专题强化02：二项式定理【11大题型】-2024-2025学年高二数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第三册）

专题强化02：二项式定理 【题型归纳】 · 题型一：二项式的通项公式应用 · 题型二：二项式系数问题 · 题型三：项的系数问题 · 题型四：二项展开式各项系数和 · 题型五：奇偶数项的系数和问题 · 题型六：三项展开式的系数问题 · 题型七：两个二项式相乘的展开式的系数问题 · 题型八：赋值法在二项式定理的应用 · 题型九：利用二项式定理证明整除问题 · 题型十：不等式求系数的最值问题 · 题型十一：二项式定理的综合 【题型探究】 题型一：二项式的通项公式应用 1．（23-24高二下·四川南充·期末）二项式的展开式中常数项为（    ） A．6 B．12 C．15 D．30 2．（24-25高二上·黑龙江·期末）已知的展开式的第2项系数为，则下列结论中错误的是（   ） A． B．展开式的常数项为第5项 C．展开式的各二项式系数的和为256 D．展开式的各项系数的和为 3．（22-23高二下·北京延庆·期末）在的展开式中，下面关于各项的描述不正确的是（    ） A．常数项为240 B．含的项的二项式系数为15 C．各项的二项式系数和为64 D．第四项为60 题型二：二项式系数问题 4．（24-25高二下·全国）的展开式中系数最小的项和二项式系数最大的项分别为（    ） A．第1项和第3项 B．第2项和第4项 C．第3项和第1项 D．第4项和第2项 5．（24-25高二上·山东德州·阶段练习）的展开式中，前项的系数成等差数列，展开式中二项式系数的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）若的展开式中第2项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项为（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 题型三：项的系数问题 7．（24-25高二上·江苏常州·期末）在二项式的展开式中，含项的二项式系数为（   ） A． B．5 C．10 D．40 8．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）二项式的展开式中有理项的项数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 9．（23-24高二下·山东菏泽·期中）的展开式中无理项的项数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型四：二项展开式各项系数和 10．（24-25高二上·辽宁·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·广西·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高二下·湖南益阳·期末）已知，那么的值为（    ） A． B． C． D． 题型五：奇偶数项的系数和问题 13．（23-24高二下·河南三门峡）若，则（ ） A． B．41 C． D．82 14．（23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）已知，则等于（    ） A．1 B．121 C． D．243 15．（23-24高二下·山东青岛·期中）若，则（    ） A．244 B．242 C．122 D．121 题型六：三项展开式的系数问题 16．（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）展开式中，的系数为（   ） A．320 B．320 C．240 D．240 17．（24-25高二上·辽宁·期末）的展开式中，含的项的系数为（    ） A．240 B． C．560 D．360 18．（23-24高二下·安徽阜阳·期末）的展开式中的系数为（    ） A．120 B．80 C．60 D．40 题型七：两个二项式相乘的展开式的系数问题 19．（24-25高二上·甘肃白银·期末）若的展开式中含的系数为15，则实数（    ） A．2 B．1 C． D． 20．（23-24高三上·四川）已知展开式各项系数之和为64，则展开式中的系数为（    ） A．31 B．30 C．29 D．28 21．（23-24高二下·贵州·期中）在的展开式中含项的系数是（    ） A． B． C．240 D．60 题型八：赋值法在二项式定理的应用 22．（24-25高三下·江苏镇江）若，，则（    ） A． B．31 C． D．32 23．