专题强化01：排列组合方法【12大方法】-2024-2025学年高二数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第三册）

专题强化01：排列组合方法 有关计数问题在考试中经常直接和间接的考查，其命题常以实际问题为背景，考查排列组合的综合应用，如均分或不均分问题，特殊元素或位置问题、相邻或不相邻问题等．求解的策略是先组合后排列，同时按元素的性质分类或按事情的发生过程分步，必要时可构造模型，或画树形图求解． 【方法归纳】 · 方法一、捆绑法 · 方法二、插空法 · 方法三、特殊元素法 · 方法四、间接法 · 方法五、隔板法 · 方法六、倍缩法解决部分定序问题 · 方法七、不平均分组问题 · 方法八、平均分组问题 · 方法九、部分平均分组问题 · 方法十、特殊位置法 · 方法十一、涂色问题 · 方法十二：排数问题 【题型探究】 题型一、捆绑法 1．（24-25高二上·吉林长春·期末）两男两女站成一排照相，女生相邻的所有排列种数为（    ） A．3 B．6 C．12 D．24 2．（24-25高二上·江西南昌·期末）现有6位同学站成一排照相，其中甲、乙两位同学相邻的排法种数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·广西梧州·期末）北京时间2024年6月2日，嫦娥六号成功着陆月球背面，开启人类探测器首次在月球背面实施的样品采集任务.某天文兴趣小组在此基础上开展了月球知识宣传活动，活动结束后该天文兴趣小组的4名男生和4名女生站成一排拍照留念，则4名女生相邻的站法种数为（    ） A．2880 B．1440 C．720 D．576 题型二、插空法 4．（24-25高三下·浙江）将3个1和2个0随机排成一个五位数，则2个0不相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·北京昌平·期末）有3位男生和2位女生站成一排拍照，要求2位女生不能相邻，不同的站法共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 6．（24-25高二上·江西南昌·期末）小花准备将一颗黄色圣女果、一颗红色圣女果、一颗山楂、一颗草莓、一颗葡萄串起来制作一串冰糖葫芦，若要求两颗圣女果不相邻，则不同的串法有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 题型三、特殊元素法 7．（24-25高二上·福建龙岩·期末）要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育和艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法共有（   ） A．75种 B．144种 C．288种 D．360种 8．（24-25高二上·江西吉安·期末）春节档将有多部影片上映，小明一行五个人准备在大年初一各自从四部影片中选一部去观看．已知每部影片都有人选，且小明没有选影片，则所有不同的选法种数为（   ） A．72 B．96 C．180 D．288 9．（24-25高二上·甘肃兰州·期末）五一小长假期间，旅游公司决定从5辆旅游大巴中选出4辆分别开往紫蒙湖､美林谷､黄岗梁､乌兰布统四个学区承担载客任务，要求每个景区都要有一辆大巴前往，每辆大巴只开往一个景区，且这5辆大巴中不去乌兰布统，则不同的选择方案共有（    ） A．36 B．96 C．72 D．68 题型四、间接法 10．（24-25高二上·山东日照·期末）如图，湖面上有4个相邻的小岛，现要建3座桥梁，将这4个小岛连通起来，则建设方案有（   ） A．12种 B．16种 C．20种 D．24种 11．（2025·贵州安顺·模拟预测）甲，乙两名大学生计划今年寒假分别从黄果树风景名胜区、龙宫景区、天龙屯堡景区、安顺古城四个不同的景区中随机选两个景区前往旅游打卡，则这两人恰好有一个景区相同的选法共有（    ） A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 12．（24-25高二上·广东深圳·期末）某学校高二年级开设了乒乓球、羽毛球和篮球三门课，甲、乙两位同学每人从中选择一门，且允许多位同学选择同一门课．若至少有一位同学选择了乒乓球，则这两位同学不同的选课方法共有（   ）种． A．2 B．4 C．5 D．9 题型五、隔板法 13．（24-25高三上·陕西西安·期末）《九章算术》是我国古代数学名著之一，其中记载了关于粟米分配的问题．现将14斗粟米分给4个人，每人分到的粟米斗数均为整数，每人至少分到1斗粟米，则不同的分配方法有（   ） A．715种 B．572种 C．312种 D．286种 14．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）把8个相同的篮球分发给甲、乙、丙、丁4人，不同的分发种数为（    ） A．70 B．99 C．110 D．165 15．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）经哈三中数学组集体备课研究，预计每周（五天）安排8堂数学课，每天至少1堂，不同的安排方法有（    ） A．35种 B．126种 C．495种 D．1001种 题型六、倍缩法解决部分定序问题 16．（24-25高二上·江西上饶·期末）是自然对数函数的底数，被称为自然常数或者欧拉数．最初由雅各布·伯努利在研究复利时发现，后由莱昂哈德·欧拉证明其为无理数，大约为．小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行排列得到一个六位数密码，那么小明可以设置（   ）个不同密码． A．240 B．180 C．120 D．72 17．（24-25高二下·全国）春节是团圆的日子，为了烘托这一喜庆的气氛，某村组织了“村晚”．通过海选，现有6个自编节目需要安排演出，为了更好地突出演出效果，对这6个节目的演出顺序有如下要求：“杂技节目”排在后三位，“相声”与“小品”必须相继演出，则不同的演出方案有（    ） A．240种 B．188种 C．144种 D．120种 18．（23-24高二下·山东菏泽·期末）已知袋中有标记为1，2，3，4的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当4种号码的卡片全部取出时即停止，则恰好取6次卡片时停止的概率为（    ） A． B． C． D． 题型七、不平均分组问题 19．（24-25高二上·江西赣州·期末）2024年是红军长征出发九十周年，习近平总书记考察江西于都五周年，为弘扬红色文化、促进健康生活方式，江西省体育局、赣州市人民政府共同举办了一场2024于都红色半程马拉松比赛．某单位6名志愿者准备分成三组前往比赛途径的中央红军长征出发地纪念碑、金山大道、于都体育中心这三个站点进行志愿者活动，要求每组至少有1名且最多有3名志愿者，则不同安排的方法数为（   ） A．540 B．450 C．360 D．180 20．（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）元旦假期，某旅游公司安排6名导游分别前往沈阳故宫、本溪水洞、鞍山千山、盘锦红海滩四个景区承担义务讲解任务，要求每个景区都要有导游前往，且每名导游都只安排去一个景区，则不同的安排方法种数为（    ） A．1280 B．300 C．1880 D．1560 21．（24-25高三上·湖南永州）在2024年巴黎奥运会中，甲、乙、丙、丁、戊5人参与接待、引导和协助三类志愿者服务工作，每类工作必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一类工作，若甲只能参加接待工作，那么不同的志愿者分配方案的种数是（    ） A．38 B．42 C．50 D．56 题型八、平均分组问题 22．（24-25高二上·江西抚州·期末）在“文化抚州，梦想之舟”半程马拉松比赛中，某路段设三个服务站，某高校5名同学到甲、乙、丙三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1人，则不同的安排方法共有（    ） A．25种 B．150种 C．300种 D．50种 23．（24-25高三下·山东聊城·开学考试）寒假期间某校6名同学打算去安徽旅游，体验皖北与皖南当地的风俗与文化，现有黄山、宏村、八里河三个景区可供选择，若每个景区中至少有1名同学前往打卡，则不同方案的种数为（   ） A．180 B．360 C．450 D．540 24．（24-25高二上·山东德州·阶段练习）2023年武汉马拉松于4月16日举行，组委会决定派小王、小李等8名志愿者到甲乙两个路口做引导员，每位志愿者去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若小王和小李不能去同一路口，则不同的安排方案种数为（   ） A．