专题突破(1)平行线中的“拐点”问题（讲册）-【精英新课堂·三点分层作业】2024-2025学年新教材七年级下册数学（人教版2024 重庆专版）

的平行线。此外，掌握过“拐点”作一条直线的 【变式练习】 平行线这种化未知为已知的转化思想，是解 2.如图，AB∥CD,∠A=54°，则下列角中的 此类题的关键。 度数为54的是 A.∠C B.∠E C.∠DFE D.∠AFD (第2题图) (第3题图) 3.如图，已知AB∥DE,∠ABC=75,∠CDE 150°，则∠BCD的度数为 ) A.55° B.45 C.60 D.50° 专题突破（一） 平行线中的“拐点”问题 A专题概逃 【变式练习】 本专题考查平行线的判定和性质，过拐 1.如图，直线AB∥CD,点 A 点构造平行线，借助三角形的内角和和角平 E,F分别在直线AB和 分线计算.熟练画出图形，数形结合添加辅助 直线CD上，点P在两条 线是解题的关键。 平行线之间，∠AEP和 B例题导学 ∠CFP的平分线交于点H.已知∠P= 78°，则∠H的度数为 类型1抓拐点作平行线 【例2】如图，已知AB∥CD,∠BEG=58°， 【例1】如图，直线MN∥PQ,点A,C分别在 ∠G=30°，则∠HFG的度数为 直线MN,PQ上，AD平分∠BAN,CD平分 A.28 ∠ECQ,∠ABE=110°.若∠DCQ=&,则∠1 B.29° 等于 C.30° A30°+a D.32 B.30°-a 【方法点拨】抓住拐点G作CD的平行线，根 C.35°+a 据“两直线平行，内错角相等”可推出答案， D.35°-a 【变式练习】 【方法点拨】本题考查的是平行线的性质，熟 2.已知A一B一E-C-D是一条折线段，且 知“两直线平行，同位角相等（同旁内角互 AB∥CD,点E为平行线间一点. 补)”，抓住拐点B作PQ的平行线是解题的 (1)如图①，若∠ABE=140°，∠ECD= 关键.根据AD平分∠BAN可得出∠NAD 25°，求∠BEC的度数： 的度数，进而得出∠1的度数 ·12· (2)如图②，∠ABE的平分线交直线CD于 类型2拐点和直角问题 点F,过点B作BH⊥CD于点H,过点 【例3】(2024·育才中学期中)如图，直线a∥ E作EG∥BF交∠HBE的平分线于点 b,点C在平行线内部，点A在直线a上，点B G,若点E是位于线段BH右侧的一动 在直线b上，并且AC⊥BC.若∠2=20°，则 点，试判断∠G是否为定值？如果是定 ∠1= 值，请求出这个定值；如果不是，请说明 理由. 图① 图② 【方法点拨】本题考查了平行线的性质，抓住 拐点C作a的平行线，根据“两直线平行，内 错角相等”可得∠1十∠2=∠ACB,根据 AC⊥BC和∠2的度数可推出∠1的度数. 【变式练习】 3.将含45°角的直角三角尺按如图所示摆放， 直角顶点在直线m上，其中一个锐角顶点 在直线n上.若m∥n,∠1=30°，则∠2的 度数为 A.45 B.60° C.75 D.90° 60 (第3题图) (第4题图) 4.如图，将一块含有60°角的直角三角尺放置 在两条平行线上.若∠1=45°，则∠2= 类型3 综合问题 【例4】已知AB∥CD,点E为AB,CD之外任 意一点。 (1)如图①，探究∠BED与∠B,∠D之间的 数量关系，并说明理由： ·13· (2)如图②，探究∠D与∠B,∠BED之间的 【变式练习】 数量关系，并说明理由 5.