数学（甘肃兰州卷）-学易金卷：2025年中考第一次模拟考试

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考第一次模拟考试（甘肃兰州卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．﹣8的相反数是（　　） A．8 B．﹣8 C．±8 D．不存在 2．若∠A＝47°，则∠A的余角的度数为（　　） A．133° B．123° C．43° D．33° 3．我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为（　　） A．2.15×107 B．0.215×108 C．2.15×106 D．21.5×106 4．用配方法解方程x2﹣6x﹣4＝0，下列配方正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝5 B．（x+3）2＝13 C．（x﹣3）2＝13 D．（x﹣3）2＝7 5．如图是根据某班50名同学每天课外阅读的时间制成的条形统计图，根据图中信息，下列说法正确的是（　　） A．这组数据的平均数是12.5 B．这组数据的众数是20 C．这组数据的中位数是2 D．这组数据的中位数是17.5 6．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱多出3钱；每人出7钱，还差4钱．问：人数、物价各是多少？若设物价是x钱，根据题意列一元一次方程，正确的是（　　） A． B． C． D． 7．如图，△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A，B的对应点分别为A′，B′，点A，B，A′，B′均在图中的格点上．若线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为（　　） A．（﹣，n ） B．（m，n ） C．（m， ） D．（， ） 8．给出下列函数：①y＝﹣3x+2；②；③y＝5x2；④y＝3x，上述函数中符合条件“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大”的是（　　） A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 9．定义新运算“⊗”，规定：a⊗b＝a﹣2b．若关于x的不等式x⊗m＞1的解集为x＞﹣1，则m的值（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 10．如图，AC＝BC＝10cm，∠B＝15°，AD⊥BC于点D，则AD的长为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 11．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BAC＝40°，过点B作BD∥AC，交⊙O于点D，连接CD，则∠DCB的大小为（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 12．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，点P从点A出发沿A→B→C的路径运动到点C停止，点Q以相同的速度沿A→C的路径运动到点C停止，连接PQ，设点P的运动路程为x，△APQ的面积为y，则下列图象能大致反映y与x之间的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．若关于x，y的方程组的解满足x+y＞6，则m的取值范围是 　 　.． 14．实数a在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简﹣|c﹣a|+|b﹣c|＝　 　． 15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，以点C为圆心，CA为半径画弧，分别与AB、CB交于点D、E，若图中阴影部分的面积为，则AC＝　 　． 16．计算：12+22+32+…+n2＝n（n+1）•（2n+1），按以上式子，那么22+42+62+…+602＝　 　． 三、解答题（本大题共12个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（4分）计算：． 18． （4分）先化简，再求值：，其中x＝﹣3． 19．（6分）如图，四边形ABCD为平行四边形，连接AC，且AC＝2AB．请用尺规完成基本作图：作出∠BAC的角平分线与BC交于点E．连接BD交AE于点F，交AC于点O，猜想线段BF和线段DF的数量关系，并证明你的猜想．（尺规作图保留作图痕迹，不写作法） 20．（6分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形． （2）若AB＝5，BD＝6，求OE的长． 21．（6分）六月是水蜜桃大量上市的季节，某果农在销售时发现：若水蜜桃的售价为15元/千克，则日销售量为50千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克，现设水蜜桃售价为x元/千克（x≥15，且x为正整数）． （1）若某日销售量为40千克，则该日水蜜桃的单价为多少元？ （2）若政府将销售价格定为不超过30元/千克，设每日销售额为W元，求W关于x的函数表达式，并求W的最大值和最小值． 22．（6分）如图，海面上一艘船由西向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°，再向东继续航行30m到达B处，测得该灯塔的最高点C的仰角为45°，根据测得的数据，计算这座灯塔的高度CD（结果取整数）．（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60） 23．（6分）为庆祝建党100周年，某大学组织志愿者周末到社区进行党史学习宣讲，决定从A，B，C，D四名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者参加．抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同且不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字． （1）随机抽取一张卡片，“A志愿者被选中”的概率是 　 　． （2）用列表法或画树状图法求抽签活动中A，B两名志愿者被同时选中的概率． 24．（6分）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制如图所示的两幅不完整的统计图． 请结合图中所给出的信息解答下列问题： （1）本次抽样调查的样本容量是　 　． （2）补全条形统计图； （3）若某商场一天内有3000人次支付记录，估计选择微信支付的人数． 25．（6分）如图，一次函数y1＝mx+n的图象与坐标轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C，D（3，a），过点C作CP⊥x轴于点P，已知OP＝2OA＝6，OB＝2． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）连接PD，求△CPD的面积； （3）当mx+n﹣＞0时，根据图象直接写出x的取值范围． 26．（7分）如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，连接OP，过点B作BC∥OP交⊙O于点C，点E是的中点． （1）求证：PC是⊙O的切线； （2）若AB＝10，BC＝6，求CE的长． 