专题03 平面向量与几何最值综合突破-2024-2025学年高一数学下学期高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019必修第二册）

专题03 平面向量与几何最值综合突破 一、单选题 1．（23-24高一下·湖南衡阳·期末）在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏泰州·模拟预测）在平行四边形中，若则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 3．（23-24高一下·四川乐山·期中）如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．3 4．（23-24高一下·浙江温州·期中）已知，，且，则的最大值为（    ） A．5.5 B．5 C．6.5 D．6 5．（23-24高一下·重庆·期中）在中，的角平分线交于点，若，，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·山东菏泽·期末）在中，角所对的边分别为，是上的点，平分，且，，则面积的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 7．（2024·北京朝阳·一模）在中，，，点在线段上.当取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·江西萍乡·期中）在中，点为边的中点，，，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D． 9．（2022·河南许昌·三模）在△ABC中，点D在BC上，且满足，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 10．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知，，其中，．若对任意，都有，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D．3 11．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，角的对边分别是，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 12．（23-24高三下·浙江·阶段练习）在等边三角形的三边上各取一点，，，满足，，，则三角形的面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高一下·安徽六安·期末）在中，已知 为线段上的一点，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高一下·江苏徐州·期中）已知平面非零向量，满足，则的最小值为（    ）． A．12 B．24 C．18 D．16 二、填空题 15．（23-24高一下·河南洛阳·期末）在中，，，点在边上，则的最小值为 . 16．（23-24高一下·河南濮阳·阶段练习）在中，，，点在边上，则的最小值为 . 17．（23-24高一下·云南德宏·期中）已知分别为三个内角的对边，.若 ，则的最大值 . 18．（23-24高一下·重庆·阶段练习）设向量满足，与的夹角为，则的最大值为 19．（23-24高一下·湖北武汉·期中）在中，角所对的边分别为，且.若，则周长的最大值为 . 20．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则的面积的最大值为 ． 21．（23-24高一下·河南三门峡·期中）已知向量（其中）.若与共线，则的最小值为 . 22．（23-24高一下·福建·期中）如图，在中，点O 是BC 的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N.设AB=，AC=，则的最小值为 . 23．（23-24高一下·广东惠州·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，，，，，．若P为线段AB上一动点，则的最小值为 ．    24．（2024·天津·高考真题）已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则 ；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为 ． 25．（23-24高一下·吉林·期中）如图，在梯形中，，，，，，分别为边AB，BC上的动点，且，则的最小值为 . 26．（23-24高一下·江苏苏州·期末）如图，在等腰直角中，，，为的中点，将线段绕点旋转得到线段设为线段上的点，则的最小值为 ． 27．（23-24高一下·宁夏银川·期中）在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的最小值是 ． 28．（23-24高一下·重庆·期末）已知为单位向量，且，则的最小值为 . 29．（23-24高一下·江苏南通·期中）设都是单位向量，且，则的最小值为 ． 30．（2023·天津和平·三模）已知中，点是中点，点满足，记，，请用，表示 ；若，向量在向量上的投影向量的模的最小值为 ． 31．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知梯形ABCD中，，，，，点在线段上，则的最小值为 . 32．（22-23高一下·山东·阶段练习）在中，过重心E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设，，（，），则的最小值是 . 33．（23-24高一下·广西崇左·期末）已知是的重心，的面积是，则的最小值是 . 