82 B．100 C．124 D．164 题型九、部分平均分组问题 25．（24-25高二上·辽宁丹东·期末）将甲乙丙丁戊5名志愿者全部分配到A，B，C三个地区参加公益活动，要求每个地区都要有志愿者且最多不超过2人，则不同的分配方案有（   ） A．90种 B．180种 C．60种 D．120种 26．（24-25高二上·辽宁抚顺·期末）将5名党员志愿者分到3个不同的社区进行知识宣讲，要求每个社区都要有党员志愿者前往，且每个党员志愿者都只安排去1个社区，则不同的安排方法种数有（   ） A．120 B．300 C．180 D．150 27．（24-25高二上·广西·期末）甲，乙，丙3名学生约定：利用假期观看A，B，C，D，E这5部新上映的电影，待返校后互相分享精彩内容.返校后，已知5部电影都有人观看，且每部电影只有一个人观看，则所有观看电影的情况种数为（    ） A．150 B．243 C．183 D．393 题型十、特殊位置法 28．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）现将包含球的5个不同的小球放入包含甲盒的四个不同的盒子里，每盒至少一球.其中小球不放入甲盒中，则不同安排方案的种数是（    ） A．180 B．168 C．120 D．90 29．（2025高三·全国·专题练习）中国体育代表团在2024年巴黎奥运会上取得了40枚金牌的辉煌成绩.某视频自媒体平台选出关注度比较高的等10名金牌获得者，再从中选出6名，准备连续6天分别向观众介绍，且每天只介绍1名，则必须介绍且在前3天介绍，至少选2名进行介绍的所有方法种数为（    ） A．720 B．1680 C．4320 D．5040 30．（2024高三·全国·专题练习）2024年春节放假安排：农历除夕至正月初六放假，共7天．某单位安排7位员工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相邻的两天值班，则不同的安排方案共有（   ） A．1440种 B．1360种 C．1282种 D．1128种 题型十一、涂色问题 31．（24-25高二上·辽宁·期末）如图，给编号为的区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，中心对称的两个区域（如区域1与区域4）所涂颜色相同．若有5种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（    ） A．60种 B．80种 C．100种 D．125种 32．（24-25高三上·广西·阶段练习）如图，对，，，，五块区域涂色，现有种不同颜色的颜料可供选择，要求每块区域涂一种颜色，且相邻区域（有公共边）所涂颜料的颜色不相同，则不同的涂色方法共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 33．（23-24高二下·重庆·期末）国际数学家大会（ICM）是由国际数学联盟（IMU）主办的国际数学界规模最大也是最重要的会议，每四年举行一次，被誉为数学界的奥林匹克盛会.2002年第24届国际数学家大会在北京召开，其会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由一个正方形和四个全等的直角三角形构成（如图）.现给图中5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色.若有5种不同的颜色可供使用，则不同的涂色方案有（    ） A．120种 B．360种 C．420种 D．540种 题型十二：排数问题 34．（2024高三·全国·专题练习）从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有（   ） A．252个 B．300个 C．324个 D．228个 35．（24-25高二上·福建龙岩）用，，，，，这六个数字可以组成（   ）个无重复数字，符合“小于4310的四位偶数” A． B． C． D． 36．（24-25高三上·山西大同·开学考试）某商场举办购物抽奖活动，其中将抽到的各位数字之和为8的四位数称为“幸运数”（如2024是“幸运数”），并获得一定的奖品，则首位数字为2的“幸运数”共有（    ） A．32个 B．28个 C．27个 D．24个 【专题训练】 一、单选题 37．（24-25高二上·江苏南京·期末）四个同学排成一排，甲不站在排头，乙不站在排尾的排法总数是（    ） A．12种 B．14种 C．16种 D．18种 38．（2025·山东日照·一模）高考入场安检时，某学校在校门口并排设立三个检测点，进入考场的学生只需要在任意一个检测点安检即可进入．现有三男三女六位学生需要安检，则每个检测点通过的男生和女生人数相等的可能情况有（    ） A．66种 B．93种 C．195种 D．273种 39．（24-25高三下·湖南·开学考试）提供四种不同颜色的颜料给图中六个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法共有（    ） A．288种 B．296种 C．362种 D．384种 40．（2025·辽宁·模拟预测）从高一新生中选出3名男生、3名女生组成护旗方队，方队共2排3列，第1排是，，，3名女生，第2排是甲、乙、丙3名男生，且女生与男生甲不同列，则不同的排法种数为（   ） A．12 B．18 C．24 D．30 41．（2025·安徽·模拟预测）现有6名同学到3家不同的养老院参加“关爱孤寡老人”爱心志愿活动，若每家养老院安排2名同学，且每名同学只前往一家养老院，则共有安排方法（   ） A．30种 B．60种 C．90种 D．120种 42．（24-25高二上·辽宁大连·期末）有6本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（   ） A．1440种 B．1560种 C．1920种 D．5760种 43．（24-25高三上·四川巴中·期末）为了加强家校联系，某班举行一次座谈会，会上邀请了6位学生及他们的父母总共18人参加，并从中选出6位代表发言，如果这6人由其中一个家庭的3人与其他三个家庭中的各1人组成，那么不同的选人方案有（    ） A．720种 B．1240种 C．1440种 D．1620种 44．（24-25高二上·重庆北碚·期末）某班准备从甲、乙、丙、丁4位同学中挑选3人，分别担任2025年元旦晚会的主持人、记分员和秩序员，每个职务最多一人担任且每个职务必须有一人担任，已知甲同学不能担任主持人，则不同的安排方法有（   ）种. A．18 B．24 C．27 D．64 45．（2025·甘肃白银·模拟预测）某高校有8名研究生要去小兴安岭采集植物样本，其中男生6人，女生2人，将这8人分成两组，若要求每组至少2人，且两名女生不单独成组，则不同的分组方案共有（    ） A．240种 B．158种 C．126种 D．118种 46．（24-25高三上·内蒙古包头·期末）某中学迎来了办学110周年庆典，为此某班设计了富含寓意的11个文创作品，已知甲同学喜欢作品，乙同学喜欢作品，丙同学除了不喜欢作品，其他作品都喜欢，让甲乙丙三位同学依次从中选取一个作为礼物收藏，若这三位同学都选到了自己喜欢的文创作品，则不同的选法有（    ） A．50种 B．48种 C．40种 D．30种 二、多选题 47．（24-25高二上·江苏无锡·期末）某学校高二年级数学课外活动小组中有男生5人，女生3人，则下列说法正确的是（   ） A．从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，共有64种不同的选法 B．从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，共有15种不同的选法 C．将这8名学生排成一排，3位女生排在一起的方法共有4320种 D．8名学生排成一排，已知5名男生已排好，现将3名女生插入队伍中，则共有336种排法. 48．（24-25高二上·山东东营·期末）将2个男生和5个女生排成一排，下列表述正确的有（    ） A．男生不在头尾的不同排法有2400种 B．男生不在头尾且不相邻的不同排法有600种 C．假设这7个学生身高均不相等，最高的人站在中间，从中间到左边和从中间到右边身高都递减，则不同的排法有20种 D．2个男生都不与女生甲相邻的不同排法有24000种 49．（24-25高二上·安徽亳州·期末）某手机专卖店新进，，，，，，这7款充电宝，准备将它们在货柜里摆成一排售卖，则下列说法正确的是（    ） A．若，，必须摆在前三个位置，则不同的摆法有144种 B．若，，彼此不相邻，，，，也彼此不相邻，则不同的摆法有72种 C．若，，彼此不相邻，则不同的摆法有1440种 D．若不能摆在后两个位置，则不同的摆法有3600种 50．