第六章 平行四边形（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（四川成都专用，北师大版）

第六章 平行四边形（B卷·培优卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，已知的周长为38，对角线相交于点O，点E是的中点，的周长为15，则的长为（    ） A．8 B．10 C．11 D．23 2．如图，在平行四边形中，，为中点，于点，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，点E为平行四边形的对角线上一点，，连接并延长至点F，使得，连接，则为（   ） A．2．5 B．3 C．3.5 D．8 4．如图，正六边形的边长为2，点为边上一点，连接，，，则与的面积和为（   ） A．4 B． C． D．随点位置而变化 5．如图，中，是的中点，在上，且，则等于（   ） A． B． C． D． 6．如图，将绕顶点A顺时针旋转，使点B，C，D分别落在E，F，G处，且B，E，D，F在同一条直线上，若E恰好是的中点，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 7．如图①，在平行四边形中，，连接，，与相交于点，点从点出发，沿以的速度匀速运动到点，图②是点运动时，线段的长随时间变化的函数关系图象，其中，分别是两段曲线的最低点，则的长为（　　） A． B． C． D． 8．如图平行四边形中，，，，E在上，且，F是的中点，过D分别作于P，于Q，则等于（　　） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．一个多边形的每个内角与它相邻的外角的度数之比为，这个多边形的内角和等于 ． 10．如图，在中，过上的点作，，、、、均在平行四边形的边上，且，，则四边形的面积为 ． 11．如图，在平行四边形中，，的平分线与的延长线交于点E，与交于点F，且点F为边的中点，过点C作，垂足为G，若，则的长为 ． 12．如图，平行四边形中，、分别在和的延长线上，，，，，则的长是 ． 13．如图，在四边形中，，，，延长到点，使，点是的延长线上一点，且，连接．已知，则线段的长为 ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．如图，点为平行四边形的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，求的长． 15．如图，在平行四边形中，点分别是的中点，点，在对角线上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接交于点，若，，求的长． 16．综合实践课上，老师让同学们开展了的折纸活动，是边上的一动点，是边上的一动点，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，连接．    (1)【观察发现】如图1，若，，，则___________，___________． (2)【操作探究】如图2，当点落在的延长线上时，求证：四边形为平行四边形． 17．如图，在中，点分别是上的动点，连接，将沿直线折叠得到，点落在上．    (1)如图1，若点是的中点，求证：； (2)如图2，若，且点是的中点． ①判断线段、与之间存在的数量关系，并证明； ②若，直接写出的面积． 18．平行四边形中，与交于点O．M为线段上一动点（不与点C重合），点N在射线上，连接． (1)如图1，若，当M是中点时，求的度数； (2)如图2，若． ①依题意补全图形； ②请用等式表示线段之间的数量关系并证明． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．如图，在中，，将折叠，使得点B与点D重合，折痕交AD，BC分别于点E，F，则 ． 20．如图，中，，，点D为的中点，将一个直角三角板的直角顶点放在点D处，直角边的点E在边上，，连接，则的长为 ． 21．如图，在平行四边形中，E，F分别是边上的动点，连接，点G、H分别为的中点，连接．若，则的最大值为 ． 22．如图，在平行四边形中，将绕A逆时针旋转到，的角平分线经过的中点E，且，，则的值为 ．    23．如图，在平行四边形中，，，点，分别是，上的动点，，连接，过点作，垂足为，若，则的大值为 ． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．在四边形中，是的中点，连接，，是线段上一点，连接，，过作，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，，，求的度数． 25．如图，与是等边三角形，连接，取的中点，连接并延长至点，使，连接，，，将绕点顺时针旋转． 【特例感知】 (1)如图①，当点在上，点在上时，则的形状为 ； 【类比迁移】   (2)当绕点顺时针旋转至图②的位置时，此时点在线段的延长线上，请判断的形状，并说明理由； 【方法运用】 (3)若，将由图①位置绕点顺时针旋转，当时，请直接写出的值． 26．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与直线交于点，点到轴的距离为，直线交轴于点，． (1)求直线的函数表达式； (2)如图2，点为线段上一点，将沿折叠后，点恰好落在边上，求点坐标； (3)如图3，将绕点逆时针方向旋转，得到，使点与点对应，点与点对应，将沿着直线平移，点为直线上的动点，是否存在以、、、为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 平行四边形（B卷·培优卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，已知的周长为38，对角线相交于点O，点E是的中点，的周长为15，则的长为（    ） A．