27．（8分）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处． （1）求这条抛物线的表达式； （2）求线段CD的长； （3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标． 28．（9分）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察与猜想】（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，DE⊥CF，则的值为 　 　； （2）如图2，在矩形ABCD中，∠DBC＝30°，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，则的值为 　 　； 【类比探究】（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE•AB＝CF•AD； 【拓展延伸】（4）如图4，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AB＝4，AD＝8，将△ABD沿BD翻折，点A落在点C处得△CBD，点E，F分别在边AB，AD上，连接DE，CF，且DE⊥CF，求的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第一次模拟考试（甘肃兰州卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．﹣8的相反数是（　　） A．8 B．﹣8 C．±8 D．不存在 2．若∠A＝47°，则∠A的余角的度数为（　　） A．133° B．123° C．43° D．33° 3．我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为（　　） A．2.15×107 B．0.215×108 C．2.15×106 D．21.5×106 4．用配方法解方程x2﹣6x﹣4＝0，下列配方正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝5 B．（x+3）2＝13 C．（x﹣3）2＝13 D．（x﹣3）2＝7 5．如图是根据某班50名同学每天课外阅读的时间制成的条形统计图，根据图中信息，下列说法正确的是（　　） A．这组数据的平均数是12.5 B．这组数据的众数是20 C．这组数据的中位数是2 D．这组数据的中位数是17.5 6．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱多出3钱；每人出7钱，还差4钱．问：人数、物价各是多少？若设物价是x钱，根据题意列一元一次方程，正确的是（　　） A． B． C． D． 7．如图，△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A，B的对应点分别为A′，B′，点A，B，A′，B′均在图中的格点上．若线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为（　　） A．（﹣，n ） B．（m，n ） C．（m， ） D．（， ） 8．给出下列函数：①y＝﹣3x+2；②；③y＝5x2；④y＝3x，上述函数中符合条件“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大”的是（　　） A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 9．定义新运算“⊗”，规定：a⊗b＝a﹣2b．若关于x的不等式x⊗m＞1的解集为x＞﹣1，则m的值（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 10．如图，AC＝BC＝10cm，∠B＝15°，AD⊥BC于点D，则AD的长为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 11．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BAC＝40°，过点B作BD∥AC，交⊙O于点D，连接CD，则∠DCB的大小为（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 12．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，点P从点A出发沿A→B→C的路径运动到点C停止，点Q以相同的速度沿A→C的路径运动到点C停止，连接PQ，设点P的运动路程为x，△APQ的面积为y，则下列图象能大致反映y与x之间的函数关系的是（　　） A． B． C． D． A． B． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．若关于x，y的方程组的解满足x+y＞6，则m的取值范围是 　 　.． 14．实数a在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简﹣|c﹣a|+|b﹣c|＝　 　． 15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，以点C为圆心，CA为半径画弧，分别与AB、CB交于点D、E，若图中阴影部分的面积为，则AC＝　 　． 16．计算：12+22+32+…+n2＝n（n+1）•（2n+1），按以上式子，那么22+42+62+…+602＝　 　． 三、解答题（本大题共12个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（4分）计算：． 18．（4分）先化简，再求值：，其中x＝﹣3． 19．（4分）如图，四边形ABCD为平行四边形，连接AC，且AC＝2AB．请用尺规完成基本作图：作出∠BAC的角平分线与BC交于点E．连接BD交AE于点F，交AC于点O，猜想线段BF和线段DF的数量关系，并证明你的猜想．（尺规作图保留作图痕迹，不写作法） 20．（6）分如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形． （2）若AB＝5，BD＝6，求OE的长． 21．（6分）六月是水蜜桃大量上市的季节，某果农在销售时发现：若水蜜桃的售价为15元/千克，则日销售量为50千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克，现设水蜜桃售价为x元/千克（x≥15，且x为正整数）． （1）若某日销售量为40千克，则该日水蜜桃的单价为多少元？ （2）若政府将销售价格定为不超过30元/千克，设每日销售额为W元，求W关于x的函数表达式，并求W的最大值和最小值． 22．（6分）如图，海面上一艘船由西向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°，再向东继续航行30m到达B处，测得该灯塔的最高点C的仰角为45°，根据测得的数据，计算这座灯塔的高度CD（结果取整数）．（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60） 23．（6分）为庆祝建党100周年，某大学组织志愿者周末到社区进行党史学习宣讲，决定从A，B，C，D四名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者参加．抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同且不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字． （1）随机抽取一张卡片，“A志愿者被选中”的概率是 　 　． （2）用列表法或画树状图法求抽签活动中A，B两名志愿者被同时选中的概率． 24．（6分）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制如图所示的两幅不完整的统计图． 请结合图中所给出的信息解答下列问题： （1）本次抽样调查的样本容量是　 　． （2）补全条形统计图； （3）若某商场一天内有3000人次支付记录，估计选择微信支付的人数． 25．（6分）如图，一次函数y1＝mx+n的图象与坐标轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C，D（3，a），过点C作CP⊥x轴于点P，已知OP＝2OA＝6，OB＝2． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）连接PD，求△CPD的面积； （3）当mx+n﹣＞0时，根据图象直接写出x的取值范围． 26．（7分）如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，连接OP，过点B作BC∥OP交⊙O于点C，点E是的中点． （1）求证：PC是⊙O的切线； （2）若AB＝10，BC＝6，求CE的长． 27．（8分）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处． （1）求这条抛物线的表达式； （2）求线段CD的长； （3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标． 28．（9分）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察与猜想】（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，DE⊥CF，则的值为 　 　； （2）如图2，在矩形ABCD中，∠DBC＝30°，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，则的值为 　 　； 【类比探究】（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE•AB＝CF•AD； 【拓展延伸】（4）如图4，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AB＝4，AD＝8，将△ABD沿BD翻折，点A落在点C处得△CBD，点E，F分别在边AB，AD上，连接DE，CF，且DE⊥CF，求的值． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1 2025 年中考第一次模拟考试（甘肃兰州卷） 数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用 2B 铅笔填涂) 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 二、填空题（每小题 3 分，共 12 分） 13._________________ 14．___________________ 15.__________________ 16．__________________ 一、选择题（每小题 3 分，共 36 分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 12.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 三、（本大题共 12 个小题，共 72 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（4 分） 18. （4 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19. （4 分） 20.（6 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.（6 分） 22.（6 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23. （6 分） 24. （6 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.（6 分） 26.（7 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 28.（9 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025年中考第一次模拟考试（甘肃兰州卷） 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C A C C B D D B C B C 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．m＜﹣4 14．0 15． 16．37820 三、解答题（本大题共12个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（4分）【解答】解：原式＝ ＝ ＝11．（4分） 18．（4分）【解答】解： ＝•﹣ ＝ ＝，（3分） 当x＝﹣3时，原式＝．（4分） 19．（4分）【解答】解：如图： （2分） 猜想：DF＝3BF， 证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OA＝OC，OD＝OB， ∵AC＝2AB， ∴AO＝AB． ∵∠BAC的角平分线与BO交于点F， ∴点F是BO的中点，即BF＝FO， ∴OB＝OD＝2BF， ∴DF＝DO+OF＝3BF，即DF＝3BF．（4分） 20．（6分）【解答】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠CAB＝∠DCA， ∵AC为∠DAB的平分线， ∴∠CAB＝∠DAC， ∴∠DCA＝∠DAC， ∴CD＝AD， ∵AB＝AD， ∴AB＝CD， ∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形，（2分） ∵AD＝AB， ∴平行四边形ABCD是菱形；（3分） （2）解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O， ∴AC⊥BD，OA＝OC＝，OB＝OD＝， ∴OB＝＝3，（4分） 在Rt△AOB中，∠AOB＝90°， ∴OA＝， ∵CE⊥AB， ∴∠AEC＝90°， 在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，O为AC中点， ∴＝4．（6分） 21．（6分）【解答】解：（1）由题意得：50﹣2（x﹣15）＝40， 解得：x＝20， 答：该日水蜜桃的单价为20元/千克；（2分） （2）根据题意得：W＝x[50﹣2（x﹣15）]＝﹣2x2+80x＝﹣2（x﹣20）2+800，（4分） ∵政府将销售价格定为不超过30元/千克， ∴15≤x≤30，且x为正整数， ∵﹣2＜0， ∴x＝20时，W有最大值是800元，x＝30时，W有最小值是﹣2×（30﹣20）2+800＝600（元）． 答：W＝﹣2x2+80x，W最大值是800元，W最小值是600元；（6分） 22．（6分）【解答】解：在Rt△CAD中，， 则，（2分） 在Rt△CBD中，∠CBD＝45°， ∴BD＝CD， ∵AD＝AB+BD， ∴， 解得，CD＝45（m）． 