7.3 定义、命题、定理（讲册）-【精英新课堂·三点分层作业】2024-2025学年新教材七年级下册数学（人教版2024 重庆专版）

7.3定义、命题、定理 第1课时 定义与命题 A知识梳理 知识点2 命题及其结构 1.定义：使方程左、右两边的值相等的未知数 【例2】判断下列语句是不是命题， 的值叫作方程的解，这样的描述叫作定义. ①画直线AB: 2.命题的定义 ②两条直线相交，有几个交点？ 可以判断为正确（或真）或错误（或假）的 ③若a∥b,b∥c,则a∥c: 语句叫作命题. ④互补的两个角不能都是锐角： 3.真命题与假命题 ⑤相等的角都是直角： ⑥如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角： 被判断为 的命题叫作真命 【方法点拨】判断一个语句是不是命题的关 题，被判断为 的命题叫作假 键：命题是表示判断的语句，它包含因果关 命题 系，一般都是以陈述句的形式出现，其他如疑 4.命题的结构 问句、感叹句、祈使句以及表示画图的语句都 数学中的命题常可以写成“如果…那 不是命题 么…”的形式，这时如果后接的部分是 ,“那么”后接的部分是 【例3】将下列命题改写成“如果…那 B 例题导学 么…”的形式，并指出命题的题设与结论。 (1)同位角相等： 知识点1 定义 (2)直角都相等. 【例】下列描述是定义的是 【方法点拨】在改写的过程中，不能简单地把 A.对顶角相等 题设部分、结论部分分别放在“如果”“那么” B.画线段AB 后面，要适当增减词语，保证句子通顺而不改 C.任何数的平方都大于0吗？ 变原意，最好把所有的条件都放在如果后面， D.直线外一点到这条直线的垂线段的长度， 叫作点到直线的距离 【方法点拨】能够描述数学对象的本质特征， 帮助我们准确地理解它并作出准确的判断， 这样的语句是定义， 【变式练习】 【变式练习】 1.列举2例学过的定义的例子. 2.下列语句是命题的是 A.延长线段AB到C B.用量角器画∠AOB=90° C.两点之间，线段最短 D.任何数的平方都不小于0吗 ·20· 3将下列命题改写成“如果…那么…”的 【变式练习】 形式，并指出它的题设和结论 4.“相等的角是对顶角”的题设是 (1)两个角的和等于180°时，这两个角互为 结论是 ,它是一个 补角； (选填“真”或“假”)命题， (2)内错角相等. 5.指出下列命题的题设和结论，并判断真假. (1)两直线相交只有一个交点： (2)若a2=b,则a=b: (3)锐角小于90°. 知识点3真命题与假命题 【例4】下列命题是真命题的是 A.同旁内角互补 B.在同一平面内，a⊥b,b∥c,则a∥c C.如果a>c,b>c,那么a=b D.如果a∥b,b∥c,那么a∥c 第2课时 定理与证明 A 知识梳理 A.命题不一定是定理，定理一定是命题 1.定理的定义 B.定理不可能是假命题 个经过 是正确的命题，叫作 C.真命题是定理 定理.定理也可以作为继续推理的 D.如果真命题的正确性是经过推理证实的， 2.证明的定义 那么这样得到的真命题是定理 一个命题的正确性需要经过推理才能作出 【方法点拔】只有经过推理证实是正确的真命 判断，这个 叫作证明， 题才能称为定理 (1)证明中的每一步推理都要有根据，不能 【变式练习】 “想当然”.这些根据，可以是已知条件， 1.下列语句是定理的是 也可以是学过的 A.画∠AOB=45 等： B.三个角都是锐角的三角形叫作锐角三 (2)判定一个命题是错误的，只要举出一个例 角形 子（反例）即可，它符合命题的 ,但 C.内错角相等，两直线平行 不满足 就可以了 D.连接CD B例题导学 知识点2 证明 知识点① 定理 【例2】如图，已知∠1=∠ACB,∠2=∠3， 【例1】下列说法错误的是 )FH⊥AB于点H.求证：CD⊥AB. ·21 【变式练习】 2.如图，若∠A十∠B=180°，∠C=65°，则 ∠1= ,∠2= 【方法点拨】证明是从条件出发，经过一步步 推理，最后推出结论的过程.证明中的每一步 推理都要有根据，不能“想当然”.这些根据， 3.如图，已知∠1=48°，∠2=132°，∠C= 可以是已知条件，也可以是定义、基本事实、 ∠D. 定理等.在初学证明时，要把根据写在每一步 求证：(1)BD∥CE: 推理后面的括号内. (2)∠A=∠F. 7.4平移 A知识梳理 点，连接各组对应点的线段 1.平移的定义 且 一般地，在平面内，将一个图形按 B例题导学 移动一定的距离，这样的图形运动叫作 知识点1① 平移的概念及性质 平移. 【例1】下列各组图形中，一个图形经过平移能 注意：图形平移的方向不限于水平或竖直 够得到另一个图形的是 方向，图形可以沿平面内任何方向平移， 2.平移的特征 把一个图形平移，得到的新图形具有下列 特点： 【方法点拨】紧扣平移的性质：①平移不改变 (1)新图形与原图形的 和 图形的形状和大小：②经过平移，对应点所连 完全相同： 的线段平行（或在同一条直线上）且相等， (2)新图形中的每一点，都是由原图形中的 【例2】如图，三角形ABC经过平移之后得到 某一点移动后得到的，这两个点是对应 三角形DEF,那么： ·22·∠GFD=∠EDF=45°，∴.31=150+45-15，解得1=60.