专题04 平面向量及其应用章末重点题型归纳（十四大题型）-2024-2025学年高一数学下学期高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019必修第二册）

专题04 平面向量及其应用章末重点题型归纳（十四大题型） 重难点题型归纳 【题型1 向量的概念与向量的模】 【题型2向量相等或共线】 【题型3 向量的线性运算】 【题型4 向量的投影】 【题型5向量数量积的计算】 【题型6求向量的夹角（夹角的余弦值）】 【题型7 向量的积】 【题型8 平面向量基本定理的应用】 【题型9 平面向量的坐标运算】 【题型9 向量共线、垂直的坐标表示的应用】 【题型9 用向量解决物理中的相关问题】 【题型9 正、余弦定理在几何图形中的应用】 【题型13 三角形的面积问题】 【题型14 解三角形的实际应用】 【题型1 向量的概念与向量的模】 方法点拨： (1)向量的基本要素：大小和方向 (2)向量的表示：几何表示法 ，；坐标表示法 (3)向量的长度：即向量的大小，记作 (4)特殊的向量：零向量＝｜｜＝0单位向量为单位向量｜｜＝1 注意区别零向量和零 1．（23-24高一下·陕西西安·期中）在等腰中，，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知，结合平面向量的概念即可求解. 【详解】因为为等腰直角三角形，，所以， 故向量与的夹角为． 故选：D 2．（23-24高一·全国·假期作业）已知向量如图所示，下列说法不正确的是（    ） A．也可以用表示 B．方向是由M指向N C．起点是M D．终点是M 【答案】D 【详解】由向量的几何表示知，A、B、C正确，D不正确．故选D． 3．（21-22高一下·河南许昌·期末）已知点在所在平面内，满足，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 【答案】A 【分析】根据点到的距离相等可得答案. 【详解】因为，即点到的距离相等， 所以点是的外心. 故选：A 4．（22-23高一下·安徽合肥·阶段练习）在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据，可得，进一步得出答案. 【详解】如图，连接AC， 由，得. 因为为半圆上的点，所以， 所以． 故选：A. 5．（25-26高一上·全国·随堂练习）如图，在圆中，向量，，是（    ）    A．有相同起点的向量 B．相反向量 C．模相等的向量 D．相等向量 【答案】C 【分析】根据向量的几何表示，可判断出选项A和C的正误，再利用相反向量及相等向量的概念，结合图形，即可判断选项B和D的正误. 【详解】对于选项A，因为向量，的起点为，而向量的起点为，所以选项A错误， 对于选项B，因为相反向量是方向相反，长度相等的向量，而向量，，方向不同，所以选项B错误， 对于选项C，向量，，的模长均为圆的半径，所以选项C正确， 对于选项D，因为相等向量是方向相同，长度相等的向量，而向量，，方向不同，所以选项D错误，    故选：C. 6．（2023高三上·广西·学业考试）如图，O是正六边形的中心，下列向量中，与是平行向量的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行向量的定义判断即可. 【详解】方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量. 由图可知，与方向相反，因此是平行向量. 故选：C. 7．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在中，可以用同一条有向线段表示的向量是（    ）    A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】根据相等向量的概念，得到和是相等向量，即可求解. 【详解】对于A中，向量和的方向相反，但长度相等，所以和不是相等向量； 对于B中，向量和的方向相同且长度相等，所以和是相等向量， 对于C中，向量和的方向不同，且长度不相等，所以和不是相等向量； 对于D中，向量和的方向不同，且长度不相等，所以和不是相等向量； 所以只有向量和可以用同一条有向线段表示. 故选：B. 8．（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．长度相等的向量是相等向量 C．零向量的方向是任意的 D．方向相反的向量是相反向量 【答案】ABD 【分析】根据向量的相关定义逐一判断各个选项即可求解. 【详解】对于A，若，则不一定有， 比如，让这两个向量共起点，则它们的终点分步在以这个起点为圆心的一个圆周上， 所以这两个向量不一定共线，故A错误； 对于B，长度相等且方向相同的向量是相等向量，故B错误； 对于C，零向量的方向是任意的，故C正确； 对于D，方向相反且长度一样的向量是相反向量，故D错误. 故选：ABD. 【题型2向量相等或共线】 方法点拨： (1)相等的向量：大小相等，方向相同．． (2)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量记作∥由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 9．（23-24高一下·山东青岛·期中）若是不共线的向量，且，，，则（   ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】A 【分析】根据题意，结合共线向量的定义和判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由向量，，， 可得，所以，所以三点共线，所以A正确； 对于B中，由向量，， 设，可得，所以，此时方程组无解， 所以三点不共线，所以B错误； 对于C中，由向量，，， 可得，设，即， 所以，此时方程组无解，所以三点不共线，所以C错误； 对于D中，向量，， 设，即，所以，此时方程组无解， 所以三点不共线，所以D错误. 故选：A. 10．（23-24高一下·浙江·阶段练习）已知向量，，若与共线，则（    ） A． B．4 C． D．或4 【答案】D 【分析】利用向量平行的坐标表示，再解方程即可. 【详解】由两向量共线可知，即，解得或. 故选：D. 11．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）已知是两个不共线的单位向量，，若与共线，则 ． 【答案】2 【分析】根据向量共线，可设，利用向量相等的条件求解即可. 【详解】因为是两个不共线的单位向量，， 若与共线，可设，即，则，解得： 故答案为：2 12．（23-24高一下·四川成都·期末）已知为共线向量，且，则 . 【答案】 【分析】根据共线向量，求出 【详解】根据为共线向量，且, 则，解得. 故答案为：. 13．（23-24高一下·广东广州·期中）已知为两个不共线的非零向量，若与共线，则k的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据共线向量满足的性质求解即可. 【详解】由题意若与共线，则， 则，因为为两个不共线的非零向量，故， 解得. 