答：这座灯塔的高度CD约为45m．（6分） 23．（6分）【解答】解：（1）随机抽取一张卡片，“A志感者被选中”的概率是， 故答案为：；（2分） （2）画树状图如图： （4分） 共有12个等可能的结果，其中抽签活动中A，B两名志愿者被同时选中的有2种结果， 所以抽签活动中A，B两名志愿者被同时选中的概率为＝．（6分） 24．（6分）【解答】解：（1）50÷25%＝200人， 挂答案为：200，（2分） （2）现金支付的人数：200×30%＝60人， 其它支付的人数：200﹣60﹣50﹣60＝30人，补全的条形统计图如图所示：（4分） （3）3000×＝900人，（6分） 答：选择微信支付的人数由900人． 25．（6分）【解答】解：（1）∵OP＝2OA＝6，OB＝2， ∴OA＝3， ∴A（﹣3，0），B（0，﹣2）， ∵一次函数y1＝mx+n的图象过点A、B， ∴， 解得：， ∴一次函数表达式为， ∵一次函数的图象过点D（3，a）， ∴＝﹣4， ∴D（3，﹣4）， 将点D（3，﹣4）代入中得：， 解得：k＝﹣12， ∴反比例函数的表达式为；（2分） （2）∵OP＝2OA＝6， ∴PA＝3，P（﹣6，0）， ∵CP⊥x轴， ∴点C的横坐标为﹣6， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴＝2， ∴C（﹣6，2）， ∴PC＝2， ∴S△CPD＝S△CPA+S△PAD＝＝＝9；（4分） （3）当mx+n﹣＞0，即时， 也就是一次函数的值大于反比例函数的值， 观察图象可知，此时x＜﹣6或0＜x＜3．（6分） 26．（7分）【解答】（1）证明：如图1，连接OC， ∵PA切⊙O于点A， ∴∠PAO＝90°， ∵BC∥OP， ∴∠AOP＝∠OBC，∠COP＝∠OCB，（1分） ∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB， ∴∠AOP＝∠COP， 在△PAO和△PCO中， ， ∴△PAO≌△PCO， ∴∠PCO＝∠PAO＝90°， ∴PC是⊙O的切线；（3分） （2）解：如图2，连接AE、BE，作BM⊥CE于M， ∴∠CMB＝∠EMB＝∠AEB＝90°， ∵点E是 的中点， ∴∠ECB＝∠CBM＝∠ABE＝45°， CM＝MB＝3， BE＝AB•cos45°＝5， ∴EM＝＝4， 则CE＝CM+EM＝7．（7分） 27．（8分）【解答】解：（1）把A（﹣1，0）和点B（0，）代入y＝﹣x2+bx+c得， 解得， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+；（2分） （2）∵y＝﹣（x﹣2）2+， ∴C（2，），抛物线的对称轴为直线x＝2， 如图，设CD＝t，则D（2，﹣t）， ∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处， ∴∠PDC＝90°，DP＝DC＝t， ∴P（2+t，﹣t）， 把P（2+t，﹣t）代入y＝﹣x2+2x+得﹣（2+t）2+2（2+t）+＝﹣t， 整理得t2﹣2t＝0，解得t1＝0（舍去），t2＝2， ∴D（2，）， ∴线段CD的长＝﹣＝2；（4分） （3）∵P点坐标为（4，），D点坐标为（2，）， 又∵抛物线平移，使其顶点C（2，）移到原点O的位置， ∴抛物线向左平移2个单位，向下平移个单位， 而P点（4，）向左平移2个单位，向下平移个单位得到点E， ∴E点坐标为（2，﹣2），（6分） 设M（0，m）， 当m＞0时，•（m++2）•2＝8，解得m＝，此时M点坐标为（0，）； 当m＜0时，•（﹣m++2）•2＝8，解得m＝﹣，此时M点坐标为（0，﹣）； 综上所述，M点的坐标为（0，）或（0，﹣）．（8分） 28．（9分）【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD，∠A＝∠ADC＝90°， ∴∠ADE+∠AED＝90°． ∵DE⊥CF， ∴∠ADE+∠CFD＝90°， ∴∠AED＝∠CFD． 在△AED和FDC中， ， ∴△AED≌FDC（AAS）， ∴DE＝CF， ∴＝1． 故答案为：1；（2分） （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DCB＝∠A＝∠ADC＝90°，AD＝BC， ∴∠ADE+∠ABD＝90°． ∵DB⊥CE， ∴∠ADB+∠DEC＝90°， ∴∠ABD＝∠DEC． ∴△ABD∽△DEC， ∴． ∵∠DBC＝30°，∠BCD＝90°， ∴tan∠DBC＝， ∴＝， ∴． 故答案为：；（4分） （3）证明：过点C作CM⊥AF交AF的延长线于点M，如图， ∵∠M＝∠A＝∠B＝90°， ∴四边形ABCM为矩形， ∴AB＝CM， ∵CG⊥EG， ∴∠G＝90°， ∴∠FCM+∠CFM＝∠DFG+∠FDG＝90°， ∵∠CFM＝∠DFG， ∴∠FCM＝∠FDG＝∠ADE， ∵∠A＝∠M＝90°， ∴△DEA∽△CFM， ∴， ∴， ∴DE•AB＝CF•AD；（6分） （4）解：连接AC交BD于H，过点C作CG⊥AD于点G，如图， ∵将△ABD沿BD翻折，点A落在点C处得△CBD， ∴AC⊥BD，AH＝CH， ∴AC＝2AH． ∵∠BAD＝90°，AB＝4，AD＝8， ∴， ∵， ∴， ∴，（7分） ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵CF⊥DE，CG⊥AD， ∴∠FCG+∠CFG＝∠CFG+∠ADE＝90°， ∴∠FCG＝∠ADE， ∵∠BAD＝∠CGF＝90°， ∴△DEA∽△CFG， ∴， ∵AD＝8，， ∴．（9分） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11 2025年中考第一次模拟考试（甘肃兰州卷） 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共36分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 12.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题3分，共12分） 13._________________ 14．___________________ 15.__________________ 16．__________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共12个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（4分） 18. （4分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19. （4分） 20.（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.（6分） 22.（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23. （6分） 24. （6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.（6分） 26.（7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 28.（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第一次模拟考试（甘肃兰州卷） 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．