34．（23-24高一下·重庆·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则 ，若，且，则的最小值为 ． 35．（23-24高一下·江苏扬州·期中）已知为的内心，，且满足，则的最大值为 . 36．（23-24高一下·江苏扬州·期中）在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的最大值为 . 37．（2024·上海长宁·二模）已知平面向量满足：，若，则的最小值为 ． 三、解答题 38．（23-24高一下·重庆·期中）如图，在中，为线段上靠近点的三等分点，是线段上一点，过点的直线与边分别交于点，设，． (1)若，，求的值； (2)若点为线段的中点，求的最小值． 39．（23-24高一下·甘肃兰州·期中）在中，的对边分别为，且. (1)求的大小； (2)已知，求的面积的最大值． 40．（23-24高一下·湖北武汉·期末）在中，为角对应的边，为的面积.且. (1)求； (2)若，求内切圆半径的最大值. 41．（23-24高一下·广东湛江·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足． (1)求角B的大小； (2)若的外接圆半径为1，求边长b的值； (3)若，求的面积的最大值． 42．（23-24高一下·广东广州·期末）如图，在中，． (1)求的长； (2)已知点D在平面内，且，求四边形的周长的最大值． 43．（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知的内角、、的对边分别为、、，且． (1)求； (2)设为的中点，；求：①面积的最大值；②的最大值． 44．（23-24高一下·浙江台州·期末）在中，角所对的边分别为，满足. (1)求的值； (2)当与边上的中线长均为2时，求的周长； (3)当内切圆半径为1时，求面积的最小值. 45．（23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）如图，已知是边长为2的正三角形，点P在边BC上，且，点Q为线段AP上一点． (1)若，求实数的值； (2)求的最小值； 46．（23-24高一下·河北石家庄·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． (1)求角B的大小； (2)若，且，求的面积； (3)如图，过点A作BC的平行线AP，且，在四边形ABCP中，，动点E，F分别在线段BC，CP上运动，且，求的最小值． 47．（23-24高一下·江西·期中）如图，在平面四边形中，，，，． (1)若为锐角，且，求的面积； (2)求四边形面积的最大值； (3)当时，在四边形所在平面内，求的最小值． 48．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）的内角的对边分别为，满足. (1)求； (2)的角平分线与交于点，求的最小值. 49．（23-24高一下·甘肃金昌·阶段练习）已知锐角的内角的对边分别为，且. (1)证明：； (2)若，求的最小值. 50．（23-24高一下·上海·期末）在中，，平面上的点满足，，动点在线段上（不含端点）． (1)设，用含有的式子表示； (2)设，求的最小值； (3)求的最小值． 51．（2024·上海宝山·二模）在中，角、、的对边分别为、、，已知. (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的最小值，并判断此时的形状. 52．（23-24高一下·广东肇庆·期末）已知的内角的对边分别为，若，，为平面内一点，且满足． (1)求； (2)求的最小值； (3)若，求的取值范围． 53．（23-24高一下·广东惠州·期中）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答. 已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若__________. (1)求角B； (2)若，求周长的最小值. 54．（23-24高一下·甘肃·期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角； (2)已知； ①求面积的最大值； ②延长至，使得，连接，设外接圆的圆心为，求的最小值. 55．（23-24高一下·山东青岛·期中）已知的内角所对的边分别为，． (1)求角的大小； (2)若，外接圆的半径为，内切圆半径为，求的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 平面向量与几何最值综合突破 一、单选题 1．（23-24高一下·湖南衡阳·期末）在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据向量的性质得到，再使用基本不等式求解即可. 【详解】由于是的中点，故. 而点在直线上，故，即. 从而，当且仅当等号成立. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于采用恰当的配凑以运用基本不等式，从而求得最值. 2．（2024·江苏泰州·模拟预测）在平行四边形中，若则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】利用平面向量的数量积的运算律，求出的表达式，利用二次函数的最值即得. 【详解】由可得 ， 因，故时，，即的最小值为. 故选：B． 3．（23-24高一下·四川乐山·期中）如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．3 【答案】C 【分析】利用三角形重心性质，得，再由平面向量基本定理设，即，对照系数，得，最后运用常值代换法，由基本不等式即可求得的最小值. 