故答案为： 【题型3 向量的线性运算】 【方法点拨】 运算类型 几何方法 坐标方法 运算性质 向量 加法 1平行四边形法则 （共起点构造平行四边形） 2三角（多边）形法则 （向量首尾相连） 向量 减法 三角形法则 （共起点向被减） 数乘 向量 1是一个向量,满足: 2>0时,与同向; <0时, 与异向; =0时, =0 14．（2024高二下·安徽·学业考试）如图，在中，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由向量的线性运算，即可得到结果. 【详解】因为， 所以， 即得. 故选：B. 15．（23-24高一下·湖北武汉·期中）已知等腰梯形中，，，E为BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算法则进行代换即可求解． 【详解】因为， 所以，即， 又的中点为E， 所以， 故选：D． 16．（23-24高一下·四川雅安·期末）如图，在梯形ABCD中，，E在BC上，且，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平面向量的加减、数乘运算求解即可. 【详解】， . 故选：D 17．（2024·四川·模拟预测）如图，是边的中点，在上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量加减法则，即可得到答案. 【详解】由题意有， 所以． 故选：A 18．（22-23高一下·福建三明·期末）在平行四边形ABCD中，，，G为EF的中点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的加减法的几何意义将转化为、即可. 【详解】 . 故选：D.    19．（22-23高一下·山东聊城·期中）如图所示，已知，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用向量的线性运算计算即可. 【详解】. 故选：D 20．（23-24高一下·河北唐山·期末）（多选）已知平行四边形的两条对角线交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用向量加法、减法的几何意义求解即可. 【详解】平行四边形的两条对角线交于点，作出图形如下：    由图可得:，故A正确； ，故D正确； 故选：AD 21．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）（多选）在中，在边上，，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据向量的线性运算判断各选项的准确性. 【详解】如图： 对A：，故A错误； 对B： ，故B错误； 对C： ，故C正确； 对D： ，故D正确. 故选：CD 22．（23-24高一下·山西晋城·阶段练习）设为的内心，，，，则 ． 【答案】 【分析】结合图形和条件，推得，利用三角形等面积求得的内切圆半径，继而得出，最后利用向量的线性运算求出即得. 【详解】 如图，因，,为的内心，延长交于点，则, 于是，,，设的内切圆半径为， 则，解得，即,因,故, 于是，,则，即. 故答案为：. 【题型4 向量的投影】 23．（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】代入投影向量公式，结合数量积公式，即可求解. 【详解】向量在向量上的投影向量为， ，解得. 故选：A. 24．（23-24高一下·重庆·阶段练习）已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由投影向量定义结合题设直接计算即可得解. 【详解】由题在上的投影向量为. 故选：C. 25．（19-20高一下·全国·课后作业）若，向量与向量的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件及投影向量的求解方法，即可得出在向量上的投影向量为，化简即可. 【详解】因为，向量与向量的夹角为， 则向量在向量上的投影向量为. 故选：D. 26．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知平面向量，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用投影向量的定义计算可得答案. 【详解】因为向量， 所以向量在上的投影向量为. 故选：D. 27．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知平面向量，，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先计算数量积，再代入投影向量公式，即可求解. 【详解】，， 则，， 故在方向上的投影向量为：. 故选：B 28．（23-24高一下·北京东城·阶段练习）已知向量，，向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出向量在方向上的投影数量以及与方向相同的单位向量，即可求出向量在方向上的投影向量. 【详解】向量在方向上的投影数量为， 与方向相同的单位向量为， 所以向量在方向上的投影向量为． 故选：D． 【题型5向量数量积的计算】 【方法点拨】 向量的 数量积 是一个实数 1或或时, =0 2且时, ， 29．（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）若向量满足，若，间的夹角为，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据代入计算可得结果. 【详解】∵，且，间的夹角为， ∴. 故选：C. 30．（2006·福建·高考真题）已知向量与的夹角为，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量数量积的运算性质可得出关于的方程，解之即可. 【详解】因为向量与的夹角为，，， 所以，，即， 整理可得，解得（负值已舍去）. 故选：C. 31．（20-21高二上·天津静海·阶段练习）已知向量和的夹角为，且，则（    ） A．12 B． C．4 D．13 【答案】D 【分析】应用平面向量数量积的定义及运算律计算即可. 【详解】因为向量和的夹角为，且， 则. 故选：D. 32．（24-25高一上·全国·期中）若两个单位向量的夹角为，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】由向量的数量积计算出结果. 【详解】 故选：C 33．（23-24高一下·江西新余·阶段练习）向量，满足，，，那么 . 【答案】 【分析】利用向量的模公式即可求解. 【详解】由，得，即（*）， 因为，，* 所以，， 代入（*）式得，解得. 故答案为：. 34．（23-24高一下·贵州贵阳·期末）已知向量满足，则 . 【答案】 【分析】根据已知模长应用数量积的运算律计算即可. 【详解】因为，所以， 又因为，所以 所以. 故答案为：. 【题型6求向量的夹角（夹角的余弦值）】 【方法点拨】 向量的夹角 夹角的范围是： 35．（23-24高一下·天津·期中）已知向量，，满足，，，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据模长公式，即可结合数量积的定义代入求解. 