专题突破(3)平行线与角综合（讲册）-【精英新课堂·三点分层作业】2024-2025学年新教材七年级下册数学（人教版2024 重庆专版）

专题突破（三） 平行线与角综合 A 专题概逃 【变式练习】 本专题考查了平行线的判定与性质和三 1.如图，∠1=∠2，∠D=∠CMG. 角形内角和定理.熟练掌握平行线的判定与 (1)AD与NG平行吗？为什么？ 性质常用的辅助线，并能进行推理计算和分 (2)若∠A+∠DHG=180°，试探索∠ANB, 类讨论，数形结合是解决问题的关键。 ∠NBG和∠1之间的数量关系. B例题导学 类型①利用平行线的性质和判定探究角 【例1】如图，已知AB∥CD,∠A+∠1=180. D (1)AE与BD平行吗？为什么？ (2)若∠E=80°，∠ABD的平分线BF与 ∠CDE的平分线DF交于点F,BF与 CD交于点M,∠1=116°，求∠F的度数. 【方法点拔】本题考查了平行线的性质、探究 角的关系以及平行线的性质与判定的综合， 正确作出辅助线是解题的关键， 2.(2024·实验外国语学校期末)如图，AB∥ CD,∠A=∠BCD,点M是边AD上一点， 连接BM,延长BM,CD交于点P.点N是 边BC上一点，连接MN,使得∠NMC= ∠MCN,作∠NMP的平分线MQ交CP于 点Q.若∠CMQ=a,则∠AMP的度数用含a 的式子表示为 A.180°-a B.180°-2a C.45°+a D.90°+a ·17· 类型2利用分类讨论探究动态角问题 (3)在(2)的前提下，三角尺DEF绕点F按逆 【例2】如图①，将一副三角尺按图中所示位置 时针方向以每秒3°的速度旋转，设旋转的 摆放，点F在直线AC上，且ED∥AC,DF与 时间为ts,当0<t≤60时，在这个旋转过 AB相交于点G,其中∠ACB=90°，∠ABC= 程中，是否还存在三角尺DEF的某一条 60°，∠BAC=30°，∠EFD=90°，∠DEF= 边与AB平行的情况？若存在，请在备用 ∠EDF=45°. 图上画出大致图形，并求出所有满足题意 的t值；若不存在，请说明理由. 【方法点拨】本题主要考查了平行线的性质、 一元一次方程的应用等知识点，分别利用平 图① 图② 行线的性质建立方程，解方程即可得出答案； B 熟练掌握平行线的性质，合理作出辅助线是 解此题的关键. 各用图 条用图 各用图 (1)∠DGA的度数为 (2)若三角尺DEF绕点F按顺时针方向旋 转，如图②，当ED∥AB时，求∠DFA的 度数； ·18· 【变式练习】 (2)如图②，若∠BPF=2∠EFP,求∠BFP 3.将一副三角尺中的两块直 的度数； 角三角尺的顶点C按如图 方式放在一起，其中∠A= D 30°，∠E=∠ECD=45°， D 且B,C,D三点在同一条直线上，现将三角 图② 尺CDE绕点C顺时针转动&(0°<a< 180),在转动过程中，若三角尺CDE的 DE边平行于三角尺ABC的某一条边时， 则此时转动的角度α为 4.如图，直线a∥b,A,B为直线a上不重合的 两点(，点B在A的右侧)，直线AC,AD分 别与b相交于点C,D,∠ACD=60°， ∠ADC=30°.P为直线AD上一点，且满 足BP⊥AD.将线段AB沿直线AD平移， 得到线段EF,点E在直线AD上，连接 BF,FP,直线FP与直线AC交于点G. (1)如图①，求∠CAD的度数； (3)在线段AB平移的过程中，若∠AGF= 40°，求∠EFP的度数. 图① ·19·的平分线，.∠GBE=号∠HBE=号-45，∠FBG 图①，延长CA交MN于点E,过点C作CD∥MN, ∴.∠AEN=∠ACD.,MN∥PQ,∴.CD∥PQ,∴.∠DCB= ∠FBE-∠GBE=号-（号-46）=46.：BG∥BF, ∠CBQ=a.,∠ACB=90°，∴∠DCE=∠ACB-∠DCB= .∠G=∠FBG=45.3.C4.15°5.解：(1)85°[解 90°-a,.∠AEN=90°-a:②当90°<a<180时，如答图②， 析：如图，过点E作EF∥AB.1其 :AB∥ 延长AC交MN于点E,过点C作CD∥MN,∴·∠AEN+ ∠ECD=18o.又，PQ∥MN,∴.CD∥PQ,∴.∠BCD+ ∠CBQ-180°，∴.∠BCD=180°-a.:点A,C,E共线， CD,∴.AB∥EF∥CD,∴.∠MEF=∠BME=30°，∠NEF= .∠DCE+∠BCD=180°-∠ACB=180°-90°=90°， ∠DNE=55,∴.∠MEV=∠MEF+∠NEF=30°+55°= ∴∠DCE=90°-∠BCD=90°-(180°-a)=a-90°， 85](2),ME,ND分别是∠BMF,∠ENF的平分线， ∴.