第05讲：二项式系数的性质【11大题型】-2024-2025学年高二数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第三册）

第05讲：二项式系数的性质 【考点梳理】 · 考点一、求指定项的二项式系数 · 考点二、二项式系数的增减性和最值问题 · 考点三：二项式系数和 · 考点四：项的系数（有理项） · 考点五：展开式项系数和 · 考点六：系数最值问题 · 考点七：奇次项和偶次项的系数之和 · 考点八：三项展开式的系数问题 · 考点九：两个二项式相乘系数问题 · 考点十：二项式系数之和求参数问题 【知识梳理】 知识点　二项式系数的性质 对称性 在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C 增减性与最大值 增减性：当k<时，二项式系数是逐渐增大的； 当k>时，二项式系数是逐渐减小的． 最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大； 当n为奇数时，中间两项的二项式系数，相等，且同时取得最大值 各二项 式系数 的和 (1)C＋C＋C＋…＋C＝2n； (2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1 【题型归纳】 题型一、求指定项的二项式系数 1．（23-24高二下·山东临沂·期中）的展开式的第5项的系数是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·湖南郴州·期末）若为一组数的第六十百分位数，则二项式的展开式的常数项是（   ） A．28 B．56 C．36 D．40 3．（23-24高二下·海南省直辖县级单位·期中）若二项展开式中的各项的二项式系数只有第4项最大，则展开式的常数项的值为（    ） A． B． C．1120 D．160 题型二、二项式系数的增减性和最值问题 4．（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）在的二项展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则展开式的项数是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 5．（2024·湖北·模拟预测）若的二项展开式中，当且仅当第5项是二项式系数最大的项，则其展开式中的系数为（    ） A．8 B．28 C．70 D．252 6．（23-24高二下·广西·期末）若的展开式中二项式系数最大的项仅有第6项，则展开式中的常数项为（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 题型三：二项式系数和 7．（24-25高二上·福建龙岩）在的展开式中，所有的二项式系数之和为32，则所有项系数和为（   ） A．32 B．-32 C．0 D．1 8．（2024·山东·一模）在的二项展开式中，所有二项式系数之和为64，则展开式的项数是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 9．（23-24高二下·天津红桥·期中）已知的展开式中各项的二项式系数和为32，则展开式中常数项为（    ） A．60 B．80 C．100 D．120 题型四：项的系数（有理项） 10．（22-23高二下·山东青岛·期中）的展开式中，第四项和第五项的二项式系数相等，则该展开式中有理项的项数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 11．（2023·浙江·模拟预测）若二项式的展开式中只有第7项的二项式系数最大，若展开式的有理项中第项的系数最大，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 12．（2022·广东汕头·二模）二项式展开式中，有理项共有（    ）项． A．3 B．4 C．5 D．7 题型五：展开式项系数和 13．（24-25高二上·山东东营·期末）已知，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 14．（24-25高二上·江西抚州·期末）若，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 15．（2024·四川德阳·一模）设满足，则（   ） A．120 B． C．40 D． 题型六：系数最值问题 16．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）在的二项展开式中，系数最大的项是（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第5项和第6项 17．