【详解】由可得， 将，代入可得， 所以，故，由于，所以， 故选：A 36．（2024·江苏·模拟预测）已知向量，满足，，，则与的夹角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量数量积公式求出，进而由夹角余弦公式求出答案 【详解】，故， 则，所以与的夹角等于. 故选：D 37．（23-24高一下·吉林·期中）已知向量，的夹角为，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由数量积公式求夹角即可． 【详解】因为，，所以. 故选：D 38．（23-24高一下·贵州·期中）已知向量满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的夹角余弦公式计算求值. 【详解】设与的夹角为，则， 因为，所以． 故选：C． 39．（23-24高一下·北京通州·期中）已知两个单位向量，满足，则，的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先同平方求出，再利用向量夹角公式即可. 【详解】，两边同平方有， 即，解得，则， 又因为，所以. 故选：C. 【题型7 向量的模】 方法点拨： 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则有下表： 坐标表示 模 |a|2＝x＋y或|a|＝ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝ 夹角 cosθ＝＝(a，b为非零向量) 40．（2022高二下·河北·学业考试）已知向量，满足，，，则（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】将分别进行平方，借助的值联系起它们的关系，从而求解. 【详解】由题知，， 则， ， 则. 故选：A 41．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知是非零向量，，且. (1)求在方向上的投影向量； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件得到，再利用投影向量的定义，即可求出结果； （2）利用（1）结果及数量积的运算律，即可求出结果. 【详解】（1）因为，所以，又，得到， 又，所以在方向上的投影向量为. （2）由（1）， 所以， 得到. 42．（23-24高一下·陕西西安·期中）已知，是两个单位向量，且与的夹角为 (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用数量积的定义直接求解即可； （2）结合数量积的运算律，利用向量模的性质求解即可. 【详解】（1）因为，是两个单位向量，且与的夹角为， 所以； （2）. 【题型8 平面向量基本定理的应用】 方法点拨： 向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面： （1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义． （2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：（或x1y2－x2y1=0）． （3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：（或x1x2+y1y2=0）． （4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式． （5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题． 43．（23-24高一下·江西新余·阶段练习）在中，，，，，则 （    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】利用平面向量的线性运算、向量的数量积的定义及运算律即可求解． 【详解】根据题意作出图形，如图所示   ， . , . 故选：C. 44．（23-24高一下·吉林白山·期末）如图，在梯形中，在线段上，.若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据平面向量的线性运算可得，结合平面向量基本定理可得，即可得结果. 【详解】由题意可设， 则， 又因为，且，不共线， 可得，解得，即， 所以，即. 故选：D. 45．（22-23高一下·山东·阶段练习）在中，，P是直线BN上的一点，若，则实数m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用共线向量定理的推论列式计算即得. 【详解】由，得，则， 而三点共线，则， 所以. 故选：B 46．（2023·河北·三模）如图，在中，已知，，P是线段AD与BE的交点，若，则m＋n的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】利用线性运算得到，再结合三点共线即可求解. 【详解】如图，过D作直线，交AC于F，则， ∴， ∴，∴  ∴， 又B，D，C三点共线，∴， 故， 故选：C 47．（23-24高一下·陕西西安·期末）如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，取为平面的一个基底，再利用向量的线性运算计算即得. 【详解】正方形ABCD中，M是BC的中点，则，则， 于是，而， 所以. 故选：C 【题型9 平面向量的坐标运算】 方法点拨： 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表： 向量坐标公式 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1) 48．（23-24高一下·新疆·期中）已知，，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由平面向量加法的坐标运算求解即可． 【详解】已知向量，， 则，解得． 故选：B． 49．（23-24高一下·天津红桥·期中）已知平面向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用向量的坐标运算计算即可. 【详解】因为向量，，所以. 故选：C. 50．（23-24高一下·浙江台州·期中）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出坐标公式，进而求出的坐标公式，即可求解模长. 【详解】，，， ，. 故选：B. 51．（23-24高一下·福建漳州·期中）已知向量，若 ，则（    ） A． B． C．10 D． 【答案】C 【分析】运用向量共线的结论可解. 【详解】向量，由 ，得，所以. 故选：C 52．（23-24高一下·北京东城·期中）若且，则P点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据题意向量的坐标，从而可得点P点的坐标. 【详解】因为且， 所以， 所以点的坐标为. 故答案为： 53．（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知向量，则 ． 