（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知3名男生和2名女生参加两项不同的公益活动，下列说法正确的是（    ） A．活动前5人站成一排，甲在最左边，乙不在最右边，有18种不同的方法 B．5人依次进行自我介绍，甲和乙不相邻做介绍，有72种不同的方法 C．将5人全部分配到两项活动中，每项活动既有男生又有女生，有24种不同的方法 D．活动后从5人中选出3人介绍活动体会，至少两名男生，有9种不同的方法 51．（24-25高二上·湖南长沙·期末）中国的五岳是指在中国境内的五座名山，坐落于东西南北中五个方位，分别是东岳泰山，西岳华山，南岳衡山，北岳恒山，中岳嵩山.小明与其父母共3人计划在假期出游，每人选一个地方，则（    ） A．3人选择的地点均不同的方法总数为60 B．恰有2人选一个地方的方法总数为15 C．恰有1人选泰山的概率是 D．若小明已选择去泰山，其父母至少有一人选择去泰山的概率为 52．（24-25高二上·甘肃临夏·期末）3名学生，2名教师站成一排参加文艺汇演，则下列说法正确的是（    ） A．任意站成一排，有120种排法 B．学生不相邻，有24种排法 C．教师相邻，有48种排法 D．教师不站在两边，有72种排法 53．（24-25高二上·辽宁·期末）现有8名师生站成一排照相，其中老师2人，男学生4人，女学生2人，则下列说法正确的是（   ） A．4个男学生排在一起，有1440种不同的排法 B．老师站在最中间，有1440种不同的排法 C．4名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端，有1728种不同的排法 D．2名老师之间要有男女学生各1人，有3840种不同的排法 三、填空题 54．（2025·全国·模拟预测）现有3辆小汽车要停在一排的5个停车位中，则2个空车位不相邻的停法有 种. 55．（24-25高三下·天津·开学考试）从4种不同颜色中选择若干种颜色，给正四面体的每条棱染色，要求每条棱只染一种颜色，且共点的棱染不同的颜色，则不同的染色方法共有 种． 56．（2025·江西新余·模拟预测）如图将一个矩形划分为如下的A、B、C、D、E、F六个区域，现用四种不同的颜色对这六个区域进行染色，要求边界有重合部分的区域（顶点与边重合或顶点与顶点重合不算）染上不同的颜色，并且每一种颜色都要使用到，则一共有 种不同的染色方案. 57．（24-25高三下·河北）把除颜色外完全相同的5个红球和4个白球排成一行，则恰有3个红球相邻在一起的不同排法种数为 用数字作答 58．（24-25高二上·吉林长春·期末）某名校为落实教育帮扶“深耕计划”，选派了4名教师到A，B，C三个县城学校进行教育帮扶指导.每个学校至少派1人，不同的安排方式共有 种用数字解答 59．（24-25高二上·江西·期末）现将8个体积相同但质量均不同的小球放入恰好能容纳8个小球且底面圆直径与小球直径相同的圆柱形卡槽内，这8个小球分别为2个红球、4个白球、2个黑球，若4个白球互不相邻，且其中一个白球不能放入卡槽的两端，则共有 种不同的放法；若2个红球之间恰好有白球和黑球各1个，则共有 种不同的放法． 60．（2025·江西景德镇·二模）小崔和小汪两位好朋友想体验制作一把属于自己的漂漆扇，她们每人欲从8种不同颜色（有一种颜色是黑色）的大漆中随机选4种不同的颜色，两人约定不能同时选黑色，且她们两人之间有且只有两种颜色相同，则她们不同的选漆方法共有 种．（用数字作答） 61．（2025高三·北京·专题练习）现安排甲､乙､丙､丁､戊这5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，且每人只安排一个工作，则下列说法正确的序号是 . ①不同安排方案的种数为 ②若每项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为 ③若司机工作不安排，其余三项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为 ④若每项工作至少有1人参加，甲不能从事司机工作，则不同安排方案的种数为 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化01：排列组合方法 有关计数问题在考试中经常直接和间接的考查，其命题常以实际问题为背景，考查排列组合的综合应用，如均分或不均分问题，特殊元素或位置问题、相邻或不相邻问题等．求解的策略是先组合后排列，同时按元素的性质分类或按事情的发生过程分步，必要时可构造模型，或画树形图求解． 【方法归纳】 · 方法一、捆绑法 · 方法二、插空法 · 方法三、特殊元素法 · 方法四、间接法 · 方法五、隔板法 · 方法六、倍缩法解决部分定序问题 · 方法七、不平均分组问题 · 方法八、平均分组问题 · 方法九、部分平均分组问题 · 方法十、特殊位置法 · 方法十一、涂色问题 · 方法十二：排数问题 【题型探究】 题型一、捆绑法 1．（24-25高二上·吉林长春·期末）两男两女站成一排照相，女生相邻的所有排列种数为（    ） A．3 B．6 C．12 D．24 【答案】C 【分析】由捆绑法即可求解； 【详解】解：两男两女站成一排照相，女生相邻， 则可将两个女生捆绑，则有种方法， 再与两个男生进行全排列，有种方法， 则女生相邻的所有排列种数为种． 故选：C 2．（24-25高二上·江西南昌·期末）现有6位同学站成一排照相，其中甲、乙两位同学相邻的排法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由捆绑法及全排列即可求解； 【详解】将甲、乙两位同学捆绑，再和另外4位同学全排列，即. 故选：B 3．（24-25高二上·广西梧州·期末）北京时间2024年6月2日，嫦娥六号成功着陆月球背面，开启人类探测器首次在月球背面实施的样品采集任务.某天文兴趣小组在此基础上开展了月球知识宣传活动，活动结束后该天文兴趣小组的4名男生和4名女生站成一排拍照留念，则4名女生相邻的站法种数为（    ） A．2880 B．1440 C．720 D．576 【答案】A 【分析】相邻问题采取“捆绑法”，先将4名女生排在一起，再将4名女生作为一个整体和4名男生排列即可求解. 【详解】先将4名女生排在一起，有种方法，再将4名女生作为一个整体和4名男生排列，有种方法，故4名女生相邻的站法种数为. 故选：A. 【点睛】本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为： （1）相邻问题采取“捆绑法”； （2）不相邻问题采取“插空法”； （3）有限制元素采取“优先法”； （4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数. 题型二、插空法 4．（24-25高三下·浙江）将3个1和2个0随机排成一个五位数，则2个0不相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用插空法，万位必须是1，余下的2个1产生3个空，然后分两种情况：2个0相邻和2个0不相邻求出所有排法，再利用古典概型的概率公式求解即可. 【详解】将3个1和2个0随机排成一行，可利用插空法. 首先万位必须是1，则余下的2个1产生3个空，若2个0相邻，则有3种排法； 若2个0不相邻，则有种排法. 故2个0不相邻的概率为， 故选：C. 5．（24-25高二上·北京昌平·期末）有3位男生和2位女生站成一排拍照，要求2位女生不能相邻，不同的站法共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】利用插空法可得. 【详解】由题意，先把3位男生排成一排，然后将2位女生插入3个男生中间或两边，不同的站法共种， 故选：C 6．（24-25高二上·江西南昌·期末）小花准备将一颗黄色圣女果、一颗红色圣女果、一颗山楂、一颗草莓、一颗葡萄串起来制作一串冰糖葫芦，若要求两颗圣女果不相邻，则不同的串法有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】利用插空法可求得结果. 【详解】先将一颗山楂、一颗草莓、一颗葡萄进行排序， 然后将两颗圣女果插入一颗山楂、一颗草莓、一颗葡萄所形成的空位中， 从个空位中抽取个空位进行排序， 由插空法可知，不同的串法有种. 故选：C. 题型三、特殊元素法 7．（24-25高二上·福建龙岩·期末）要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育和艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法共有（   ） A．75种 B．144种 C．288种 D．360种 【答案】C 【分析】根据分步乘法计数原理，先排数学，再排英语，最后排剩余课程，结合组合数运算求解. 【详解】先排数学，有种不同的排法； 再排英语，有种不同的排法； 最后排剩余课程，有种不同的排法； 所以不同的排法共有种. 