【详解】 如图，延长交于点，因点是的重心， 则，① 因三点共线，则，使， 因，，代入得，，② 由①，②联立，可得，，消去即得，， 则， 当且仅当时等号成立， 即时，取得最小值，为. 故选：C. 4．（23-24高一下·浙江温州·期中）已知，，且，则的最大值为（    ） A．5.5 B．5 C．6.5 D．6 【答案】A 【分析】根据向量模长的计算公式，结合以及已知数据，直接求解即可. 【详解】 ， 又，当且仅当与同向时取得等号； 故 . 故选：A. 5．（23-24高一下·重庆·期中）在中，的角平分线交于点，若，，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据可得，由基本不等式可得，然后可得面积最小值. 【详解】在中，记所对的边为， 因为， 所以， 即 ，所以，即， 当且仅当时等号成立， 所以. 故选：D 6．（23-24高一下·山东菏泽·期末）在中，角所对的边分别为，是上的点，平分，且，，则面积的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理可得，从而求得，即可求出角,利用即可解出，再结合基本不等式，即可求出的最小值，从而得解. 【详解】因为，由正弦定理得， 又 ，可得，即 ， 因为，所以， 平分，且，得， 整理得： ，所以，解得 所以，则，当且仅当时等号成立， 故面积的最小值为， 故选：B. 7．（2024·北京朝阳·一模）在中，，，点在线段上.当取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先建立平面直角坐标系，利用坐标表示数量积，并求最小值，求得的坐标，即可求解. 【详解】如图，以所在直线为轴，以的垂直平分线建立轴，建立平面直角坐标系，    由，，则， 所以，，，设， 则，， 则， 当时，取得最小值，此时，. 故选：B 8．（23-24高一下·江西萍乡·期中）在中，点为边的中点，，，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D． 【答案】A 【分析】根据题意，，两边平方可得,由余弦定理可得，再结合基本不等式可求解. 【详解】根据题意，点为边的中点，，， 所以，两边平方可得： ， 所以，① 由余弦定理可得，② 即，③ 由①，②，③可得， 所以，即， 所以的最小值为2. 故选：A 9．（2022·河南许昌·三模）在△ABC中，点D在BC上，且满足，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据平面向量基本定理及共线向量定理的推论，由三点A、E、D共线得，，再根据“1”的代换,运用基本不等式即可求得答案. 【详解】因为，，所以， 由A，E，D三点共线可得，且， 所以， 当且仅当，即时，取等号. 故选：D. 10．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知，，其中，．若对任意，都有，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】设，得到恒成立，得出，根据题意，结合勾股定理，得到，结合基本不等式即可求解. 【详解】设，如图所示， 因为对任意，都有， 由恒成立，则， 因为，， 所以，， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：设，得到恒成立，得出，是解决本题的关键. 11．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，角的对边分别是，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理化角为边，再通过换元转化为分式函数，变形后利用基本不等式求最值求解可得. 【详解】由余弦定理得，代入得， ， 则，即， ， 令，， 则， 当且仅当时， ，即时等号成立， 此时，，即，为等腰直角三角形时， 取到最小值. 故选：B. 12．（23-24高三下·浙江·阶段练习）在等边三角形的三边上各取一点，，，满足，，，则三角形的面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出，设，，在、分别利用正弦定理表示出、，由，利用三角恒等变换公式及辅助角公式求出的最大值，即可求出三角形面积最大值. 【详解】因为，，，所以， 设，， 则，，， 在中由正弦定理，即， 所以， 在中由正弦定理，即， 所以， 所以 （其中）， 所以， 则， 即三角形的面积的最大值是. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题关键是用含的式子表示出、，再利用三角恒等变换公式及辅助角公式求出的最大值，进而求出三角形面积最大值. 13．（23-24高一下·安徽六安·期末）在中，已知 为线段上的一点，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题设条件依次可求得边和角的三角函数值，从而将向量等式化简，利用平面向量基本定理得到，最后利用常值代换法即可求得. 【详解】由①，由和正弦定理可得②， 把②代入①可得，， 又由可得代入①可得，， 则角是锐角，，代入①可得，， 又由余弦定理，得， 于是，，因为线段上的一点，则， 因， 当且仅当时等号成立，即时，取得最小值. 故选：D. 【点睛】思路点睛：本题主要考查正、余弦定理，平面向量基本定理和向量数量积运算，以及基本不等式得应用，属于难题.解决此类题，一般从各个边、角的等式转化入手，运用相关公式或定理各个击破，得出一系列信息，最后借助于主干条件，如此题的得出，从而使问题得解. 14．（23-24高一下·江苏徐州·期中）已知平面非零向量，满足，则的最小值为（    ）． A．12 B．24 C．18 D．