【答案】 【分析】由向量的坐标运算求解即可. 【详解】向量， 所以. 故答案为：. 【题型10 向量共线、垂直的坐标表示的应用】 【方法点拨】 (1)两个向量平行的充要条件 ∥（≠）存在惟一的实数使得＝λ（注意，时，显然∥）； 若则∥（可以为） 向量的共线 是证明三点共线的重要依据（需注意说明两个向量有公共点） (2)两个向量垂直的充要条件 当，≠时，⊥·＝0 54．（23-24高一下·北京通州·期中）已知向量，. 若，则实数（    ） A． B．9 C．1 D． 【答案】A 【分析】根据向量共线的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】由题意得，即. 故选：A. 55．（23-24高一下·山东济南·期中）已知向量，，若，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据平面向量共线的坐标表示计算可得. 【详解】因为，且， 所以，解得． 故选：B． 56．（22-23高一下·贵州安顺·期末）若三点、、共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出向量、的坐标，可知，利用平面向量共线的坐标表示可求得的值. 【详解】已知三点、、共线，则，， 由题意可知，所以，，解得. 故选：D. 57．（23-24高一下·海南·期中）已知，，若，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】由平面向量的数量积的坐标运算求解． 【详解】， 由，得， 得，得， 故选：A 58．（23-24高一下·河南漯河·期中）已知向量，若与互相垂直，则 . 【答案】7 【分析】根据向量减法及数量积的坐标运算即可求解. 【详解】， 则， 与互相垂直， 所以，即，解得. 故答案为：7. 59．（23-24高一下·福建福州·期中）设向量，若，则实数的值为 .. 【答案】 【分析】先求出，再由向量垂直的坐标表示即可得解. 【详解】由题， 因为， 所以. 故答案为：. 60．（23-24高一下·广东佛山·期中）已知向量，若，则的值为 . 【答案】3 【分析】由，得，列方程可求得答案. 【详解】因为， ， 所以，解得. 故答案为：3 61．（23-24高一下·云南迪庆·期中）已知向量，且，则 . 【答案】4 【分析】先算出的坐标，然后由向量的数量积公式列方程即可求解. 【详解】因为向量， 所以， 而，所以，解得. 故答案为：4. 【题型11用向量解决物理中的相关问题】 【方法点拨】 （1）利用向量知识来确定物理问题，应注意两方面：一方面是如何把物理问题转化成数学问题，即将物理问题抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释相关物理现象． （2）明确用向量研究物理问题的相关知识：①力、速度、位移都是向量；②力、速度、位移的合成与分解就是向量的加减法；③动量mv是数乘向量；④功即是力F与所产生位移s的数量积． （3）用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向量运算解决问题；三是把结果还原为物理结论． 62．（23-24高一下·北京石景山·期中）红蜡块能在玻璃管的水中匀速上升，若红蜡块在A点匀速上升的同时，使玻璃管水平向右做匀加速直线运动，则红蜡块实际运动的轨迹是图中的（    ） A．曲线 B．直线 C．曲线 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据题意，结合合速度的方向与合加速度的方向不在一条直线上，物体做曲线运动，进而得到答案. 【详解】当红蜡块能在玻璃管的水中匀速上升，若红蜡块在A点匀速上升的同时， 合速度的方向与合加速度的方向，不在一条直线上，物体做曲线运动， 因为玻璃管水平向右做匀加速直线运动，所以红蜡块在竖直方向运动相同的距离时，向右的运动的距离越来越大， 所以运动轨迹为曲线. 故选：A. 63．（23-24高一下·河北保定·期中）平面上三个力，，作用于一点且处于平衡状态，，与的夹角为45°，则的大小为（    ） A． B．5N C． D． 【答案】C 【分析】根据平衡状态得，结合向量的数量积求解即可． 【详解】由题意得，， 所以， 故选：C． 64．（23-24高一下·河南南阳·期中）小娟，小明两个人共提一桶水匀速前进，已知水和水桶总重力为，两人手臂上的拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（    ） A．越小越费力，越大越省力 B．始终有 C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】根据题意，由向量的平行四边形法则可得，由此分析选项，即可得答案． 【详解】根据题意，由于，又由， 则有向量，为邻边的四边形为菱形， 则有，, 对于A，由于不变，则越小越省力，越大越费力，A错误； 对于B，由于，B错误； 对于C，当时，，C正确； 对于D，当时，，D错误． 故选：C. 65．（23-24高一下·安徽宿州·期中）若同一平面内的三个力作用于同一个物体，且该物体处于平衡状态.已知，且与的夹角为，则力的大小为（    ） A．37 B． C．13 D． 【答案】D 【分析】利用物体处于平衡状态得到，同时结合力和向量的关系求出即可. 【详解】由题意可知，所以 所以 故，则力的大小为. 故选：D. 66．（23-24高一下·河北石家庄·期中）一物体在力的作用下，由点移动到点，已知，则对该物体所做的功为（    ） A． B． C．1 D．41 【答案】A 【分析】根据功，即可求得物体所做的功. 【详解】由题意可知，，， 所以对该物体所做的功为． 故选：A． 【题型12 正、余弦定理在几何图形中的应用】 【方法点拨】 正、余弦定理及变形 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C 变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B， c＝2Rsin C； (2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (3)＝＝2R cos A＝； cos B＝； cos C＝ 【注意】若已知两边和其中一边的对角，解三角形时，可用正弦定理．在根据另一边所对角的正弦值确定角的值时，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是注意结合“大边对大角，大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题． 67．（23-24高一下·广东佛山·期中）在四边形中，，记，，的角平分线与相交于点，且，. (1)求的大小； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理化简得到，再由，两式相除求得，即可求解； （2）根据题意，利用，求得，结合余弦定理，即可求解. 【详解】（1）在中，由正弦定理得，所以， 因为，两式相除得，所以， 又因为，可得，所以. （2）因为，所以， 又因为平分，可得， 因为，且，， 所以， 即，解得， 在中，由余弦定理得 ，所以. 68．