第三章 函数的概念与性质综合测试-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

章末综合检测(三) (时间：120分钟，满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知函数f(x)满足f(x＋2)＝x2＋4x－3，则f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝x2－7 B．f(x)＝x2＋7 C．f(x)＝x2＋x－1 D．f(x)＝x2－x＋2 解析：选A.因为f(x＋2)＝x2＋4x－3＝(x＋2)2－7，所以f(x)＝x2－7.故选A. 2．函数y＝＋1的值域为(　　) A．(0，＋∞) B．[1，＋∞) C．[0，＋∞) D．[4，＋∞) 解析：选D.因为x2＋9≥9，所以≥3，所以＋1≥4，所以函数y＝＋1的值域为[4，＋∞)．故选D. 3．已知a∈R，函数f(x)＝若f(f())＝4，则a的值为(　　) A．3 B．13 C．－43 D．2 解析：选D.由题意可得f()＝()2－4＝1，则f(f())＝f(1)＝|1－3|＋a＝2＋a＝4，解得a＝2. 4．已知幂函数f(x)＝(a2－2a－2)xa－1在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的值为(　　) A．－1 B．3 C．－1或3 D．不存在 解析：选B.因为f(x)＝(a2－2a－2)xa－1为幂函数，所以a2－2a－2＝1，解得a＝－1或a＝3，又因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，a＝－1不满足题意，所以a＝3.故选B. 5．已知f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，它们的部分图象如图所示，则f(x)g(x)的大致图象是(　　) 解析：选C.由题意，得f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．令F(x)＝f(x)g(x)，则F(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F(x)，所以函数F(x)为奇函数，其图象关于原点对称，排除A，B.又由函数f(x)，g(x)的图象可知，当x>0时，f(x)>0，g(x)>0，所以F(x)>0，可排除D.故选C. 6．若二次函数f(x)＝ax2＋2a是区间[－a，a2]上的偶函数，g(x)＝f(x－1)，则g(0)，g()，g(3)的大小关系为(　　) A．g()<g(0)<g(3) B．g(0)<g()<g(3) C．g()<g(3)<g(0) D．g(3)<g()<g(0) 解析：选A.由题意得解得a＝1，所以f(x)＝x2＋2，所以g(x)＝f(x－1)＝(x－1)2＋2.因为函数g(x)的图象关于直线x＝1对称，所以g(0)＝g(2)．又函数g(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，所以g()<g(2)<g(3)，所以g()<g(0)<g(3)．故选A. 7．若函数f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是(　　) A．(，1) B．[，1) C．(，] D．(，＋∞) 解析：选C.因为f(x)是R上的减函数，所以解得<a≤，所以实数a的取值范围是(，]． 8．已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，且f(x)在(－∞，0)上单调递减，f(3)＝0，则不等式(x－1)f(x＋2)≤0的解集是(　　) A．(－∞，－5]∪[－2，＋∞) B．(－∞，－2]∪[1，＋∞) C．(－∞，－5]∪[1，＋∞) D．[－5，－2]∪[1，＋∞) 解析：选A.由题意可知当x∈(－∞，－3)∪(0，3)时，f(x)>0，当x∈(－3，0)∪(3，＋∞)时，f(x)<0， 当x＝0，±3时，f(x)＝0. (x－1)f(x＋2)≤0等价于 或或x＝1， 即 或或x＝1， 解得x的取值范围是(－∞，－5]∪[－2，＋∞)．故选A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列各组函数中，两个函数是同一个函数的为(　　) A．f(x)＝|x|与g(x)＝ B．f(x)＝x＋1与g(x)＝ C．f(x)＝与g(x)＝ D．f(x)＝与g(x)＝· 解析：选AC.对于A，g(x)＝＝|x|，故A正确；对于B，f(x)＝x＋1的定义域为R，g(x)＝的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，故B错误；对于C，f(x)＝＝故C正确；对于D，f(x)＝的定义域为(－∞，－1]，[1，＋∞)，g(x)＝·的定义域为[1，＋∞)，故D错误．