16 【答案】B 【分析】将已知式左右分别平方，展开整理后，运用基本不等式将其化成能成立问题，即要求的最小值，通过换元，将其化成二次函数，求其在上的最小值即得. 【详解】设向量，的夹角为，则由两边取平方可得，， 即， 可整理为：（*）， 因，是非零向量，故，当且仅当时取等号， 不妨设，代入（*）化简得，， 显然，当时，不等式不成立，只需能成立即可， 令，因，故， 则，故，取， 依题意要求函数的最小值，因在递增，则， 故，即的最小值为24，此时，同方向且满足. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：关键在于通过已知式两边平方整理后，对的处理，合理方法为运用基本不等式，将方程化成只含有与的不等式，从而可以利用余弦函数的有界性求得的最小值. 二、填空题 15．（23-24高一下·河南洛阳·期末）在中，，，点在边上，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】以的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，利用数量积的坐标表示及二次函数的性质计算可得. 【详解】如图，以的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系， 则，设， 则， 所以， 因为，所以当时，. 故答案为：. 16．（23-24高一下·河南濮阳·阶段练习）在中，，，点在边上，则的最小值为 . 【答案】 【分析】以的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，，利用数量积的坐标表示及二次函数的性质计算可得. 【详解】如图，以的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系， 则，，设，， 则，， 所以， 因为，所以当时. 故答案为： 17．（23-24高一下·云南德宏·期中）已知分别为三个内角的对边，.若 ，则的最大值 . 【答案】 【分析】由余弦定理得，利用正弦定理得，再由辅助角公式可得答案. 【详解】由余弦定理得， 所以，， 因为，所以，， 由正弦定理得， 所以， 则 ，其中， 因为，当即时， 的最大值为. 故答案为：. 18．（23-24高一下·重庆·阶段练习）设向量满足，与的夹角为，则的最大值为 【答案】4 【分析】利用向量的数量积求得的夹角，在利用向量的运算法则作出图，结合图象，判断出四点共圆，利用正弦定理求出外接圆的直径，即可求解. 【详解】如图所示， 设 因为， 所以，因为， 所以，因为 ， 所以， 所以四点共圆，因为，， 所以，由正弦定理知， 即过四点的圆的直径为4， 所以的最大值等于直径4. 故答案为：4. 19．（23-24高一下·湖北武汉·期中）在中，角所对的边分别为，且.若，则周长的最大值为 . 【答案】21 【分析】将已知等式利用正弦定理统一成角的形式，化简后求得，由余弦定理结合基本不等式，可求得，即可得出三角形周长最大值. 【详解】解：因为，所以由正弦定理得， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 由余弦定理得，即， 因为，所以， 得，当且仅当时取等号， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 所以， 所以周长的最大值为21. 故答案为：21. 20．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则的面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】先由已知条件结合余弦定理和求出，再由余弦定理结合基本不等式求出最大值，即可由正弦定理形式面积公式求出面积最大值. 【详解】在中，由及余弦定理，得， 整理得，由，得为锐角， 而，解得， 由及余弦定理，得， 解得，当且仅当时取等号， 因此，所以面积的最大值为. 故答案为：. 21．（23-24高一下·河南三门峡·期中）已知向量（其中）.若与共线，则的最小值为 . 【答案】3 【分析】根据题意，由共线向量的坐标表示可得，再结合基本不等式代入计算，即可求解. 【详解】由与共线可得，即，且， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 22．（23-24高一下·福建·期中）如图，在中，点O 是BC 的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N.设AB=，AC=，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据三点共线求得的等量关系式，结合基本不等式求得的最小值. 【详解】根据题意，，所以， 所以， 又，， 所以， 因为三点共线，所以， 由图可知，， 所以， 当且仅当，即、时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 23．（23-24高一下·广东惠州·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，，，，，．若P为线段AB上一动点，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】以点为原点建立直角坐标系，设，再根据向量数量积的坐标公式结合二次函数的性质即可得解. 【详解】如图，以点为原点建立直角坐标系， 则，设， 故， 所以， 则当时，取得最小值.    故答案为：. 24．（2024·天津·高考真题）已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则 ；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值. 【详解】解法一：因为，即，则， 可得，所以； 由题意可知：， 因为为线段上的动点，设， 则， 又因为为中点，则， 可得 ， 又因为，可知：当时，取到最小值； 解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则， 可得， 因为，则，所以； 因为点在线段上，设， 且为中点，则， 可得， 则， 且，所以当时，取到最小值为； 故答案为：；. 25．（23-24高一下·吉林·期中）如图，在梯形中，，，，，，分别为边AB，BC上的动点，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】建立直角坐标系写出点的坐标，计算得出向量的数量积再结合基本不等式得出最小值即可. 【详解】如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系， 则.设，，其中，，且 ，，得. 因为，所以， 又因为，所以，则， 当且仅当时，取得最小值，且最小值为. 故答案为：. 26．（23-24高一下·江苏苏州·期末）如图，在等腰直角中，，，为的中点，将线段绕点旋转得到线段设为线段上的点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】引入参数，利用向量数量积的运算律将所求式子表示为的函数即可求解. 【详解】连接，，，因为，为，的中点， 所以四边形为矩形，则，，． 设，则 ，当且仅当时，取等号， 所以的最小值为． 故答案为：. 27．（23-24高一下·宁夏银川·期中）在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的最小值是 ． 【答案】8 【分析】将变形后，由，，三点共线，可得，则，化简后利用基本不等式可求出其最小值. 【详解】因为，所以． 因为，，三点共线，所以， 所以． 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值是8. 故答案为：8 28．（23-24高一下·重庆·期末）已知为单位向量，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由，得，可得，由，当等号成立时可得最小值. 【详解】因为为单位向量，有，得， 由，得，得， 所以，又，所以， 而， 则 当且仅当与方向相反时“=”成立 所以的最小值为； 故答案为： 29．（23-24高一下·江苏南通·期中）设都是单位向量，且，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】首先求出，再根据数量积的运算律得到，最后结合数量积定义计算可得. 【详解】因为，， 则， 所以 ， 当与方向相同时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 30．（2023·天津和平·三模）已知中，点是中点，点满足，记，，请用，表示 ；若，向量在向量上的投影向量的模的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题意可得，，可求得；向量在向量上的投影向量的模为，计算可求得最小值. 【详解】根据题意，可得， 由点是中点，可得， 所以， 向量在向量上的投影向量， 因为，所以， 所以向量在向量上的投影向量的模为： ， 当且仅当，即时取等号， 所以向量在向量上的投影向量的模的最小值为. 故答案为：①；②. 31．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知梯形ABCD中，，，，，点在线段上，则的最小值为 . 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，先求直线方程，设点后利用坐标运算可得. 【详解】如图，由题意以，为，轴建立平面直角坐标系， 则，，，， 设构成的一次函数为，代入，， 得，得，即， 因点P在线段BC上，可设，其中， 则，， ， 因，故当时取最小值为. 故答案为： 32．（22-23高一下·山东·阶段练习）在中，过重心E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设，，（，），则的最小值是 . 【答案】 【分析】利用平面向量基本定理及共线向量定理的推论求出的关系，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】在中，点为重心，则， 而点共线，则， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值是. 故答案为： 33．（23-24高一下·广西崇左·期末）已知是的重心，的面积是，则的最小值是 . 【答案】 【分析】根据三角形重心得出，结合面积公式计算得解，应用向量关系平方计算应用基本不等式计算即可. 【详解】如图，取的中点，连接. 设的内角的对边分别为. 因为是的重心，所以在线段上，且. 因为的面积是，所以，解得. 因为是的中点，所以，所以，即， 当且仅当时，等号成立，则. 因为是的中点，所以，所以. 故答案为： 34．（23-24高一下·重庆·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则 ，若，且，则的最小值为 ． 【答案】 8 【分析】根据三角恒等变换可得，即可求解，根据向量的模长关系即可求解，由基本不等式即可求解最值. 【详解】由可得，， 即， 即， 由于，则， 化简可得，由于，故， 由于，所以， 故， 故, 即， 化简得， 故，当且仅当时取等号， 故答案为：，8 35．（23-24高一下·江苏扬州·期中）已知为的内心，，且满足，则的最大值为 . 【答案】 【分析】延长交于D，将取值问题转换为的比值问题，根据图形将比值展开，根据内心的几何性质求解即可. 