第四章 三角形（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（四川成都专用，北师大版2024）

第四章 三角形 （A卷·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知一个三角形的两边长为4和7，则第三边不可能是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．小明不慎将一块三角形的玻璃片摔碎成如图所示的四块，要想重新获取一块与原来一样完整的玻璃片，带去加工厂的碎片应该是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 4．如图，和相交于点，若，则添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 5．作一个角等于已知角的尺规作图过程如图，要说明，需要证明，则这两个三角形全等的依据是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在四边形中，，，，于点，若，，则四边形的面积等于（   ） A．35 B． C．20 D．10 7．如图，在中，，，垂足分别为，，，交于点，已知，，，则的长为（   ） A． B．1 C． D．2 8．如图，，，，于D，，，则（   ）    A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．如图，在中，，，点P为边上一点，沿折叠使得点A的对应点D落在边上，则的度数为 ．    10．如图，是等腰三角形，点是底边上任意一点，、分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为5，面积为12，则的值为 ． 11．如图，已知，射线上一点M，以为边在下方作等边，点P为射线上一点，若，则 ． 12．如图，在中，，为的中点，点为内一动点，点为中点，，，当最小时，则的度数为 ． 13．如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点E为线段的中点．如果点P在线段上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为 厘米/秒时，能够使与以C、P、Q三点所构成的三角形全等． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．如图，，，，点B，C，D在同一直线上，点E在上，延长交于点F． (1)求的长； (2)求的度数． 15．如图，和的顶点A和D在的同侧，，，交于点O，试说明：． 下面是小明的解答过程： 解：在和中，因为，，，所以，所以，所以． 请问小明的解法正确吗？如果不正确，请改正过来． 16．填补下列证明推理的理由 如图，中，是边的中点，延长到点，且．求证：． 证明：（已知） (______)， 是边的中点(______)， (______)， 、相交 (______)， 在和中 ，， (______)． 17．如图，在中，，在中，． (1)求证：； (2)连接，连接交于点，若点恰好是的中点，求证：． 18．兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【初步探索】 （1）如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．以下两位同学是这样思考的： 小聪：延长至E，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 小明：过点作，交的延长线于点．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是__________；中线的取值范围是_______． 【灵活运用】 （2）如图2，在中，点是的中点，，，其中，连接，试判断线段与的数量关系及直线与直线的位置关系，并说明理由． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．如图，中，，，，平分交于，在截取，则的长为 ，的周长为 ． 20．如图，是的中线，，分别在边，上，不与端点重合），且，则三边数量关系是 ． 21．如图，在中，，，，，平分交于点，点、分别是、边上的动点，则的最小值为 ． 22．在中，，点D是斜边上的点，过点B作于点E，连接若．则的值是 23．如图，在正方形中，，E是上一点且，连接，动点M从点A以每秒2个单位长度的速度沿向终点A运动，设点M的运动时间为1秒，当和全等时，t的值是 ． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．如图1所示，在中，为锐角，点为射线上一动点，连接，以为直角边，为直角顶点，在左侧作等腰直角三角形，连接，，． (1)当点在线段上时（不与点重合），证明：； (2)当点在线段的延长线上时，（1）的结论是否仍然成立？请在图2中画出相应的图形，并说明理由． 25．如图，在中，平分，交于点平分，交于点相交于点，过点作垂线，交的延长线于点，交于点，连接． (1)求证：平分． (2)求证：． (3)若，求四边形的面积． 26．把两个全等的角三角形的斜边重合，组成一个四边形，以为顶点作，交边、于、． (1)如图1，若，，当绕点旋转时，、、三条线段之间有何种数量关系？并证明你的结论； (2)如图2，当，时，、、三条线段之间有何种数量关系？并证明你的结论； (3)如图3，在（2）的条件下，若将、改在、的延长线上，完成图3，其余条件不变，则、、之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明） / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 三角形 （A卷·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知一个三角形的两边长为4和7，则第三边不可能是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了三角形三边关系，由三角形三边关系得出第三边，由此即可得出答案，熟练掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解此题的关键． 【详解】解：一个三角形的两边长为 1，4， 第三边，即第三边， 第三边可以是4、5、6，不可能是3． 故选：A． 2．如图，若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据得到，得到，即可得到答案． 【详解】解：, , , 故选：C ． 3．小明不慎将一块三角形的玻璃片摔碎成如图所示的四块，要想重新获取一块与原来一样完整的玻璃片，带去加工厂的碎片应该是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查三角形全等的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：．根据三角形全等判定的条件可直接选出答案． 【详解】②、③、④块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，只有第①块有完整的两角及夹边，符合，满足题目要求的条件，是符合题意的． 故选：A 4．如图，和相交于点，若，则添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A、，，， ，故该选项不符合题意； B、∵，，， 不能判定，故该选项符合题意； C、，，， ，故该选项不符合题意； D、，，， ，故该选项不符合题意； 故选：B ． 5．作一个角等于已知角的尺规作图过程如图，要说明，需要证明，则这两个三角形全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由作法易得，，，利用SSS得到三角形全等，由全等三角形的对应角相等． 【详解】解：由作法易得，，， 在和中， ， ∴， ∴即． 