综 例题导学 上所述，三角尺DEF旋转的时间为15s或45s或60s时， 【例1】D【例2】解：③④⑤⑥是命题：①②不是命题 存在三角尺DEF的某一条边与AB平行的情况 【例3】解：(1)如果两条直线被第三条直线所截，形成的两 个角是同位角，那么这两个角相等.题设：两个角是同位角. 结论：这两个角相等；(2)如果两个或两个以上的角是直角， 那么它们都相等：题设：两个或两个以上的角是直角.结论： 它们都相等.【例4】D 【变式练习】 答图① 答图② 答图③ 1.解：①如果方程中只含有一个未知数（元），且含有未知数 【变式练习】 的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫作一 1.解：(1)：∠1=∠2，∠1=∠CFG,∠2=∠CFG,∴.M∥ 元一次方程.②大于0的数叫作正数.（答案不唯一）2.C DH,.∠D=∠ACM:∠D=∠CMG,∴.∠CMG= 3.解：(1)如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为补 ∠ACM,∴.AD∥NG:(2)∠NBG-∠ANB+∠1=180°.过 角：题设：两个角的和等于180°，结论：这两个角互为补角： 点B作BP∥AV交NG于点P,.∠ANB=∠NBP (2)如果两条直线被第三条直线所截，形成的角是内错角， :AD∥NG,∴.∠D=∠DHG.'∠A+∠DHG=180, 那么这两个角相等：题设：两个角是内错角，结论：这两个角 ∴.∠A+∠D=180,.AN∥DH.BP∥AN,CM∥DH, 相等.4两个角相等这两个角是对顶角假5，解： ∴.BP∥CM,∴.∠PBG+∠1=180°.∠PBG=∠NBG (1)题设：两条直线相交：结论：只有一个交点：这个命题是 ∠NBP=∠NBG-∠ANB,∴.∠NBG-∠ANB+∠1 真命题：(2)题设：a2=:结论：a=b:这个命题是假命题： 180.2.B3.30°或90°4.解：(1)a∥b,∠CAB= (3)题设：一个角是锐角：结论：它小于90°：这个命题是真 180°-∠ACD=180°-60=120°，∠BAD=∠ADC=30, 命题. ∴.∠CAD=∠CAB-∠BAD=120°-30°=90°：(2)如图， 第2课时 定理与证明 过点P作PQ∥CD. Ta ,将线段AB沿 知识梳理 --0 1.推理证实依据2.推理过程(1)定义 基本事实 定理(2)题设结论 直线AD平移，得到线段EF,a∥b,∴.AB∥CD∥EF∥PQ, 例题导学 .∠FPQ=∠PFE,∠QPD=∠ADC=30°.又，BP⊥ 【例1】C【例2】证明：：∠1=∠ACB(已知)，∴.DE∥BC AD.∴.∠BPD=90°，即∠BPF+∠FPQ+∠QPD=90° (同位角相等，两直线平行)，∴·∠2=∠DCB(两直线平行， :∠BPF=2∠EFP,∠FPQ=∠PFE,∴.2∠EFP+ 内错角相等).又：∠2=∠3（已知），∴∠DCB=∠3（等量 ∠EFP+30=90°，∴.∠EFP=20°.a∥b,∴.∠BAP= 代换)，∴.CD∥HF(同位角相等，两直线平行).：FH⊥AB ∠ADC=30°.由平移可知，AE∥BF,∴.∠FBT=∠BAP= (已知)，∠FHB=90°（垂直的定义），∴.∠CDB=90(两 3O.:AB∥EF,∴.∠BFE=∠FBT=3O°，∴.∠BFP= 直线平行，同位角相等)，∴.CD⊥AB(垂直的定义) ∠BFE+∠EFP=30°+20°=50°：(3)过点G作GH∥CD 【变式练习】 如答图①.：将线段AB沿直线AD平移，得到线段EF, 1.C2.115°65°3.证明：(1)，∠1=48，∠2=132， a∥b,.AB∥CD∥EF∥GH,.∠AGH=∠ACD=6o, ∴∠1+∠2=180°，.BD∥CE:(2):BD∥CE,∴.∠C ∠EFP=∠FGH.又：∠FGH=∠AGH-∠AGF=6O° ∠ABD.又∠C=∠D,∴.∠ABD=∠D,∴.AC∥DF, 40°=20°，∴.∠EFP=∠FGH=20,如答图②，过点G作 ∴∠A=∠F GH∥CD.:将线段AB沿直线AD平移，得到线段EF, 7.4平移 a∥b,∴.AB∥CD∥EF∥GH,∴.∠AGH=∠ACD=60, 知识梳理 ∠EFP=∠FGH.又，∠FGH=∠AGH+∠AGF=60°+ 1.某一方向2.(1)形状大小(2)平行（或在同一条直 40=100°，∴.∠EFP=∠FGH=100°.综上所述，∠EFP 线上)相等 的度数为20或100. 例题导学 【例1D【例2】1)DEC(2)DEEF(3)∠D ∠ACB 【例3】解：如图，△EFG即为所求. 【例4540m 答图① 答图② 7.3定义、命题、定理 【变式练习】 第1课时定义与命题 1.C2.80°40 60°23.解：如图 知识梳理 2.陈述3.正确（或真）错误（或假） 4.题设结论 参考答案 第4页（共47页）