专题突破(2)翻折和三角尺中的平行问题（讲册）-【精英新课堂·三点分层作业】2024-2025学年新教材七年级下册数学（人教版2024 重庆专版）

的平分线，.∠GBE=号∠HBE=号-45，∠FBG 图①，延长CA交MN于点E,过点C作CD∥MN, ∴.∠AEN=∠ACD.,MN∥PQ,∴.CD∥PQ,∴.∠DCB= ∠FBE-∠GBE=号-（号-46）=46.：BG∥BF, ∠CBQ=a.,∠ACB=90°，∴∠DCE=∠ACB-∠DCB= .∠G=∠FBG=45.3.C4.15°5.解：(1)85°[解 90°-a,.∠AEN=90°-a:②当90°<a<180时，如答图②， 析：如图，过点E作EF∥AB.1其 :AB∥ 延长AC交MN于点E,过点C作CD∥MN,∴·∠AEN+ ∠ECD=18o.又，PQ∥MN,∴.CD∥PQ,∴.∠BCD+ ∠CBQ-180°，∴.∠BCD=180°-a.:点A,C,E共线， CD,∴.AB∥EF∥CD,∴.∠MEF=∠BME=30°，∠NEF= .∠DCE+∠BCD=180°-∠ACB=180°-90°=90°， ∠DNE=55,∴.∠MEV=∠MEF+∠NEF=30°+55°= ∴∠DCE=90°-∠BCD=90°-(180°-a)=a-90°， 85](2),ME,ND分别是∠BMF,∠ENF的平分线， ∴.∠AEN=180°-∠DCE=180°-(a-90)=270°-a.综 上所述，∠AEN的度数为90°-a或270°-a. “∠BME-号∠BMF=号X40=20,∠DNF=∠DNE 号∠ENE由I)可得，∠MEN=∠BME+∠DNE. ∴.80°=20°+∠DNE.∠DNE=60°，.∠DNF=60°.如 图，过点F作FR∥AB.A ∴.∠MFR= 答图①D 答图② 专题突破（三） 平行线与角综合 180°-∠BMF=180°-40=140°.，AB∥CD,AB∥FR, 例题导学 ∴.FR∥CD,.∠NFR=180°-∠DNF=180°-60°=120°， 【例1】解：(1)AE∥BD,理由如下：，AB∥CD,∠A十 .∠MFV=∠MFR-∠NFR=140°-120°=20°.即∠F ∠2=180°.∠A+∠1=180°，∴∠2=∠1，.AE∥BD: 的度数为20°. (2)过点F作直线FG∥CD.AB∥CD,∴AB∥CD∥FG, 专题突破（二）翻折和三角尺中的平行问题 ∴∠ABD=∠1=∠116.：BF平分∠ABD,∴.∠ABF= 例题导学 ∠ABD=合X116=58.:FPG∥AB,∠BFG 1 【例1】B【解析】，∠2=34°，.∠AEA=180°-∠2= 146.,将纸带沿EF折叠，点A,D的对应点分别为A', ∠ABF=58°.：AE∥BD,∴.∠BDE=180°-∠E=180° 80°=100°.∠CDB=180°-∠1=180°-116°=64° D∠AEF=∠AEF=∠AEA=是X146=73 ∴.∠CDE=∠BDE-∠CDB=100°-64°=36.FD平分 :纸带的两边是平行的，即AB∥CD,.∠1=∠AEF= 73°.【例2】解：(1)90°[解析：如图，过点C作CD∥PQ ∠CDE.∠4=∠5=2∠CDE=2×36°=18.：CD/ :PQ∥MN,∴.PQ∥CD∥MN, FG,∴.∠3=∠4=18°，.∠BFD=∠BFG-∠3=58°- 18°=40°，即∠F=40°.【例2】解：(1)75°[解析：如图。 过点G作GH∥AC. .∠DGH= ∴.∠PBC=∠BCD.∠MAC=∠DCA,∴.∠MAC+∠PBC= ∠ACD+∠BCD=∠ACB=90](2)·∠AEN=∠BAC= ∠EDF=45°，∠AGH=∠BAC=30°，.∴.∠DGA=∠DGH+ 30°，.∠CEM=∠AEV=30°.利用(1)的结论可得： ∠AGH=45°+30°=75°.](2)如图，过点F作FH∥AB. ∠ACB=∠PDC+∠MEC,∴.∠PIDC=∠ACB-∠MEC= ,ED∥AB,FH∥AB,∴.ED∥AB∥ 90°-30°=60°，∴.∠BDF=∠PDC=60°，.∠BDF的度数 为60. 