精品解析：天津市第四十一中学2024-2025学年高三下学期2月月考数学试题

天津市第四十一中学2024——2025学年度第二学期高三第一次月考数学试题 一、选择题：（每小题5分，共45分） 1. 已知集合，集合，则集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合，再结合补集､交集的定义，即可求解. 【详解】集合或， 则， 集合， 故. 故选：B. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先解不等式得或，再根据基本关系判定即可得答案. 【详解】解不等式得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 函数的图象大致为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】可采用排除法，根据奇偶性和特殊点的函数值的正负进行排除. 【详解】因为，所以的图象关于原点对称，故排除； 当时，，当时，，所以，排除B． 故选A. 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性和特殊点的函数值的正负识别图像，属于基础题. 4. 已知 则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性，则，，，再利用作商得，可得. 【详解】，，，，， 又，，. 故选：D. 5. 设，是两个不同的平面，l是一条直线，下列命题是真命题的为（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与平面间的位置关系判断． 【详解】若，，则或，AD均错； 若，，则或，B错； 对选项C，若，，则， 如图，设是平面内的任意直线，过作平面与平面交于直线， 因为，则， 又由得， 所以，而是平面内的任意直线，所以，C正确． 故选：C． 6. 下列说法错误的是（    ） A. 线性相关系数越接近1，两个变量的线性相关程度越强； B. 独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系； C. 在回归分析中，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高； D. 甲、乙两个模型的决定系数分别约为0.88和0.80，则模型甲的拟合效果更好． 【答案】B 【解析】 【分析】利用线性相关系数、独立性检验、残差图、决定系数等相关概念，逐一判断选项即可得出结论. 【详解】对于A，根据线性相关系数的定义可判断A正确； 对于B，独立性检验是存在某种程度的错误概率的，因此可得B错误； 对于C，利用回归分析残差概念以及残差图可判断C正确； 对于D，决定系数的值越大，说明拟合效果越好，显然，即模型甲的拟合效果更好，可得D正确. 故选：B 7. 函数，其中，其最小正周期为，则下列说法中错误的个数是（ ） ① ②函数图象关于点对称 ③函数图象向右移个单位后，图象关于轴对称，则的最小值为 ④若，则函数的最大值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】化简函数解析式，根据正弦型函数的周期公式可求判断①，验证是否为函数的对称中心判断②，结合函数图象平移变换结论判断③，结合不等式性质及正弦函数性质判断④. 【详解】由已知， 所以， 又，所以函数的最小正周期为， 由已知，所以，①正确； 所以， 因为，所以函数图象关于点对称，②正确， 将函数图象向右移个单位后可得函数的图象， 因为的图象关于轴对称， 所以，又， 所以的最小值为，③正确， 若，则， 所以，故， 所以当时，函数取最大值，最大值为，④错误. 故选:A 8. 已知M是内一点且，，若，和的面积分别为，x，y，则的最小值是（ ） A. 16 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的数量积的运算求得的值，利用三角形的面积公式求得的值，进而把转化为利用基本不等式求得的最小值即可． 【详解】因为，， 所以，即， ，即， ， 当且仅当 ，即时等号成立， 故选：B． 9. 已知双曲线与抛物线，抛物线的准线过双曲线的焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为点，延长与抛物线相交于点，若，则双曲线的离心率等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量关系可得，进而可得，，利用三角形相似可得，将其代入抛物线方程即可求解. 【详解】设双曲线的焦距为， 抛物线的准线过双曲线的焦点， ， 又到的距离，即， ，， ，则， ，得， 过作轴，则， 故， 因此 由于在抛物线上，所以即， ，故， 故． 故选：C． 二、填空题：（每小题5分，共30分） 10. i为虚数单位，若复数，则______ 【答案】 【解析】 【分析】先利用复数除法运算化简复数，然后代入模的运算求解即可. 【详解】因为，所以. 故答案为： 11. 展开式中的系数为__________.（结果用数字表示） 【答案】28 【解析】 【分析】先求出展开式的通项公式，然后求出其和的系数，两系数相减可得答案. 【详解】因为展开式的通项公式为， 所以展开式中的系数为. 故答案为：28 12. 已知圆心在轴上的圆与倾斜角为的直线相切于点则圆的方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】设圆心为，半径为，根据两点间距离公式，可的半径，根据点斜式方程，可得直线的方程，根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，代入公式，化简计算，即可得答案. 【详解】设圆心为，半径为， 依题意可得， 直线的方程为：，整理得， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离， 所以，解得， 所以圆的方程为. 故答案为： 13. 设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正.