（23-24高一下·北京·期中）如图，在梯形ABCD中，，， (1)求； (2)求BC的长． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）计算出、，利用两角和的余弦公式可求得的值. （2）在中，利用正弦定理可求出的长，然后在中利用余弦定理可求得的长. 【详解】（1）在中，，，则、均为锐角， 则，， . （2）在中，由正弦定理得，， 由，得，在中，由余弦定理得：， 所以. 69．（23-24高一下·内蒙古·期中）如图，在平面四边形中，的面积为．    (1)求； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角形面积公式求出的长，再由余弦定理可求出. （2）根据已知条件可由正弦定理优先求出，进而可由内角和为,以及诱导、三角恒等变换公式可求出. 【详解】（1）因为，又， 所以．在中，由余弦定理得： ， 所以. （2）在中，由正弦定理得，即， 解得，又，所以， 所以， ， ，故． 70．（2022·全国·模拟预测）如图，四边形为梯形，，，，． (1)求的值； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）计算出，利用两角和的余弦公式可求得的值； （2）在中，利用正弦定理可求出BD的长，再在中利用余弦定理可求得BC的长. 【详解】（1）因为，且，解得，． 而，所以， 所以 因为，所以，所以． （2）在中，由正弦定理得， 因为，所以． 在中，由余弦定理得 ， 所以． 【题型13 三角形的面积问题】 【方法点拨】 1、S＝a·ha(ha表示边a上的高)； 2、S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； 3、S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)． 71．（23-24高一下·广西玉林·期中）已知的内角的对边分别为，且． (1)求角A的大小； (2)若的面积为，求的周长和外接圆的面积； 【答案】(1)； (2)周长、外接圆面积分别为、. 【分析】（1）由正弦边角关系及和角正弦公式可得，再根据三角形内角的性质求角的大小； （2）由三角形面积公式有，应用余弦定理得，即可求周长，再由正弦定理求外接圆半径，进而求面积. 【详解】（1）由，由正弦定理得， 从而有，，则， 由； （2）因为，所以， 由余弦定理得：， 即，解得， 所以周长为， 设外接圆半径为R，由，得， 所以外接圆面积. 72．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）在中，角所对的边分别为，，角的平分线交于点，且． (1)求的大小； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理把边化成角，进而求解； （2）由三角形面积公式并利用可得，再由余弦定理即可求得，由三角形的面积公式可得结果. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理可得． 因为，所以， 所以，故， 又因为，所以． （2）由题意可知， 即，化简可得． 在中，由余弦定理得， 从而，解得或（舍）． 则． 73．（23-24高一下·河南南阳·期中）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求C； (2)若，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方法一：根据余弦定理将角化为边，化简后，再根据余弦定理求角； 方法二：根据正弦定理将边化为角，再根据三角函数两角和差公式化简，即可求解； （2）根据余弦定理和锐角三角形的性质，求，再代入三角形面积公式，即可求解. 【详解】（1）（方法一：）由余弦定理得：， 又由题知：， 所以，化简得， 所以：， 因为，故. （方法二：）由正弦定理得：， 因为 所以：， 因为，故. （2）由余弦定理：， 整理得，解得或. 当时，，最大角B是钝角，为钝角三角形，舍去； 当时，，最大角B是锐角，为锐角三角形，符合题意. 所以. 74．（23-24高一下·北京大兴·期中）在中，． (1)求的值； (2)求的值及的面积． 【答案】(1) (2), 【分析】（1）由题意利用余弦定理即可求解的值； （2）由题意利用同角三角函数基本关系式可求的值，由正弦定理可得的值，利用三角形的面积公式可求的面积的值． 【详解】（1）在中，， 由余弦定理，可得，整理可得， 解得或（舍去）； （2）由于，所以， 由正弦定理，可得， 所以的面积． 75．（23-24高一下·山东临沂·期中）设的内角所对的边分别为，若，． (1)求的值； (2)若，求的面积． 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）由正弦定理得，在中由余弦定理得，利用二倍角公式和两角差的正弦公式即可求解； （2）由（1）求得，和，利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）由正弦定理得为的外接圆半径）， 可得：， 将其代入得，即， 又由题意知，所以， 解得，所以，在中由余弦定理得： ， 所以，所以， 所以， ， 由题意可知，所以， 所以， 所以； （2）因为，由（1）知， 所以． 【题型14 解三角形的实际应用】 【方法点拨】 1、三角形内角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：＝－. 2、三角形中的三角函数关系 （1）sin(A＋B)＝sin C； （2）cos(A＋B)＝－cos C； （3）sin ＝cos ； （4）cos ＝sin . 3、三角形中的射影定理：在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. 4、三角形中的大角对大边：在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B. 76．（23-24高一下·浙江·期中）在中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. (1)求角B的值； (2)若，判断的形状； (3)若为锐角三角形，且，求的面积S的取值范围. 【答案】(1)60°； (2)等边三角形； (3). 【分析】（1）将角化边进行化简，然后结合余弦定理求解即可；（2）将边化角，将正切变成正弦和余弦再进行化简即可判断；（3）根据条件表示边，再利用三角形的面积公式即可求解面积的取值范围. 【详解】（1）∵， ∴由正弦定理得， 即， 即， 即， 由余弦定理得， ∵， ∴； （2）∵ ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形. （3）因为, 由正弦定理,得 所以 因为为锐角三角形,则, 从而, 所以. 77．（23-24高一下·重庆·期末）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求的值； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换即可求解， （2）根据正弦定理，结合三角函数的性质即可求解. 