已知直线AB∥CD,点M和点N分别在直 线AB和CD上，点E在直线AB,CD之 间，连接ME,NE (1)如图①，若∠BME=30°，∠DNE=55°， 图① 图② 则∠E的度数为 【方法点拨】分别过拐点E作AB的平行线， (2)如图②，若点F是直线CD下方一点，连 再根据平行线的性质即可推出三个角之间的 接MF与直线CD交于点O,连接NF, 关系 ME,ND分别是∠BMF,∠ENF的平分 线，已知∠BMF=40°，∠MEN=80°，求 ∠F的度数 图① 图② 【例5】如图，“抖空竹”是国家级非物质文化遗 产.在“抖空竹”的一个瞬间如图①所示，将图 ①抽象成一个数学问题：如图②，若AB∥ CD,∠EAB=70°，∠ECD=110°，则∠AEC 的度数为 图① 图② ·14·例题导学 ∠BDE两直线平行，同旁内角互补同旁内角互补，两 【例1】(1)ABCD同位角相等，两直线平行(2)AB 直线平行两直线平行，同位角相等2.C3.B CD内错角相等，两直线平行(3)ADBC同旁内角 专题突破（一）平行线中的“拐点”问题 互补，两直线平行【例2】解：ED∥CF理由如下：，∠A= 例题导学 ∠D(已知)，∴AB∥ED(内错角相等，两直线平行).：∠B= 【例1】C【解析】如图，过点B作BG∥PQ交AD于点G ∠FCB(已知)，∴.AB∥CF(内错角相等，两直线平行)， :CD平分∠ECQ,∠DQ=a ∴.ED∥C℉（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两 条直线也互相平行). 【变式练习】 1.B2.C3.(1)∠BAC垂直的定义180°∠BAD 同旁内角互补，两直线平行(2)∠EDC垂直的定义 ∴.∠ECQ-2a.BG∥PQ,∴.∠EBG=∠ECQ=2a. ∠EDC同角的余角相等内错角相等，两直线平行 ,∠ABE110°，∴.∠ABG=∠ABE-∠EBG=110°-2a 7.2.3平行线的性质 :MN∥PQ,BG∥PQ,∴.BG∥MN,∴.∠BAN+∠ABG 第1课时平行线的性质 180°，.∠BAN=180°-∠ABG=180°-(110°-2a)= 知识梳理 70+2a:AD平分∠BAN,∠NAD=∠BAN= 1.相等相等2.相等相等3.互补互补 35°+a..PQ∥MN,∴.∠1=∠NAD=35°+a.【例2】A 例题导学 【例1】解：，'∠AEC=42,∴∠AED=180°-∠AEC=180°- 【例3】70°【例4】解：(1)∠B=∠BED+∠D.理由如下： 如图，过点E作EF∥AB. :AB∥CD. 42=138.:EF平分∠AED,∠DEF=号∠AED= 2×138=69,:AB/CD.∴∠AFE=∠DEF=69 【例2】解：：∠DEH+∠EHG=180°（已知），.ED∥AC ∴.AB∥CD∥EF,.∠BEF=∠B,∠D=∠DEF (同旁内角互补，两直线平行)，∴.∠1=∠C(两直线平行， ,∠BEF=∠BED+∠DEF,∴.∠B=∠BED+∠D: 同位角相等)，∠2=∠DGC(两直线平行，内错角相等). (2)∠CDE=∠B+∠BED.理由如下：如图②，过点E作 :∠1=∠2，∠C=∠A(已知)，∴.∠A=∠DGC(等量代 EF∥AB.⊥ AB∥CD,∴.AB∥ 换)，∴.AB∥DF(同位角相等，两直线平行)，∴∠AEH= ∠F(两直线平行，内错角相等). 【变式练习】 1.B2.118°118°3.解：AB∥CD,.∠BEF+ CD∥EF,.∠B=∠BEF,∠CDE=∠DEF.:∠DEF= ∠EFG=180.又：∠EFG=40°.∴.∠BEF=140°.，EG ∠BEF+∠BED,∴.∠D=∠B+∠BED.【例5】40 平分∠BEF∴∠BG=2∠BF=是×140=-0.