故选：A． 6．如图，在四边形中，，，，于点，若，，则四边形的面积等于（   ） A．35 B． C．20 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，三角形的面积公式等知识点，由,得,因为,所以,而,即可证明,得,可求得,于是得到问题的答案，证明出是解题的关键. 【详解】解：, , , , 在和中， , , , , , , 故选：． 7．如图，在中，，，垂足分别为，，，交于点，已知，，，则的长为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了垂直的应用，对顶角的性质，三角形全等的判定和性的应用，熟练掌握全等是解题的关键． 根据，，得，得到，结合，得，设，利用三角形全等证明计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则 ∵， ∴， ∴ 解得． 即 故选：D． 8．如图，，，，于D，，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理．根据题意证明，得到，，故可求出的长． 【详解】解：，， ， ． ， ． 在和中， ， ， ，， ， ． 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．如图，在中，，，点P为边上一点，沿折叠使得点A的对应点D落在边上，则的度数为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、轴对称图形的性质、三角形外角的性质，解题的关键是能够熟练运用这些性质． 根据直角三角形的锐角互补、轴对称图形对应角相等、三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角之和等性质即可求解． 【详解】∵ ∴， ∵点A与点D关于直线对称， ∴ ∵是的一个外角， ∴． 故答案为：． 10．如图，是等腰三角形，点是底边上任意一点，、分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为5，面积为12，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，利用三角形的面积，由求解即可． 【详解】解：连接， 由题意，， 由图知，， ∴， ∴， 故答案为：． 11．如图，已知，射线上一点M，以为边在下方作等边，点P为射线上一点，若，则 ． 【答案】或 【分析】利用等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线的判定和性质，分类思想解答即可． 本题考查等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定，分两种情况讨论点的位置． 【详解】解：如图，当点P位于的左侧时， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴直线是线段的垂直平分线， ∵是等边三角形， ∴平分， ∴； 当点P位于的右侧时， 在上截取，连接， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵ ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：或． 12．如图，在中，，为的中点，点为内一动点，点为中点，，，当最小时，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，两点之间线段最短，找中点，连接，证明，则，故有，当点三点共线时最小，且为的长，最后证明是等腰直角三角形即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，取中点，连接， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵点为中点，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点三点共线时最小，且为的长， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：． 13．如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点E为线段的中点．如果点P在线段上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为 厘米/秒时，能够使与以C、P、Q三点所构成的三角形全等． 【答案】3或 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用．解决问题的关键是掌握全等三角形的对应边相等．分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q的运动速度． 【详解】解：设点P运动的时间为t秒，则，， ∵，点E为线段的中点，． ∴， ∴①当，时，与全等， 此时，， 解得， ∴， 此时，点Q的运动速度为厘米/秒； ②当，时，与全等， 此时，， 解得， ∴点Q的运动速度为厘米/秒； 综上所述，点Q的运动速度为3厘米/秒或厘米/秒时，能够使与以C、P、Q三点所构成的三角形全等． 故答案为：或 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．如图，，，，点B，C，D在同一直线上，点E在上，延长交于点F． (1)求的长； (2)求的度数． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质． （1）利用全等三角形的性质解决问题即可； （2）证明即可． 【详解】（1）∵， ， ； （2）∵， ， ∵B，C，D共线， ， ， ， ． 15．如图，和的顶点A和D在的同侧，，，交于点O，试说明：． 下面是小明的解答过程： 解：在和中，因为，，，所以，所以，所以． 请问小明的解法正确吗？如果不正确，请改正过来． 【答案】不正确，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定方法是解题的关键； 根据已知条件得出，得，在和中，利用即可得出结论. 【详解】解：不正确，正确步骤为： 在和中， ， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． 16．填补下列证明推理的理由 如图，中，是边的中点，延长到点，且．求证：． 证明：（已知） (______)， 是边的中点(______)， (______)， 、相交 (______)， 在和中 ，， (______)． 【答案】两直线平行，内错角相等；已知；中点的性质；对顶角相等； 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定．利用平行线的性质，求得，再利用证明即可． 【详解】证明：已知 两直线平行，内错角相等． 是边的中点已知， 中点的性质． 、相交 对顶角相等， 在和中 ，， ． 故答案为：两直线平行，内错角相等；已知；中点的性质；对顶角相等；． 17．如图，在中，，在中，． (1)求证：； (2)连接，连接交于点，若点恰好是的中点，求证：． 【答案】(1)见解析；(2)见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用全等三角形的性质和判定解决问题． （1）运用全等三角形的性质和判定，证明和全等，即可求得； （2）作辅助线构建全等三角形，运用全等三角形的性质和判定，证明， ，进而求得． 【详解】（1）解：证明：，， ， 在和中， ， ； （2）证明：过点作交于点，如图所示， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 18．兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【初步探索】 （1）如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．