﹣8的相反数是（　　） A．8 B．﹣8 C．±8 D．不存在 【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案． 【解答】解：﹣8的相反数是8． 故选：A． 【点评】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键． 2．若∠A＝47°，则∠A的余角的度数为（　　） A．133° B．123° C．43° D．33° 【分析】根据互余两角之和等于90°即可得出答案． 【解答】解：∵∠A＝47°， ∴∠A的余角＝90°﹣∠A＝90°﹣47°＝43°． 故选：C． 【点评】本题考查了余角的知识，属于基础题，解答本题的关键是熟记互余两角之和等于90°． 3．我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为（　　） A．2.15×107 B．0.215×108 C．2.15×106 D．21.5×106 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：将21500000用科学记数法表示为：2.15×107． 故选：A． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4．用配方法解方程x2﹣6x﹣4＝0，下列配方正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝5 B．（x+3）2＝13 C．（x﹣3）2＝13 D．（x﹣3）2＝7 【分析】先移项，再配方，再得出选项即可． 【解答】解：x2﹣6x﹣4＝0， 移项，得x2﹣6x＝4， 配方，得x2﹣6x+9＝4+9， 即（x﹣3）2＝13， 故选：C． 【点评】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键． 5．如图是根据某班50名同学每天课外阅读的时间制成的条形统计图，根据图中信息，下列说法正确的是（　　） A．这组数据的平均数是12.5 B．这组数据的众数是20 C．这组数据的中位数是2 D．这组数据的中位数是17.5 【分析】根据图表，分别求出这组数据的平均数，众数以及中位数进行判断即可． 【解答】解：由题意得： 平均数为：， 众数为：3， 中位数为：2， 故选：C． 【点评】本题主要考查条形统计图，平均数，众数及中位数的计算，熟练掌握平均数，众数及中位数的概念和计算方法是解决本题的关键． 6．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱多出3钱；每人出7钱，还差4钱．问：人数、物价各是多少？若设物价是x钱，根据题意列一元一次方程，正确的是（　　） A． B． C． D．网版权所有 【分析】根据人数是不变的和每人出8钱多出3钱；每人出7钱，还差4钱，可以列出相应的方程，从而可以解答本题． 【解答】解：设物价是x钱，根据题意可得， ＝， 故选：B． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程． 7．如图，△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A，B的对应点分别为A′，B′，点A，B，A′，B′均在图中的格点上．若线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为（　　） A．（﹣，n ） B．（m，n ） C．（m， ） D．（， ） 【分析】根据A，B两点坐标以及对应点A′，B′点的坐标得出坐标变化规律，进而得出P′的坐标． 【解答】解：∵△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A、B的对应点分别为A′、B′点A、B、A′、B′均在图中在格点上， 即A点坐标为：（4，6），B点坐标为：（6，2），A′点坐标为：（2，3），B′点坐标为：（3，1）， ∴线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为：（， ）． 故选：D． 【点评】此题主要考查了位似图形的性质，根据已知得出对应点坐标的变化是解题关键． 8．给出下列函数：①y＝﹣3x+2；②；③y＝5x2；④y＝3x，上述函数中符合条件“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大”的是（　　） A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 【分析】分别利用一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的增减性分析得出答案． 【解答】解：①y＝﹣3x+2，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项不符合题意； ②y＝，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项不符合题意； ③y＝5x2，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大，故此选项符合题意； ④y＝3x，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】此题主要考查了一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的性质，正确把握相关性质是解题关键． 9．定义新运算“⊗”，规定：a⊗b＝a﹣2b．若关于x的不等式x⊗m＞1的解集为x＞﹣1，则m的值（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【分析】根据定义新运算的法则得出不等式，解不等式，再根据解集列方程即可求出m的值． 【解答】解：∵a⨂b＝a﹣2b， ∴x⨂m＝x﹣2m． ∵x⨂m＞1， ∴x﹣2m＞1， ∴x＞2m+1． ∵关于x的不等式x⨂m＞1的解集为x＞﹣1， ∴2m+1＝﹣1， ∴m＝﹣1． 故选：B． 【点评】本题考查解一元一次不等式、新定义，读懂新定义并熟练的解不等式是解题的关键． 10．如图，AC＝BC＝10cm，∠B＝15°，AD⊥BC于点D，则AD的长为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【分析】根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠CAB＝15°，再根据三角形外角的性质可得∠ACD＝30°，再根据直角三角形的性质可得，即可． 【解答】解：由条件可知：∠B＝∠CAB＝15°， ∴∠ACD＝∠B+∠CAB＝15°+15°＝30°， ∵AD⊥BC， ∴， 故选：C． 【点评】本题考查等腰三角形的性质、三角形外角的性质及直角三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 11．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BAC＝40°，过点B作BD∥AC，交⊙O于点D，连接CD，则∠DCB的大小为（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 【分析】由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求解∠ACB＝70°，利用圆周角定理可求得∠BDC＝40°，结合平行线的性质可求解∠ACD＝40°，进而可求解． 