8 B．10 C．11 D．23 【答案】C 【分析】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线定理是解题的关键． 由平行四边形的性质及周长为38得到 ，由点E是的中点得到是的中位线，，则，由的周长为15得到，求出，即可得到长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，其周长为38，对角线相交于点O， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∵的周长为15， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 2．如图，在平行四边形中，，为中点，于点，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定和性质，正确地构造出与所求相关的等腰三角形是解决问题的关键． 过作交于，根据平行四边形的性质得到，求得，得到，，根据已知条件得到，求得，根据平行线的性质得到，得到，于是得到结论． 【详解】解：过作交于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵为中点， ∴，， ∵于，为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 3．如图，点E为平行四边形的对角线上一点，，连接并延长至点F，使得，连接，则为（   ） A．2．5 B．3 C．3.5 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形和平行四边形的性质定理与判定定理，过点F作交于点G，再利用全等三角形的判定定理与性质定理结合平行四边形的性质定理与判定定理即可得解． 【详解】解：过点F作交于点G， ∴， 又， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴且， ∴且， ∴四边形为平行四边形， ∴． 故选：B． 4．如图，正六边形的边长为2，点为边上一点，连接，，，则与的面积和为（   ） A．4 B． C． D．随点位置而变化 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的性质，解题的关键是将求面积之和转化成求之间的距离，利用勾股定理求解． 【详解】解：连接相交于，过作的垂线，交于，如下图： 正六边形的边长为2， 为等边三角形，，分别为的中点， ， ， ， 故选：C． 5．如图，中，是的中点，在上，且，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、平行线的性质等知识，解题关键是正确作出辅助线，熟练掌握相关知识并灵活运用．在上取点，使得，连接，易得为的中位线，所以，再证明为等腰三角形，可得，然后由可得答案． 【详解】解：如图，在上取点，使得，连接， 则， ∵是的中点，， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 6．如图，将绕顶点A顺时针旋转，使点B，C，D分别落在E，F，G处，且B，E，D，F在同一条直线上，若E恰好是的中点，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据平行四边形的性质与旋转的性质可得，再根据等腰三角形的性质、平行线的性质可得，从而可得，根据等腰三角形的判定可得，设，则，过点作于点，然后根据等腰三角形的三线合一可得，最后利用勾股定理分别求出的长，由此即可得． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 由旋转的性质得：， ， ， ， 设， 恰好是的中点， ， 如图，过点作于点， （等腰三角形的三线合一）， ， ，， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握旋转的性质和等腰三角形的判定与性质是解题关键． 7．如图①，在平行四边形中，，连接，，与相交于点，点从点出发，沿以的速度匀速运动到点，图②是点运动时，线段的长随时间变化的函数关系图象，其中，分别是两段曲线的最低点，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查动点问题的函数图象．根据图②中点的纵坐标为，可得此时时的值为；根据点的纵坐标为可得时的值为，由平行线的性质知，由此可得的长，即为的长．结合图象得到动点在相应位置时的长度是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，分别是两段曲线的最低点，点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∴中边上的高为，中边上的高为， ∵， ∴， 解得：， ∴， 即的长为． 故选：D． 8．如图平行四边形中，，，，E在上，且，F是的中点，过D分别作于P，于Q，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、含度角的直角三角形的性质、平行四边形的性质，灵活运用知识点、作辅助线推理是解题的关键．连接，，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，根据题意可得，从而可得．再根据题意得出可求出、的长，由含度角的直角三角形的性质结合勾股定理可间接求出，，，的长，最后再次利用勾股定理求出，的长进行计算即可． 【详解】解：如图，连接，，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点， ∵， ∴，即， ∵是的中点，， ∴， ∵，， ∴，． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴在和中，，， ∴，， ∴，， ∴在和中， ， ， ∴． 