【变式练习】 1.B2.C3.110°4.57°5.解：(1)60°(2)如图.过点 FH,∴.∠DFH=∠EDF=45,∠AFH=∠BAC=30°， C作CD∥MN. ∴.∠AEM=∠ACD. ∴.∠DFA=∠DFH-∠AFH=45°-30°=15°：(3)如答图 ①，当EF∥AB时，·EF∥AB,∴·∠EFA=180°-∠BAC= 180°-30°=150°，.∠DFA=∠EFA-∠EFD=150° 90°=60°，∴.31十15=60，解得1=15.如答图②，当DF∥AB .MN∥PQ,CD∥MN,.CD∥PQ,∴.∠BCD=∠CBQ= 时，：DF∥AB,.∠DFA=180°-∠BAC=180°-30°= 30°..∠ACD=∠ACB-∠BCD=90°-30°=60°. 150°.∴.3t+15=150,解得t=45.如答图③，当DE∥AB ∴.∠AEM=60°，∴.∠AEN=180°-∠AEM=180°-60°= 时，过点F作FG∥AB.DE∥AB,FG∥AB,∴.DE 120°：(3)∠AEN=90°-a或270°-a.①当a<90时，如答FG∥AB.∴.∠AFG=180°-∠BAC=180°-30°=150°， 参考答案第3页（共47页）专题突破（二） 翻折和三角尺中的平行问题 A 专题概逃 3.如图，把一张长方形纸片- 本专题主要考查平行线的性质，折叠与 ABCD沿着EF折叠后， 对称的性质，由折叠得对应角相等，借助角的 点A落在点A处，点B 和差关系，利用数形结合求解是解题的关键。 落在点B'处.若∠2= 50°，则∠1的度数为 B例题导学 4.将图①长方形纸条以BC为折痕并折叠成 类型1翻折中的平行问题 如图②的形状，若∠DBA=66°，则∠ECB 【例1】如图，四边形ABCD为一长方形纸带， 的度数为 点E,F分别在边AB,CD上，将纸带沿EF 折叠，点A,D的对应点分别为A',D.若 ∠2=34°，则∠1的度数为 A.72 图① 图② B.73 类型2 三角尺中的平行问题 C.74° 【例2】直线PQ∥MN,直角三角尺ABC的 D.78 ∠BAC=30°，∠ACB=90° 【方法点拨】本题考查平行线的性质、折叠问 (1)若把三角尺按图①方式放置，则∠MAC十 题中求角度和角的和差，掌握平行线的性质 ∠PBC的度数为 是解题的关键.根据折叠的性质求∠AEF的 (2)若把三角尺按图②方式放置，点D,E,F是 度数，再根据平行线的性质求∠1的度数。 三角尺的边与平行线的交点，若∠AEN 【变式练习】 ∠BAC,求∠BDF的度数. 1.如图，在长方形纸带ABCD中，AD∥BC, ∠A=∠B=∠C=∠D=90°，将长方形 ABCD沿EF折叠，C,D两点的对应点分 别为G,H.若∠1=2∠2，则∠AEF的度数 图① 图② 为 【方法点拨】本题考查了平行线的性质，抓拐 A.100° B.105 C.1159 D.120° ,点作辅助线，熟练掌握平行线的性质是解本 题的关键. 56 (第1题图) (第2题图) 2.如图，将一张长方形纸片ABCD沿着BE 折叠，使点C,D分别落在点C1,D处.若 ∠CBA=56°，则∠ABE的度数为( A.15 B.16 C.17 D.20° ·15· 【变式练习】 【深入探究】 5.综合与实践 敏思小组继续探究，如图③，如果PQ不动， 【问题情境】 加大平行线之间的距离，使平行线之间的距 数学课上，老师让同学们以“两条平行线 离大于BC,旋转三角尺ABC,当点A旋转 MN,PQ和一块含60°角的直角三角尺 到平行线之间，直线AC与直线MN的交点 ABC(∠ACB=90°，∠ABC=60°)”为背景 E在点N左侧，若∠CBQ=a,请直接写出 开展数学活动，如图①，将三角尺的点B放 ∠AEN的度数（用含a的式子表示）， 在直线PQ某一定点处，直线AC与直线 MN相交于点E. 【操作探究】 (1)勤学小组的同学发现，如图①，若 图③ ∠CBQ=30°，则∠AEN的度数为 图① (2)创新小组的同学将三角尺ABC绕点B 旋转至图②中的位置时，若∠CBQ= 30°，求∠AEN的度数. B 图② ·16·