【解答】解：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∠BAC＝40°， ∴∠ABC＝∠ACB＝70°，∠BDC＝∠BAC＝40°， ∵BD∥AC， ∴ACD＝∠BDC＝40°， ∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝70°﹣40°＝30°， 故选：B． 【点评】本题主要考查圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质，求解∠ACB，∠ACD的度数是解题的关键． 12．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，点P从点A出发沿A→B→C的路径运动到点C停止，点Q以相同的速度沿A→C的路径运动到点C停止，连接PQ，设点P的运动路程为x，△APQ的面积为y，则下列图象能大致反映y与x之间的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 【分析】分0≤x≤3、3＜x≤5、5＜x≤7三种情况，画出点P、Q的位置计算y值即可． 【解答】解：由AB＝3，AC＝5，知BC＝4， 则sinA＝，则sinC＝， 当0≤x≤3时，如图， 过点Q作QH⊥AB于点H， 则y＝AP•AQsinA＝×x•x×＝x2，该函数图象为开口向上的二次函数， 当3＜x≤5时，如图， 过点Q作QN⊥AC于点N， 则y＝×3×4﹣（3+4﹣x）×（5﹣x）sinC﹣×3×（x﹣3）＝﹣x2+x，该函数图象为开口向下的二次函数， 当5＜x≤7时， 同理可得：y＝﹣x+，该函数图象为一次函数， 故选：C． 【点评】本题考查的是动点问题的函数图象，涉及到二次函数、一次函数、解直角三角形等知识，确定函数表达式是本题解题的关键． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．若关于x，y的方程组的解满足x+y＞6，则m的取值范围是 　m＜﹣4　.．版权所有 【分析】方程组中两个方程相加得3x+3y＝﹣3m+6，整理得x+y＝﹣m+2，结合x+y＞6，知﹣m+2＞6，解之即可得出答案． 【解答】解：方程组中两个方程相加得3x+3y＝﹣3m+6， 则x+y＝﹣m+2， ∵x+y＞6， ∴﹣m+2＞6， 解得m＜﹣4， 故答案为：m＜﹣4． 【点评】本题考查的是二元一次方程组的解和解一元一次不等式，根据题意列出关于m的不等式是解答此题的关键． 14．实数a在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简﹣|c﹣a|+|b﹣c|＝　0　． 【分析】判断出绝对值里面的数的符号，进而去掉绝对值化简即可． 【解答】解：∵c＜b＜0＜a， ∴b﹣a＜0，c﹣a＜0，b﹣c＞0， ∴原式＝|b﹣a|﹣|c﹣a|+|b﹣c|＝a﹣b﹣（a﹣c）+b﹣c＝a﹣c﹣a+c＝0． 故答案为：0． 【点评】考查绝对值的化简问题；判断出绝对值里面的式子的符号是解决本题的关键；用到的知识点为：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数． 15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，以点C为圆心，CA为半径画弧，分别与AB、CB交于点D、E，若图中阴影部分的面积为，则AC＝　　． 【分析】如图所示，过点D作DG⊥AC于G，连接CD，先解Rt△ABC得到BC＝AC，再证明△ACD是等边三角形得到∠ACD＝60°，∠ECD＝30°；解Rt△CDG求出GD＝AC，最后根据S阴影＝S△BCD+S扇形CDA﹣S△ACD﹣S扇形CDE进行求解即可． 【解答】解：如图所示，过点D作DG⊥AC于G，连接CD， ∵∠ACB＝90°，∠B＝30°， ∴∠BAC＝60°， ∴BC＝AC•tan∠BAC＝AC， ∵以AC的长为半径画弧，分别交AB，BC于点D，E， ∴CA＝CD＝CE， ∴△ACD是等边三角形， ∴∠ACD＝60°，AG＝CG＝AC， ∴∠ECD＝30°， 在Rt△CDG中，GD＝CD•sin∠DCG＝AC， ∴S阴影＝S△BCD+S扇形CDA﹣S△ACD﹣S扇形CDE ＝GC•BC+﹣AC•GD﹣ ＝AC2+﹣AC2﹣， ＝AC2＝， ∴AC＝． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，解直角三角形，等边三角形的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 16．计算：12+22+32+…+n2＝n（n+1）•（2n+1），按以上式子，那么22+42+62+…+602＝　37820　． 【分析】根据12+22+32+…+n2＝n（n+1）•（2n+1），可得22+42+62+…+602＝22（12+22+32+⋯+302）＝4×（×30×31×61），计算即可． 【解答】解：∵12+22+32+…+n2＝n（n+1）•（2n+1）， ∴22+42+62+…+602 ＝22（12+22+32+⋯+302） ＝4×（×30×31×61） ＝37820， 故答案为：37820． 【点评】本题考查的是数字的变化规律和有理数的混合运算，从题目中找出数字间的变化规律是解题的关键． 三、解答题（本大题共12个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（4分）计算：． 【分析】先计算乘方、零次幂、负整数指数幂及绝对值再合并即可． 【解答】解：原式＝ ＝ ＝11． 【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，掌握相应的运算法则是关键． 18．（4分）先化简，再求值：，其中x＝﹣3． 【分析】首先运用分式除法法则计算，再运用分式减法法则计算，然后把x＝﹣3代入化简式计算即可． 【解答】解： ＝•﹣ ＝ ＝， 当x＝﹣3时，原式＝． 【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键． 19．（4分）如图，四边形ABCD为平行四边形，连接AC，且AC＝2AB．请用尺规完成基本作图：作出∠BAC的角平分线与BC交于点E．连接BD交AE于点F，交AC于点O，猜想线段BF和线段DF的数量关系，并证明你的猜想．（尺规作图保留作图痕迹，不写作法） 【分析】根据题意作出图即可； 【解答】解：如图： 猜想：DF＝3BF， 证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OA＝OC，OD＝OB， ∵AC＝2AB， ∴AO＝AB． ∵∠BAC的角平分线与BO交于点F， ∴点F是BO的中点，即BF＝FO， ∴OB＝OD＝2BF， ∴DF＝DO+OF＝3BF，即DF＝3BF． 【点评】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质．关键在于利用平行四边形的对角线互相平分得到△ABO是等腰三角形． 20．（6分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形． （2）若AB＝5，BD＝6，求OE的长． 优网版权所有 【分析】（1）根据题意先证明四边形ABCD是平行四边形，再由AB＝AD可得平行四边形ABCD是菱形； （2）根据菱形的性质得出OB的长以及∠AOB＝90°，利用勾股定理求出OA的长，再根据直角三角形斜边中线定理得出OE＝AC，即可解答． 