故选：C. 8．（24-25高二上·江西吉安·期末）春节档将有多部影片上映，小明一行五个人准备在大年初一各自从四部影片中选一部去观看．已知每部影片都有人选，且小明没有选影片，则所有不同的选法种数为（   ） A．72 B．96 C．180 D．288 【答案】C 【分析】先将五人进行分组，再根据题意进行影片选择，由分步乘法计数原理可得结果. 【详解】根据题意先将五人分成四组，共有种， 再将四组人员分别分配去观看四部电影，且有小明的一组人员没有选影片， 共有种， 因此所有不同的选法种数为种. 故选：C 9．（24-25高二上·甘肃兰州·期末）五一小长假期间，旅游公司决定从5辆旅游大巴中选出4辆分别开往紫蒙湖､美林谷､黄岗梁､乌兰布统四个学区承担载客任务，要求每个景区都要有一辆大巴前往，每辆大巴只开往一个景区，且这5辆大巴中不去乌兰布统，则不同的选择方案共有（    ） A．36 B．96 C．72 D．68 【答案】C 【分析】分两类为都被选出、被选出一辆，再应用分步计数及排列组合数求两类对应方案数，即可得答案. 【详解】若都被选出，把安排到紫蒙湖、美林谷、黄岗梁中的2个有种， 从中选出2辆有种，安排到剩下的2个景区有种， 所以共有种； 若被选出一辆有种，安排到紫蒙湖、美林谷、黄岗梁中的1个有种， 再把安排到剩下的3个景区有种， 所以共有种； 综上，共有72种. 故选：C 题型四、间接法 10．（24-25高二上·山东日照·期末）如图，湖面上有4个相邻的小岛，现要建3座桥梁，将这4个小岛连通起来，则建设方案有（   ） A．12种 B．16种 C．20种 D．24种 【答案】B 【分析】确定可以建设桥梁的位置有几个地方，进而求出建设3个桥梁的所有可能选法，去掉不符合题意的选法，即可得答案. 【详解】由题意知要将4个相邻的小岛A，B，C，D连接起来， 共有个位置可以建设桥梁， 从这6个位置中选3个建设桥梁，共有种选法， 但选出的3个位置可能是仅连接或或或三个小岛，不合题意， 故要建3座桥梁，将这4个小岛连接起来，共有（种）不同的方案. 故选：B. 11．（2025·贵州安顺·模拟预测）甲，乙两名大学生计划今年寒假分别从黄果树风景名胜区、龙宫景区、天龙屯堡景区、安顺古城四个不同的景区中随机选两个景区前往旅游打卡，则这两人恰好有一个景区相同的选法共有（    ） A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 【答案】C 【分析】利用组合数和计数原理，用间接法求解即得. 【详解】由题意得甲选择两个景区的选法有种， 乙选择两个景区的选法有种，故总选法有种， 两人选择景区完全相同的选法有种， 两人选择景区完全不相同的选法有种， 故两人恰好有一个景区相同的选法共有种，故C正确. 故选：C. 12．（24-25高二上·广东深圳·期末）某学校高二年级开设了乒乓球、羽毛球和篮球三门课，甲、乙两位同学每人从中选择一门，且允许多位同学选择同一门课．若至少有一位同学选择了乒乓球，则这两位同学不同的选课方法共有（   ）种． A．2 B．4 C．5 D．9 【答案】C 【分析】先求出所有可能的选课方法总数，再求出没有人选择乒乓球的选课方法数，作差即可求解. 【详解】甲乙两位同学每人从乒乓球、羽毛球和篮球三门课中选择一门，共有种选课方法， 甲乙两位同学都未选乒乓球，共有种选课方法， 则甲乙两位同学至少有一位同学选择了乒乓球，不同的选课方法共有种. 故选：C. 题型五、隔板法 13．（24-25高三上·陕西西安·期末）《九章算术》是我国古代数学名著之一，其中记载了关于粟米分配的问题．现将14斗粟米分给4个人，每人分到的粟米斗数均为整数，每人至少分到1斗粟米，则不同的分配方法有（   ） A．715种 B．572种 C．312种 D．286种 【答案】D 【分析】本题以《九章算术》中的粟米为背景，考查排列组合的应用，考查化归与转化的数学思想和应用意识． 【详解】本题可转化为将14个大小相同，质地均匀的小球分给甲，乙，丙，丁4个人，每人至少分1个，利用隔板法在中间13个空隙（两端除外）当中插入3个隔板，可得分配的方案数为，所以不同的分配方法有286种． 故选：D. 14．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）把8个相同的篮球分发给甲、乙、丙、丁4人，不同的分发种数为（    ） A．70 B．99 C．110 D．165 【答案】D 【分析】相同元素的分配问题用“隔板法”即可. 【详解】当8个相同的蓝球只分给其中1人时，有4种分法； 当8个相同的蓝球分给其中的2人时，先从4人里面选出2人，再将8个相同的蓝球排成一排，形成的7个空里面选出1个空插入1个“隔板”即可，此时有种分法； 当8个相同的蓝球分给其中的3人时，先从4人里面选出3人，再将8个相同的蓝球排成一排，形成的7个空里面选出2个空插入2个“隔板”即可，此时有种分法； 当8个相同的蓝球分给其中的4人时，每人至少一个，此时将8个相同的蓝球排成一排，形成的7个空里面选出3个空插入3个“隔板”即可，此时有种分法； 因此把8个相同的蓝球分发给甲、乙、丙、丁4人时，不同的分发种数有： 故选：D. 15．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）经哈三中数学组集体备课研究，预计每周（五天）安排8堂数学课，每天至少1堂，不同的安排方法有（    ） A．35种 B．126种 C．495种 D．1001种 【答案】A 【分析】用隔板法将8堂数学课分成5份即可得解. 【详解】将8堂数学课当做8个排成一列的相同的球，这八个球之间共有7个空隙， 从中选出4个空隙，用4块板放入这些空隙之间，每块板放入的空隙不同， 正好将这八个球分隔成5份，分别对应每周五天的数学课课堂量安排， 所以题目所求的不同安排方法共有种. 故选：A. 题型六、倍缩法解决部分定序问题 16．（24-25高二上·江西上饶·期末）是自然对数函数的底数，被称为自然常数或者欧拉数．最初由雅各布·伯努利在研究复利时发现，后由莱昂哈德·欧拉证明其为无理数，大约为．小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行排列得到一个六位数密码，那么小明可以设置（   ）个不同密码． A．240 B．180 C．120 D．72 【答案】B 【分析】根据倍缩法可得. 【详解】6位数字2，7，1，8，2，8中有2个2，2个8， 故所组成的六位数密码有种情况， 故选：C 17．（24-25高二下·全国·课后作业）春节是团圆的日子，为了烘托这一喜庆的气氛，某村组织了“村晚”．通过海选，现有6个自编节目需要安排演出，为了更好地突出演出效果，对这6个节目的演出顺序有如下要求：“杂技节目”排在后三位，“相声”与“小品”必须相继演出，则不同的演出方案有（    ） A．240种 B．188种 C．144种 D．120种 【答案】D 【分析】先将“相声”与“小品”排在一起再与其它4个节目排序，最后考虑杂技节目在前三位或在后三位情况一样,即可得出答案. 【详解】先将“相声”与“小品”排在一起，有种排法，再与其它4个节目排序，有种排法， 最后考虑杂技节目在前三位或在后三位情况一样，所以有种． 故选：D. 18．（23-24高二下·山东菏泽·期末）已知袋中有标记为1，2，3，4的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当4种号码的卡片全部取出时即停止，则恰好取6次卡片时停止的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】恰好取6次卡片时停止，说明前5次出现了3种号码且第6次出现第4种号码．三种号码出现的次数分别为3，1，1或者2，2，1．可以分步完成，先确定前三种种颜色的出现顺序有种，再分别确定这三种颜色出现的位置（注意平均分组问题），最后让第四种颜色出现有一种方法，相乘可得． 【详解】恰好取6次卡片时停止，说明前5次出现了3种号码且第6次出现第4种号码．三种号码出现的次数分别为3，1，1或者2，2，1． 三种号码分别出现3，1，1且6次时停止的取法数为：种， 三种号码分别出现2，2，1且6次时停止的取法数为：种， 恰好取6次卡片时停止的概率为：． 故选：． 题型七、不平均分组问题 19．（24-25高二上·江西赣州·期末）2024年是红军长征出发九十周年，习近平总书记考察江西于都五周年，为弘扬红色文化、促进健康生活方式，江西省体育局、赣州市人民政府共同举办了一场2024于都红色半程马拉松比赛．某单位6名志愿者准备分成三组前往比赛途径的中央红军长征出发地纪念碑、金山大道、于都体育中心这三个站点进行志愿者活动，要求每组至少有1名且最多有3名志愿者，则不同安排的方法数为（   ） A．540 B．450 C．360 D．180 【答案】B 【分析】根据给定条件，将6名志愿者按和分成3组，再安排三个站点即可. 