【详解】（1）由及正弦定理得：． ，可得：, ，且是锐角三角形， ，可得：． （2）,，． ，, ． ． . 78．（23-24高一下·山东·期中）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理、诱导公式、二倍角公式化简计算即可； （2）利用余弦定理、三角形面积公式、基本不等式计算即可. 【详解】（1）因为， 所以， 易知，则，即， 则或，所以或（舍去）， 故； （2）由余弦定理知， 即，当且仅当时取得等号， 所以， 即面积的最大值为. 79．（23-24高一下·重庆·期中）在中，角所对的边为，已知. (1)求； (2)若，，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理及两角和差正弦公式计算求出正切值求角即可； （2）由正弦定理结合和比定理求出进而得出周长即可. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 在中，， ，， . （2）， ， 所以的周长为. 80．（23-24高一下·浙江绍兴·期中）在中，角，，所对边分别为，，，且，为边上的动点. (1)若为的中点，，，求边； (2)若平分，，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用辅助角公式求得角，结合平面向量加法法则得，再由余弦定理求解； （2）设，由根据题意，利用余弦定理求解的值，从而得解. 【详解】（1），， 为的中点，则， 平方得：， 又，， 由余弦定理得：，； （2）设， 若平分，，易得， 又，得，， 平分，， 即 在中，， 81．（23-24高一下·广东惠州·期中）已知的内角所对的边分别是. (1)求角； (2)若外接圆的直径为，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理化简得到，再由余弦定理，即可求解； （2）方法一：由正弦定理求得，利用余弦定理和基本不等式，求得，进而求得周长的取值范围； 方法二：根据题意，利用正弦定理求得，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得，即， 又由余弦定理得，又因为，所以. （2）方法一：因为外接圆的直径为， 由正弦定理得，则， 由余弦定理得， 因为，所以，即， 由三角形性质知，当且仅当时，等号成立， 所以，故周长的取值范围为. 方法二：因为外接圆的直径为， 由正弦定理得，则， 因为，可得，所以， 所以，故周长的取值范围为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 平面向量及其应用章末重点题型归纳（十四大题型） 重难点题型归纳 【题型1 向量的概念与向量的模】 【题型2向量相等或共线】 【题型3 向量的线性运算】 【题型4 向量的投影】 【题型5向量数量积的计算】 【题型6求向量的夹角（夹角的余弦值）】 【题型7 向量的积】 【题型8 平面向量基本定理的应用】 【题型9 平面向量的坐标运算】 【题型9 向量共线、垂直的坐标表示的应用】 【题型9 用向量解决物理中的相关问题】 【题型9 正、余弦定理在几何图形中的应用】 【题型13 三角形的面积问题】 【题型14 解三角形的实际应用】 【题型1 向量的概念与向量的模】 方法点拨： (1)向量的基本要素：大小和方向 (2)向量的表示：几何表示法 ，；坐标表示法 (3)向量的长度：即向量的大小，记作 (4)特殊的向量：零向量＝｜｜＝0单位向量为单位向量｜｜＝1 注意区别零向量和零 1．（23-24高一下·陕西西安·期中）在等腰中，，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一·全国·假期作业）已知向量如图所示，下列说法不正确的是（    ） A．也可以用表示B．方向是由M指向NC．起点是M D．终点是M 3．（21-22高一下·河南许昌·期末）已知点在所在平面内，满足，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 4．（22-23高一下·安徽合肥·阶段练习）在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于（    ） A．1 B． C． D．2 5．（25-26高一上·全国·随堂练习）如图，在圆中，向量，，是（    ）    A．有相同起点的向量 B．相反向量 C．模相等的向量 D．相等向量 6．（2023高三上·广西·学业考试）如图，O是正六边形的中心，下列向量中，与是平行向量的为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在中，可以用同一条有向线段表示的向量是（    ）    A．和 B．和 C．和 D．和 8．（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．长度相等的向量是相等向量 C．零向量的方向是任意的 D．方向相反的向量是相反向量 【题型2向量相等或共线】 方法点拨： (1)相等的向量：大小相等，方向相同．． (2)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量记作∥由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 9．（23-24高一下·山东青岛·期中）若是不共线的向量，且，，，则（   ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 10．（23-24高一下·浙江·阶段练习）已知向量，，若与共线，则（    ） A． B．4 C． D．或4 11．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）已知是两个不共线的单位向量，，若与共线，则 ． 12．（23-24高一下·四川成都·期末）已知为共线向量，且，则 . 13．（23-24高一下·广东广州·期中）已知为两个不共线的非零向量，若与共线，则k的值为 ． 【题型3 向量的线性运算】 【方法点拨】 运算类型 几何方法 坐标方法 运算性质 向量 加法 1平行四边形法则 （共起点构造平行四边形） 2三角（多边）形法则 （向量首尾相连） 向量 减法 三角形法则 （共起点向被减） 数乘 向量 1是一个向量,满足: 2>0时,与同向; <0时, 与异向; =0时, =0 14．（2024高二下·安徽·学业考试）如图，在中，，则等于（    ）    A． B． C． D． 15．（23-24高一下·湖北武汉·期中）已知等腰梯形中，，，E为BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高一下·四川雅安·期末）如图，在梯形ABCD中，，E在BC上，且，设，，则（    ） A． B． C． D． 17．（2024·四川·模拟预测）如图，是边的中点，在上，且，则（    ） A． B． C． D． 18．（22-23高一下·福建三明·期末）在平行四边形ABCD中，，，G为EF的中点，则（    ）    A． B． C． D． 19．（22-23高一下·山东聊城·期中）如图所示，已知，，，则（    ）    A． B． C． D． 