【解答】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠CAB＝∠DCA， ∵AC为∠DAB的平分线， ∴∠CAB＝∠DAC， ∴∠DCA＝∠DAC， ∴CD＝AD， ∵AB＝AD， ∴AB＝CD， ∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AD＝AB， ∴平行四边形ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O， ∴AC⊥BD，OA＝OC＝，OB＝OD＝， ∴OB＝＝3， 在Rt△AOB中，∠AOB＝90°， ∴OA＝， ∵CE⊥AB， ∴∠AEC＝90°， 在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，O为AC中点， ∴＝4． 【点评】本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 21．（6分）六月是水蜜桃大量上市的季节，某果农在销售时发现：若水蜜桃的售价为15元/千克，则日销售量为50千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克，现设水蜜桃售价为x元/千克（x≥15，且x为正整数）． （1）若某日销售量为40千克，则该日水蜜桃的单价为多少元？ （2）若政府将销售价格定为不超过30元/千克，设每日销售额为W元，求W关于x的函数表达式，并求W的最大值和最小值． 【分析】（1）根据售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克，且某日销售量为40千克，列方程求解即可； （2）根据题意，利用每日销售额等于销售量乘以销售单价，列出函数关系式，并将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案． 【解答】解：（1）由题意得：50﹣2（x﹣15）＝40， 解得：x＝20， 答：该日水蜜桃的单价为20元/千克； （2）根据题意得：W＝x[50﹣2（x﹣15）]＝﹣2x2+80x＝﹣2（x﹣20）2+800， ∵政府将销售价格定为不超过30元/千克， ∴15≤x≤30，且x为正整数， ∵﹣2＜0， ∴x＝20时，W有最大值是800元，x＝30时，W有最小值是﹣2×（30﹣20）2+800＝600（元）． 答：W＝﹣2x2+80x，W最大值是800元，W最小值是600元； 【点评】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 22．（6分）如图，海面上一艘船由西向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°，再向东继续航行30m到达B处，测得该灯塔的最高点C的仰角为45°，根据测得的数据，计算这座灯塔的高度CD（结果取整数）．（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60） 【分析】在Rt△CAD中，利用锐角三角函数可得AD，Rt△CBD中，可得BD＝CD，进而可得CD的长． 【解答】解：在Rt△CAD中，， 则， 在Rt△CBD中，∠CBD＝45°， ∴BD＝CD， ∵AD＝AB+BD， ∴， 解得，CD＝45（m）． 答：这座灯塔的高度CD约为45m． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义． 23．（6分）为庆祝建党100周年，某大学组织志愿者周末到社区进行党史学习宣讲，决定从A，B，C，D四名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者参加．抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同且不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字． （1）随机抽取一张卡片，“A志愿者被选中”的概率是 　　． （2）用列表法或画树状图法求抽签活动中A，B两名志愿者被同时选中的概率． 【分析】（1）利用概率公式求解即可； （2）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【解答】解：（1）随机抽取一张卡片，“A志感者被选中”的概率是， 故答案为：； （2）画树状图如图： 共有12个等可能的结果，其中抽签活动中A，B两名志愿者被同时选中的有2种结果， 所以抽签活动中A，B两名志愿者被同时选中的概率为＝． 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比． 24．（6分）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制如图所示的两幅不完整的统计图． 请结合图中所给出的信息解答下列问题： （1）本次抽样调查的样本容量是　200　． （2）补全条形统计图； （3）若某商场一天内有3000人次支付记录，估计选择微信支付的人数． 【分析】（1）从统计图中可以得到使用支付宝的人数有50人，占调查人数的25%，可求出调查人数，即样本容量， （2）求出现金支付人数，其它方式支付人数，即可补全条形统计图， （3）样本估计总体，样本中使用微信支付的占，估计总体中微信支付的占比也是，用总人数乘以这个占比即可． 【解答】解：（1）50÷25%＝200人， 挂答案为：200， （2）现金支付的人数：200×30%＝60人， 其它支付的人数：200﹣60﹣50﹣60＝30人，补全的条形统计图如图所示： （3）3000×＝900人， 答：选择微信支付的人数由900人． 【点评】考查条形统计图、扇形统计图的制作方法，两个统计图结合起来获取数量和数量之间的关系式解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法． 25．（6分）如图，一次函数y1＝mx+n的图象与坐标轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C，D（3，a），过点C作CP⊥x轴于点P，已知OP＝2OA＝6，OB＝2． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）连接PD，求△CPD的面积； （3）当mx+n﹣＞0时，根据图象直接写出x的取值范围． 【分析】（1）根据意义可得A（﹣3，0），B（0，﹣2），再根据待定系数法求得，再算出点D坐标为（3，﹣4），代入反比例函数中即可求解； （2）由题意得PA＝3，点C的横坐标为﹣6，代入二次函数表达式中求得C（﹣6，2），则PC＝2，再由S△CPD＝S△CPA+S△PAD＝即可求解； （3）分析题意可得要求一次函数的值大于反比例函数的值时x的取值范围，观察图形即可求解． 【解答】解：（1）∵OP＝2OA＝6，OB＝2， ∴OA＝3， ∴A（﹣3，0），B（0，﹣2）， ∵一次函数y1＝mx+n的图象过点A、B， ∴， 解得：， ∴一次函数表达式为， ∵一次函数的图象过点D（3，a）， ∴＝﹣4， ∴D（3，﹣4）， 将点D（3，﹣4）代入中得：， 解得：k＝﹣12， ∴反比例函数的表达式为； （2）∵OP＝2OA＝6， ∴PA＝3，P（﹣6，0）， ∵CP⊥x轴， ∴点C的横坐标为﹣6， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴＝2， ∴C（﹣6，2）， ∴PC＝2， ∴S△CPD＝S△CPA+S△PAD＝＝＝9； （3）当mx+n﹣＞0，即时， 也就是一次函数的值大于反比例函数的值， 观察图象可知，此时x＜﹣6或0＜x＜3． 【点评】本题主要考查用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式、反比例函数和一次函数的交点问题，利用数形结合思想解决问题是解题关键． 