【详解】将6名志愿者按和分成3组，不同分组方法种数为， 再将每一种分法的3组安排到三个站点有种， 则不同安排的方法数为（种）. 故选：B. 20．（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）元旦假期，某旅游公司安排6名导游分别前往沈阳故宫、本溪水洞、鞍山千山、盘锦红海滩四个景区承担义务讲解任务，要求每个景区都要有导游前往，且每名导游都只安排去一个景区，则不同的安排方法种数为（    ） A．1280 B．300 C．1880 D．1560 【答案】D 【分析】利用先分组再分配的思想结合排列组合的知识求解. 【详解】将6名导游分成四组，各组人数分别为1，1，1，3或1，1，2，2． 当各组人数为1，1，1，3时，共有种安排方法； 当各组人数为1，1，2，2时，共有种安排方法． 故不同安排方法有种． 故选：D. 21．（24-25高三上·湖南永州·开学考试）在2024年巴黎奥运会中，甲、乙、丙、丁、戊5人参与接待、引导和协助三类志愿者服务工作，每类工作必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一类工作，若甲只能参加接待工作，那么不同的志愿者分配方案的种数是（    ） A．38 B．42 C．50 D．56 【答案】C 【分析】根据参加接待工作的人数分类讨论，先分组再分配，结合排列组合即可求解. 【详解】（1）如果参加接待工作只有一人，则只能为甲， 再把其余4人分组有两类情况：和. 把4人按分组，有种分组方法，按分组，有种分组方法， 因此不同分组方法数为， 再把两组人安排到其余两类志愿者服务工作，有种方法， 所以不同分配方法种数是. （2）如果参加接待工作有2人，则除了甲之外，还需要再安排一人有种情况， 再把其余3人分组成，有种分组方法， 再把两组人安排到其余两类志愿者服务工作，有种方法， 所以不同分配方法种数是. （3）如果参加接待工作有3人，则除了甲之外，还需要再安排两人有种情况， 再把其余2人安排到其余两类志愿者服务工作，有种方法， 所以不同分配方法种数是. 综上，不同的志愿者分配方案的种数是. 故选：C. 题型八、平均分组问题 22．（24-25高二上·江西抚州·期末）在“文化抚州，梦想之舟”半程马拉松比赛中，某路段设三个服务站，某高校5名同学到甲、乙、丙三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1人，则不同的安排方法共有（    ） A．25种 B．150种 C．300种 D．50种 【答案】B 【分析】利用先分组后分配来解题，分组中要注意均分组消序思想. 【详解】五名同学分三个小组， 若按2人，2人，1人来分有种， 若按3人，1人，1人来分有种， 再把这三个小组排列到三个服务站去共有种， 所以每个服务点至少有1人的不同安排方法有：种， 故选：B. 23．（24-25高三下·山东聊城·开学考试）寒假期间某校6名同学打算去安徽旅游，体验皖北与皖南当地的风俗与文化，现有黄山、宏村、八里河三个景区可供选择，若每个景区中至少有1名同学前往打卡，则不同方案的种数为（   ） A．180 B．360 C．450 D．540 【答案】D 【分析】分类考虑前往每个景区的人数，求出每种情况的方案数，即可得答案. 【详解】由题意，当每个景区都有2名同学前往时，此时方案有种； 当按分别有1，2，3名同学前往景区时，此时方案有种； 当按分别有1，1，4名同学前往景区时，此时方案有种； 故不同方案的种数为（种）， 故选：D 24．（24-25高二上·山东德州·阶段练习）2023年武汉马拉松于4月16日举行，组委会决定派小王、小李等8名志愿者到甲乙两个路口做引导员，每位志愿者去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若小王和小李不能去同一路口，则不同的安排方案种数为（   ） A．82 B．100 C．124 D．164 【答案】C 【分析】根据题意，先分配特殊的两个人，再将剩余6个人分到两个路口，按照分组分配相关知识进行计算即可． 【详解】若小王在甲号路口，小李在乙号路口，则剩余6个人分到两个路口， 两个路口为人分布，共有种方案， 两个路口为人分布，共有种方案， 两个路口为人分布，共有种方案， 此时共有种方案； 同理若小王在甲号路口，小李在乙号路口，也共有种方案． 所以一共有种不同的安排方案种数． 故选：C． 题型九、部分平均分组问题 25．（24-25高二上·辽宁丹东·期末）将甲乙丙丁戊5名志愿者全部分配到A，B，C三个地区参加公益活动，要求每个地区都要有志愿者且最多不超过2人，则不同的分配方案有（   ） A．90种 B．180种 C．60种 D．120种 【答案】A 【分析】先将5名志愿者按要求分成三组，再将分得的三组分配到A，B，C三个地区，按分组分配方法计算即可得解. 【详解】由题先将5名志愿者分成三组有种分法， 再将分得的三组分配到A，B，C三个地区参加公益活动有种分法， 所以所求的不同的分配方案有种. 故选：A. 26．（24-25高二上·辽宁抚顺·期末）将5名党员志愿者分到3个不同的社区进行知识宣讲，要求每个社区都要有党员志愿者前往，且每个党员志愿者都只安排去1个社区，则不同的安排方法种数有（   ） A．120 B．300 C．180 D．150 【答案】D 【分析】将5名党员按或分组，再安排到3个社区列式计算得解. 【详解】将5名党员志愿者分成三组，各组人数分别为1，1，3或1，2，2． 当各组人数为1，1，3时，共有种安排方法； 当各组人数为1，2，2时，共有种安排方法． 所以不同的安排方法有种． 故选：D 27．（24-25高二上·广西·期末）甲，乙，丙3名学生约定：利用假期观看A，B，C，D，E这5部新上映的电影，待返校后互相分享精彩内容.返校后，已知5部电影都有人观看，且每部电影只有一个人观看，则所有观看电影的情况种数为（    ） A．150 B．243 C．183 D．393 【答案】B 【分析】根据甲，乙，丙3名学生观看电影分1人观看5部电影，2人观看5部电影，3人观看5部电影，利用分类加法计数即可解答. 【详解】分三类，第一类：1个人观看5部电影有3种情况； 第二类：2个人观看5部电影有种情况； 第三类：3个人观看5部电影有种情况； 所以共有：种情况. 故选：B. 题型十、特殊位置法 28．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）现将包含球的5个不同的小球放入包含甲盒的四个不同的盒子里，每盒至少一球.其中小球不放入甲盒中，则不同安排方案的种数是（    ） A．180 B．168 C．120 D．90 【答案】A 【分析】将5个小球首先分成四组，再分别放入四个不同的盒子中去，保证小球不放入甲盒即可. 【详解】首先，将包含球的5个不同的小球分成四组，共有种组合； 然后，将含有球的一组小球放到除去甲盒之外的三个盒子中，共有种； 剩余三组小球再分别放入3个不同的盒子中，共种； 因此不同安排方案的种数是. 故选：A 29．（2025高三·全国·专题练习）中国体育代表团在2024年巴黎奥运会上取得了40枚金牌的辉煌成绩.某视频自媒体平台选出关注度比较高的等10名金牌获得者，再从中选出6名，准备连续6天分别向观众介绍，且每天只介绍1名，则必须介绍且在前3天介绍，至少选2名进行介绍的所有方法种数为（    ） A．720 B．1680 C．4320 D．5040 【答案】D 【分析】根据题意，先考虑除外剩下的4名金牌获得者的选取情况分两种和，再利用排列运算求解. 【详解】由题可得选中的6名金牌获得者中必须有，且至少有2名被选中， 则除外剩下的4名金牌获得者的选取情况种数为， 又必须在前3天介绍，所以符合条件的方法种数为. 故选：D. 30．（2024高三·全国·专题练习）2024年春节放假安排：农历除夕至正月初六放假，共7天．某单位安排7位员工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相邻的两天值班，则不同的安排方案共有（   ） A．1440种 B．1360种 C．1282种 D．1128种 【答案】D 【分析】运用捆绑法，结合分类讨论和排列组合知识计算即可. 【详解】采取对丙和甲进行捆绑的方法： 如果不考虑“乙不在正月初一值班”，则安排方案有：种， 如果“乙在正月初一值班”，则安排方案有：种， 若“甲在除夕值班”，则“丙在初一值班”，则安排方案有：种． 则不同的安排方案共有(种)． 故选：D． 题型十一、涂色问题 31．（24-25高二上·辽宁·期末）如图，给编号为的区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，中心对称的两个区域（如区域1与区域4）所涂颜色相同．若有5种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（    ） A．60种 B．80种 C．100种 D．125种 【答案】A 【分析】根据分步乘法计数原理依次涂色即可. 