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）已知，若，则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 24．（24-25高二下·全国）设，则（    ） A．810 B．640 C．180 D．90 题型九：利用二项式定理证明整除问题 25．（24-25高二上·黑龙江双鸭山）被8整除的余数为（ ） A．4 B．6 C．7 D．5 26．（23-24高二下·浙江宁波·期中）若既能被9整除又能被7整除，则正整数a的最小值为（    ） A．6 B．10 C．55 D．63 27．（23-24高二下·山东菏泽·期末）若能被25整除，则正整数的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型十：不等式求系数的最值问题 28．（24-25高三上·黑龙江·期末）已知的展开式中第9项是常数项，则展开式中系数的绝对值最大的项是（    ） A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项 29．（23-24高三上·全国）已知的展开式中唯有第5项的系数最大，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 30．（2023·湖北襄阳·模拟预测）已知的展开式中前三项的二项式系数和为，则展开式中系数最大的项为第（    ） A．项 B．项 C．项 D．项 题型十一：二项式定理的综合 31．（24-25高二上·福建莆田·期末）（1）求 的展开式中常数项； （2）求的展开式中，二项式系数最大的项; （3）已知，求的值. 32．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 33．（23-24高二下·吉林长春·期中）已知，若. (1)求实数m的值； (2)求； (3)求的值. 【专题强化】 一、单选题 34．（24-25高三上·山西·期末）的展开式中的常数项为（   ） A．8 B．2 C． D． 35．（24-25高二上·福建宁德·期末）若，则（   ） A．10 B． C．5 D． 36．（24-25高二上·河南驻马店·期末）展开式中的系数为（   ） A． B． C．35 D．55 37．（24-25高三上·辽宁·期末）若，则（    ） A． B．280 C．560 D． 38．（24-25高三上·江苏无锡·期末）在二项式的展开式中二项式系数的和是32，则展开式中的系数为（    ） A．40 B．80 C． D． 39．（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）在的二项展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则展开式的项数是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 40．（23-24高二下·贵州安顺·期末）的展开式中各项系数和为32，则展开式中含的项是（    ） A． B． C． D． 41．（23-24高二下·广东肇庆·期末）若，则（    ） A．4048 B． C．1 D． 二、多选题 42．（24-25高二上·江西鹰潭·期末）关于二项式的展开式，下列说法正确的是（   ） A．展开式的所有项系数和为64 B．展开式的第4项二项式系数最大 C．展开式中不含项 D．展开式的常数项为240 43．（24-25高二上·江西·期末）关于，下列结论正确的是（   ） A．展开式中的常数项为1 B．展开式中项的系数为 C．展开式中所有项的系数和为 D．展开式中项的系数为392 44．（24-25高二上·山东潍坊·期末）在的展开式中，下列结论正确的是（    ） A．二项式系数最大的项是第3项 B．所有的二项式系数和为 C．系数最小的项是 D．所有奇数项的系数和为365 45．（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知，则（   ） A．的值为2 B．的值为80 C．的值为 D． 46．（24-25高二上·甘肃定西·期末）已知，则（    ） A． B． C． D．展开式中所有项的二项式系数的和为16 47．（24-25高三上·广东潮州·期末）设，则（   ） A． B． C． D．当时，除以8的余数是7 三、填空题 48．（24-25高二上·江西上饶·期末）的展开式中常数项为 ． 49．（24-25高三上·浙江宁波·期末）已知，则 .（用数字作答） 50．（24-25高二上·江西鹰潭·期末）若的展开式中的系数为，则a的值为 ． 51．（24-25高二上·山东东营·期末）的展开式中常数项为 用数字作答 52．（24-25高二上·安徽亳州·期末）若满足能被5整除的的最小值为，设，，则方程表示的不同直线的条数为 . 四、解答题 53．（24-25高二上·江西赣州·期末）已知的展开式中各项的二项式系数之和为128. (1)求展开式中项的系数； (2)求展开式中项的系数最大的项. 54．（23-24高二下·山东威海·阶段练习）已知x为正实数，展开式的二项式系数和为256． (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中含的项； (3)若第k项是有理项，求k的取值集合． 55．（23-24高二下·江苏扬州·期末）已知，且. (1)求与的值； (2)求的值. 56．（23-24高二下·江苏苏州·期末）已知（其中）的展开式中第项的二项式系数与第项的二项式系数之和为． (1)求； (2)记，求的值． 57．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知． (1)求的最大值； (2)求被13除的余数． 58．（23-24高二下·江苏淮安·期中）某同学在研究二项式定理的时候发现：其中为的系数，它具有好多性质，如：①;②;③；请借助于该同学的研究方法或者研究成果解决下列问题: (1)计算：；(请用数字作答) (2)若，且，证明：； (3)设数列，，，…，是公差不为0的等差数列，证明：对任意的，函数是关于x的一次函数. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化02：二项式定理 【题型归纳】 · 题型一：二项式的通项公式应用 · 题型二：二项式系数问题 · 题型三：项的系数问题 · 题型四：二项展开式各项系数和 · 题型五：奇偶数项的系数和问题 · 题型六：三项展开式的系数问题 · 题型七：两个二项式相乘的展开式的系数问题 · 题型八：赋值法在二项式定理的应用 · 题型九：利用二项式定理证明整除问题 · 题型十：不等式求系数的最值问题 · 题型十一：二项式定理的综合 【题型探究】 题型一：二项式的通项公式应用 1．（23-24高二下·四川南充·期末）二项式的展开式中常数项为（    ） A．6 B．12 C．15 D．30 【答案】C 【分析】根据二项式展开式的通项公式，令其中的指数等于0，即可得出，再代入得出答案. 【详解】二项式的通项公式为， 令，解得， 则展开式中常数项为， 故选:C. 2．（24-25高二上·黑龙江·期末）已知的展开式的第2项系数为，则下列结论中错误的是（   ） A． B．展开式的常数项为第5项 C．展开式的各二项式系数的和为256 D．展开式的各项系数的和为 【答案】D 【分析】应用的展开式的通项公式结合题意求出，再利用通项公式研究常数项；由可求展开式的各项系数的和；由二项式系数性质可求展开式的各二项式系数的和. 【详解】因为的展开式的通项公式为，（）， 所以，即， 解得，故A正确； 所以（）， 当，即时为常数项, 故B正确； 所以展开式的各二项式系数的和为，故C正确； 所以展开式的各项系数的和为，故D错误. 故选：D. 3．（22-23高二下·北京延庆·期末）在的展开式中，下面关于各项的描述不正确的是（    ） A．常数项为240 B．含的项的二项式系数为15 C．各项的二项式系数和为64 D．第四项为60 【答案】D 【分析】根据二项展开式的通项公式逐个选项分析即可. 【详解】由题可知二项展开式的通项为. 对A，当，即时取得常数项，故A正确； 对B，当，即时取得的项，其二项式系数为，故B正确； 对C，二项式系数和为，故C正确； 对D，第四项为，故D错误. 故选：D 题型二：二项式系数问题 4．（24-25高二下·全国）的展开式中系数最小的项和二项式系数最大的项分别为（    ） A．第1项和第3项 B．第2项和第4项 C．第3项和第1项 D．第4项和第2项 【答案】B 【分析】写出的二项展开式的通项，进而可知项的系数为，进而可知当取奇数时，系数为负值，因此分别求出、、时的项的系数，进而可知最小值；因为的展开式有7项，因此中间一项的二项式系数最大. 【详解】的展开式的通项为， 当取奇数时，系数为负值， 当时，，当时，，当时，， 所以第2项的系数最小； 因为的展开式有7项，所以中间一项的二项式系数最大，即第项的二项式系数最大. 故选：B. 5．（24-25高二上·山东德州·阶段练习）的展开式中，前项的系数成等差数列，展开式中二项式系数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出展开式前三项的系数，根据题意可得出关于的方程，解出的值，然后利用二项式系数的基本性质可求得结果. 【详解】展开式的通项公式为， 所以，前三项的系数分别为、、且成等差数列， 所以，，即，整理可得， 由题意可知，且，解得， 故解得，二项式系数的最大值为． 故选：. 6．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）若的展开式中第2项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项为（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【答案】C 【分析】由的展开式的二项式系数和项的系数相等，因此由题意可得，求出，即可求得展开式中系数最大的项. 【详解】由的展开式中第2项与第8项的系数相等， 由的展开式的二项式系数和项的系数相等， 所以，所以， 则展开式中共有9项，系数最大的项为第5项， 故选：C． 题型三：项的系数问题 7．（24-25高二上·江苏常州·期末）在二项式的展开式中，含项的二项式系数为（   ） A． B．5 C．10 D．40 【答案】C 【分析】根据通项特征即可求解得解. 【详解】的通项为 令，故， 所以含项的二项式系数为， 故选：C 8．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）二项式的展开式中有理项的项数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据题意，求得二项式的展开式的通项为，结合通项，即可求解. 【详解】由题意，二项式的展开式的通项为： ，其中， 当时，展开式为有理项， 所以二项式的展开式中有理项的项数为6项. 故选：C. 9．（23-24高二下·山东菏泽·期中）的展开式中无理项的项数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】先将二项式变形为，再通过的展开式的通项公式求出原二项式的通项公式，进而结合无理项的定义即可求解. 【详解】由题， 又的展开式， 所以的展开式的通项公式为， 所以当的指数不为整数时，该项为无理项， 而当时，不为整数，所以展开式中无理项的项数为4. 故选：B. 题型四：二项展开式各项系数和 10．（24-25高二上·辽宁·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二项式定理展开式的通项公式，结合赋值法逐项计算可判断每个选项的正误. 【详解】由， 所以，，皆为负值，，，皆为正值，令，则， 令，则①，故C项错误； 即，故A项正确； 由①知，故B项错误； 在中， 令，则，故D项错误. 故选：A. 11．（24-25高二上·广西·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件，结合二项式定理，利用赋值法逐项求解各个选项即可. 【详解】令，得，故A不正确； 令，得，所以，故B不正确； 令，得， 所以，故C正确； 令，得，所以D不正确. 故选：C 12．（23-24高二下·湖南益阳·期末）已知，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令可得，令可得，即可求出，，再利用展开式的通项求出，即可求出，从而得解. 【详解】因为， 令可得， 令可得， 所以，， 又， 其中展开式的通项为（且）， 所以， 所以， 所以. 故选：B 题型五：奇偶数项的系数和问题 13．（23-24高二下·河南三门峡）若，则（ ） A． B．41 C． D．82 【答案】B 【分析】赋值法得到，，进而可得. 【详解】设， 则，， ， 故选：B 14．（23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）已知，则等于（    ） A．1 B．121 C． D．243 【答案】D 【分析】赋值可得，再由系数正负及整体关系可得. 【详解】， ， 令，得， ． 故选：D． 15．（23-24高二下·山东青岛·期中）若，则（    ） A．244 B．242 C．122 D．121 【答案】C 【分析】分别令、得两式相加可得答案. 【详解】令，得， 令，得， 两式相加得， 则. 故选：C. 题型六：三项展开式的系数问题 16．（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）展开式中，的系数为（   ） A．320 B．320 C．240 D．240 【答案】D 【分析】根据已知二项式写出含的项，即可得答案. 【详解】由题设，含的项为. 所以的系数为. 故选：D 17．（24-25高二上·辽宁·期末）的展开式中，含的项的系数为（    ） A．240 B． C．560 D．360 【答案】B 【分析】根据二项式展开式的通项特征求解即可. 【详解】的通项为， 且， 令，解得，故的项的系数为. 故选：B. 18．（23-24高二下·安徽阜阳·期末）的展开式中的系数为（    ） A．120 B．80 C．60 D．40 【答案】D 【分析】写出展开式通项，令指数为2，即可求解. 【详解】展开式通项为：， 令，即， 当时，的系数为； 当时，的系数为； 所以的系数为， 故选：D 题型七：两个二项式相乘的展开式的系数问题 19．（24-25高二上·甘肃白银·期末）若的展开式中含的系数为15，则实数（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据二项式展开式的通项公式列方程来求得的值. 【详解】的展开式的通项， 所以的展开式中含的系数为， 令，即，解得． 故选：D 20．（23-24高三上·四川内江·阶段练习）已知展开式各项系数之和为64，则展开式中的系数为（    ） A．31 B．30 C．29 D．28 【答案】C 【分析】赋值法得到方程，求出，求出展开式通项公式，得到，，从而得到展开式中的系数. 【详解】中令得，解得， 展开式通项公式为，， 当时，，当时，， 故展开式中的系数为. 故选：C 21．（23-24高二下·贵州·期中）在的展开式中含项的系数是（    ） A． B． C．240 D．60 【答案】C 【分析】运用二项式定理，结合组合数公式求解即可. 【详解】， 要得到含项，只需要找出展开式的，即可. 二项式的展开式中含的项为，没有含的项. 故含项为，含项的系数是240. 故选：C. 题型八：赋值法在二项式定理的应用 22．（24-25高三下·江苏镇江）若，，则（    ） A． B．31 C． D．32 【答案】B 【分析】利用赋值法求解即可. 【详解】解：令，得 ，即 ， 令，得 ， 即 ， 所以 . 故选：B. 23．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）已知，若，则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】利用赋值法令可得，令可得，再利用等比数列求和及解方程，即可得到答案. 【详解】令可得， 令可得， 所以， 设，, 由可知， 是增函数，又,故. 故选：B. 24．（24-25高二下·全国·课后作业）设，则（    ） A．810 B．640 C．180 D．90 【答案】A 【分析】将等式两边求导后对赋值计算即得. 【详解】将二项展开式两边分别求导，可得， 令，则． 故选：A. 题型九：利用二项式定理证明整除问题 25．（24-25高二上·黑龙江双鸭山）被8整除的余数为（ ） A．4 B．6 C．7 D．5 【答案】C 【分析】由，利用二项式定理展开即可求得余数. 【详解】由 ， 所以被8除所得的余数是7. 故选：C. 26．（23-24高二下·浙江宁波·期中）若既能被9整除又能被7整除，则正整数a的最小值为（    ） A．6 B．10 C．55 D．63 【答案】C 【分析】分别由和结合二项式定理得和，再一一检验时和的解的情况即可得解. 【详解】因为， 所以 ， 所以若既能被7整除，则，故 又， 所以 ， 所以若既能被9整除，则，故， 对于A，若，则由可知无解，故A错误； 对于B，若，则由可知无解，故B错误； 对于C，若，则由和得，故C正确； 对于D，若，则由可知无解，故D错误. 故选：C. 27．（23-24高二下·山东菏泽·期末）若能被25整除，则正整数的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用二项式定理展开，并对讨论即可得到答案 【详解】因为能被25整除， 所以当时，，此时，， 当时，； 当时， ， 因此只需能够被整除即可，可知最小正整数的值为， 综上所述，正整数的最小值为， 故选：C 题型十：不等式求系数的最值问题 28．（24-25高三上·黑龙江·期末）已知的展开式中第9项是常数项，则展开式中系数的绝对值最大的项是（    ） A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项 【答案】C 【分析】先求出展开式的通项，从而依据展开式中第9项是常数项得到，再依据第项的系数绝对值大于或等于第项且大于或等于第项列不等式组即可求得. 【详解】由题意，二项式展开式的通项公式为： 因为展开式中第9项是常数项，故，解得， 故第项的系数绝对值为. 设展开式中第项的系数绝对值最大，则有 由①可得：，即，解得； 由②可得：，即，解得. 即，又因为，故，即第8项的系数绝对值最大. 故选：C. 29．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知的展开式中唯有第5项的系数最大，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二项式定理展开公式，结合系数最大列出不等式即可求解. 【详解】的展开式的通项为， 由题可知，解得． 故选：A 30．（2023·湖北襄阳·模拟预测）已知的展开式中前三项的二项式系数和为，则展开式中系数最大的项为第（    ） A．项 B．项 C．项 D．项 【答案】D 【分析】根据展开式中前三项的二项式系数和为求出的值，然后利用不等式法可求出展开式中系数最大的项对应的项数. 