故选AC. 10．下列函数中，是奇函数且在区间(0，1)上单调递减的是(　　) A．f(x)＝|x| B．f(x)＝－2x C．f(x)＝ D．f(x)＝－x2＋4 解析：选BC.对于A，f(x)的定义域为R，且f(－x)＝|x|＝f(x)，故f(x)为偶函数，A错误； 对于B，f(x)的定义域为R，且f(－x)＝2x＝－f(x)，故f(x)为奇函数，又f(x)＝－2x在(0，1)上单调递减，B正确； 对于C，f(x)的定义域为{x|x≠0}， 且f(－x)＝－＝－f(x)，故f(x)为奇函数，又f(x)＝在(0，1)上单调递减，C正确； 对于D，f(x)的定义域为R，且f(－x)＝－x2＋4＝f(x)，故f(x)为偶函数，D错误．故选BC. 11．若函数f(x)在定义域内的某区间M上单调递增，且在M上单调递减，则称f(x)在M上是“弱增函数”，则下列说法正确的有(　　) A．若f(x)＝x2，则不存在区间M使f(x)为“弱增函数” B．若f(x)＝x＋，则存在区间M使f(x)为“弱增函数” C．若f(x)＝x3＋x，则f(x)为R上的“弱增函数” D．若f(x)＝x2＋(4－a)x＋a在区间(0，2]上是“弱增函数”，则a＝4 解析：选ABD.对于A，f(x)＝x2在[0，＋∞)上单调递增，y＝＝x在定义域内的任何区间上都单调递增，故不存在区间M使f(x)＝x2为“弱增函数”，A正确； 对于B，由对勾函数的性质可知，f(x)＝x＋在[1，＋∞)上单调递增，由幂函数的性质可知，y＝＝1＋x－2在[1，＋∞)上单调递减，故存在区间M＝[1，＋∞)使f(x)＝x＋为“弱增函数”，B正确； 对于C，f(x)＝x3＋x为R上的增函数，y＝＝x2＋1在[0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0]上单调递减，故f(x)＝x3＋x不是R上的“弱增函数”，C错误； 对于D，若f(x)＝x2＋(4－a)x＋a在区间(0，2]上是“弱增函数”，则f(x)＝x2＋(4－a)x＋a在(0，2]上单调递增，所以－≤0，解得a≤4，又y＝＝x＋(4－a)＋在(0，2]上单调递减，由对勾函数的单调性可知≥2，则a≥4.综上，a＝4，故D正确．故选ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数f(x)＝＋的定义域是________． 解析：因为f(x)＝＋，所以解得x∈(－∞，0)∪(0，1]． 答案：(－∞，0)∪(0，1] 13．已知二次函数f(x)，能说明“若f(0)<f(3)，则f(x)在(0，3)上单调递增”为假命题的一个函数解析式是f(x)＝________． 解析：令f(x)＝(x－1)2，则f(0)<f(3)，f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，3)上单调递增，故能说明“若f(0)<f(3)，则f(x)在(0，3)上单调递增”是假命题，故f(x)＝(x－1)2. 答案：(x－1)2(答案不唯一) 14．已知函数f(x)＝x(|x|－2)在[m，n]上的最小值为－1，最大值为3，则n－m的最大值为________． 解析：作出函数f(x)＝x(|x|－2)＝的图象如图． 当x≥0时，令x(x－2)＝3，得x1＝－1(舍去)，x2＝3，当x<0时，令x(－x－2)＝－1，得x3＝－1－，x4＝－1＋(舍去)，结合图象可得(n－m)max＝x2－x3＝3－(－1－)＝4＋. 答案：4＋ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)求解下列问题： (1)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9，求f(x)的解析式； (2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，求f(x)的解析式． 解：(1)设f(x)＝kx＋b(k≠0)， 由3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9， 得3[k(x＋1)＋b]－(kx＋b)＝2x＋9， 即2kx＋3k＋2b＝2x＋9， 所以解得 所以f(x)＝x＋3. (2)依题意，f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x， 当x<0时，－x>0， 所以f(x)＝f(－x)＝(－x)2－2×(－x)＝x2＋2x，所以f(x)＝ 16．(本小题满分15分)已知幂函数f(x)＝(m2－m－1)xm的图象关于原点对称． (1)求m的值； (2)设函数g(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，求关于a的不等式g(a＋m)>g(5)的解集． 