【详解】由题意可得，只需确定区域的颜色，即可确定所有区域的涂色． 先涂区域1，有5种选择；再涂区域2，有4种选择；最后涂区域3，有3种选择． 故不同的涂色方案有种． 故选：A. 32．（24-25高三上·广西·阶段练习）如图，对，，，，五块区域涂色，现有种不同颜色的颜料可供选择，要求每块区域涂一种颜色，且相邻区域（有公共边）所涂颜料的颜色不相同，则不同的涂色方法共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】先涂，，，然后分类讨论的颜色，最后利用乘法原理与加法原理可得答案. 【详解】先涂，，，有种方法. 若的颜色不同于，，所涂颜色，有种涂法，此时有种涂法，则对应总涂法数为； 若的颜色与的颜色相同，此时有种涂法，则对应总涂法数为； 若的颜色与的颜色相同，此时有种涂法，则对应总涂法数为. 综上，总涂法数为. 故选：C 33．（23-24高二下·重庆·期末）国际数学家大会（ICM）是由国际数学联盟（IMU）主办的国际数学界规模最大也是最重要的会议，每四年举行一次，被誉为数学界的奥林匹克盛会.2002年第24届国际数学家大会在北京召开，其会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由一个正方形和四个全等的直角三角形构成（如图）.现给图中5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色.若有5种不同的颜色可供使用，则不同的涂色方案有（    ） A．120种 B．360种 C．420种 D．540种 【答案】C 【分析】要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则涂5块区域至少需要种颜色，然后对使用的颜色种数进行分类讨论，分别求出方案数，再运用分类加法计数原理求出最后结果. 【详解】要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则涂5块区域至少需要种颜色， 若块区域只用种颜色涂色，则颜色的选法有种，相对的直角三角形必同色， 此时不同的涂色方案有种； 若块区域只用种颜色涂色，则颜色的选法有种，其中一对相对的直角三角形必同色， 余下的两个直角三角形不同色，此时不同的涂色方案有种； 若块区域只用种颜色涂色，则每块直角三角形都不同色，此时不同的涂色方案有种； 综上，不同的涂色方案有：种. 故选：C. 题型十二：排数问题 34．（2024高三·全国·专题练习）从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有（   ） A．252个 B．300个 C．324个 D．228个 【答案】B 【分析】根据题意，分三种情况进行讨论，四位数中包含5和0的情况，四位数中包含5，不含0的情况，四位数中包含0，不含5的情况，再由分步计数原理，即可求解． 【详解】（1）若四位数中含有数字0不含数字5，则选法是，可以组成四位数个； （2）若四位数中含有数字5不含数字0，则选法是，可以组成四位数个； （3）若既含数字0，又含数字5，选法是，排法是若0在个位，有种， 若5在个位，有种，故可以组成四位数 个． 根据加法原理，共有个． 故选：Ｂ． 35．（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）用，，，，，这六个数字可以组成（   ）个无重复数字，符合“小于4310的四位偶数” A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分千位小于，千位为，百位小于，千位为，百位等于，当十位小于时，然后根据分类计数原理可得． 【详解】当千位小于时，有种， 当千位是，百位小于时，有种， 当千位是，百位是，十位小于时，有种， 由分类计数原理，可得小于的四位偶数共有， 故选：B. 36．（24-25高三上·山西大同·开学考试）某商场举办购物抽奖活动，其中将抽到的各位数字之和为8的四位数称为“幸运数”（如2024是“幸运数”），并获得一定的奖品，则首位数字为2的“幸运数”共有（    ） A．32个 B．28个 C．27个 D．24个 【答案】B 【分析】根据题意，“幸运数”的后三位数字的和为6，故可以分成七类进行计数，利用分类加法计数原理即得. 【详解】依题意，首位数字为2的“幸运数”中其它三位数字的组合有以下七类： ①“006”组合，有种，②“015”组合，有种，③“024”组合，有种， ④“033”组合，有种，⑤“114”组合，有种，⑥“123”组合，有种， ⑦“222”组合，有1种. 由分类加法计数原理，首位数字为2的“幸运数”共有个. 故选：B. 【专题训练】 一、单选题 37．（24-25高二上·江苏南京·期末）四个同学排成一排，甲不站在排头，乙不站在排尾的排法总数是（    ） A．12种 B．14种 C．16种 D．18种 【答案】B 【分析】根据排列组合，结合分类加法计算原理即可求解. 【详解】若甲在第二位，则乙可以站在第一位和第三位，此时有, 若甲在第三位，则乙可以站在第一位和第二位，此时有, 若甲在第四位，则乙可以随意站，此时有, 故总的方法有， 故选：B 38．（2025·山东日照·一模）高考入场安检时，某学校在校门口并排设立三个检测点，进入考场的学生只需要在任意一个检测点安检即可进入．现有三男三女六位学生需要安检，则每个检测点通过的男生和女生人数相等的可能情况有（    ） A．66种 B．93种 C．195种 D．273种 【答案】B 【分析】分①每个检测点均为一男一女通过、②三个检测点中，一个检测点通过0人，一个检测点通过一男一女，一个检测点通过两男两女、③六人均在同一个检测点通过三种情况进行讨论求解即可. 【详解】①每个检测点均为一男一女通过，共有种不同的结果； ②三个检测点中，一个检测点通过0人，一个检测点通过一男一女，一个检测点通过两男两女，共有种不同的结果； ③六人均在同一个检测点通过，共有种不同的结果. 则每个检测点通过的男学生人数与女学生人数均相等的情况有种. 故选：B. 39．（24-25高三下·湖南·开学考试）提供四种不同颜色的颜料给图中六个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法共有（    ） A．288种 B．296种 C．362种 D．384种 【答案】D 【分析】分2号区域和6号区域同色，2号区域与4号区域同色，2号区域与4号区域，6号区域均不同色三种情况讨论，进而可得出答案. 【详解】首先三个区域有种涂法， 当2号区域和6号区域同色时，有种涂法； 当2号区域与4号区域同色时，有种涂法； 当2号区域与4号区域，6号区域均不同色时，有种涂法， 综上，共有384种涂法. 故选：D. 40．（2025·辽宁·模拟预测）从高一新生中选出3名男生、3名女生组成护旗方队，方队共2排3列，第1排是，，，3名女生，第2排是甲、乙、丙3名男生，且女生与男生甲不同列，则不同的排法种数为（   ） A．12 B．18 C．24 D．30 【答案】C 【分析】先求出排法总数及女生与男生甲同列时的排法为，做差得出女生与男生甲不同列排法即可. 【详解】由题意得第1排和第2排任意排的排法总数为， 当女生与男生甲同列时，排法总数为， 所以女生与男生甲不同列排法总数为. 故选：C. 41．（2025·安徽·模拟预测）现有6名同学到3家不同的养老院参加“关爱孤寡老人”爱心志愿活动，若每家养老院安排2名同学，且每名同学只前往一家养老院，则共有安排方法（   ） A．30种 B．60种 C．90种 D．120种 【答案】C 【分析】根据分步乘法计数原理即可求得结果. 【详解】设3家养老院的编号依次为1、2、3，首先安排1号养老院，有（种）， 再安排2号养老院，有（种），最后安排3号养老院，有（种）， 根据分步乘法计数原理，因此共有安排方法（种）. 故选：C 42．（24-25高二上·辽宁大连·期末）有6本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（   ） A．1440种 B．1560种 C．1920种 D．5760种 【答案】B 【分析】先进行分组，有和两种情况，利用排列组合知识分别求出两种情况下的情况数，再相加求出答案. 【详解】先将6本书进行分为4组，每个学生至少一本，有和两种情况， 其中分为的情况有种， 分为的情况有种， 故不同的分法种数为. 故选：B 43．（24-25高三上·四川巴中·期末）为了加强家校联系，某班举行一次座谈会，会上邀请了6位学生及他们的父母总共18人参加，并从中选出6位代表发言，如果这6人由其中一个家庭的3人与其他三个家庭中的各1人组成，那么不同的选人方案有（    ） A．720种 B．1240种 C．1440种 D．1620种 【答案】D 【分析】先选出一个家庭，该家庭的所有成员都被选中，再从剩余家庭中选出3个，每个家庭再选一人即可，按照分步乘法计数原理计算可得结果. 