【详解】的展开式中前三项的二项式系数和为， 整理可得，且，解得， 的展开式通项为， 设展开式中第项的系数最大，则， 即，解得， 因为，故，因此，展开式中系数最大的项为第项. 故选：D. 题型十一：二项式定理的综合 31．（24-25高二上·福建莆田·期末）（1）求 的展开式中常数项； （2）求的展开式中，二项式系数最大的项; （3）已知，求的值. 【答案】（1）240；（2）第3项；（3） 【分析】（1）求出的展开式的通项公式可得答案； . （2）根据二项式系数的性质，当为偶数时只有中间一项的二项式系数最大，利用展开式的通项可得答案；            （3）分别令、可得答案. 【详解】（1）的展开式的通项为， 令，得. 故常数项为； . （2）根据二项式系数的性质，当为偶数时，只有中间一项的二项式系数最大， 故的展开式中，二项式系数最大的项为第3项，；            （3）在中， 令，得; 令，得， 所以. 32．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2)0 (3) 【分析】（1）利用二项式展开式的通项公式(且)求解； （2）分别令，令求解； （3）根据展开式的通项得到偶数项的系数为负数，令求解. 【详解】（1）二项式展开式的通项为：(且)， 所以，所以． （2）令，得， 令，得， 所以． （3）因为展开式的通项为(且)， 所以当为奇数时，项的系数为负数． 所以， 令，得， ． 33．（23-24高二下·吉林长春·期中）已知，若. (1)求实数m的值； (2)求； (3)求的值. 【答案】(1)1 (2)56 (3)2 【分析】（1）利用赋值法即可求解， （2）利用二项式展开式的通项特征即可求解， （3）令，即可利用赋值法求解. 【详解】（1）因为， 令，可得，解得； （2）由（1）可知：，为一次项系数， 由于， 故一次项为，所以， （3）由（1）可知：，且， 令，可得， 则， 所以. 【专题强化】 一、单选题 34．（24-25高三上·山西·期末）的展开式中的常数项为（   ） A．8 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】可变形为，结合二项式的展开式的通项公式求结论. 【详解】因为， 二项式的展开式的通项公式为，， 所以展开式的常数项为. 故选:C. 35．（24-25高二上·福建宁德·期末）若，则（   ） A．10 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】根据已知条件得，结合二项式定理，即可求解． 【详解】由题意， ， 则. 故选：A. 36．（24-25高二上·河南驻马店·期末）展开式中的系数为（   ） A． B． C．35 D．55 【答案】A 【分析】先求得展开式的通项公式，分别令，结合题意，即可求得答案 【详解】因为展开式通项，， 所以展开式为 故选：A. 37．（24-25高三上·辽宁·期末）若，则（    ） A． B．280 C．560 D． 【答案】C 【分析】根据题意可知，结合二项式定理运算求解即可. 【详解】因为， 由二项式定理可得， 令，解得， 可得，所以. 故选：C. 38．（24-25高三上·江苏无锡·期末）在二项式的展开式中二项式系数的和是32，则展开式中的系数为（    ） A．40 B．80 C． D． 【答案】A 【分析】根据二项式系数的和可得，再利用二项展开式的通项计算可得结果. 【详解】由展开式二项式系数和为，可得， 易知展开式第项， 令，即的系数为40， 故选：A. 39．（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）在的二项展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则展开式的项数是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】先由二项式系数最大项求出，再由二项式展开式的性质即得. 【详解】在二项式的展开式中，当为偶数时，中间一项的二项式系数最大； 当为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大. 因为在的二项展开式中，只有第四项的二项式系数最大， 所以为偶数，且中间项为第项，即，解得. 因二项式展开式的项数为，则展开式的项数是项. 故选：A. 40．（23-24高二下·贵州安顺·期末）的展开式中各项系数和为32，则展开式中含的项是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助赋值法令可得，再利用二项式的展开式的通项公式计算即可得解. 【详解】令，则有，解得， 对有， 则有， 故展开式中含的项是. 故选：A. 41．（23-24高二下·广东肇庆·期末）若，则（    ） A．4048 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】通过赋值法令即可求解. 【详解】的展开式的通项公式为， 结合，知均为负值， ， 令，得， 故， 故选：D. 二、多选题 42．（24-25高二上·江西鹰潭·期末）关于二项式的展开式，下列说法正确的是（   ） A．展开式的所有项系数和为64 B．展开式的第4项二项式系数最大 C．展开式中不含项 D．展开式的常数项为240 【答案】BD 【分析】赋值法判断A；应用二项式的展开式的性质判断B、C、D. 【详解】A：令，则，A错； 由，， 当时，二项式系数最大，B对； 当时，，C错； 当时，常数项为，D对. 故选：BD. 43．（24-25高二上·江西·期末）关于，下列结论正确的是（   ） A．展开式中的常数项为1 B．展开式中项的系数为 C．展开式中所有项的系数和为 D．展开式中项的系数为392 【答案】ABC 【分析】利用赋值法计算判断AC；利用二项式定理求出项的系数判断BD. 【详解】对于A，令，展开式中的常数项为1，A正确； 对于B，展开式中项的系数为，B正确： 对于C，令，展开式中所有项的系数和为，C正确： 对于D，展开式中项的系数为，D错误. 故选：ABC 44．（24-25高二上·山东潍坊·期末）在的展开式中，下列结论正确的是（    ） A．二项式系数最大的项是第3项 B．所有的二项式系数和为 C．系数最小的项是 D．所有奇数项的系数和为365 【答案】BCD 【分析】根据二项式系数的性质即可求A，根据二项式系数和公式可判断B，根据展开式的通项特征，即可求解CD. 【详解】的展开式的通项为， 对于A，二项式系数最大为，是第4项，故A错误， 对于B，所有的二项式系数和为，B正确， 对于C，要使系数最小，则需要， 且因此系数最小的项是，C正确， 对于D，所有奇数项的系数和为，故D正确， 故选：BCD 45．（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知，则（   ） A．的值为2 B．的值为80 C．的值为 D． 【答案】ACD 【分析】利用赋值法可判断ACD，利用二项式展开式的通项公式可求得的系数可判断B. 【详解】对于A，令，可得，故A正确； 对于B，含的项为，所以，故B错误， 对于C，令得，， 令，， 所以，， 所以，故C正确； 对于D，令，可得， 两边同乘以，可得，故D正确； 故选：ACD. 46．（24-25高二上·甘肃定西·期末）已知，则（    ） A． B． C． D．展开式中所有项的二项式系数的和为16 【答案】ABD 【分析】借助赋值法令可得A；借助二项式的展开式的通项公式计算可得B；借助赋值法令，结合A中所得可得C；借助二项式系数的和的性质可得D. 【详解】对A：令，可得，故，A正确； 对B：，所以，B正确； 对C：令，可得，则，C错误； 对D：展开式中所有项的二项式系数的和为，D正确． 故选：ABD. 47．（24-25高三上·广东潮州·期末）设，则（   ） A． B． C． D．当时，除以8的余数是7 【答案】AC 【分析】利用赋值法判断AC；利用二项展开式通项求出的值可判断B；利用二项式定理展开即可判断D. 【详解】对于A，令，可得，故A正确； 对于B，通项公式为，令可得， 令可得，故，故B错误； 对于C，令可得，令，可得， ，故C正确； 对于D，当时， 所以除以8的余数是1，故D错误． 故选：AC 三、填空题 48．（24-25高二上·江西上饶·期末）的展开式中常数项为 ． 【答案】80 【分析】由题意的展开式通项为，求其展开式中含项的系数即可. 【详解】求的展开式中常数项即求的展开式中含项的系数， 的展开式通项为， 令，得，， 故答案为：80 49．（24-25高三上·浙江宁波·期末）已知，则 .（用数字作答） 【答案】85 【分析】根据二项式展开式的通项公式来求得正确答案. 【详解】因为， 要求，即求展开式中的系数， 根据二项式展开式的通项公式， 对于，其通项为， 令，则展开式中的系数为， 对于，相当于展开式中的系数乘以， 令，则展开式中的系数为， 所以展开式中的系数为， 对于，相当于展开式中的系数， 令，则展开式中的系数为， 那么就是展开式中的系数， 所以， 把，，代入得：. 故答案为：85 50．（24-25高二上·江西鹰潭·期末）若的展开式中的系数为，则a的值为 ． 【答案】2 【分析】令确定对应的系数，得到，再应用二项式的展开式求的系数，列方程求参数. 【详解】当时，，则的系数，不符合， 所以，则的系数，可得. 故答案为：2 51．（24-25高二上·山东东营·期末）的展开式中常数项为 用数字作答 【答案】14 【分析】利用展开式的通项即可求解. 【详解】解：展开式的通项为， 则的展开式中常数项为 故答案为：14 52．（24-25高二上·安徽亳州·期末）若满足能被5整除的的最小值为，设，，则方程表示的不同直线的条数为 . 【答案】13 【分析】利用二项式定理求出，再分类讨论并结合排列计数问题列式计算得解. 【详解】依题意，， 当时，都不能被5整除，能被5整除， 则n的最小值为4，， 当，时，方程表示直线； 当，时，方程表示直线； 当且时，方程表示直线； 当且时，方程表示的直线条数为 （方程与表示同一条直线，方程与表示同一条直线）， 所以方程表示的不同直线的条数为13. 故答案为：13 【点睛】易错点睛：利用分类讨论求解问题注意不重不漏的原则，本题对应项成比例的两组直线易漏. 四、解答题 53．（24-25高二上·江西赣州·期末）已知的展开式中各项的二项式系数之和为128. (1)求展开式中项的系数； (2)求展开式中项的系数最大的项. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据二项式系数和，得出，再应用通项公式计算即可得出系数； （2）根据通项公式列不等式组计算求出，再结合，则最后计算即可. 【详解】（1）次二项式的展开式中各项的二项式系数和， 由题意，得，即， 由二项式通项公式，得， 即，令，得 展开式中项的系数为. （2）设展开式中第项的系数最大， 则有， 化简得，即为， 解得， ，则， 展开式中项的系数最大的项为. 54．（23-24高二下·山东威海·阶段练习）已知x为正实数，展开式的二项式系数和为256． (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中含的项； (3)若第k项是有理项，求k的取值集合． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）展开式的二项式系数和求出n的值，再利用二项式定理求出通项，二项式系数最大的项为中间项，求解即可； （2）利用二项式定理求出通项，令，求出，代入通项求解即可 （3）当为整数时为有理项，即可求解 【详解】（1）在展开式的二项式系数和为256， 即， ， 展开式中二项式系数最大的项中间项，即第5项， 所以， （2）， 由，所以展开式中含的项是第2项， 所以 （3）， 当为整数时为有理项，即， 则k的取值集合 55．（23-24高二下·江苏扬州·期末）已知，且. (1)求与的值； (2)求的值. 【答案】(1)448，-448 (2)-3280 【分析】（1）根据列方程得到，然后求，将变形为，然后利用二项式的性质求； （2）利用赋值法求系数和即可. 【详解】（1）由题可知， 即，即， 所以（舍）或. 所以； 因为①， 所以. （2）在①式中，令，则②， 令，则③， 由②-③得，， 所以. 56．（23-24高二下·江苏苏州·期末）已知（其中）的展开式中第项的二项式系数与第项的二项式系数之和为． (1)求； (2)记，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据第项的二项式系数与第项的二项式系数之和为得，即可求； （2）先令，则，再令，则即可求解. 【详解】（1）由题意，二项式的通项公式为， 根据第项的二项式系数与第项的二项式系数之和为得 ，即， 解得. （2）由（1）可知， 令，则， 令，则， 则. 57．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知． (1)求的最大值； (2)求被13除的余数． 【答案】(1)1792 (2)9 【分析】（1）由题意可得，再利用二项式定理展开式得，再由，从而可求解. （2）由再结合题意进行展开从而可求解. 【详解】（1）因为， 所以，． 所以，，． 令，则，所以的最大值为1792． （2）因为． 所以被除的余数，即为被除的余数为． 58．（23-24高二下·江苏淮安·期中）某同学在研究二项式定理的时候发现：其中为的系数，它具有好多性质，如：①;②;③；请借助于该同学的研究方法或者研究成果解决下列问题: (1)计算：；(请用数字作答) (2)若，且，证明：； (3)设数列，，，…，是公差不为0的等差数列，证明：对任意的，函数是关于x的一次函数. 【答案】(1)448； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用，结合组合数公式计算即得. （2）根据给定条件，利用变形等式左边，再结合推理即得. （3）设出等差数列的公差，利用首项、公差表示并代入函数式，再分组求和并逆用二项式定理推理即得. 【详解】（1）原式 . （2）显然，而， 因此， 则. 所以原命题成立. （3）设等差数列，，，…，的公差为d，， 则 . 所以对任意的，是关于x的一次函数. 【点睛】思路点睛：本题第（3）利用公差表示，借助分组求和的思想并逆用二项式定理即可推理得证. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$