20．（23-24高一下·河北唐山·期末）（多选）已知平行四边形的两条对角线交于点，则（    ） A． B． C． D． 21．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）（多选）在中，在边上，，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 22．（23-24高一下·山西晋城·阶段练习）设为的内心，，，，则 ． 【题型4 向量的投影】 23．（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（    ） A． B． C．2 D．4 24．（23-24高一下·重庆·阶段练习）已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 25．（19-20高一下·全国·课后作业）若，向量与向量的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 26．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知平面向量，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知平面向量，，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 28．（23-24高一下·北京东城·阶段练习）已知向量，，向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【题型5向量数量积的计算】 【方法点拨】 向量的 数量积 是一个实数 1或或时, =0 2且时, ， 29．（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）若向量满足，若，间的夹角为，则为（    ） A． B． C． D． 30．（2006·福建·高考真题）已知向量与的夹角为，，，则等于（   ） A． B． C． D． 31．（20-21高二上·天津静海·阶段练习）已知向量和的夹角为，且，则（    ） A．12 B． C．4 D．13 32．（24-25高一上·全国·期中）若两个单位向量的夹角为，则（    ） A． B．1 C． D．2 33．（23-24高一下·江西新余·阶段练习）向量，满足，，，那么 . 34．（23-24高一下·贵州贵阳·期末）已知向量满足，则 . 【题型6求向量的夹角（夹角的余弦值）】 【方法点拨】 向量的夹角 夹角的范围是： 35．（23-24高一下·天津·期中）已知向量，，满足，，，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 36．（2024·江苏·模拟预测）已知向量，满足，，，则与的夹角等于（    ） A． B． C． D． 37．（23-24高一下·吉林·期中）已知向量，的夹角为，，且，则（    ） A． B． C． D． 38．（23-24高一下·贵州·期中）已知向量满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 39．（23-24高一下·北京通州·期中）已知两个单位向量，满足，则，的夹角为（    ） A． B． C． D． 【题型7 向量的模】 方法点拨： 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则有下表： 坐标表示 模 |a|2＝x＋y或|a|＝ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝ 夹角 cosθ＝＝(a，b为非零向量) 40．（2022高二下·河北·学业考试）已知向量，满足，，，则（    ） A． B． C．3 D．2 41．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知是非零向量，，且. (1)求在方向上的投影向量； (2)求. 42．（23-24高一下·陕西西安·期中）已知，是两个单位向量，且与的夹角为 (1)求； (2)求. 【题型8 平面向量基本定理的应用】 方法点拨： 向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面： （1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义． （2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：（或x1y2－x2y1=0）． （3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：（或x1x2+y1y2=0）． （4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式． （5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题． 43．（23-24高一下·江西新余·阶段练习）在中，，，，，则 （    ） A．3 B．6 C．9 D．12 44．（23-24高一下·吉林白山·期末）如图，在梯形中，在线段上，.若，则（   ） A． B． C． D． 45．（22-23高一下·山东·阶段练习）在中，，P是直线BN上的一点，若，则实数m的值为（    ） A． B． C． D． 46．（2023·河北·三模）如图，在中，已知，，P是线段AD与BE的交点，若，则m＋n的值为（    ） A． B． C． D．1 47．（23-24高一下·陕西西安·期末）如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【题型9 平面向量的坐标运算】 方法点拨： 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表： 向量坐标公式 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1) 48．（23-24高一下·新疆·期中）已知，，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 49．（23-24高一下·天津红桥·期中）已知平面向量，，则（    ） A． B． C． D． 50．（23-24高一下·浙江台州·期中）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 51．（23-24高一下·福建漳州·期中）已知向量，若 ，则（    ） A． B． C．10 D． 52．（23-24高一下·北京东城·期中）若且，则P点的坐标为 ． 53．（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知向量，则 ． 【题型10 向量共线、垂直的坐标表示的应用】 【方法点拨】 (1)两个向量平行的充要条件 ∥（≠）存在惟一的实数使得＝λ（注意，时，显然∥）； 若则∥（可以为） 向量的共线 是证明三点共线的重要依据（需注意说明两个向量有公共点） (2)两个向量垂直的充要条件 当，≠时，⊥·＝0 54．