：AB/ 【解析】如图.过点E作EF∥AB. CD,.∠EGF=∠BEG=70°.4.B 第2课时平行线性质与判定的综合运用 知识梳理 ,AB∥CD,∴.AB∥CD∥EF.,∠EAB=70,∠ECD= 相等相等互补 110°，∴.∠AEF=180°-∠EAB=180°-70=110°，∠CEF= 例题导学 180°-∠ECD=180°-110°=70°，∴.∠AEC=∠AEF 【例1】解：，AD∥BC,∴∠A-∠ABF.又：∠A=∠C, ∠CEF=110°-70°=40. ∴∠C=∠ABF,∴.AB∥CD.【例2】解：∠C+∠D一 【变式练习】 ∠B=180°理由如下：如图，过点C作CF∥AB,则∠B= 1.141°2.解：(1)如图，过点E作AB的平行线EF, ∠2（两直线平行，内错角相等）. 0 EAB∥ B ∴.∠BEF=180°-∠ABE=180°-140°= --------E ) 4O°.AB∥CD,AB∥EF,∴.CD∥EF,∴.∠FEC=∠ECD= 25°，∴.∠BEC=∠BEF+∠FEC=40°+25°=65°：(2)∠G ED,CF∥AB,∴.ED∥CF(如果两条直线都与第三条直线 平行，那么这两条直线也互相平行)..∠1+∠D=180 为定值，∠G=45.理由如下：设∠ABE=a.:∠ABE的平 (两直线平行，同旁内角互补)，而∠1=∠BCD一∠2= 分线交直线CD于点R,∠FBE-=∠ABE=号.：BF/ ∠BCD-∠B,.∠BCD-∠B+∠D=180°，即∠C+ ∠D-∠B=180°. BG,·∠BEG=180°-∠FBE-180°-号.BH⊥CD于 【变式练习】 点H,∴∠BHD=9O°.：AB∥CD,.∠ABH=∠BHD 1.∠4∠4 BDEF内错角相等，两直线平行 90°，∴.∠HBE=∠ABE-∠ABH=0-90°.，BG是∠HBE 参考答案第2页（共47页） 的平分线，.∠GBE=号∠HBE=号-45，∠FBG 图①，延长CA交MN于点E,过点C作CD∥MN, ∴.∠AEN=∠ACD.,MN∥PQ,∴.CD∥PQ,∴.∠DCB= ∠FBE-∠GBE=号-（号-46）=46.：BG∥BF, ∠CBQ=a.,∠ACB=90°，∴∠DCE=∠ACB-∠DCB= .∠G=∠FBG=45.3.C4.15°5.解：(1)85°[解 90°-a,.∠AEN=90°-a:②当90°<a<180时，如答图②， 析：如图，过点E作EF∥AB.1其 :AB∥ 延长AC交MN于点E,过点C作CD∥MN,∴·∠AEN+ ∠ECD=18o.又，PQ∥MN,∴.CD∥PQ,∴.∠BCD+ ∠CBQ-180°，∴.∠BCD=180°-a.:点A,C,E共线， CD,∴.AB∥EF∥CD,∴.∠MEF=∠BME=30°，∠NEF= .∠DCE+∠BCD=180°-∠ACB=180°-90°=90°， ∠DNE=55,∴.∠MEV=∠MEF+∠NEF=30°+55°= ∴∠DCE=90°-∠BCD=90°-(180°-a)=a-90°， 85](2),ME,ND分别是∠BMF,∠ENF的平分线， ∴.∠AEN=180°-∠DCE=180°-(a-90)=270°-a.综 上所述，∠AEN的度数为90°-a或270°-a. “∠BME-号∠BMF=号X40=20,∠DNF=∠DNE 号∠ENE由I)可得，∠MEN=∠BME+∠DNE. ∴.80°=20°+∠DNE.∠DNE=60°，.∠DNF=60°.如 图，过点F作FR∥AB.A ∴.