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．一个多边形的每个内角与它相邻的外角的度数之比为，这个多边形的内角和等于 ． 【答案】/1440度 【分析】本题考查了多边形的外角和定理，多边形内角和定理，邻补角的定义，熟练掌握外角和定理和内角和定理是解题的关键． 设每个内角与它相邻的外角的度数分别为、，根据邻补角的定义求出x，然后根据多边形的外角和为即可计算出多边形的边数，然后根据多边形内角和定理即可解答． 【详解】解：∵多边形的每个内角与它相邻的外角的度数之比为， 设每个内角与它相邻的外角的度数分别为、， ， ， 多边形的边数为， 内角和为， 故答案为：． 10．如图，在中，过上的点作，，、、、均在平行四边形的边上，且，，则四边形的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，先证明四边形都是平行四边形，然后证明，根据，求出即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵，， ∴四边形都是平行四边形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：6． 11．如图，在平行四边形中，，的平分线与的延长线交于点E，与交于点F，且点F为边的中点，过点C作，垂足为G，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识．由平行四边形的性质结合等腰三角形的判定，可得，再由等腰三角形的性质和勾股定理可求，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵， ∵的平分线与的延长线交于点E，与交于点F， ∴， ∴ ∴， ∵点F为边的中点， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图，平行四边形中，、分别在和的延长线上，，，，，则的长是 ． 【答案】 【分析】由直角三角形的两个锐角互余可得，由含度角的直角三角形的性质可得，利用勾股定理可得，即，进而可求出，则，由已知条件可证得四边形是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可得，于是得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴,， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形，勾股定理，平行四边形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 13．如图，在四边形中，，，，延长到点，使，点是的延长线上一点，且，连接．已知，则线段的长为 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查了全等三角形与等腰直角三角形结合．熟练掌握四边形内角和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，是解题的关键． 在是取点G，使，连接，得，证明，结合，得，得，得，得，得垂直平分，即得． 【详解】解：在是取点G，使，连接， ∵，， ∴, ∵在四边形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴． 故答案为：16． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．如图，点为平行四边形的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形和平行四边形的性质定理与判定定理，过点F作交于点G，再利用全等三角形的判定定理与性质定理结合平行四边形的性质定理与判定定理即可得解． 【详解】解：过点F作交于点G， ∴， 又， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴且， ∴且， ∴四边形为平行四边形， ∴． 15．如图，在平行四边形中，点分别是的中点，点，在对角线上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接交于点，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握平行四边形判定与的性质及三角形中位线定理是解题的关键． （1）证明，得，则，得，即可得出结论； （2）先由平行四边形的性质得出，再证出，可得是的中位线，然后利用中位线定理可得的长度． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵点G，H分别是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：连接交于点O，如图： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴． 16．综合实践课上，老师让同学们开展了的折纸活动，是边上的一动点，是边上的一动点，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，连接．    (1)【观察发现】如图1，若，，，则___________，___________． (2)【操作探究】如图2，当点落在的延长线上时，求证：四边形为平行四边形． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质和直角三角形的性质结合勾股定理求得，由折叠知，由折叠的性质可得，再由平行四边形的性质求得，据此即可求解． （2）根据折叠的性质先证，再证即可证明四边形为平行四边形． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， 由折叠知， 由折叠知， ∵， ∴， ∴， 由折叠知， ∴， 故答案为：，； （2）证明：由折叠知，，． ， ， ， ， ， ∵， ∴，， ， ， ， ，点在延长线上， ， ， ． ， ， 四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查平行四边形折叠问题，直角三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，勾股定理．熟练掌握平行四边形的性质与判定和折叠性质是解题的关键． 17．如图，在中，点分别是上的动点，连接，将沿直线折叠得到，点落在上．    (1)如图1，若点是的中点，求证：； (2)如图2，若，且点是的中点． ①判断线段、与之间存在的数量关系，并证明； ②若，直接写出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)① ，理由见解析；② 【分析】本题主要考查了平行线的判定，等腰三角形的性质，三角形的中位线的判定和性质，折叠的性质及勾股定理，解题的关键是结合图形，熟练运用相关的判定和性质求解； （1）由折叠及点是的中点得到，得到，利用三角形外角性质即可得到，继而得证； （2）①过点作交延长线于点，连接．证得到，由垂直平分线的性质得到，由勾股定理，得，继而得证； ②取的中点M，连接，则则由中位线定理得到，长，设，由勾股定理得长，设则，，求得，在利用三角形的面积公式即可得解 【详解】（1）∵点是的中点， ． 由折叠，得． ， ． 是的一个外角， ． ， ， ．    （2）①，理由如下： 如图，过点作交延长线于点，连接． ． 点是的中点， ， ． ． 由折叠，得， ， ． 在Rt中，由勾股定理，得， ．    ②取的中点M，连接，则是的中位线， 则 ，    设，则 在由勾股定理得： 即 解得： 则， 设则 解得： 故的面积为． 18．平行四边形中，与交于点O．M为线段上一动点（不与点C重合），点N在射线上，连接． (1)如图1，若，当M是中点时，求的度数； (2)如图2，若． ①依题意补全图形； ②请用等式表示线段之间的数量关系并证明． 【答案】(1) (2)①见解析；②，证明见解析 【分析】（1）取的中点P，连接，证，得，再证，进而证，然后证是等边三角形，得，即可得出结论； （2）①依题意补全图形即可； ②过点A作于点G，过M作于点H，证和是等腰直角三角形，得，再证，得，即可解决问题． 【详解】（1）如图1， 取的中点P，连接， 则， ∵M是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 即的度数为； （2） ①依题意补全图形如图2， ②，证明如下： 如图3， 如图 3，过点作于点，过作于点， 则， ∵， ∴和是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及三角形的外角性质等知识，本题综合性强，熟练掌握平行四边形的判定与性质和等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．如图，在中，，将折叠，使得点B与点D重合，折痕交AD，BC分别于点E，F，则 ． 【答案】 【分析】设，作于点L，则，由折叠可知，，得到，则，，由勾股定理得到，解得，即可得到答案． 【详解】解：设，作于点L，则， ∵ ∴由折叠可知， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为： 【点睛】此题考查了勾股定理、含角的直角三角形的性质、平行四边形的性质、轴对称的性质等知识，作高构造直角三角形是解题的关键． 20．如图，中，，，点D为的中点，将一个直角三角板的直角顶点放在点D处，直角边的点E在边上，，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，中位线定理．取的中点K，连接，证明，得到，求出的长即可得到． 【详解】解：取的中点K，连接， ∵点D为的中点，点K为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵，点D为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 21．如图，在平行四边形中，E，F分别是边上的动点，连接，点G、H分别为的中点，连接．若，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了含30度直角三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，利用中位线定理把求的最值转化为求的最值是解题的关键．连接，由中位线定理得，从而当最大时，最大，当点F与点C重合时，最大；过点A作于P，由直角三角形的性质及勾股定理可分别求得的长，从而由勾股定理求得的长，即可求得最大值． 【详解】解：连接，如图， ∵点G、H分别为的中点， ∴， 当最大时，最大， 当点F与点C重合时，最大； 过点A作于P， ∵， ∴， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴的最大值为； 故答案为：． 22．如图，在平行四边形中，将绕A逆时针旋转到，的角平分线经过的中点E，且，，则的值为 ．    【答案】 【分析】由旋转得，而平分，所以垂直平分，则，而，可证明是等边三角形，由，求得，则，，由，得，求得，则，所以，且，由，得． 【详解】解：由旋转得， ∵的角平分线经过的中点， ∴，， ∵，平分， ∴垂直平分， ∴， ∴， ， ， ∴是等边三角形， ， ， ， ，， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查旋转的性质、平行四边形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理等知识，推导出是等边三角形是解题的关键． 