（23-24高一下·北京通州·期中）已知向量，. 若，则实数（    ） A． B．9 C．1 D． 55．（23-24高一下·山东济南·期中）已知向量，，若，则（    ） A．1 B． C．2 D． 56．（22-23高一下·贵州安顺·期末）若三点、、共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 57．（23-24高一下·海南·期中）已知，，若，则（   ） A．1 B． C． D． 58．（23-24高一下·河南漯河·期中）已知向量，若与互相垂直，则 . 59．（23-24高一下·福建福州·期中）设向量，若，则实数的值为 .. 60．（23-24高一下·广东佛山·期中）已知向量，若，则的值为 . 61．（23-24高一下·云南迪庆·期中）已知向量，且，则 . 【题型11用向量解决物理中的相关问题】 【方法点拨】 （1）利用向量知识来确定物理问题，应注意两方面：一方面是如何把物理问题转化成数学问题，即将物理问题抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释相关物理现象． （2）明确用向量研究物理问题的相关知识：①力、速度、位移都是向量；②力、速度、位移的合成与分解就是向量的加减法；③动量mv是数乘向量；④功即是力F与所产生位移s的数量积． （3）用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向量运算解决问题；三是把结果还原为物理结论． 62．（23-24高一下·北京石景山·期中）红蜡块能在玻璃管的水中匀速上升，若红蜡块在A点匀速上升的同时，使玻璃管水平向右做匀加速直线运动，则红蜡块实际运动的轨迹是图中的（    ） A．曲线 B．直线 C．曲线 D．无法确定 63．（23-24高一下·河北保定·期中）平面上三个力，，作用于一点且处于平衡状态，，与的夹角为45°，则的大小为（    ） A． B．5N C． D． 64．（23-24高一下·河南南阳·期中）小娟，小明两个人共提一桶水匀速前进，已知水和水桶总重力为，两人手臂上的拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（    ） A．越小越费力，越大越省力 B．始终有 C．当时， D．当时， 65．（23-24高一下·安徽宿州·期中）若同一平面内的三个力作用于同一个物体，且该物体处于平衡状态.已知，且与的夹角为，则力的大小为（    ） A．37 B． C．13 D． 66．（23-24高一下·河北石家庄·期中）一物体在力的作用下，由点移动到点，已知，则对该物体所做的功为（    ） A． B． C．1 D．41 【题型12 正、余弦定理在几何图形中的应用】 【方法点拨】 正、余弦定理及变形 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C 变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B， c＝2Rsin C； (2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (3)＝＝2R cos A＝； cos B＝； cos C＝ 【注意】若已知两边和其中一边的对角，解三角形时，可用正弦定理．在根据另一边所对角的正弦值确定角的值时，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是注意结合“大边对大角，大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题． 67．（23-24高一下·广东佛山·期中）在四边形中，，记，，的角平分线与相交于点，且，. (1)求的大小； (2)求的值. 68．（23-24高一下·北京·期中）如图，在梯形ABCD中，，， (1)求； (2)求BC的长． 69．（23-24高一下·内蒙古·期中）如图，在平面四边形中，的面积为．    (1)求； (2)若，求． 70．（2022·全国·模拟预测）如图，四边形为梯形，，，，． (1)求的值； (2)求的长． 【题型13 三角形的面积问题】 【方法点拨】 1、S＝a·ha(ha表示边a上的高)； 2、S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； 3、S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)． 71．（23-24高一下·广西玉林·期中）已知的内角的对边分别为，且． (1)求角A的大小； (2)若的面积为，求的周长和外接圆的面积； 72．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）在中，角所对的边分别为，，角的平分线交于点，且． (1)求的大小； (2)若，求的面积． 73．（23-24高一下·河南南阳·期中）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求C； (2)若，，求的面积. 74．（23-24高一下·北京大兴·期中）在中，． (1)求的值； (2)求的值及的面积． 75．（23-24高一下·山东临沂·期中）设的内角所对的边分别为，若，． (1)求的值； (2)若，求的面积． 【题型14 解三角形的实际应用】 【方法点拨】 1、三角形内角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：＝－. 2、三角形中的三角函数关系 （1）sin(A＋B)＝sin C； （2）cos(A＋B)＝－cos C； （3）sin ＝cos ； （4）cos ＝sin . 3、三角形中的射影定理：在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. 4、三角形中的大角对大边：在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B. 76．（23-24高一下·浙江·期中）在中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. (1)求角B的值； (2)若，判断的形状； (3)若为锐角三角形，且，求的面积S的取值范围. 77．（23-24高一下·重庆·期末）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求的值； (2)求的取值范围． 78．（23-24高一下·山东·期中）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若，求面积的最大值． 79．（23-24高一下·重庆·期中）在中，角所对的边为，已知. (1)求； (2)若，，求的周长. 80．（23-24高一下·浙江绍兴·期中）在中，角，，所对边分别为，，，且，为边上的动点. (1)若为的中点，，，求边； (2)若平分，，，求的面积. 81．（23-24高一下·广东惠州·期中）已知的内角所对的边分别是. (1)求角； (2)若外接圆的直径为，求周长的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$