解：(1)因为f(x)是幂函数， 所以m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2， 当m＝2时，f(x)＝x2，不关于原点对称，与题意不符； 当m＝－1时，f(x)＝x－1＝的图象关于原点对称，符合题意． 综上，m的值为－1. (2)由(1)可得g(a－1)>g(5)． 由题意可得解得1<a<6， 故原不等式的解集为(1，6)． 17．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝是R上的偶函数． (1)求实数m的值； (2)判断函数f(x)在(－∞，0]上的单调性；(不需证明) (3)求函数f(x)在[－3，2]上的最大值与最小值． 解：(1)若函数f(x)＝是R上的偶函数，则f(－x)＝f(x)，即＝，解得m＝0. (2)函数f(x)＝在(－∞，0]上单调递增． (3)由(2)知函数f(x)在(－∞，0]上单调递增，又f(x)是R上的偶函数， 所以f(x)在[0，＋∞)上单调递减， 所以f(x)在[－3，0]上单调递增，在[0，2]上单调递减． 由(1)知f(x)＝， 则f(－3)＝，f(0)＝1，f(2)＝， 所以当x∈[－3，2]时，f(x)max＝f(0)＝1， f(x)min＝f(－3)＝. 18．(本小题满分17分)在全球气候变暖的背景下，以低能耗、低污染为基础的“低碳经济”已成为全球热点．某单位在相关科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(单位：元)与月处理量x(单位：吨)之间的函数关系可近似的表示为y＝x2－200x＋80 000，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元． (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ (2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？ 解：(1)由题意知，每吨二氧化碳的月平均处理成本为＝x＋－200，400≤x≤600，由基本不等式得x＋－200≥2－200＝200，当且仅当x＝，即x＝400时等号成立， 故该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低． (2)不能获利．设该单位每个月获利为S元，则 S＝100x－y ＝100x－(x2－200x＋80 000) ＝－x2＋300x－80 000 ＝－(x－300)2－35 000， 因为x∈[400，600]，则S∈[－80 000，－40 000]， 故该单位每月不获利，需要国家每个月至少补贴40 000元才能使单位不亏损． 19．(本小题满分17分)已知函数f(x)＝为奇函数，且f(1)＝3. (1)求f(x)的解析式； (2)求证：f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增； (3)若对任意的x∈[1，＋∞)都有m2－2m≤f(x)，求实数m的取值范围． 解：(1)由题意得，f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－1)＝－f(1)，则－(a－b＋1)＝－(a＋b＋1)，解得b＝0. 又f(1)＝a＋1＝3，解得a＝2， 所以f(x)＝2x＋. (2)证明：取任意x1，x2∈[1，＋∞)，且x1<x2， 有f(x1)－f(x2)＝2x1＋－2x2－ ＝2(x1－x2)＋ ＝. 由1≤x1<x2，可得2x1x2>1，x1－x2<0， 则f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 所以f(x)在[1，＋∞)上单调递增． (3)由f(x)在[1，＋∞)上单调递增， 可得在[1，＋∞)上，f(x)min＝f(1)＝3， 因为对任意的x∈[1，＋∞)都有m2－2m≤f(x)，所以m2－2m≤f(x)min＝3，故m2－2m－3≤0，解得－1≤m≤3，故实数m的取值范围是[－1，3]． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 章末综合检测(三) (时间：120分钟，满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知函数f(x)满足f(x＋2)＝x2＋4x－3，则f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝x2－7 B．f(x)＝x2＋7 C．f(x)＝x2＋x－1 D．f(x)＝x2－x＋2 2．函数y＝＋1的值域为(　　) A．(0，＋∞) B．[1，＋∞) C．[0，＋∞) D．[4，＋∞) 3．已知a∈R，函数f(x)＝若f(f())＝4，则a的值为(　　) A．3 B．13 C．－43 D．2 4．已知幂函数f(x)＝(a2－2a－2)xa－1在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的值为(　　) A．