∠AEN=180°-∠DCE=180°-(a-90)=270°-a.综 上所述，∠AEN的度数为90°-a或270°-a. “∠BME-号∠BMF=号X40=20,∠DNF=∠DNE 号∠ENE由I)可得，∠MEN=∠BME+∠DNE. ∴.80°=20°+∠DNE.∠DNE=60°，.∠DNF=60°.如 图，过点F作FR∥AB.A ∴.∠MFR= 答图①D 答图② 专题突破（三） 平行线与角综合 180°-∠BMF=180°-40=140°.，AB∥CD,AB∥FR, 例题导学 ∴.FR∥CD,.∠NFR=180°-∠DNF=180°-60°=120°， 【例1】解：(1)AE∥BD,理由如下：，AB∥CD,∠A十 .∠MFV=∠MFR-∠NFR=140°-120°=20°.即∠F ∠2=180°.∠A+∠1=180°，∴∠2=∠1，.AE∥BD: 的度数为20°. (2)过点F作直线FG∥CD.AB∥CD,∴AB∥CD∥FG, 专题突破（二）翻折和三角尺中的平行问题 ∴∠ABD=∠1=∠116.：BF平分∠ABD,∴.∠ABF= 例题导学 ∠ABD=合X116=58.:FPG∥AB,∠BFG 1 【例1】B【解析】，∠2=34°，.∠AEA=180°-∠2= 146.,将纸带沿EF折叠，点A,D的对应点分别为A', ∠ABF=58°.：AE∥BD,∴.∠BDE=180°-∠E=180° 80°=100°.∠CDB=180°-∠1=180°-116°=64° D∠AEF=∠AEF=∠AEA=是X146=73 ∴.∠CDE=∠BDE-∠CDB=100°-64°=36.FD平分 :纸带的两边是平行的，即AB∥CD,.∠1=∠AEF= 73°.【例2】解：(1)90°[解析：如图，过点C作CD∥PQ ∠CDE.∠4=∠5=2∠CDE=2×36°=18.：CD/ :PQ∥MN,∴.PQ∥CD∥MN, FG,∴.∠3=∠4=18°，.∠BFD=∠BFG-∠3=58°- 18°=40°，即∠F=40°.【例2】解：(1)75°[解析：如图。 过点G作GH∥AC. .∠DGH= ∴.∠PBC=∠BCD.∠MAC=∠DCA,∴.∠MAC+∠PBC= ∠ACD+∠BCD=∠ACB=90](2)·∠AEN=∠BAC= ∠EDF=45°，∠AGH=∠BAC=30°，.∴.∠DGA=∠DGH+ 30°，.∠CEM=∠AEV=30°.利用(1)的结论可得： ∠AGH=45°+30°=75°.](2)如图，过点F作FH∥AB. ∠ACB=∠PDC+∠MEC,∴.∠PIDC=∠ACB-∠MEC= ,ED∥AB,FH∥AB,∴.ED∥AB∥ 90°-30°=60°，∴.∠BDF=∠PDC=60°，.∠BDF的度数 为60. 【变式练习】 1.B2.C3.110°4.57°5.解：(1)60°(2)如图.过点 FH,∴.∠DFH=∠EDF=45,∠AFH=∠BAC=30°， C作CD∥MN. ∴.∠AEM=∠ACD. ∴.∠DFA=∠DFH-∠AFH=45°-30°=15°：(3)如答图 ①，当EF∥AB时，·EF∥AB,∴·∠EFA=180°-∠BAC= 180°-30°=150°，.∠DFA=∠EFA-∠EFD=150° 90°=60°，∴.31十15=60，解得1=15.如答图②，当DF∥AB .MN∥PQ,CD∥MN,.CD∥PQ,∴.∠BCD=∠CBQ= 时，：DF∥AB,.∠DFA=180°-∠BAC=180°-30°= 30°..∠ACD=∠ACB-∠BCD=90°-30°=60°. 150°.∴.3t+15=150,解得t=45.如答图③，当DE∥AB ∴.∠AEM=60°，∴.∠AEN=180°-∠AEM=180°-60°= 时，过点F作FG∥AB.DE∥AB,FG∥AB,∴.DE 120°：(3)∠AEN=90°-a或270°-a.①当a<90时，如答FG∥AB.∴.∠AFG=180°-∠BAC=180°-30°=150°， 参考答案第3页（共47页） ∠GFD=∠EDF=45°，∴.3t=150+45-15,解得t=60.综 例题导学 上所述，三角尺DEF旋转的时间为15s或45s或60s时， 【例1】D【例2】解：③④⑤⑥是命题：①②不是命题. 存在三角尺DEF的某一条边与AB平行的情况 【例3】解：(1)如果两条直线被第三条直线所截，形成的两 个角是同位角，那么这两个角相等.题设：两个角是同位角 结论：这两个角相等：(2)如果两个或两个以上的角是直角， 那么它们都相等：题设：两个或两个以上的角是直角.