【详解】设内切圆半径为r，延长交于D，则，即， 由三点共线，得， ， ，. 当，即，亦即时等号成立，故. 故答案为：. 36．（23-24高一下·江苏扬州·期中）在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据正弦定理结合两角和差的正余弦公式求解可得，再根据正弦定理化简，结合三角函数值与角度范围的关系求解即可. 【详解】由正弦定理结合，得， 则，即， 故，则，故，解得. 由正弦定理，有， 故 ， 设，且，则. 又，故，且，故. 故，即， 故，则的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用正弦定理进行边换角，然后再结合辅助角公式和正弦型函数的最值即可. 37．（2024·上海长宁·二模）已知平面向量满足：，若，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】先利用和证明，再解不等式得到，从而有，再验证，，时，即得到的最小值是2. 【详解】由于， 且， 故有 ， 所以，记，则有，从而或，即或. 总之有，故，即. 存在，，时条件满足，且此时，所以的最小值是2. 故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：对于的最小值问题，我们先证明，再给出一个使得的例子，即可说明的最小值是2，论证不等关系和举例取到等号两个部分都是证明最小值的核心，缺一不可. 三、解答题 38．（23-24高一下·重庆·期中）如图，在中，为线段上靠近点的三等分点，是线段上一点，过点的直线与边分别交于点，设，． (1)若，，求的值； (2)若点为线段的中点，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据图形用表示，再用表示，由三点共线即可求解. （2）用表示，再由三点共线的等式关系，再结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为为线段上靠近点的三等分点， 所以， 设，即，， 所以， 又因为，， 所以，， 所以， 即， 又因为三点共线，则，解得， 所以，所以. （2）由（1）可知，， 而，， 所以， 又因为点为线段的中点， 所以,即， 又由三点共线， 所以，即， 所以， 当且仅当时，等号成立. 故的最小值为. 39．（23-24高一下·甘肃兰州·期中）在中，的对边分别为，且. (1)求的大小； (2)已知，求的面积的最大值． 【答案】(1)C (2) 【分析】（1）利用和正弦定理得，再利用余弦定理即可求解. （2）利用和基本不等式得到即可利用面积公式得解. 【详解】（1）∵， ∴， ∴，即， ∴由正弦定理得， ∴， 又∵，故. （2）∵即，当且仅当时等号成立， ∴由（1），即的面积的最大值为. 40．（23-24高一下·湖北武汉·期末）在中，为角对应的边，为的面积.且. (1)求； (2)若，求内切圆半径的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形得面积公式结合正弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解； （2）根据，可得，再根据余弦定理将用表示，再化简，再结合基本不等式即可得解. 【详解】（1）因为， 所以， 由正弦定理得， 整理得， 由余弦定理得， 又，所以； （2）设内切圆的半径为， 则， 所以， 又，所以， 则， 由，得， 当且仅当时取等号， 所以， 即内切圆半径的最大值为. 41．（23-24高一下·广东湛江·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足． (1)求角B的大小； (2)若的外接圆半径为1，求边长b的值； (3)若，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意利用余弦定理边角转化即可得结果； （2）利用正弦定理运算求解即可； （3）根据题意利用基本不等式可得，结合面积公式运算求解. 【详解】（1）因为，即， 由余弦定理可得， 且，所以. （2）由正弦定理可知：（为的外接圆半径）， 所以. （3）由题意可知：，且，即， 又因为，即，解得， 当且仅当时，等号成立， 可得， 所以的面积的最大值为. 42．（23-24高一下·广东广州·期末）如图，在中，． (1)求的长； (2)已知点D在平面内，且，求四边形的周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理解方程可得； （2）由已知，问题转化为求的最大值.先根据题意得四点共圆，借助对角互补求出， 再在中利用余弦定理得边角关系，利用基本不等式可求最值. 【详解】（1）在中，， 由余弦定理得，，即， 化简得，解得（舍），或， 故的长为； （2）已知点D在平面内，且， 则四点共圆，， 则， 在中，由余弦定理得，， 则， ，， 解得，当且仅当时等号成立. 即的最大值为， 又，故四边形周长的最大值为. 43．（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知的内角、、的对边分别为、、，且． (1)求； (2)设为的中点，；求：①面积的最大值；②的最大值． 【答案】(1) (2)①；②. 【分析】（1）由余弦定理、正弦定理结合两角差的正弦公式可得出，结合、的取值范围可得出、的关系，由此可得出角的值； （2）①由余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，再结合三角形的面积公式即可求得面积的最大值； ②由平面向量的线性运算可得出，由平面向量数量积的运算性质可得出，由余弦定理可得出，可得出、的表达式，结合基本不等式可得出关于的不等式，由此可解得的最大值. 【详解】（1）由余弦定理可得，所以，， 由得，整理可得， 由正弦定理可得， 即， 所以，， 所以，， 因为、、，所以，、、，有如下几种情况： ，即，矛盾； ，即，矛盾； ，可得，解得. （2）①由余弦定理、基本不等式可得， 即，当且仅当时，等号成立， 所以，， 故面积的最大值为； ②因为为边的中点，则，即， 所以，， 所以，， 又因为， 所以，，由①知， 可得，解得， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为. 44．（23-24高一下·浙江台州·期末）在中，角所对的边分别为，满足. (1)求的值； (2)当与边上的中线长均为2时，求的周长； (3)当内切圆半径为1时，求面积的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理及两角和得正弦公式化简即可得解； （2）利用余弦定理及向量化求出，即可得解； （3）先利用等面积法求出与的关系，再结合余弦定理可求出与的关系，再结合基本不等式及三角形的面积公式即可得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 又由，得. 因为，所以； （2）由余弦定理得， 即，① 设的中点为，则， 则， 则，② 由①②得， 联立，解得， 所以，即的周长为； （3）由（1）得， 由内切圆半径为1，得，即， 由余弦定理得，所以， 得，因为，所以， 解得或， 又因为的面积大于其内切圆面积，即， 得，所以， 当且仅当时，的面积取到最小值. 【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略： （1）利用正弦定理实现“边化角”； （2）利用余弦定理实现“角化边”. 求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解； （2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 45．（23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）如图，已知是边长为2的正三角形，点P在边BC上，且，点Q为线段AP上一点． (1)若，求实数的值； (2)求的最小值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将用表示，再根据三点共线即可得解； （2）设，将分别用，再根据数量积得运算律结合二次函数的性质即可得解. 【详解】（1） ， 所以三点共线， 所以，解得； （2）设，， 则 ， ， 故 ， 当时，取得最小值， 所以的最小值为. 46．（23-24高一下·河北石家庄·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． (1)求角B的大小； (2)若，且，求的面积； (3)如图，过点A作BC的平行线AP，且，在四边形ABCP中，，动点E，F分别在线段BC，CP上运动，且，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理将边化成角，即可求解; （2）利用余弦定理求出，在利用面积公式即可求解； （3）建立坐标系，根据平面向量得坐标表示，表示出两点以后，即可求解. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得， 所以， 又，所以， 又，所以； （2）因为，且，所以， 在中，由余弦定理得， 即，解得，或（舍）， 所以的面积； （3）以A为坐标原点，AP所在直线为x轴，垂直AP的直线为y轴建立平面直角坐标系， 则，由得， 因为，所以设， 由得， 由得， 所以 ， 当时，取得最小值，最小值为， 所以的最小值为 47．（23-24高一下·江西·期中）如图，在平面四边形中，，，，． (1)若为锐角，且，求的面积； (2)求四边形面积的最大值； (3)当时，在四边形所在平面内，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）连接，在中，在中，分别利用余弦定理表示，可得，可求得，可求得的面积； （2），两边平方结合（1）可求得四边形面积的最大值； （3）将绕点旋转，使得，分别与，重合，连接，，可求得，进而由余弦定理可求得，利用可求最小值. 【详解】（1）连接. 在中，由余弦定理可得，即. 在中，由余弦定理可得，即， 则，即. 因为为锐角，且，所以，所以，则， 故的面积为. （2）四边形的面积， 则.① 由（1）可知，则.② 联立①②，解得，则，等号成立当且仅当， 所以四边形面积的最大值为. （3）将绕点旋转，使得，分别与，重合，连接，， 则，，，. 因为，所以， 所以，则. 由图可知， 当且仅当，，，四点共线时，等号成立， 故的最小值是. 48．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）的内角的对边分别为，满足. (1)求； (2)的角平分线与交于点，求的最小值. 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由二倍角公式计算可得； （2）由等面积法得到，再由乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】（1）由得， 由正弦定理得，即， 由，所以，化简得， 所以，所以. （2）由， 得， 即，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为． 49．（23-24高一下·甘肃金昌·阶段练习）已知锐角的内角的对边分别为，且. (1)证明：； (2)若，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）首先结合二倍角公式、平方关系整理得，进一步由，得，即，从而分类讨论即可得证； （2）思路一：首先用表示出，进一步用表示出，即也可以用表示，结合正弦定理以及得，由基本不等式即可求解的最小值；思路二：由（1）得，进一步，由基本不等式即可求解的最小值. 