∠MFR= 答图①D 答图② 专题突破（三） 平行线与角综合 180°-∠BMF=180°-40=140°.，AB∥CD,AB∥FR, 例题导学 ∴.FR∥CD,.∠NFR=180°-∠DNF=180°-60°=120°， 【例1】解：(1)AE∥BD,理由如下：，AB∥CD,∠A十 .∠MFV=∠MFR-∠NFR=140°-120°=20°.即∠F ∠2=180°.∠A+∠1=180°，∴∠2=∠1，.AE∥BD: 的度数为20°. (2)过点F作直线FG∥CD.AB∥CD,∴AB∥CD∥FG, 专题突破（二）翻折和三角尺中的平行问题 ∴∠ABD=∠1=∠116.：BF平分∠ABD,∴.∠ABF= 例题导学 ∠ABD=合X116=58.:FPG∥AB,∠BFG 1 【例1】B【解析】，∠2=34°，.∠AEA=180°-∠2= 146.,将纸带沿EF折叠，点A,D的对应点分别为A', ∠ABF=58°.：AE∥BD,∴.∠BDE=180°-∠E=180° 80°=100°.∠CDB=180°-∠1=180°-116°=64° D∠AEF=∠AEF=∠AEA=是X146=73 ∴.∠CDE=∠BDE-∠CDB=100°-64°=36.FD平分 :纸带的两边是平行的，即AB∥CD,.∠1=∠AEF= 73°.【例2】解：(1)90°[解析：如图，过点C作CD∥PQ ∠CDE.∠4=∠5=2∠CDE=2×36°=18.：CD/ :PQ∥MN,∴.PQ∥CD∥MN, FG,∴.∠3=∠4=18°，.∠BFD=∠BFG-∠3=58°- 18°=40°，即∠F=40°.【例2】解：(1)75°[解析：如图。 过点G作GH∥AC. .∠DGH= ∴.∠PBC=∠BCD.∠MAC=∠DCA,∴.∠MAC+∠PBC= ∠ACD+∠BCD=∠ACB=90](2)·∠AEN=∠BAC= ∠EDF=45°，∠AGH=∠BAC=30°，.∴.∠DGA=∠DGH+ 30°，.∠CEM=∠AEV=30°.利用(1)的结论可得： ∠AGH=45°+30°=75°.](2)如图，过点F作FH∥AB. ∠ACB=∠PDC+∠MEC,∴.∠PIDC=∠ACB-∠MEC= ,ED∥AB,FH∥AB,∴.ED∥AB∥ 90°-30°=60°，∴.∠BDF=∠PDC=60°，.∠BDF的度数 为60. 【变式练习】 1.B2.C3.110°4.57°5.解：(1)60°(2)如图.过点 FH,∴.∠DFH=∠EDF=45,∠AFH=∠BAC=30°， C作CD∥MN. ∴.∠AEM=∠ACD. ∴.∠DFA=∠DFH-∠AFH=45°-30°=15°：(3)如答图 ①，当EF∥AB时，·EF∥AB,∴·∠EFA=180°-∠BAC= 180°-30°=150°，.∠DFA=∠EFA-∠EFD=150° 90°=60°，∴.31十15=60，解得1=15.如答图②，当DF∥AB .MN∥PQ,CD∥MN,.CD∥PQ,∴.∠BCD=∠CBQ= 时，：DF∥AB,.∠DFA=180°-∠BAC=180°-30°= 30°..∠ACD=∠ACB-∠BCD=90°-30°=60°. 150°.∴.3t+15=150,解得t=45.如答图③，当DE∥AB ∴.∠AEM=60°，∴.∠AEN=180°-∠AEM=180°-60°= 时，过点F作FG∥AB.DE∥AB,FG∥AB,∴.DE 120°：(3)∠AEN=90°-a或270°-a.①当a<90时，如答FG∥AB.∴.∠AFG=180°-∠BAC=180°-30°=150°， 参考答案第3页（共47页）