26．（7分）如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，连接OP，过点B作BC∥OP交⊙O于点C，点E是的中点． （1）求证：PC是⊙O的切线； （2）若AB＝10，BC＝6，求CE的长． 【分析】（1）连接OC，证明△PAO≌△PCO，得到∠PCO＝∠PAO＝90°，证明结论； （2）连接AE、BE，作BM⊥CE于M，分别求出CM和EM的长，求和得到答案． 【解答】（1）证明：如图1，连接OC， ∵PA切⊙O于点A， ∴∠PAO＝90°， ∵BC∥OP， ∴∠AOP＝∠OBC，∠COP＝∠OCB， ∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB， ∴∠AOP＝∠COP， 在△PAO和△PCO中， ， ∴△PAO≌△PCO， ∴∠PCO＝∠PAO＝90°， ∴PC是⊙O的切线； （2）解：如图2，连接AE、BE，作BM⊥CE于M， ∴∠CMB＝∠EMB＝∠AEB＝90°， ∵点E是 的中点， ∴∠ECB＝∠CBM＝∠ABE＝45°， CM＝MB＝3， BE＝AB•cos45°＝5， ∴EM＝＝4， 则CE＝CM+EM＝7． 【点评】本题考查的是切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，添加辅助线是解题的关键，记住特殊三角形三边关系，属于中考常考题型． 27．（8分）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处． （1）求这条抛物线的表达式； （2）求线段CD的长； （3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法，把点A和点B的坐标代入y＝﹣x2+bx+c，求出b，c的值，即可求出抛物线解析式； （2）利用配方法得到y＝﹣（x﹣2）2+，则根据二次函数的性质得到C点坐标和抛物线的对称轴为直线x＝2，如图，设CD＝t，则D（2，﹣t），根据旋转性质得∠PDC＝90°，DP＝DC＝t，则P（2+t，﹣t），然后把P（2+t，﹣t）代入y＝﹣x2+2x+得到关于t的方程，求出点D的坐标，可得结论； （3）P点坐标为（4，），D点坐标为（2，），利用抛物线的平移规律确定E点坐标为（2，﹣2），设M（0，m），当m＞0时，利用梯形面积公式得到•（m++2）•2＝8，当m＜0时，利用梯形面积公式得到•（﹣m++2）•2＝8，然后分别解方程求出m，即可解决问题． 【解答】解：（1）把A（﹣1，0）和点B（0，）代入y＝﹣x2+bx+c得， 解得， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+； （2）∵y＝﹣（x﹣2）2+， ∴C（2，），抛物线的对称轴为直线x＝2， 如图，设CD＝t，则D（2，﹣t）， ∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处， ∴∠PDC＝90°，DP＝DC＝t， ∴P（2+t，﹣t）， 把P（2+t，﹣t）代入y＝﹣x2+2x+得﹣（2+t）2+2（2+t）+＝﹣t， 整理得t2﹣2t＝0，解得t1＝0（舍去），t2＝2， ∴D（2，）， ∴线段CD的长＝﹣＝2； （3）∵P点坐标为（4，），D点坐标为（2，）， 又∵抛物线平移，使其顶点C（2，）移到原点O的位置， ∴抛物线向左平移2个单位，向下平移个单位， 而P点（4，）向左平移2个单位，向下平移个单位得到点E， ∴E点坐标为（2，﹣2）， 设M（0，m）， 当m＞0时，•（m++2）•2＝8，解得m＝，此时M点坐标为（0，）； 当m＜0时，•（﹣m++2）•2＝8，解得m＝﹣，此时M点坐标为（0，﹣）； 综上所述，M点的坐标为（0，）或（0，﹣）． 【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，旋转变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 28．（9分）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察与猜想】（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，DE⊥CF，则的值为 　1　； （2）如图2，在矩形ABCD中，∠DBC＝30°，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，则的值为 　　； 【类比探究】（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE•AB＝CF•AD； 【拓展延伸】（4）如图4，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AB＝4，AD＝8，将△ABD沿BD翻折，点A落在点C处得△CBD，点E，F分别在边AB，AD上，连接DE，CF，且DE⊥CF，求的值． 版权所有 【分析】（1）利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可； （2）利用矩形的性质，直角三角形的边角关系定理和相似三角形的判定与性质解答即可； （3）过点C作CM⊥AF交AF的延长线于点M，利用矩形的判定与性质和相似三角形的判定与性质解答即可； （4）连接AC交BD于H，过点C作CG⊥AD于点G，利用三角形的面积公式和勾股定理求得线段CG，再利用相似三角形的判定与性质解答即可． 【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD，∠A＝∠ADC＝90°， ∴∠ADE+∠AED＝90°． ∵DE⊥CF， ∴∠ADE+∠CFD＝90°， ∴∠AED＝∠CFD． 在△AED和FDC中， ， ∴△AED≌FDC（AAS）， ∴DE＝CF， ∴＝1． 故答案为：1； （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DCB＝∠A＝∠ADC＝90°，AD＝BC， ∴∠ADE+∠ABD＝90°． ∵DB⊥CE， ∴∠ADB+∠DEC＝90°， ∴∠ABD＝∠DEC． ∴△ABD∽△DEC， ∴． ∵∠DBC＝30°，∠BCD＝90°， ∴tan∠DBC＝， ∴＝， ∴． 故答案为：； （3）证明：过点C作CM⊥AF交AF的延长线于点M，如图， ∵∠M＝∠A＝∠B＝90°， ∴四边形ABCM为矩形， ∴AB＝CM， ∵CG⊥EG， ∴∠G＝90°， ∴∠FCM+∠CFM＝∠DFG+∠FDG＝90°， ∵∠CFM＝∠DFG， ∴∠FCM＝∠FDG＝∠ADE， ∵∠A＝∠M＝90°， ∴△DEA∽△CFM， ∴， ∴， ∴DE•AB＝CF•AD； （4）解：连接AC交BD于H，过点C作CG⊥AD于点G，如图， ∵将△ABD沿BD翻折，点A落在点C处得△CBD， ∴AC⊥BD，AH＝CH， ∴AC＝2AH． ∵∠BAD＝90°，AB＝4，AD＝8， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵CF⊥DE，CG⊥AD， ∴∠FCG+∠CFG＝∠CFG+∠ADE＝90°， ∴∠FCG＝∠ADE， ∵∠BAD＝∠CGF＝90°， ∴△DEA∽△CFG， ∴， ∵AD＝8，， ∴． 【点评】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，翻折的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $$