专题02 平面向量及应用重难点解答题（6个考点10种题型专项训练）-2024-2025学年高一数学下学期高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019必修第二册）

专题02平面向量及应用重难点解答题（6个考点10种题型） 1．已知不共线． (1)若，求证：三点共线； (2)若向量与共线，求实数的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明，可得三点共线； （2）利用向量共线的条件，设，列方程组求实数的值． 【详解】（1）证明：，， 则有，可得且为公共点， 所以三点共线. （2）向量与共线，则存在唯一实数，使得， 可得，即，解得 . 2．已知向量． (1)求证：三点共线． (2)若，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)1 【分析】（1）求出，由证明即可； （2），，根据向量相等列方程组求解即可. 【详解】（1）证明：∵，故三点共线； （2），， 则有，即，解得 3．已知，，与的夹角是，计算 （1）； （2）. 【答案】（1）（2）-3 【解析】（1）转化，利用数量积的分配律和数量积的定义，即得解； （2）转化，即得解 【详解】（1）； （2） . 【点睛】本题考查了数量积的模长公式、运算律和定义，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题 4．已知平面向量、满足，，与的夹角为． (1)求； (2)当实数为何值时，． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平面向量的数量积的运算性质进行运算即可； （2）根据条件得，利用数量积的运算性质进行运算，化简后解方程即可. 【详解】（1）因为，，与的夹角为． 所以， 所以. （2）因为， 所以， 化为，解得. 5．已知向量与的夹角，且，. (1)求； (2)在上的投影向量； (3)求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出，可求得. （2）根据投影向量的计算公式计算即可. （3）利用向量的夹角公式求解即可. 【详解】（1）由向量与的夹角，且，，得， ， 所以. （2）在上的投影向量为. （3），则， 所以向量与夹角的余弦值为. 6．已知向量，，. (1)求向量的夹角； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，根据平面向量的运算律和数量积的定义计算即可求解； （2）根据平面向量的运算律计算直接得出结果. 【详解】（1）因为， 所以， 即， 解得，由，得. （2）由（1）得， . 7．已知是非零向量，且，. (1)证明：； (2)若，求实数 . 【答案】(1)证明见解析. (2) 【分析】（1）由平方并结合即可证明； （2）由得，根据数量积的运算律计算即可. 【详解】（1）由题意，. （2）因为， 所以， 即， 则， 解得. 8．已知平面向量，满足，且与的夹角为. (1)求的值； (2)求与夹角的余弦值. 【答案】(1)3； (2) 【分析】（1）根据数量积的定义代入计算即可得出结果； （2）由向量夹角的计算公式代入（1）中结论即可. 【详解】（1）由可得； 即可得. （2）易知； 所以. 即可得与夹角的余弦值为. 9．已知向量，满足，，. (1)求； (2)若向量与相互垂直，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件利用化简求解； （2）由题意得，化简后可求出实数的值. 【详解】（1）因为向量，满足，，， 所以 ； （2）因为向量与相互垂直， 所以， 所以， 所以，解得. 10．已知与的夹角为 (1)求； (2)若与垂直，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由数量积的定义求出，再由数量积的运算律计算可得； （2）依题意可得，根据数量积的运算律计算可得. 【详解】（1）因为与的夹角为， 所以， 所以； （2）因为与垂直， 所以， 即，解得． 11．已知向量与的夹角为，且． (1)求； (2)求在方向上的投影向量（用表示）． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由平面向量的数量积的定义求解即可，复杂向量的模的求法先平方再开方； （2）由投影向量的概念求解即可. 【详解】（1）由题意得． 由，得． （2）因为， 所以在方向上的投影向量为． 12．已知． (1)求与的夹角 (2)求 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知可以求出的值，进而根据数量积的夹角公式，即可求出与的夹角； （2）由（1）中的结论可求得，然后开方即可求出答案. 【详解】（1）由可得， 即，可得； 因此，又， 可得； （2）易知， 所以. 13．已知向量，，且与的夹角为. (1)求； (2)若，求实数k的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用数量积的定义求出，再利用数量积的运算律计算即得. （2）由垂直关系的向量表示，结合数量积的运算律求解即得. 【详解】（1）由，得，又，与的夹角为，则， 所以 . （2）由，得，即， 于是，所以. 14．已知，，与的夹角为． (1)求的值； (2)若向量与共线，求实数λ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出，再根据及数量积的运算律计算可得； （2）依题意可得，根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可. 【详解】（1）因为，，与的夹角为， 所以， 所以； （2）∵与共线， ∴，又与不共线， ∴，解得或， ∴. 15．已知向量，的夹角为，，. (1)求在上的投影的数量； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据投影的数量公式求解即可； （2）根据平面向量的运算结合数量积公式求解即可； （3）根据求解即可. 【详解】（1）在上的投影的数量为：； （2）因为向量，的夹角为，且，， 所以. 所以. （3）， 所以. 16．已知均为单位向量，且． (1)求； (2)求向量与的夹角； (3)求向量与方向上的投影数量． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由条件，结合数量积的性质求出，再由求结论； （2）结合向量夹角的计算公式求解； （3）根据投影数量的定义求解. 【详解】（1）由均为单位向量，则， 由，即，得， 故； （2）， 由（1）知，，且， 故与的夹角为； （3）由投影数量的定义可知， 向量与方向上的投影数量为. 17．已知，，与的夹角为． (1)求； (2)当实数为何值时，与垂直？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的数量积公式求出，再由向量模公式求解即可； （2）由，则其数量积为，利用数量积的运算法则，结合（1）中的，得到关于的方程，求解即可. 【详解】（1）根据题意，， 所以． （2）根据题意，， 即． 又由（1）知， 所以 解得. 18．已知，，与的夹角是． (1)求的值及的值； (2)当为何值时，？ 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）（2）利用向量积运算来求模，利用向量积为零来求两向量垂直. 【详解】（1）， ； （2）因为， 所以， 整理得，解得． 即当时，． 19．已知，，且与的夹角为，求： (1)； (2)与的夹角； (3)若向量与平行，求实数的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）代入向量模的公式，即可求解； （2）代入向量夹角的余弦公式，即可求解； （3）代入向量共线定理，即可求解. 【详解】（1）， ， （2）， ， ， 即，所以与的夹角为； （3）若向量与平行， 则，， 得或， 所以的值为. 20．已知向量，满足，，． (1)求向量与的夹角； (2)求． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）根据向量夹角的计算公式计算即得； （2）利用向量的模的定义，运用向量数量积的运算律计算即得. 【详解】（1）由， 因，故有，； （2）． 21．已知向量与的夹角为，且. (1)求的值； (2)若，求实数的值. 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）运用平面向量数量积的运算性质，得到，由已知向量与的夹角和模即可求得结果； （2）将转化为，求解即可. 【详解】（1）因为向量与的夹角为，且， 得：； （2）因为，所以； 得： ， 解得：. 22．在中，，是的外心，. (1)求边的长； (2)若为的中点，求的值. 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）取中点，连接，然后化简变形可求得的长； （2）由题意可得，代入化简可求得结果. 【详解】（1）取中点，连接，则，所以， 所以， 所以. （2）因为为的中点，所以， 所以. 23．已知，且与的夹角为， (1)求的值； (2)求向量与的夹角的余弦值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）利用平面向量数量积的定义求解即可. （2）先求出，再利用平面向量的夹角公式求解即可. 【详解】（1）由平面向量数量积的定义得， 故的值为， （2）设向量与的夹角为 ， 又， ， 故向量与的夹角的余弦值为. 24．已知平面上两个向量，，其中，，且． (1)若与共线，求的值； (2)求与的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用向量共线的定理结论，求的值即可； （2）运用向量数量积的夹角的余弦公式求解即可． 