23．如图，在平行四边形中，，，点，分别是，上的动点，，连接，过点作，垂足为，若，则的大值为 ． 【答案】 【分析】连接交于点，作交的延长线于点，由平行四边形的性质得，，，则，而，可证明，由，求得，则，所以，则，再证明，得，因为于点，所以的最大值为，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，连接交于点，作交的延长线于点，则， 四边形是平行四边形，，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 于点， ， ， 的最大值为， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．在四边形中，是的中点，连接，，是线段上一点，连接，，过作，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）过点作交于点，设交于点，证明四边形是平行四边形，得，证明，得，证明，得，即可得证； （2）连接，证明四边形是平行四边形，得，，四边形是平行四边形，得，证明，得，根据等边对等角得，再将数据代入可得结论． 【详解】（1）证明：过点作交于点，设交于点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，，，， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的度数为． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等边对等角等知识点．通过作辅助线构造全等三角形和平行四边形是解题的关键． 25．如图，与是等边三角形，连接，取的中点，连接并延长至点，使，连接，，，将绕点顺时针旋转． 【特例感知】 (1)如图①，当点在上，点在上时，则的形状为 ； 【类比迁移】   (2)当绕点顺时针旋转至图②的位置时，此时点在线段的延长线上，请判断的形状，并说明理由； 【方法运用】 (3)若，将由图①位置绕点顺时针旋转，当时，请直接写出的值． 【答案】(1)等边三角形 (2)等边三角形，见解析 (3)或 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，得到，，利用平行线的性质，得到，，，从而推出，最后判定三角形为等边三角形； （2）连接，交分别、于点、，同理可证明四边形是平行四边形，得到，，再证明，得到，，得到是等腰三角形，最后联合平行线的性质，得到，从而判定三角形为等边三角形； （3）连接、，同（2），可证四边形是平行四边形，是等边三角形有，设，则，，先判定是直角三角形，，取的中点，连接，通过，推出，即此时在边上，那么；连接、，同①，可证是直角三角形，，，此时在边上，可得到． 【详解】（1）解：由题意可得，， 四边形是平行四边形 ， 和是等边三角形 、、三点共线 ，， 是等边三角形 故答案为：等边三角形． （2）解：是等边三角形，理由如下， 如下图，连接，交分别、于点、， ， 四边形是平行四边形 ， 和是等边三角形 ，， 点在线段的延长线上 ，即 ， 是等腰三角形 又， 是等边三角形 （3）解：①如下图，连接、 同（2），可证四边形是平行四边形，是等边三角形 有 设，则， 是直角三角形， 取的中点，连接 此时在边上 ②如下图，连接、 同①，可证是直角三角形，， 此时在边上 综上所述，或． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等，熟练掌握以上知识点，构建合适的辅助线是解题的关键． 26．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与直线交于点，点到轴的距离为，直线交轴于点，． (1)求直线的函数表达式； (2)如图2，点为线段上一点，将沿折叠后，点恰好落在边上，求点坐标； (3)如图3，将绕点逆时针方向旋转，得到，使点与点对应，点与点对应，将沿着直线平移，点为直线上的动点，是否存在以、、、为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)点M的坐标为或或 【分析】（1）由题意求得点的坐标，由直角三角形的性质可求得点 的坐标，由待定系数法即可求得直线的解析式； （2）由直线的表达式可求得点的坐标，则由勾股定理逆定理可判定，易得，由折叠的性质及即可求得点的坐标； （3）先求点的坐标，得点所在直线解析式，设点、点的坐标，利用平行四边形的对角线互相平分性质、中点坐标公式及分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：由题意知，点的纵坐标为，点在直线 上， 把代入得，， 解得， ∴，， ∵轴，，， ∴， ， 由勾股定理得, ∴， ∴， ∴， 把、代入得， ， 解得， ∴直线 的函数表达式为； （2）解：直线 的表达式为: ， 当 时，，则点 ， ， ，， ， ， ， 沿 折叠后,点 恰好落在 边上， ， ， ； 令 ，则 ， 根据 得：， 解得：， 故点 的坐标为 ； （3）解：由旋转性质知，，则， ∴关于轴对称，且与关于轴对称， ∴； ∵沿着直线平移， ∴点在平行于直线的直线（记为）上运动； 设解析式为，把点坐标代入得：， 得：， 即：； 当点在上运动时，设其坐标为；设； 当为平行四边形的对角线时， 则， 解得：， ∴， 则； 当为平行四边形的对角线时， 则， 解得：， ∴， 则； 当为平行四边形的对角线时， 则， 解得：， ∴， 则； 综上，点M的坐标为或或． 【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，平行四边形的性质，平移、旋转及轴对称三大变换的性质，等腰三角形的判定，含30度直角三角形性质，勾股定理及逆定理等知识，涉及的知识点较多，综合性强，分类讨论． / 学科网（北京）股份有限公司 $$