一射手用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校正过的枪射击，中靶率为0.4. （1）该射手任取一支枪射击，中靶的概率是________ （2）若任取一支枪射击，结果未中靶，求该枪未校正的概率为________. 【答案】 ①. 0.7## ②. 0.8## 【解析】 【分析】（1）由全概率公式可得答案； （2）由可得答案. 【详解】设表示枪已校正，表示射击中靶， ， （1）； （2）. 故答案为：①0.7；②0.8. 14. 在梯形中，，，，，，点满足，则______；若与相交于点，为线段延长线上的动点，则的最小值为______. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】利用可得到大小，根据梯形上下底平行可得线段比例关系，取中点，利用向量数量积可得，通过求的最小值即可得到结果. 【详解】 由得，， 解得，故. 设交于点，由题意得，. 在中，由余弦定理得，，故. 由得，，，所以. 取中点，连接，则，， 所以，故. 因为， 所以当最小时，有最小值，的最小值为点到直线的距离. 由得，，又因为，所以为等边三角形，故点到直线的距离为， 由得点到直线的距离为，即， 此时. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量综合问题，解决问题的关键是利用平面向量的极化恒等式公式得到，问题转化为求线段长的最小值，分析几何图形即可得到结果. 15. 已知函数 ，若方程有三个不同的实数根且 ，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，作出函数的图象，数形结合求出方程有3个解时的范围，再将目标式用表示并求出范围. 【详解】方程有三个不同的实数根，即直线与函数的图象有3个交点， 则当时，直线与射线有一个交点， 当时，直线与函数有2个交点， 在同一坐标系内作出函数的图象及直线，如图， 令直线与图象相切的切点为，由求导得：， 则，解得，即直线与图象相切时，， 因此当且仅当时，直线与函数的图象有3个交点， 由，解得，由，得， 即，因此，函数在上递减， 当时，，所以的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：利用导数求出直线与图象相切的值，结合图形求出方程有3个解的范围是求解的关键. 三、解答题：（本大题共5小题，共75分） 16. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求的值； （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理、两角和的正弦公式、诱导公式化简已知条件，由此求得的值； （2）利用三角形的面积列方程，求得的值，结合余弦定理求得的值，进而求得三角形的周长. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得：， 且，可得， 且，可知，可得. 【小问2详解】 由（1）可知：，，则， 因为的面积为，可得， 由余弦定理可得， 即，可得， 所以的周长为. 17. 在如图所示的几何体中，平面，，F是的中点， ，，. （1）求证: 平面; （2）求平面与平面所成夹角的余弦值； （3）求点 A 到平面的距离. 【答案】（1）证明： 取的中点，连接，由是的中点，得，而，则． 又，于是四边形是平行四边形，， 在中，，，有，由平面， 平面，得，而平面，因此平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的判定及性质，等腰三角形性质及线面垂直的性质判定推理即得. （2）以C为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求出面面夹角余弦值. （3）根据点到平面的向量距离公式计算即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）知平面，而，则直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，    于是，，，，，，， 设是平面的一个法向量，则，令，得， 显然平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为， 因此， 所以平面与平面夹角的余弦值是. 【小问3详解】 由（2）知道平面的一个法向量为，且， 则点 A 到平面EBD的距离. 18. 设椭圆经过点，长轴长是短轴长的2倍，上顶点为. （1）求椭圆的方程； （2）过点且斜率为的直线与椭圆交于另一点，过点作与垂直的直线，交直线于点，过点作直线的垂线，垂足为，若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由椭圆经过点和长轴长是短轴长的2倍，得到和求解； （2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，求得点P的横坐标，再由，设直线的方程为与直线联立，求得Q的坐标，然后根据由 即求解. 【小问1详解】 解：椭圆经过点，即， 将点坐标代入方程，得， 解得 椭圆的方程为 . 【小问2详解】 如图所示： ，由题意可知，直线的斜率存在，且不为0. 直线的方程为 联立消去，得， 解得或， 点与点不同， ， 直线的方程为 直线 联立，解得 垂直于直线 在直角和直角中， 即 代入 化简得 解得 的值为. 【点睛】思路点睛：本题第二问的基本思路是根据点B坐标设出直线的方程，与椭圆方程联立，求得点P的坐标，再由，设直线的方程，与直线联立，求得Q的坐标，通过由而得解. 19. 已知数列的前项和为，，，数列为正项等比数列，，是与的等差中项. （1）求和的通项公式： （2）若，求数列的前项和； （3）设，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据得到是以为首项，为公差的等差数列，即可求出的通项，设正项等比数列的公比为，由等比中项的性质求出，再由等差中项的性质求出，即可求出的通项； （2）由（1）可得，利用错位相减法计算可得； （3）由（1）可得，利用裂项相消法及分组求和法计算可得. 