【详解】根据题意可知从6个家庭中任意选出一个，这个家庭的3人都被选中，共有种选择； 再从剩余的5个家庭里面选出3个家庭，共有种选择； 最后从3组家庭中各选一人，即有种； 因此不同的选人方案共有种. 故选：D 44．（24-25高二上·重庆北碚·期末）某班准备从甲、乙、丙、丁4位同学中挑选3人，分别担任2025年元旦晚会的主持人、记分员和秩序员，每个职务最多一人担任且每个职务必须有一人担任，已知甲同学不能担任主持人，则不同的安排方法有（   ）种. A．18 B．24 C．27 D．64 【答案】A 【分析】应用分类分步计数原理及排列组合数求不同的安排方法数. 【详解】若甲被选出，从其它3位同学选2位有种， 将甲安排为记分员或秩序员有种，另2人作全排有种， 所以共有种； 若甲不被选出，只需将选出的3人作全排列有种， 综上，共有种. 故选：A 45．（2025·甘肃白银·模拟预测）某高校有8名研究生要去小兴安岭采集植物样本，其中男生6人，女生2人，将这8人分成两组，若要求每组至少2人，且两名女生不单独成组，则不同的分组方案共有（    ） A．240种 B．158种 C．126种 D．118种 【答案】D 【分析】由题意，分组方案有4，4和3，5及2，6三种情况，利用组合计算每种情况，即可求解. 【详解】根据题意，分3种情况讨论： ①分为4，4的两组时，不会出现两名女生单独成组情况，有种分组方法； ②分为3，5的两组时，有种分组方法； ③分为2，6的两组时，有种分组方法，其中有1种两名女生单独成组情况， 则有27种符合条件的分组方法，故共有种分组方法. 故选：D 46．（24-25高三上·内蒙古包头·期末）某中学迎来了办学110周年庆典，为此某班设计了富含寓意的11个文创作品，已知甲同学喜欢作品，乙同学喜欢作品，丙同学除了不喜欢作品，其他作品都喜欢，让甲乙丙三位同学依次从中选取一个作为礼物收藏，若这三位同学都选到了自己喜欢的文创作品，则不同的选法有（    ） A．50种 B．48种 C．40种 D．30种 【答案】C 【分析】分甲选A和甲选B两种情况讨论，按照分步、分类计数原理计算可得. 【详解】若甲选A，则乙有种选法，丙有种选法，故共有种选法； 若甲选B，则乙有种选法，丙有种选法，故共有种选法； 综上可得一共有40种不同的选法. 故选：C 二、多选题 47．（24-25高二上·江苏无锡·期末）某学校高二年级数学课外活动小组中有男生5人，女生3人，则下列说法正确的是（   ） A．从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，共有64种不同的选法 B．从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，共有15种不同的选法 C．将这8名学生排成一排，3位女生排在一起的方法共有4320种 D．8名学生排成一排，已知5名男生已排好，现将3名女生插入队伍中，则共有336种排法. 【答案】BCD 【分析】选项A可以看做从8个人中取2个人的排列； 选项B先从男生中选1个有种情况，再从女生中选1人有种情况，进而可得； 选项C先排3位女生有种情况，再把3位女生看成1个人与5个男生一起排列有种情况，进而可得； 选项D依次把3个女生插入队伍中，共有种. 【详解】选项A：从8个人中选2人，1人做正组长，1人做副组长选法共有种，故A错误； 选项B：从8个人中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人选法共有种，故B正确； 选项C：选排3位女生有种情况，再把3位女生看成1个人与5个男生一起排列有种情况， 共有种情况，故C正确； 选项D：8名学生排成一排，已知5名男生已排好， 先排第一个女生可以排5个男生中间的4个空或2头，有6种情况， 再排第二个女生可以排到排好的6个人中间的5个空或2头，有7种情况， 最后排第三个女生可以排到排好的7个人中间的6个空或2头，有8种情况， 共有种情况，故D正确， 故选：BCD 48．（24-25高二上·山东东营·期末）将2个男生和5个女生排成一排，下列表述正确的有（    ） A．男生不在头尾的不同排法有2400种 B．男生不在头尾且不相邻的不同排法有600种 C．假设这7个学生身高均不相等，最高的人站在中间，从中间到左边和从中间到右边身高都递减，则不同的排法有20种 D．2个男生都不与女生甲相邻的不同排法有24000种 【答案】AC 【分析】对于A：可知头尾为女生，剩下5人全排列，结合排列数分析判断；对于B：利用间接法，先求男生不在头尾且相邻的不同排法，结合选项A分析判断；对于C：高度要求已经固定，现只需选人即可，结合组合数分析判断；对于D：分类讨论甲是否在头尾，结合排列数分析判断. 【详解】对于A：男生不在头尾，则头尾为女生，剩下5人全排列， 所以不同排法有种，故A正确； 对于B：若男生不在头尾且相邻的不同排法有种， 所以男生不在头尾且不相邻的不同排法有种，故B错误； 对于C：因为高度要求已经固定，现只需选人即可， 则左边从剩余6人选择3人即可，所以不同的排法有种，故C正确； 对于D：若甲在头尾，不同排法有种； 若甲不在头尾，不同排法有种； 所以2个男生都不与女生甲相邻的不同排法有种，故D错误； 故选：AC. 49．（24-25高二上·安徽亳州·期末）某手机专卖店新进，，，，，，这7款充电宝，准备将它们在货柜里摆成一排售卖，则下列说法正确的是（    ） A．若，，必须摆在前三个位置，则不同的摆法有144种 B．若，，彼此不相邻，，，，也彼此不相邻，则不同的摆法有72种 C．若，，彼此不相邻，则不同的摆法有1440种 D．若不能摆在后两个位置，则不同的摆法有3600种 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用排列计数问题，结合不相邻问题逐项分析计算得解. 【详解】对于A，不同排法种数为，A正确； 对于B，先排，再在每种排法的3个间隙中插入，不同排法种数是，B错误； 对于C，先排，再在每种排法的5个位置中插入，不同排法种数是，C正确； 对于D，不同排法种数是，D正确. 故选：ACD 50．（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知3名男生和2名女生参加两项不同的公益活动，下列说法正确的是（    ） A．活动前5人站成一排，甲在最左边，乙不在最右边，有18种不同的方法 B．5人依次进行自我介绍，甲和乙不相邻做介绍，有72种不同的方法 C．将5人全部分配到两项活动中，每项活动既有男生又有女生，有24种不同的方法 D．活动后从5人中选出3人介绍活动体会，至少两名男生，有9种不同的方法 【答案】AB 【分析】对于A，根据分步计数原理和优先法可得结果；对于B，根据分步计数原理和插空法可得结果；对于C，运用分组分配法，先分组再分配，可得结果；对于D，至少两名男生，根据分类计数原理可得. 【详解】对于A，甲在最左边，乙不在最右边，则乙在中间三个位置选一个，有种排法，其余三人全排，有种排法，故共有（种）不同的排法，故A正确； 对于B，甲和乙不相邻，则先排其余三人，有种排法， 再在这三人形成的四个空隙中选两个排甲和乙，有种排法， 故共有（种）不同的排法，故B正确； 对于C，将5人全部分配到两项活动中，每项活动既有男生又有女生， 则先分组再分配，先将男生分为一组1人，另一组2人，有种分法， 再将女生分到这两组，有种分法，最后将这两组分配到两项活动，有种分法， 故共有（种）不同的分法，故C错误； 对于D，从5人中选出3人介绍活动体会，至少两名男生， 则有两种情况，第一种情况是两名男生一名女生，有种选法， 第二种情况是三名男生，有种选法，故共有（种）不同的选法，故D错误. 故选：AB. 51．（24-25高二上·湖南长沙·期末）中国的五岳是指在中国境内的五座名山，坐落于东西南北中五个方位，分别是东岳泰山，西岳华山，南岳衡山，北岳恒山，中岳嵩山.小明与其父母共3人计划在假期出游，每人选一个地方，则（    ） A．3人选择的地点均不同的方法总数为60 B．恰有2人选一个地方的方法总数为15 C．恰有1人选泰山的概率是 D．若小明已选择去泰山，其父母至少有一人选择去泰山的概率为 【答案】AC 【分析】由排列及排列数的计算即可判断A；由分步计数乘法原理及组合即可判断B；由古典概型概率公式即可判断C；由对立事件的概率即可判断D． 【详解】对于A，3人选择的地点均不同的方法总数为，故A正确； 对于B，恰有2人选一个地方的方法总数为，故B错误； 对于C，恰有1人选泰山的方法总数为，所有的方法数为，所以恰有1人选泰山的概率是，故C正确； 对于D，父母都不选择去泰山的概率为， 所以小明已选择去泰山的情况下，其父母至少有一人选择去泰山的概率，故D错误. 故选：AC. 52．（24-25高二上·甘肃临夏·期末）3名学生，2名教师站成一排参加文艺汇演，则下列说法正确的是（    ） A．任意站成一排，有120种排法 B．学生不相邻，有24种排法 C．教师相邻，有48种排法 D．教师不站在两边，有72种排法 【答案】AC 【分析】根据全排列可求得A，根据不相邻问题用插空法可求得B，根据相邻问题用捆绑法可求得C，根据特殊位置优先排可求得D. 