以下两位同学是这样思考的： 小聪：延长至E，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 小明：过点作，交的延长线于点．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是__________；中线的取值范围是_______． 【灵活运用】 （2）如图2，在中，点是的中点，，，其中，连接，试判断线段与的数量关系及直线与直线的位置关系，并说明理由． 【答案】（1），； （2），，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系；熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据证明，得出，根据三角形三边关系即可得到结论； （2），．延长到，使，连接，由（1）得，得出；由题意得出，可证，得出，；得到；延长交于点，得到，得出，，得到． 【详解】解：（1）延长至E，使，连接， ， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：，； （2），理由如下 如图，延长到，使，连接， 同（1）得， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，； ， ； 延长交于点， ， ， ， ， ， ． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．如图，中，，，，平分交于，在截取，则的长为 ，的周长为 ． 【答案】 2 7 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，解题关键是证明．利用已知条件求解，证明，得到，从而，即可求得的周长． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∵平分交于， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的周长． 故答案为：2，7． 20．如图，是的中线，，分别在边，上，不与端点重合），且，则三边数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线的性质，垂直平分线的性质，三角形全等的性质与判定，三角形三边关系，证明是解题的关键．延长至点，使，连接，，证明，可得，进而根据三角形三边关系即可得． 【详解】解：如图，延长至点，使，连接，， 是的中线，，分别在边，上， ， 又，， 是的垂直平分线， ， 又 ， ， ， ． 故答案为： 21．如图，在中，，，，，平分交于点，点、分别是、边上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离，垂线段最短，三角形的面积公式，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 在上取一点，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质，则，得到，当点，，在同一条直线上且时，有最小值，即最小，最后用面积法，进行解答，即可． 【详解】解：在上取一点，使得，连接， ∵平分， ∴， ∵是公共边， ∴， ∴， ∴， 当点，，在同一条直线上且时，有最小值，即最小，其值为， ∵， ∴， ∴最小值为． 故答案为：． 22．在中，，点D是斜边上的点，过点B作于点E，连接若．则的值是 【答案】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，过C作交的延长线于F，利用证明，推出，然后由三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：连接，过C作交的延长线于F，如图： ， ， ， ， ， ，， ， 在和中，， ， ， ， 故答案为：8． 23．如图，在正方形中，，E是上一点且，连接，动点M从点A以每秒2个单位长度的速度沿向终点A运动，设点M的运动时间为1秒，当和全等时，t的值是 ． 【答案】3.5或6.5 【分析】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是掌握全等三角形的性质．分两种情况进行讨论，根据“全等三角形的对应边相等”并结合题意得出和，即可求得答案． 【详解】解：如下图，    ①当点在上时， ∵和全等，∴， 由题意可得， 所以（秒）； ②当点在上时， ∵和全等， ∴， 由题意得：， 解得（秒）． 所以，当的值为3.5秒或6.5秒时．和全等． 故答案为：或． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．如图1所示，在中，为锐角，点为射线上一动点，连接，以为直角边，为直角顶点，在左侧作等腰直角三角形，连接，，． (1)当点在线段上时（不与点重合），证明：； (2)当点在线段的延长线上时，（1）的结论是否仍然成立？请在图2中画出相应的图形，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)结论仍然成立，图与理由见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的性质，根据同角的余角相等求出两边的夹角相等是证明三角形全等的关键． （1）根据同角的余角相等求出，然后利用“边角边”证明，根据全等三角形对应边相等可得． （2）先进行等量代换求出，然后得出，进一步得出结论仍然成立． 【详解】（1）证明：， ． 在和中， ， ； （2）结论仍然成立， 如图2所示， ， ， 即， 在和中， ， ， ． 25．如图，在中，平分，交于点平分，交于点相交于点，过点作垂线，交的延长线于点，交于点，连接． (1)求证：平分． (2)求证：． (3)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)16 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握相关知识国解答本题的关键． （1）根据角平分线的定义解答即可； （2）分别证明和可得结论； （3）证明，由可得结论 【详解】（1）证明：， ． 又平分平分， ， ． 又， ， ， ， 平分 （2）解：由（1），得， ， ． 在和中， ， ， ． ， ． 在和中， ， ， ， ． （3）解：由（2），得， ． ， ． ， ． ． 26．把两个全等的角三角形的斜边重合，组成一个四边形，以为顶点作，交边、于、． (1)如图1，若，，当绕点旋转时，、、三条线段之间有何种数量关系？并证明你的结论； (2)如图2，当，时，、、三条线段之间有何种数量关系？并证明你的结论； (3)如图3，在（2）的条件下，若将、改在、的延长线上，完成图3，其余条件不变，则、、之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明） 【答案】(1)，证明见解析 (2)，证明见解析 (3)，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）延长到， 使， 证明，推出， ， 证， 推出即可； （2）延长到， 使， 证，推出， ， 证， 推出即可； （3）在截取， 连接， 证，推出，， 证， 推出即可． 【详解】（1）， 证明： 延长到， 使， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）， 证明： 延长到， 使， 连接， 由（1）知： ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）， 证明： 在截取， 连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴． / 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