【详解】（1）若与共线，则存在实数k， 使得，即， 因为向量与不共线，所以，解得． （2）因为， ， 所以． 25．已知，，. (1)求： (2)当实数k为何值时，与垂直？ (3)若不共线，与反向，求实数k的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求得，然后通过平方的方法求得； （2）根据向量垂直列方程，化简求得的值； （3）利用向量反向共线得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】（1）因为，，， 所以， 则. （2）因为与垂直， 所以， 解得. （3）因为与反向， 所以存在，使得， 因为不共线，所以，解得或（舍去）， 所以. 26．已知向量. (1)若，求； (2)若与共线，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示可得，进而可求； （2）根据向量共线的坐标表示求得. 【详解】（1）因为，则， 又因为，则，解得， 则，所以. （2）由题意可得：， 因为∥，则，解得. 27．已知，. (1)若，同向共线，求的坐标. (2)若，且，求与的夹角. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据共线的坐标关系以及模长公式即可求解， （2）根据数量积的运算律可得，即可由夹角公式求解. 【详解】（1）∵，同向共线，设 ∴,      ∵，∴， 解得或 由于，同向，所以，故 方法二： ∵， 共线，所以存在唯一，使得, 即,又， ∴,即或 由于，同向，故 （2）∵， ∴ ∵， 即 的夹角为 ，则 ,即的夹角为 28．已知向量，． (1)求的坐标及； (2)若与共线，求实数的值． 【答案】(1) (2)1或 【分析】（1）由向量坐标的线性运算以及模的坐标公式即可得解. （2）由向量平行的充要条件列出方程即可得解. 【详解】（1）由题意，，所以， 所以. （2）由题意与平行， 所以当且仅当，化简得， 解得，即实数的值为1或-1. 29．在三角形ABC中，已知分别是线段AB，AC上的点，且，.若M、N分别为线段EF、BC的中点. (1)用，表示； (2)判断A，M，N三点是否共线？若是，写出证明过程；若不是，则说明理由. 【答案】(1) (2)不共线，理由见解析 【分析】（1）根据几何性质用，表示出，然后根据向量的减法法则，即可得出答案； （2）假设三点共线，则有共线，根据向量共线的条件得出方程组，得出方程组无解，假设不正确，即可得出答案. 【详解】（1） 因为分别是的中点， 所以，，. 又，， 所以，， 所以， . （2）由（1）知，，. 假设A，M，N三点共线，则共线， 所以，使得，即， 整理可得，. 因为不共线，所以应有，无解， 所以，假设不成立，所以A，M，N三点不共线. 30．在中，为上一点，，，. (1)若，求外接圆的半径； (2)若，为锐角，求面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理求得，再利用正弦定理即可得解. （2）利用三角函数的平方关系与余弦定理求得所需要线段长，再利用正弦定理与三角形面积公式即可得解. 【详解】（1）由余弦定理 ，解得； 又，解得； 外接圆的半径为； （2）因为，为锐角， 则； 设，则， 在中，， 由余弦定理得，解得； 所以； 由正弦定理，即，解得； 所以， 即的面积为. 31．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，. (1)若，，求c； (2)若的面积为，，求a. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）先明确三角形的形状，再利用直角三角形的边角关系求边. （2）先利用三角形的面积求边，再利用余弦定理求边. 【详解】（1）如图：      在中，因为，，所以，所以为等腰三角形. 过作于，则为中点. 在中，，，，所以，即. （2）因为： . 由余弦定理： ， 所以 32．在中，内角所对的边分别是，已知. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理求解即得. （2）利用同角公式、二倍角公式及差角的正弦公式计算即得. 【详解】（1）在中，由，令， 由余弦定理得. （2）在中，由及，得， 则， ， 所以. 33．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，已知． (1)求角B的大小； (2)若，且的面积为，求的周长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦求解即得. （2）利用三角形面积公式及余弦定理求解即得. 【详解】（1）在中，由及正弦定理得， 而，则， 由，得，，于是，又， 所以. （2）由，且的面积为，得，即，解得， 由余弦定理得， 所以的周长为. 34．如图，在四边形ABCD中，，，，，. (1)求及AD的长度； (2)求BC的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用平方关系求出，， 由于， 借助和角公式求出即可．再用正弦定理求出即可； （2）在中，由正弦定理求出，再用余弦定理求出即可. 【详解】（1）因为，，，， 所以，， 由于，又，∴， ∴， 则 ， ∴， 所以. 在中，由正弦定理得， 所以，所以. （2）在中，由正弦定理得，可得，解得. 由于，， 在中，由余弦定理可得 . 35．在中，. (1)求角 ； (2)若，的面积为 ，求. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）由正弦定理化简，得到，即可求得的大小； （2）根据得，由得，然后由余弦定理即可求解. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得， 则， 因为，则， 所以， 故. （2）由（1）得， 因为， 所以， 又因为，所以， 由余弦定理得， 所以. 36．已知在中，. (1)求的大小； (2)若的面积为，求的周长 【答案】(1). (2). 【分析】（1）由正弦定理、两角和的正弦展开式化简可得答案； （2）利用三角形的面积公式求出，余弦定理求出可得答案. 【详解】（1）由正弦定理， 得. 所以. 因为，所以， 因为，所以，即， 又因为，所以； （2）因为，即， 即，所以， 又因为，即， 所以，所以的周长为. 37．在中，分别是内角的对边，已知. (1)求的大小； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合题中等式利用余弦定理解出答案； （2）利用等式变形可计算出，再根据三角形面积公式计算的结果； 【详解】（1）由， 有. 又， 因为,所以. （2）由，有， 可得，得.， 的面积为. 38．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)证明：； (2)若，，求的周长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由正弦定理以及三角恒等变换即可得证； （2）由正弦定理以及三角恒等变换即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 所以. 因为， 所以， 则（或，舍去），即. （2）因为，，所以，. . 由，可得， . 故的周长为. 39．设的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求B； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理可得，即可得结果； （2）利用余弦定理可得，再结合面积公式运算求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 且，则，可得，即， 且，所以. （2）由余弦定理可得：， 即，整理可得，解得或（舍去）， 所以的面积. 40．在中，角，，的对边分别是，，，已知，且. (1)求的值； (2)若，求的周长. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据题意，求得，结合正弦定理，即可求得的值； （2）设，由余弦定理得出方程，解得或，进而求得的周长. 【详解】（1）解：由，且，可得， 又因为，由正弦定理得，所以. （2）解：由，可得，可设，其中， 因为，由余弦定理得，即， 即，解得或， 当时，，此时的周长为； 当时，，此时的周长为. 41．在中，角，，的对边分别为，，，. (1)求； (2)若，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得； （2）利用余弦定理、基本不等式及三边关系求出的取值范围，即可得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得，即， 由余弦定理， 又，所以 （2）由余弦定理，即， 所以，又，所以，显然， 所以，当且仅当时取等号， 又，所以， 所以周长的取值范围为. 42．在中，内角所对的边分别为，已知. (1)求角A的大小； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理得到，根据，求出； （2）由余弦定理得到，计算出，求出三角形面积. 【详解】（1）由正弦定理得， 因为，所以， 故，即， 因为，所以； （2），， 由余弦定理得， 故，解得， 故. 43．在锐角中，，，分别是内角，，的对边，且. (1)若，求周长的最大值. (2)设，. （ⅰ）求外接圆的半径； （ⅱ）求的面积. 【答案】(1)6 (2)， 【分析】（1）根据余弦定理得，利用基本不等式即可求解， （2）（ⅰ）利用正弦定理边角互化可得，（ⅱ）根据正弦定理可得，进而由同角关系可得，，由和差角公式可得，即可由面积公式求解. 【详解】（1）由余弦定理得，即， 所以， 因为， 所以， 则，当且仅当时，等号成立， 所以周长的最大值为6. （2）（ⅰ）由正弦定理得，， 代入，得， 即. 因为，所以. （ⅱ）的面积. 因为，所以. 因为是锐角，所以，则，所以. 因为，所以. 又因为是锐角，所以， 所以，所以， 则，所以 故. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02平面向量及应用重难点解答题（6个考点10种题型） 1．已知不共线． (1)若，求证：三点共线； (2)若向量与共线，求实数的值． 2．已知向量． (1)求证：三点共线． (2)若，求的值． 3．已知，，与的夹角是，计算 （1）； （2）. 4．已知平面向量、满足，，与的夹角为． (1)求； (2)当实数为何值时，． 5．已知向量与的夹角，且，. (1)求； (2)在上的投影向量； (3)求向量与夹角的余弦值. 6．已知向量，，. (1)求向量的夹角； (2)求的值. 7．已知是非零向量，且，. (1)证明：； (2)若，求实数 . 8．已知平面向量，满足，且与的夹角为. (1)求的值； (2)求与夹角的余弦值. 9．已知向量，满足，，. (1)求； (2)若向量与相互垂直，求实数的值. 10．已知与的夹角为 (1)求； (2)若与垂直，求实数的值. 11．已知向量与的夹角为，且． (1)求； (2)求在方向上的投影向量（用表示）． 12．已知． (1)求与的夹角 (2)求 13．已知向量，，且与的夹角为. (1)求； (2)若，求实数k的值. 14．已知，，与的夹角为． (1)求的值； (2)若向量与共线，求实数λ． 15．已知向量，的夹角为，，. (1)求在上的投影的数量； (2)求的值； (3)求的值. 16．已知均为单位向量，且． (1)求； (2)求向量与的夹角； (3)求向量与方向上的投影数量． 17．已知，，与的夹角为． (1)求； (2)当实数为何值时，与垂直？ 18．已知，，与的夹角是． (1)求的值及的值； (2)当为何值时，？ 19．已知，，且与的夹角为，求： (1)； (2)与的夹角； (3)若向量与平行，求实数的值. 20．已知向量，满足，，． (1)求向量与的夹角； (2)求． 21．已知向量与的夹角为，且. (1)求的值； (2)若，求实数的值. 22．在中，，是的外心，. (1)求边的长； (2)若为的中点，求的值. 23．已知，且与的夹角为， (1)求的值； (2)求向量与的夹角的余弦值． 24．已知平面上两个向量，，其中，，且． (1)若与共线，求的值； (2)求与的夹角的余弦值． 25．已知，，. (1)求： (2)当实数k为何值时，与垂直？ (3)若不共线，与反向，求实数k的值. 26．已知向量. (1)若，求； (2)若与共线，求的值. 27．已知，. (1)若，同向共线，求的坐标. (2)若，且，求与的夹角. 28．已知向量，． (1)求的坐标及； (2)若与共线，求实数的值． 29．在三角形ABC中，已知分别是线段AB，AC上的点，且，.若M、N分别为线段EF、BC的中点. (1)用，表示； (2)判断A，M，N三点是否共线？若是，写出证明过程；若不是，则说明理由. 30．在中，为上一点，，，. (1)若，求外接圆的半径； (2)若，为锐角，求面积. 31．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，. (1)若，，求c； (2)若的面积为，，求a. 32．在中，内角所对的边分别是，已知. (1)求的值； (2)求的值. 33．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，已知． (1)求角B的大小； (2)若，且的面积为，求的周长． 34．如图，在四边形ABCD中，，，，，. (1)求及AD的长度； (2)求BC的长度. 35．在中，. (1)求角 ； (2)若，的面积为 ，求. 36．已知在中，. (1)求的大小； (2)若的面积为，求的周长 37．在中，分别是内角的对边，已知. (1)求的大小； (2)若，求的面积. 38．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)证明：； (2)若，，求的周长. 39．设的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求B； (2)若，求的面积. 40．在中，角，，的对边分别是，，，已知，且. (1)求的值； (2)若，求的周长. 41．在中，角，，的对边分别为，，，. (1)求； (2)若，求周长的取值范围. 42．在中，内角所对的边分别为，已知. (1)求角A的大小； (2)若，求的面积. 43．在锐角中，，，分别是内角，，的对边，且. (1)若，求周长的最大值. (2)设，. （ⅰ）求外接圆的半径； （ⅱ）求的面积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$