－1 B．3 C．－1或3 D．不存在 5．已知f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，它们的部分图象如图所示，则f(x)g(x)的大致图象是(　　) 6．若二次函数f(x)＝ax2＋2a是区间[－a，a2]上的偶函数，g(x)＝f(x－1)，则g(0)，g()，g(3)的大小关系为(　　) A．g()<g(0)<g(3) B．g(0)<g()<g(3) C．g()<g(3)<g(0) D．g(3)<g()<g(0) 7．若函数f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是(　　) A．(，1) B．[，1) C．(，] D．(，＋∞) 8．已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，且f(x)在(－∞，0)上单调递减，f(3)＝0，则不等式(x－1)f(x＋2)≤0的解集是(　　) A．(－∞，－5]∪[－2，＋∞) B．(－∞，－2]∪[1，＋∞) C．(－∞，－5]∪[1，＋∞) D．[－5，－2]∪[1，＋∞) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列各组函数中，两个函数是同一个函数的为(　　) A．f(x)＝|x|与g(x)＝ B．f(x)＝x＋1与g(x)＝ C．f(x)＝与g(x)＝ D．f(x)＝与g(x)＝· 10．下列函数中，是奇函数且在区间(0，1)上单调递减的是(　　) A．f(x)＝|x| B．f(x)＝－2x C．f(x)＝ D．f(x)＝－x2＋4 11．若函数f(x)在定义域内的某区间M上单调递增，且在M上单调递减，则称f(x)在M上是“弱增函数”，则下列说法正确的有(　　) A．若f(x)＝x2，则不存在区间M使f(x)为“弱增函数” B．若f(x)＝x＋，则存在区间M使f(x)为“弱增函数” C．若f(x)＝x3＋x，则f(x)为R上的“弱增函数” D．若f(x)＝x2＋(4－a)x＋a在区间(0，2]上是“弱增函数”，则a＝4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数f(x)＝＋的定义域是________． 13．已知二次函数f(x)，能说明“若f(0)<f(3)，则f(x)在(0，3)上单调递增”为假命题的一个函数解析式是f(x)＝________． 14．已知函数f(x)＝x(|x|－2)在[m，n]上的最小值为－1，最大值为3，则n－m的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)求解下列问题： (1)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9，求f(x)的解析式； (2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，求f(x)的解析式． 16．(本小题满分15分)已知幂函数f(x)＝(m2－m－1)xm的图象关于原点对称． (1)求m的值； (2)设函数g(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，求关于a的不等式g(a＋m)>g(5)的解集． 17．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝是R上的偶函数． (1)求实数m的值； (2)判断函数f(x)在(－∞，0]上的单调性；(不需证明) (3)求函数f(x)在[－3，2]上的最大值与最小值． 18．(本小题满分17分)在全球气候变暖的背景下，以低能耗、低污染为基础的“低碳经济”已成为全球热点．某单位在相关科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(单位：元)与月处理量x(单位：吨)之间的函数关系可近似的表示为y＝x2－200x＋80 000，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元． (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ (2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？ 19．(本小题满分17分)已知函数f(x)＝为奇函数，且f(1)＝3. (1)求f(x)的解析式； (2)求证：f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增； (3)若对任意的x∈[1，＋∞)都有m2－2m≤f(x)，求实数m的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$