【小问1详解】 因为， 所以，即，所以， 所以是以为首项，为公差的等差数列，所以， 设正项等比数列的公比为，由，解得或（舍去）， 又是与的等差中项，所以 ，即， 即，解得（负值舍去）， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得， 所以， 所以， 所以 ， 所以. 【小问3详解】 由（1）可得 ， 所以 当为偶数时 ， 当为奇数时 ， 综上可得. 20. 已知函数，，令函数． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）当为正数时，讨论函数的单调性； （3）若不等式对一切都成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 时，的单增区间为，，单减区间为， 时，在上单调递增， 时，的单增区间为，，单减区间为. （3） 【解析】 【分析】（1）当时，对求导，求出，由点斜式方程即可得出答案； （2）对求导，分类讨论，和，讨论与的大小，即可求出函数的单调性； （3）将不等式变形为，令，即在上单调递增，分类讨论和，使得在恒成立，求解即可. 【小问1详解】 当时，，， 故，则， 故函数在处的切线方程为，即； 【小问2详解】 因为，， 则， 时，在，上为正，上为负， 所以的单增区间为，，单减区间为， 时，在上恒，所以在上单调递增， 时，在，上为正，上为负， 所以的单增区间为，，单减区间为， 综上：时，的单增区间为，，单减区间为， 时，在上单调递增， 时，的单增区间为，，单减区间为. 【小问3详解】 由，，变形为， 令，则在上单调递增， 其中，， 则， 若，此时在上恒成立， 则在上单调递增，满足要求， 若，此时要满足在恒成立， 令，对称轴为， 故要满足，解得， 综上：，即的取值范围是． 【点睛】关键点睛：本题第三问的关键点是将不等式变形为，令，将题意转化为在上单调递增，分类讨论和，使得在恒成立，求解即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市第四十一中学2024——2025学年度第二学期高三第一次月考数学试题 一、选择题：（每小题5分，共45分） 1. 已知集合，集合，则集合为（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的图象大致为 A. B. C. D. 4. 已知 则（ ） A. B. C. D. 5. 设，是两个不同的平面，l是一条直线，下列命题是真命题的为（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 6. 下列说法错误的是（    ） A. 线性相关系数越接近1，两个变量的线性相关程度越强； B. 独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系； C. 在回归分析中，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高； D. 甲、乙两个模型的决定系数分别约为0.88和0.80，则模型甲的拟合效果更好． 7. 函数，其中，其最小正周期为，则下列说法中错误的个数是（ ） ① ②函数图象关于点对称 ③函数图象向右移个单位后，图象关于轴对称，则的最小值为 ④若，则函数的最大值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知M是内一点且，，若，和的面积分别为，x，y，则的最小值是（ ） A. 16 B. 10 C. 8 D. 6 9. 已知双曲线与抛物线，抛物线的准线过双曲线的焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为点，延长与抛物线相交于点，若，则双曲线的离心率等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（每小题5分，共30分） 10. i为虚数单位，若复数，则______ 11. 展开式中的系数为__________.（结果用数字表示） 12. 已知圆心在轴上的圆与倾斜角为的直线相切于点则圆的方程为______. 13. 设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正.一射手用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校正过的枪射击，中靶率为0.4. （1）该射手任取一支枪射击，中靶的概率是________ （2）若任取一支枪射击，结果未中靶，求该枪未校正的概率为________. 14. 在梯形中，，，，，，点满足，则______；若与相交于点，为线段延长线上的动点，则的最小值为______. 15. 已知函数 ，若方程有三个不同的实数根且 ，则的取值范围是__________. 三、解答题：（本大题共5小题，共75分） 16. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求的值； （2）若，的面积为，求的周长． 17. 在如图所示的几何体中，平面，，F是的中点， ，，. （1）求证: 平面; （2）求平面与平面所成夹角的余弦值； （3）求点 A 到平面的距离. 18. 设椭圆经过点，长轴长是短轴长的2倍，上顶点为. （1）求椭圆的方程； （2）过点且斜率为的直线与椭圆交于另一点，过点作与垂直的直线，交直线于点，过点作直线的垂线，垂足为，若，求的值. 19. 已知数列的前项和为，，，数列为正项等比数列，，是与的等差中项. （1）求和的通项公式： （2）若，求数列的前项和； （3）设，求数列的前项和. 20. 已知函数，，令函数． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）当为正数时，讨论函数的单调性； （3）若不等式对一切都成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $