面所成二面角的余弦值为时， ， 又因为，所以解得. 【解题方法总结】 （1）在平面内，，在平面β内，（是交线的方向向量），其方向如图所示，则二面角的平面角的余弦值为． （2）设是二面角的两个半平面的法向量，其方向一个指向二面角内侧，另一个指向二面角的外侧，则二面角的余弦值为． 求点面距、线面距、面面距 【例10】如图，在四棱锥中，底面，，，点是的中点，且，． (1)求证：； (2)求点到平面的距离． 【解析】（1）证明：∵平面，且平面ABCD， ∴． 又，平面， ∴平面． 平面，∴． （2）∵ ∴是等边三角形， 又∵， ∴， ∴即 又∵平面，平面， ， 从而两两垂直． 在中， ∴ 在，． 法一：∵两两垂直， ∴以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，． ∵点是的中点， ，，，， 设是平面的一个法向量，则由得， 令，则∴． 从而，点到平面的距离． 法二：（等体积法）∵平面，平面，∴, ∴， ∵点是的中点，∴， 取的中点F，连接则 ∴ 在中，边上的高 ∴ 取的中点，连接，由（1）知是边长为2的等边三角形， 则， ∵平面，平面，∴平面平面， ∵平面平面，平面， ∴平面， ∵点是的中点，∴到平面的距离为， 又记点到平面的距离为， 则由即 得． 【变式10-1】如图，正方体的棱长为2，点为的中点． (1)求点到平面的距离为； (2)求到平面的距离． 【解析】（1）以为原点，所在的直线分别为轴如图建立空间直角坐标系， 则， 所以，                     设平面的一个法向量为， 则， 令， 所以平面所的法向量为，又 所以点到平面的距离. （2）由（1）可得平面的法向量为， ∵，∴， ， ， ∴平面，                  所以到平面的距离可以转化为点到平面的距离， 由， 所以到平面的距离为. 【变式10-2】如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，为上一点． (1)求证：平面平面； (2)当Q为中点时，求点B到平面的距离． 【解析】（1）由题意证明如下， ∵四边形是正方形， ∴． ∵平面平面，所以 ∴． 平面，平面， ∴平面． ∵平面， ∴平面平面． （2）由题意及（1）得， 在正方形中，, 在四棱锥中，，平面，Q为中点， 面，面，, ∴，， 建立空间直角坐标系如下图所示 ． 所以， 设平面的法向量为， 则得 当时，则， 设点B到平面的距离为， ， 则． 【变式10-3】如图，已知正方体的棱长为2，、分别是，的中点． (1)求证：平面； (2)求到平面的距离. 【解析】（1）如图，建立空间直角坐标系， 所以， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，即， 显然，所以平面； （2）由（1）可知平面的法向量为； 又 所以到平面的距离. 【变式10-4】如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为线段AB，的中点． (1)求F点到的距离； (2)求点F到平面的距离. 【解析】（1）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 已知正方体棱长为，则，，， 可得，， ，，， 设点到的距离为， 则； （2）设平面的法向量为，，，， 则，. 设， ，令，解得，，所以， 又，，， 点到平面的距离为. 【解题方法总结】 如图所示，平面的法向量为，点是平面内一点，点是平面外的任意一点，则点到平面的距离，就等于向量在法向量方向上的投影的绝对值，即或 点到直线距离、异面直线的距离 【例11】如图所示，在四棱锥中，是矩形，平面，，，E是PB上一点，且，求点E到直线PD的距离. 【解析】 以A为原点，分别为轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设，则， 则， 所以点E到直线PD的距离. 【变式11-1】如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是，的中点． (1)求到直线的距离； (2)求到平面的距离． 【解析】（1） 以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以到直线的距离为 （2）由（1）得，， 设平面的法向量为，则 取，则，，得， 所以到平面的距离为 【变式11-2】如图，正方体的棱长为1，点M，N分别在线段，上，且，. (1)若，证明：； (2)若，点P，Q分别在直线，上，且，，求的取值范围. 【解析】（1）连接，，当，则是的中点，是的中点， 所以， 因为面，面，所以， 所以.   （2）以点为原点，，，方向为，，轴正方向建立空间直角坐标系，则 ，，，，， ，，所以，， 所以，，所以，         又，设直线的方向向量为， 则由得， 取，又， 所以 由得， 易知在单调递减，单调递增 所以，所以. 【变式11-3】如图，在平行六面体中，，，，，.求： (1)证明直线直线； (2)求异面直线和间的距离. 【解析】（1）选取作为空间中的一组基底， 由题意可得：，， 且，， ， 则， 所以， 即直线直线. （2）由（1）得， 设平面，可使得，且平面， 设是平面的法向量， 则，且， 即, 令，则 异面直线与间的距离即在上投影向量的模长. 由此可得：. 【变式11-4】如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为底面内一动点（包括边界），且满足. (1)是否存在点，使得平面？ (2)求的取值范围. (3)求点到直线的距离的最小值. 【解析】（1） 如图，以为原点，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 由题意得， ，， 设平面的法向量为， 则，可取， 设， 所以， 又，所以， 即，所以， 设存在点，使得平面， 则，解得，则， 则， 所以存在点，使得平面 （2）由（1）知， 所以， 函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，， 所以， 所以的取值范围是. （3） 由（1）知点满足， 取中点为，则点轨迹为线段， 所以点到直线的距离的最小值就是异面直线与的距离， ，，，，， 设，， 则，可取， 又， 点到直线的距离的最小值. 【解题方法总结】 设两条异面直线的公垂线的方向向量为，这时分别在上任取两点，则向量在上的正射影长就是两条异面直线的距离．则即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值． 一、单选题 1．已知长方体中，，向量，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，且，得点在平面内， 因此的最小值即为点到平面的距离，即三棱锥底面上的高， 长方体中，，， 等腰底边上的高，， 由，得，即，解得， 所以的最小值为. 故选：D 2．如图所示，若长方体的底面是边长为2的正方形，高为4．E是的中点，则（    ） A． B．平面平面 C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的外接球的表面积为 【答案】D 【解析】因为长方体的底面是边长为2的正方形，高为4，是的中点， 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，. 对于选项A：因为，， 可得，所以与不垂直，故A错误； 对于选项B：因为，，，， 设平面的法向量，则， 取，则，可得， 设平面的法向量， 则， 取，则，可得， 显然不共线，所以平面与平面相交，故B错误； 对于选项C：三棱锥的体积为：，故C错误； 对于选项D：三棱锥的外接球就是长方体的外接球， 可知三棱锥的外接球半径， 所以三棱锥的外接球的表面积为，故D正确． 故选：D． 3．如图，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】记，则， 所以， 由于，故 ， 故. 故选：D. 4．已知点，平面，其中向量，则点到平面的距离是（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【解析】由题意可得：， 所以点到平面的距离是： . 故选：A. 5．下列命题不正确的是（    ） A．设为实数，若直线平面，且的方向向量为，的法向量为，则 B．已知空间向量，，，若，，共面，则 C．已知两点，，若沿轴将坐标平面折成直二面角，则折叠后、两点间的距离为 D．在空间四边形中，设，，，，分别为，的中点，则 【答案】D 【解析】对于A，直线的方向向量与的法向量共线，则，解得，A正确； 对于B，由，，共面，得，则，解得，B正确； 对于C，令原轴正方向为折后的轴正方向，原轴负方向为折后的轴正方向， 则折后点，点，折叠后、两点间的距离为，C正确； 对于D，，D错误. 故选：D 6．在长方体中，，线段与交于点，点P 为空间中任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，连接AC与BD交于点O，连接记的中点为G，AD，BC的中点分别为E，F，连接EF，则O 为EF的中点， 因为 所以， 所以 ， 所以当P与G重合时，取得最小值，为0，此时取得最小值，为． 故选：C. 7．直三棱柱中，，，点是的中点，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题可建立，以为坐标原点的空间直角坐标系，如图所示， 因为，点是的中点，所以， 则， 设直线与所成的角为，则， 故选：C. 8．如图，在四棱台中，，，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，设，则平面， 故， 的最小值即为四棱台的高. 如下图，过作，垂足为，过作，垂足为， 过作平面，垂足为，连接， 则，， 因为，，故， 故，而，故，所以， 因为平面，故，而， 故平面，因平面，故， 故，故，即的最小值为， 故选：B. 二、多选题 9．在长方体中，，，为的中点，动点在长方体内（含表面），且满足，记动点的轨迹为，则（    ） A．的面积为 B．的面积为 C．当时，存在点，使得 D．当时，三棱锥的体积为定值 【答案】ACD 【解析】取的中点，连接则， 所以四点共面.因为， 所以四点共面，故点的轨迹为四边形，所以的面积即为梯形的面积. 因为，，，所以，故A正确，B错误. 对于C，如图，建立空间直角坐标系，则，， ，，，. 因为，所以，所以. 因为，所以， 得，所以存在点，使得，故C正确. 对于D，当时，，因为平面，故点到平面的距离为定值2，又三角形的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，所以D正确. 故选:ACD 10．已知正方体的棱长为1，N为的中点，以下结论正确的是（    ） A． B． C．平面 D． 【答案】AD 【解析】如图，以点为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 对于A，，故A正确； 对于B，，，故B错误； 对于C，，，由，则和不垂直， 所以不垂直平面，故C错误； 对于D，，，则，故D正确. 故选：AD. 11．在空间直角坐标系中，已知点，，，，则（   ） A． B．与夹角的余弦值为 C．在上的投影向量为 D．点到直线BC的距离为 【答案】ABD 【解析】因为，，所以，故A正确； 因为，，所以，故B正确； 因为，，所以在上的投影向量为，故C错误； 因为，所以的一个单位方向向量为， 因为，所以点到直线BC的距离为，故D正确． 故选：ABD. 三、填空题 12．如图，分别是二面角的两个半平面内两点，，，若，则异面直线，的夹角的余弦值为 . 【答案】 【解析】连接， 在中，由余弦定理得： ， 在中，由余弦定理得：； 而 ， 则， 所以异面直线，夹角的余弦值为. 故答案为： 13．若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则实数 ． 【答案】 【解析】由不能构成空间的一个基底，则存在，使得， 即， 所以，解得. 故答案为：. 14．如图，二面角的大小为是棱上两点，，且，，则 . 【答案】 【解析】由二面角的平面角的定义知， 所以. 由，得. 因为， 所以， 所以. 故答案为：. 四、解答题 15．如图，已知四边形是矩形，，三角形是正三角形，且平面平面. (1)若是的中点，证明:； (2)求二面角的余弦； (3)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由 【解析】（1）连接，因为三角形是正三角形，且是的中点，则， 且平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又因为四边形是矩形，则， 且平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 以为坐标原点，分别为轴，过平行于的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则， 可得，则，所以. （2）由（1）可得：， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 设二面角为， 则，所以二面角的余弦值为. （3）由（1）可得， 设，可得， 由（2）可知：平面的法向量， 则由， 整理可得，解得或（舍去）， 即，可知存在点，点为的中点. 16．如图，在四棱锥中，底面，四边形为矩形，且，为线段上一点，满足，设，． (1)求实数的值； (2)求二面角的余弦值． 【解析】（1）以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， ∴， 设，∵，， ∴， ∴，，，∴， ∵，∴，解得． （2）由（1）中建立的空间直角坐标系得，，，，， ∴，， 设平面的法向量为， 则，取，得， 设平面的法向量为， 则，取，得， ∴， 由图知，二面角的平面角为钝角， ∴二面角的余弦值为． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$