【详解】对于A，任意站成一排，是全排列，所以有种排法，故A正确； 对于B，学生不相邻，所以先排老师，然后插空，即种排法，故B错误； 对于C，教师相邻用捆绑，即种排法，故C正确； 对于D，教师不站两边，先将两边排上学生，剩下的人全排列，即种排法，故D错误； 故选：AC. 53．（24-25高二上·辽宁·期末）现有8名师生站成一排照相，其中老师2人，男学生4人，女学生2人，则下列说法正确的是（   ） A．4个男学生排在一起，有1440种不同的排法 B．老师站在最中间，有1440种不同的排法 C．4名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端，有1728种不同的排法 D．2名老师之间要有男女学生各1人，有3840种不同的排法 【答案】BCD 【分析】利用捆绑法排列判断A，特殊元素优先安排（即先安排都是排中间然后再在两边安排学生求解判断B，用插空法（男生插入时需先先安排男生甲）求解判断C，先任选一名男学生和一名女学生站两位老师中间，把这四人捆绑后进行排列求解判断D． 【详解】选项A：4个男学生排在一起共有种站法，则有2880种不同的排法，故A错误； 选项B：老师站在最中间共有种站法，则有1440种不同的排法，故B正确； 选项C：先排老师和女学生，共有种站法，再排男学生甲，有种站法，最后排剩余的3名男学生有种站法， 所以共有种不同的站法，故C正确； 选项D：先任选一名男学生和一名女学生站两位老师中间，有种站法，两名老师的站法有种， 再将这一男学生一女学生两位老师进行捆绑，与剩余的4个人进行全排列有种站法， 所以共有种不同的站法.故D正确. 故选：BCD． 三、填空题 54．（2025·全国·模拟预测）现有3辆小汽车要停在一排的5个停车位中，则2个空车位不相邻的停法有 种. 【答案】36 【分析】不相邻采用插空法即可求解. 【详解】两个空车位不相邻，可以想象将两个空车位插入到3辆汽车中去，故有种停法. 故答案为：36. 55．（24-25高三下·天津·开学考试）从4种不同颜色中选择若干种颜色，给正四面体的每条棱染色，要求每条棱只染一种颜色，且共点的棱染不同的颜色，则不同的染色方法共有 种． 【答案】96 【分析】根据所涂颜色的种数分类，结合排列，组合公式，即可求解. 【详解】若所有相对的棱涂同一种颜色，共用3种颜色，有种方法， 若所有相对的3对棱中有2对对棱涂同色，共用4种颜色，有种方法， 所以共有种方法. 故答案为： 56．（2025·江西新余·模拟预测）如图将一个矩形划分为如下的A、B、C、D、E、F六个区域，现用四种不同的颜色对这六个区域进行染色，要求边界有重合部分的区域（顶点与边重合或顶点与顶点重合不算）染上不同的颜色，并且每一种颜色都要使用到，则一共有 种不同的染色方案. 【答案】192 【分析】法一：间隔元素分析法，分同色，同色；同色，不同色；不同色，同色；不同色，不同色，结合和的颜色相同和不同，分类讨论，得到情况数，相加即可； 法二：相邻最多元素优先分析法，考虑到影响的元素最多，分各不同色， 和同色，结合同色，不同色，同色，不同色，共有类讨论，分类讨论，得到情况数，相加即可 【详解】法一：间隔元素分析法： ①同色，同色，则有两种上色方式，被确定，故有种； ②同色，不同色，则仅有1中上色方式，被确定，故有种； ③不同色，同色，则若与同色，则有1种上色方式； 若与不同色，则只有1种上色方式； 故有种； ④不同色，不同色， 1）同色，则有种；2）不同色，则有种. 综上，共有种方式. 法二：相邻最多元素优先分析法： 考虑到影响的元素最多： ①各不同色，1）同色，则有3种染色法，故共有种； 2）不同色，则有2种染色法，故共有：种； ②同色，1）同色，则只有1种染色法（4种颜色都要使用到）， 故有种；2）不同色，则有2种染色法，故有种. 综上：共有种染色方案. 故答案为：192. 57．（24-25高三下·河北·开学考试）把除颜色外完全相同的5个红球和4个白球排成一行，则恰有3个红球相邻在一起的不同排法种数为 用数字作答 【答案】50 【分析】用分类加法计数原理和“捆绑法”求解即可. 【详解】分两类，第一类：3个红球“捆绑”在一起，另外2个红球也“捆绑”在一起，然后让4个白球排列后形成5个空位，选出2个空位让这两个“捆绑”的红球排列即可，此时有种； 第二类：3个红球“捆绑”在一起，另外2个红球不相邻，此时让4个白球排列后形成5个空位，从中选出1个空位放“捆绑”的红球，再从剩下的4个空位选出3个空位放不相邻的红球即可，此时有，所以共有种. 故答案为：50 58．（24-25高二上·吉林长春·期末）某名校为落实教育帮扶“深耕计划”，选派了4名教师到A，B，C三个县城学校进行教育帮扶指导.每个学校至少派1人，不同的安排方式共有 种用数字解答 【答案】36 【分析】先分组再分配，结合分步乘法计数原理求解． 【详解】将4名教师分配到3个学校，每个学校至少1人， 首先，将4名教师分成3组，其中2组各1人，1组2人，共有种分组方式， 然后，将这3组教师分配到3个学校，共有种分配方式， 根据分步乘法计数原理，总共有种不同的安排方式． 故答案为：36 59．（24-25高二上·江西·期末）现将8个体积相同但质量均不同的小球放入恰好能容纳8个小球且底面圆直径与小球直径相同的圆柱形卡槽内，这8个小球分别为2个红球、4个白球、2个黑球，若4个白球互不相邻，且其中一个白球不能放入卡槽的两端，则共有 种不同的放法；若2个红球之间恰好有白球和黑球各1个，则共有 种不同的放法． 【答案】 1728 3840 【分析】依题意可将把8个小球放入卡槽内的过程转化为这8个小球位置上的排列组合问题，若4个白球互不相邻，且其中一个白球不能放入卡槽的两端，先排红球和黑球，再利用插空法排白球，按照分步乘法计数原理计算可得；若2个红球之间恰好有白球和黑球各1个，先任选1个白球，1个黑球放入2个红球中间，再将1个白球，1个黑球和2个红球进行捆绑与剩余的4个小球进行全排列，按照分步乘法计数原理计算可得. 【详解】由题意可将把8个小球放入卡槽内的过程转化为这8个小球位置上的排列组合问题， 若4个白球互不相邻，且其中一个白球不能放入卡槽的两端， 先排红球和黑球共有种方法，再排其中1个白球有种方法， 最后排剩余的3个白球有种方法，所以共有种不同的放法． 若2个红球之间恰好有白球和黑球各1个，先任选1个白球，1个黑球放入2个红球中间，有种方法， 又2个红球的放法有种， 再将1个白球，1个黑球和2个红球进行捆绑与剩余的4个小球进行全排列有种， 所以共有种不同的放法． 故答案为：； 60．（2025·江西景德镇·二模）小崔和小汪两位好朋友想体验制作一把属于自己的漂漆扇，她们每人欲从8种不同颜色（有一种颜色是黑色）的大漆中随机选4种不同的颜色，两人约定不能同时选黑色，且她们两人之间有且只有两种颜色相同，则她们不同的选漆方法共有 种．（用数字作答） 【答案】 【分析】本题主要考查了排列组合，考查数学运算的核心素养，首先根据题意选择分以下三类：仅小崔选了黑色；仅小汪选了黑色；两人都没有选择黑色，然后根据分步乘法计数原理解决问题. 【详解】若仅小崔选了黑色，则有种选法；若仅小汪选了黑色，同理也有种选法； 若两人都没有选择黑色，则有种选法．故共有种选法． 故答案为：1890 61．（2025高三·北京·专题练习）现安排甲､乙､丙､丁､戊这5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，且每人只安排一个工作，则下列说法正确的序号是 . ①不同安排方案的种数为 ②若每项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为 ③若司机工作不安排，其余三项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为 ④若每项工作至少有1人参加，甲不能从事司机工作，则不同安排方案的种数为 【答案】②④ 【分析】根据分步乘法计数原理即可求解①，根据分组分配问题即可求解②③④. 【详解】若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则不同安排方案的种数为，故①错误；先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作， 则不同安排方案的种数为，故②正确； 先将5人分为3组，有种分组方法， 将分好的三组安排翻译､导游､礼仪三项工作，有种情况， 则不同安排方案的种数是，故③错误； 对④，第一类，先从乙，丙，丁，戊中选出1人从事司机工作，再将剩下的4人分成三组， 安排翻译､导游､礼仪三项工作，则不同安排方案的种数为； 第二类，先从乙，丙，丁，戊中选出2人从事司机工作， 再将剩下的3人安排翻译、导游、礼仪三项工作， 则不同安排方案的种数为，所以不同安排方案的种数是，故④正确. 故答案为：②④. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$