结论： 它们都相等.【例4】D 【变式练习】 答图① 答图② 答图③ L.解：①如果方程中只含有一个未知数（元），且含有未知数 【变式练习】 的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫作一 1.解：(1)：∠1=∠2，∠1=∠CFG,∴.∠2=∠CFG,.CM∥ 元一次方程.②大于0的数叫作正数.（答案不唯一）2.C DH,.∠D=∠ACM.:∠D=∠CMG,∴.∠CMG= 3.解：(1)如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为补 ∠ACM,∴.AD∥NG(2)∠NBG-∠ANB+∠1=180°.过 角：题设：两个角的和等于180°，结论：这两个角互为补角： 点B作BP∥AN交NG于点P,.∠ANB=∠NBP (2)如果两条直线被第三条直线所截，形成的角是内错角， :AD∥NG,.∠D=∠DHG.:∠A+∠DHG=180, 那么这两个角相等：题设：两个角是内错角，结论：这两个角 .∠A+∠D=180°，.AN∥DH.:BP∥AN,CM∥DH, 相等.4.两个角相等这两个角是对顶角假5.解： ∴.BP∥CM,.∠PBG+∠1=180°..∠PBG=∠NBG (1)题设：两条直线相交：结论：只有一个交点：这个命题是 ∠NBP=∠NBG-∠ANB,∴.∠NBG-∠ANB+∠I1 真命题：(2)题设：d2=:结论：a=b:这个命题是假命题； 180°.2.B3.30或90°4.解：(1)a∥h,∠CAB= (3)题设：一个角是锐角：结论：它小于90°：这个命题是真 180°-∠ACD=180°-60°=120°，∠BAD=∠ADC=30°， 命题 .∠CAD=∠CAB-∠BAD=120°-30°=90°：(2)如图， 第2课时 定理与证明 过点P作PQ∥CD. Ta 将线段AB沿 知识梳理 1.推理证实依据2.推理过程 (1)定义基本事实 (3 定理(2)题设结论 直线AD平移，得到线段EF,a∥b,∴AB∥CD∥EF∥PQ, 例题导学 ∴.∠FPQ=∠PFE,∠QPD=∠ADC=30°.又'BPL 【例1】C【例2】证明：：∠1=∠ACB(已知)，.DE∥BC AD.∴.∠BPD=90°，即∠BPF+∠FPQ+∠QPD=90. (同位角相等，两直线平行)，∴∠2=∠DCB(两直线平行， '∠BPF=2∠EFP,∠FPQ=∠PFE,∴.2∠EFP+ 内错角相等).又：∠2=∠3（已知），∴.∠DCB=∠3（等量 ∠EFP+30°=90°，.∠EFP=20°.a∥b,∴.∠BAP= 代换)，.CD∥HF(同位角相等，两直线平行).：FH⊥AB ∠ADC-30°.由平移可知，AE∥BF,.∠FBT-∠BAP= (已知)，.∠FHB=90°（垂直的定义），∴.∠CDB=90°（两 30°.：AB∥EF,.∠BFE=∠FBT=30,∴.∠BFP= 直线平行，同位角相等)，CDLAB(垂直的定义). ∠BFE+∠EFP=30°+20°=50°：(3)过点G作GH∥CD, 【变式练习】 如答图①.将线段AB沿直线AD平移，得到线段EF, 1.C2.115°65°3.证明：(1)：∠1=48，∠2=132° a∥b,.AB∥CD∥EF∥GH,∴∠AGH=∠ACD=60°， ∴∠1+∠2=180°..BD∥CE:(2)BD∥CE,∴.∠C= ∠EFP=∠FGH.又，∠FGH=∠AGH-∠AGF=6O° ∠ABD.又'∠C=∠D,∴.∠ABD=∠D,∴.AC∥DF 40°=20°，∴.∠EFP=∠FGH=20°.如答图②，过点G作 ∴∠A=∠F GH∥CD.,将线段AB沿直线AD平移，得到线段EF, 7.4平移 a∥b,.AB∥CD∥EF∥GH,∴.∠AGH=∠ACD=6O°， 知识梳理 ∠EFP=∠FGH.又，∠FGH=∠AGH+∠AGF=6O°+ 1.某一方向2.(1)形状大小(2)平行（或在同一条直 40°=100°，∴.∠EFP=∠FGH=100°.综上所述，∠EFP 线上)相等 的度数为20°或100° 例题导学 【例1】D【例2】1)DEC(2)DEEF(3)∠D ∠ACB 【例3】解：如图，△EFG即为所求. 【例4】540m 答图① 答图② 7.3定义、命题、定理 【变式练习】 第1课时 定义与命题 1.C2.80°40 60 23.解：如图. 知识梳理 2.陈述3.正确（或真） 错误（或假） 4.题设结论 参考答案 第4页（共47页）