【详解】（1）由，得， 整理得， 又， 所以， 则， 由正､余弦定理得， 整理得， 当时，，此时，所以，则，不合题意， 所以，故. （2）法一：由（1）得，则，所以， 又，所以，则， 所以，所以， 又 ， 则， 所以，当且仅当，即时取得等号， 故的最小值为. 法二：由（1）得，所以， ， 当且仅当，即时等号成立，此时满足为锐角三角形， 故的最小值为. 50．（23-24高一下·上海·期末）在中，，平面上的点满足，，动点在线段上（不含端点）． (1)设，用含有的式子表示； (2)设，求的最小值； (3)求的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】(1)由平面向量的线性运算求解； (2)由 ，得，则 ，由基本不等式求解； (3) ，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示：   ； （2）因为，，由(１)得， 得， 由， 得， 则 ， 因为，所以， 则， 等号成立时，，得， 故的最小值为； （3）因为，所以， 则 ， 因为，所以当时，取得最小值为． 51．（2024·上海宝山·二模）在中，角、、的对边分别为、、，已知. (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的最小值，并判断此时的形状. 【答案】(1) (2)4，为等边三角形 【分析】（1）由正弦定理角化边可得，进而根据余弦定理可求； （2）由三角表面积可求得，根据均值不等式可求得的最小值，根据取得最小值可判断三角形的形状. 【详解】（1）由正弦定理得， 又由余弦定理得， 因为是三角形内角，所以； （2）由三角形面积公式得： ， 解得， 因为，当且仅当时取等号， 所以的最小值为，此时为等边三角形. 52．（23-24高一下·广东肇庆·期末）已知的内角的对边分别为，若，，为平面内一点，且满足． (1)求； (2)求的最小值； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理和商关系得出角的值； （2）利用余弦定理、基本不等式和向量数量积公式，计算得出结果； （3）先用向量的运算和向量的模计算公式化简，在结合正余弦弦定理转化为，利用角的取值范围求得的取值范围； 【详解】（1）正弦定理得 因为，所以. （2）为平面内一点，且满足，则为外接圆圆心，设外接圆半径为,由（1）知，， 所以 余弦定理得 当时取等号； ， 所以的最小值为； （3） 解法一： 若，所以 根据正弦定理得, 所以 因为， 因此的取值范围为； 解法二：根据正弦定理，得，所以， 从而. 因为，所以， 所以， 所以 . 因为，所以， 所以. 所以， 所以的取值范围为. 53．（23-24高一下·广东惠州·期中）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答. 已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若__________. (1)求角B； (2)若，求周长的最小值. 【答案】(1). (2)6 【分析】（1）分别选三个条件，结合三角恒等变换，以及边角互化，化简后即可求解； （2）由余弦定理可得，利用基本不等式可求出的最小值，即可求出周长最小值，再利用面积公式求出面积 【详解】（1）选①， 由正弦定理可得，即得， 即有，由于，可得，即. 选②， 由正弦定理可得， 因为，，所以，即. 由于，可得. 选③， 由正弦定理和诱导公式可得，即为， 由余弦定理可得. 由于，可得. （2）由（1）知，由余弦定理可得， 即为，而，即. 若，则，可得（当且仅当时取得等号）， 则，所以周长的最小值为6. 54．（23-24高一下·甘肃·期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角； (2)已知； ①求面积的最大值； ②延长至，使得，连接，设外接圆的圆心为，求的最小值. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由正弦定理角化边，再结合余弦定理化简，即可求解角； （2）①由余弦定理，结合基本不等式求的最大值，再代入三角形面积公式，即可求解； ②首先转化向量，再利用正弦定理求的最大值，即可求解. 【详解】（1）根据正弦定理角化边可知，， 即, ， 即，即， 即，， 所以，即，， 则； （2）①因为，所以， 解得，当且仅当时，等号成立， 所以的面积， 即面积的最大值为. ②设的中点为. . 因为，所以， 当且仅当时，等号成立，所以. 故. 综上，的最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题最后一问的关键是利用外接圆的性质，转化向量表示数量积. 55．（23-24高一下·山东青岛·期中）已知的内角所对的边分别为，． (1)求角的大小； (2)若，外接圆的半径为，内切圆半径为，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理、诱导公式及两角和的正弦公式得，由，得到，可得. （2）利用余弦定理及基本不等式求得的最大值为，利用等面积法求得的最大值，利用正弦定理求得，求出的最小值. 【详解】（1）由正弦定理得， 由三角形内角和，所以， 因为，所以，可得. （2）结合（1）由正弦定理得， 由利用等面积法求得的最大值，易知， 故 由（1）和余弦定理可得，故， 且，即， 当且仅当时等号成立，故的最大值为． 故，故的最大值为， 则，的最小值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$