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（    ）项 A．2 B．3 C．4 D．5 18．（23-24高二下·江苏泰州）的二项展开式中系数最大的项为第（    ）项 A．2 B．3 C．4 D．2或3 题型七：奇次项和偶次项的系数之和 19．（23-24高二下·新疆·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高二下·山东青岛·期中）若，则（    ） A．244 B．242 C．122 D．121 21．（23-24高二下·山西临汾·期中）若，则（   ） A．121 B．122 C． D． 题型八：三项展开式的系数问题 22．（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）展开式中，的系数为（   ） A．320 B．320 C．240 D．240 23．（24-25高二上·辽宁·期末）的展开式中，含的项的系数为（    ） A．240 B． C．560 D．360 24．（2024·湖南衡阳·一模）的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 题型九：两个二项式相乘系数问题 25．（24-25高二上·河南驻马店·期末）展开式中的系数为（   ） A． B． C．35 D．55 26．（24-25高二上·甘肃定西·期末）的展开式中的系数为（    ） A．60 B．50 C．40 D．20 27．（24-25高三上·山东·阶段练习）在展开式中，系数为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 题型十：二项式系数之和求参数问题 28．（23-24高二下·北京延庆·期中）若，且，则实数值为（    ） A． B． C．或 D．或 29．（2024·全国·模拟预测）二项式的展开式中所有项的系数和为243．则展开式中含项的二项式系数为（    ） A． B． C．5 D．10 30．（23-24高二下·河北秦皇岛·阶段练习）已知，若，则（    ） A．240 B．－240 C．280 D．－280 题型十一：二项式定理综合应用 31．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知， (1)求的值； (2)求的值； (3)求展开式中系数的最大值. 32．（24-25高二上·北京昌平·期末）设，求： (1)； (2)； (3). 33．（24-25高二上·安徽亳州·期末）设. (1)求； (2)若是，，，，中唯一的最大值，求的所有可能取值； (3)若，求. 【高分演练】 一、单选题 34．（24-25高二上·江苏常州·期末）在二项式的展开式中，含项的二项式系数为（   ） A． B．5 C．10 D．40 35．（24-25高二上·北京·期末）在的展开式中，常数项为（   ） A．15 B．16 C．180 D．240 36．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）的展开式中的系数为（    ） A．24 B．21 C．15 D．9 37．（24-25高二上·黑龙江·期末）已知的展开式的第2项系数为，则下列结论中错误的是（   ） A． B．展开式的常数项为第5项 C．展开式的各二项式系数的和为256 D．展开式的各项系数的和为 38．（24-25高二下·全国·课后作业）设，则（    ） A． B． C． D． 39．（24-25高二上·甘肃白银·阶段练习）的展开式中含项的系数为（    ） A．8 B．12 C． D． 40．（2024高三·全国·专题练习）已知的展开式中的系数为10，则的展开式中的常数项为（    ） A．480 B．240 C．120 D．15 41．（2024·四川乐山·三模）设，则（    ） A．1 B． C．2024 D． 二、多选题 42．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知二项展开式，下列说法正确的有（为虚数单位）（    ） A．的展开式中的常数项是 B．的展开式中的各项系数之和为 C． D． 43．（24-25高二上·江西鹰潭·期末）关于二项式的展开式，下列说法正确的是（   ） A．展开式的所有项系数和为64 B．展开式的第4项二项式系数最大 C．展开式中不含项 D．展开式的常数项为240 44．（24-25高二上·江西·期末）关于，下列结论正确的是（   ） A．展开式中的常数项为1 B．展开式中项的系数为 C．展开式中所有项的系数和为 D．展开式中项的系数为392 45．（24-25高二上·河南驻马店·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 46．（24-25高二上·辽宁·期末）已知，则（    ） A． B． C． D．展开式中所有项的二项式系数的和为 47．（24-25高二上·甘肃·期末）在下列关于二项式的命题中，正确的是（   ） A．的展开式中，一共有6项 B．在的展开式中，所有二项式系数的和为64 C．若，则 D．二项式，若，则 三、填空题 48．（24-25高二上·江西鹰潭·期末）若的展开式中的系数为，则a的值为 ． 49．（24-25高二上·甘肃定西·期末）的展开式中，各项系数的最大值是 ． 50．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）设，则 （用数字作答） 51．（24-25高二上·广西·期末）的展开式中的系数为 . 52．（25-26高三上·上海·单元测试）若，则 . 四、解答题 53．（24-25高二上·上海徐汇·期末）在二项式的展开式中： (1)若，求 (2)若所有项的二项式系数和等于4096，求展开式中系数最大的项． 54．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 55．（23-24高二下·江苏盐城）已知. (1)若展开式中只有第5项的二项式系数最大，求的值； (2)当时，二项式的展开式中的系数为A，常数项为，若，则求的值； (3)当时，求二项式的展开式中系数最大的项. 56．（24-25高二上·吉林长春·期末）已知 (1)求的值； (2)求的值. 57．（23-24高二下·湖北武汉·期中）已知，其展开式的二项式系数的最大值为231m． (1)求实数m的值； (2)求下列式子的值（结果可以保留指数形式） ①； ②． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲：二项式系数的性质 【考点梳理】 · 考点一、求指定项的二项式系数 · 考点二、二项式系数的增减性和最值问题 · 考点三：二项式系数和 · 考点四：项的系数（有理项） · 考点五：展开式项系数和 · 考点六：系数最值问题 · 考点七：奇次项和偶次项的系数之和 · 考点八：三项展开式的系数问题 · 考点九：两个二项式相乘系数问题 · 考点十：二项式系数之和求参数问题 【知识梳理】 知识点　二项式系数的性质 对称性 在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C 增减性与最大值 增减性：当k<时，二项式系数是逐渐增大的； 当k>时，二项式系数是逐渐减小的． 最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大； 当n为奇数时，中间两项的二项式系数，相等，且同时取得最大值 各二项 式系数 的和 (1)C＋C＋C＋…＋C＝2n； (2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1 【题型归纳】 题型一、求指定项的二项式系数 1．（23-24高二下·山东临沂·期中）的展开式的第5项的系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】写出展开式的通项，即可判断. 【详解】二项式展开式的通项为（且）， 则第5项公式为， 所以展开式的第5项的系数是. 故选：C 2．（23-24高二下·湖南郴州·期末）若为一组数的第六十百分位数，则二项式的展开式的常数项是（   ） A．28 B．56 C．36 D．40 【答案】A 【分析】根据第六十百分位数，结合二项式通项公式进行求解即可. 【详解】因为n为一组从小到大排列的数的第六十百分位数，， 所以， 二项式的通项公式为， 令，所以常数项为， 故选：A 3．（23-24高二下·海南省直辖县级单位·期中）若二项展开式中的各项的二项式系数只有第4项最大，则展开式的常数项的值为（    ） A． B． C．1120 D．160 【答案】B 【分析】依题意，根据二项式系数的性质，可知，从而可得展开式的通项，令即可求得常数项的值． 【详解】因为二项展开式中的各项的二项式系数只有第4项最大，所以， 则展开式的通项为， 令，解得， 所以，即展开式中常数项为． 故选：B． 题型二、二项式系数的增减性和最值问题 4．（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）在的二项展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则展开式的项数是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】先由二项式系数最大项求出，再由二项式展开式的性质即得. 【详解】在二项式的展开式中，当为偶数时，中间一项的二项式系数最大； 当为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大. 因为在的二项展开式中，只有第四项的二项式系数最大， 所以为偶数，且中间项为第项，即，解得. 因二项式展开式的项数为，则展开式的项数是项. 故选：A. 5．（2024·湖北·模拟预测）若的二项展开式中，当且仅当第5项是二项式系数最大的项，则其展开式中的系数为（    ） A．8 B．28 C．70 D．252 【答案】D 【分析】先确定值，再由二项展开式的通项求解项的系数即可. 【详解】因为二项展开式中当且仅当第5项是二项式系数最大的项， 即二项式系数中第5个即最大， 所以由二项式系数的性质可知， 展开式中共项，，又， 则二项展开式的通项公式 ，. 令，所以的系数为． 故选：D． 6．（23-24高二下·广西·期末）若的展开式中二项式系数最大的项仅有第6项，则展开式中的常数项为（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 【答案】D 【分析】由条件结合二项式系数的性质求，再结合展开式通项公式求结论. 【详解】因为的展开式中二项式系数最大的项仅有第6项， 所以， 二项式的展开式的通项公式为， 令，可得， 所以展开式中的常数项为第项. 故选：D. 题型三：二项式系数和 7．（24-25高二上·福建龙岩）在的展开式中，所有的二项式系数之和为32，则所有项系数和为（   ） A．32 B．-32 C．0 D．1 【答案】D 【分析】根据二项式的所有二项式系数之和的表达式求得的值，再对赋值1即可求得. 【详解】依题，解得， 则二项式的所有项系数之和为. 故选：D. 8．（2024·山东·一模）在的二项展开式中，所有二项式系数之和为64，则展开式的项数是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】先由二项式系数公式求出n，再由二项式展开式定理即可得解. 【详解】由题得， 所以二项式的展开式的项数是. 故选：A. 9．（23-24高二下·天津红桥·期中）已知的展开式中各项的二项式系数和为32，则展开式中常数项为（    ） A．60 B．80 C．100 D．120 【答案】B 【分析】根据各项二项式系数和求出，再由二项展开式通项公式求解即可. 【详解】由题意得，解得， 则的展开式第项， 令，解得，所以， 故选：B 题型四：项的系数（有理项） 10．（22-23高二下·山东青岛·期中）的展开式中，第四项和第五项的二项式系数相等，则该展开式中有理项的项数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】由二项展开式通项和二项式系数的性质求解即可. 【详解】∵的展开式通项为，（，，，…，）， ∵第四项和第五项的二项式系数相等，∴，∴， ∴，（，，，…，）， ∴当为整数，即，，，时，为有理项， ∴展开式中有理项的项数是项. 故选：B. 11．（2023·浙江·模拟预测）若二项式的展开式中只有第7项的二项式系数最大，若展开式的有理项中第项的系数最大，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】根据条件可得.写出展开式的通项，则当是偶数时，该项为有理项，求得所有的有理项的系数，可解出的值. 【详解】由已知可得，.根据二项式定理，知展开式的通项为 ，显然当是偶数时，该项为有理项， 时，；时，； 时，；时，； 时，；时，； 时，. 经比较可得，，即时系数最大，即展开式的有理项中第5项的系数最大． 故选：A. 12．（2022·广东汕头·二模）二项式展开式中，有理项共有（    ）项． A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】D 【分析】求出展开式的通项，令的指数部分为整数即可得结果. 【详解】二项式展开式中， 通项为，其中， 的取值只需满足，则， 即有理项共有7项， 故选：D. 题型五：展开式项系数和 13．（24-25高二上·山东东营·期末）已知，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】利用赋值法即可求解. 【详解】解：令，得； 令，得， 则， 故选：B 14．（24-25高二上·江西抚州·期末）若，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用赋值法逐项计算判断. 【详解】对于A，取，得，A错误； 对于B，展开式中项的系数为，B错误； 对于C，二项式展开式中各项系数均为正，取， 得，C正确； 对于D，取，得，取，得， 联立解得，因此，D错误. 故选：C 15．（2024·四川德阳·一模）设满足，则（   ） A．120 B． C．40 D． 【答案】A 【分析】利用赋值法令可计算得出，再令求出，构造方程组计算可得. 【详解】因为， 令，即可得， 令，即可得，可得，所以； 令，即可得， 得，得， 所以. 故选：A. 题型六：系数最值问题 16．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）在的二项展开式中，系数最大的项是（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第5项和第6项 【答案】B 【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可. 【详解】的通项公式为, 根据二项式系数的性质可知，第5项和第6项的二项式系数最大， 第6项时，展开式的系数为负，因此第5项，展开式系数最大 故选：B 17．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（    ）项 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据第4项的二项式系数最大求出，再通过通项公式得出展开式中项的系数为，接着由即可求解. 【详解】由题意二项式系数仅最大，故， 所以二项式为，其通项公式为， 设二项式展开式中第项的系数最大，则有， ，即，故，经经验符合题意， 所以展开式中系数最大的项是第3项. 故选：B. 18．（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）的二项展开式中系数最大的项为第（    ）项 A．2 B．3 C．4 D．2或3 【答案】B 【分析】由通项公式列出不等式组可求答案. 【详解】的展开式通项公式为， 设第项为系数最大的项，则有，解得，即. 故选：B 题型七：奇次项和偶次项的系数之和 19．（23-24高二下·新疆·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】赋值法求解即可. 【详解】令，得①，令，得②， ①－②，得，即． 故选：A． 20．（23-24高二下·山东青岛·期中）若，则（    ） A．244 B．242 C．122 D．121 【答案】C 【分析】分别令、得两式相加可得答案. 【详解】令，得， 令，得， 两式相加得， 则. 故选：C. 21．（23-24高二下·山西临汾·期中）若，则（   ） A．121 B．122 C． D． 【答案】C 【分析】分别令、所得两式相加可得答案. 【详解】令，得； 令，得， 两式相加得 所以. 故选：C. 题型八：三项展开式的系数问题 22．（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）展开式中，的系数为（   ） A．320 B．320 C．240 D．240 【答案】D 【分析】根据已知二项式写出含的项，即可得答案. 【详解】由题设，含的项为. 所以的系数为. 故选：D 23．（24-25高二上·辽宁·期末）的展开式中，含的项的系数为（    ） A．240 B． C．560 D．360 【答案】B 【分析】根据二项式展开式的通项特征求解即可. 【详解】的通项为， 且， 令，解得，故的项的系数为. 故选：B. 24．（2024·湖南衡阳·一模）的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】写出通项，令，再求展开式中系数为1时的系数，然后相乘即可； 【详解】， 项对应，， 项对应系数为，故展开后系数为. 故选：D. 题型九：两个二项式相乘系数问题 25．（24-25高二上·河南驻马店·期末）展开式中的系数为（   ） A． B． C．35 D．55 【答案】A 【分析】先求得展开式的通项公式，分别令，结合题意，即可求得答案 【详解】因为展开式通项，， 所以展开式为 故选：A. 26．（24-25高二上·甘肃定西·期末）的展开式中的系数为（    ） A．60 B．50 C．40 D．20 【答案】A 【分析】先求出展开式的通式公式，然后根据题意可得所求的系数为展开式中的系数减去2倍的的系数. 【详解】的展开式的通项为， 则的展开式中的系数为. 故选：A 27．（24-25高三上·山东·阶段练习）在展开式中，系数为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】C 【分析】利用二项式定理求出的展开式，再求出指定项的系数. 【详解】依题意，， 因此展开式中，含的项为， 所以系数为15. 故选：C 题型十：二项式系数之和求参数问题 28．（23-24高二下·北京延庆·期中）若，且，则实数值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】利用赋值法即可求解. 【详解】取，则， 取，则，因此，解得或， 故选：C 29．（2024·全国·模拟预测）二项式的展开式中所有项的系数和为243．则展开式中含项的二项式系数为（    ） A． B． C．5 D．10 【答案】C 【分析】令求得所有项系数和，从而解得，再由二项展开式定理求得含的项是第几项，从而可得其二项式系数． 【详解】展开式所有项的系数和为243， 所以令得，解得， 所以展开式的通项公式为， 由，得，所以含项的二项式系数为． 故选：C． 30．（23-24高二下·河北秦皇岛·阶段练习）已知，若，则（    ） A．240 B．－240 C．280 D．－280 【答案】D 【分析】借助赋值法令可计算出，再借助二项式的展开式的通项公式计算即可得解. 【详解】令，则有， 即，故， 即有， 对，有， 令，则有， 即. 故选：D. 题型十一：二项式定理综合应用 31．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知， (1)求的值； (2)求的值； (3)求展开式中系数的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二项式通项特征即可求解， （2）利用赋值法即可求解， （3）根据通项特征，即可列不等式求解. 【详解】（1）； （2）令得 令得 则； （3）的通项为， 令，① ② 代入得：解得， 解得， 解得，所以， 所以展开式中系数的最大值. 32．（24-25高二上·北京昌平·期末）设，求： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)0 (2) (3)729 【分析】（1）（2）（3）根据给定的展开式，利用赋值法计算得解. 【详解】（1）在展开式中，令，得：， 令，得：， 所以. （2）令，得：， 由（1）知，， 两式相加得：， 所以. （3）令，得：. 33．（24-25高二上·安徽亳州·期末）设. (1)求； (2)若是，，，，中唯一的最大值，求的所有可能取值； (3)若，求. 【答案】(1) (2)20，21，22 (3) 【分析】（1）利用赋值法，令，，即可得结果； （2）根据二项式定理可得，根据题意列式求解即可； （3）整理可得，结合二项式系数的性质运算求解. 【详解】（1）由， 令，可得； 令，可得； 所以. （2）由题意知的展开式的通项为，， 所以，. 因为是中唯一的最大值， 可得，即，解得， 所以的所有可能取值为20，21，22. （3）由题意可得：， 所以，， 则. 因为， 所以. 【高分演练】 一、单选题 34．（24-25高二上·江苏常州·期末）在二项式的展开式中，含项的二项式系数为（   ） A． B．5 C．10 D．40 【答案】C 【分析】根据通项特征即可求解得解. 【详解】的通项为 令，故， 所以含项的二项式系数为， 故选：C 35．（24-25高二上·北京·期末）在的展开式中，常数项为（   ） A．15 B．16 C．180 D．240 【答案】D 【分析】先求的展开式的通项公式，再结合式子特点令，得出，即可得到答案. 【详解】展开式的通项公式为， 令，可得，因此，展开式中的常数项为． 故选：D. 36．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）的展开式中的系数为（    ） A．24 B．21 C．15 D．9 【答案】D 【分析】利用二项式定理求解对应项系数即可. 【详解】由二项式定理得的通项为， 当时，含有的系数为，当时，含有的系数为， 综上，原式展开式中的系数为，故D正确. 故选：D 37．（24-25高二上·黑龙江·期末）已知的展开式的第2项系数为，则下列结论中错误的是（   ） A． B．展开式的常数项为第5项 C．展开式的各二项式系数的和为256 D．展开式的各项系数的和为 【答案】D 【分析】应用的展开式的通项公式结合题意求出，再利用通项公式研究常数项；由可求展开式的各项系数的和；由二项式系数性质可求展开式的各二项式系数的和. 【详解】因为的展开式的通项公式为，（）， 所以，即， 解得，故A正确； 所以（）， 当，即时为常数项, 故B正确； 所以展开式的各二项式系数的和为，故C正确； 所以展开式的各项系数的和为，故D错误. 故选：D. 38．（24-25高二下·全国·课后作业）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用赋值法，先求得的值，再赋值，即可出现所求式子，进而求解即可. 【详解】令，则， 易知皆为负值，皆为正值， 令，则， 故． 故选：C 39．（24-25高二上·甘肃白银·阶段练习）的展开式中含项的系数为（    ） A．8 B．12 C． D． 【答案】B 【分析】先求出展开式的通项公式，分别求出、项的系数，即可求解展开式中含项的系数. 【详解】的展开式的通项公式为， 令，可得二项式的展开式中的系数为； 令，可得二项式的展开式中的系数为． 的展开式中的系数为. 故选：B 40．（2024高三·全国·专题练习）已知的展开式中的系数为10，则的展开式中的常数项为（    ） A．480 B．240 C．120 D．15 【答案】B 【分析】先由的展开式中的系数求得，再利用二项展开式的通项公式求解即可. 【详解】∵二项式展开式的通项公式为， ∴的展开式中的系数为， ∴，解得， ∵展开式的通项公式为， 令，得， ∴的展开式中常数项为. 故选：B. 41．（2024·四川乐山·三模）设，则（    ） A．1 B． C．2024 D． 【答案】C 【分析】令求得，令即可求得的值． 【详解】由，令，得； 令，得， 所以． 故选：C． 二、多选题 42．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知二项展开式，下列说法正确的有（为虚数单位）（    ） A．的展开式中的常数项是 B．的展开式中的各项系数之和为 C． D． 【答案】ACD 【分析】应用二项式展开式求常数项判断A；应用赋值法求各项系数之和判断B；代入自变量分别求出判断C、D； 【详解】由题设，二项式展开式通项为，， 所以的展开式中的常数项是，A对； 的展开式中的各项系数之和为，B错； 由，，即，C对； 由，D对. 故选：ACD 43．（24-25高二上·江西鹰潭·期末）关于二项式的展开式，下列说法正确的是（   ） A．展开式的所有项系数和为64 B．展开式的第4项二项式系数最大 C．展开式中不含项 D．展开式的常数项为240 【答案】BD 【分析】赋值法判断A；应用二项式的展开式的性质判断B、C、D. 【详解】A：令，则，A错； 由，， 当时，二项式系数最大，B对； 当时，，C错； 当时，常数项为，D对. 故选：BD. 44．（24-25高二上·江西·期末）关于，下列结论正确的是（   ） A．展开式中的常数项为1 B．展开式中项的系数为 C．展开式中所有项的系数和为 D．展开式中项的系数为392 【答案】ABC 【分析】利用赋值法计算判断AC；利用二项式定理求出项的系数判断BD. 【详解】对于A，令，展开式中的常数项为1，A正确； 对于B，展开式中项的系数为，B正确： 对于C，令，展开式中所有项的系数和为，C正确： 对于D，展开式中项的系数为，D错误. 故选：ABC 45．（24-25高二上·河南驻马店·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用赋值法可判断ACD的正误，利用二项展开式的通项公式可判断B的正误. 【详解】对A：令得，A选项错误； 对B：，B选项正确； 对C：令得，又， 所以，C选项错误； 对D：令得， 又，所以，D选项正确； 故选：BD. 46．（24-25高二上·辽宁·期末）已知，则（    ） A． B． C． D．展开式中所有项的二项式系数的和为 【答案】ABD 【分析】利用赋值法计算可得A正确，C错误，利用通项展开式计算可得B正确，再由所有项的二项式系数的和可得D正确. 【详解】对于A，令，可得，A正确． 对于B，展开式中的第二项为，所以，B正确． 对于C，令，可得，则，C错误． 对于D，展开式中所有项的二项式系数的和为，D正确． 故选：ABD 47．（24-25高二上·甘肃·期末）在下列关于二项式的命题中，正确的是（   ） A．的展开式中，一共有6项 B．在的展开式中，所有二项式系数的和为64 C．若，则 D．二项式，若，则 【答案】ABC 【分析】应用展开式的性质判断A；利用展开式二项式系数的和公式求解判断B；令与，可求得的值判断C；求得中的系数即可计算判断D. 【详解】对于A，二项式展开式一共有6项，A正确； 对于B，在的展开式中，所有二项式系数的和为，故B正确； 对于C，令，可得， 令，可得，所以，故C正确； 对于D，二项式， 则， 令，得，则，故D不正确. 故选：ABC. 三、填空题 48．（24-25高二上·江西鹰潭·期末）若的展开式中的系数为，则a的值为 ． 【答案】2 【分析】令确定对应的系数，得到，再应用二项式的展开式求的系数，列方程求参数. 【详解】当时，，则的系数，不符合， 所以，则的系数，可得. 故答案为：2 49．（24-25高二上·甘肃定西·期末）的展开式中，各项系数的最大值是 ． 【答案】7 【分析】先写出通项公式，列出不等式组，求解出可得答案. 【详解】展开式的通项为且． 设展开式中第项的系数最大，则即， 又，所以或6，故展开式中系数最大的项是第6项或第7项， 且该项系数为． 故答案为：7 50．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）设，则 （用数字作答） 【答案】728 【分析】先令得，，再令得，两式作差即可求得. 【详解】的展开式中，令得，， 由二项展开式可得： 所以都是正数，都是负数， 所以 当时，， 所以. 故答案为：728 51．（24-25高二上·广西·期末）的展开式中的系数为 . 【答案】 【分析】结合组合知识可得答案. 【详解】可看作5个相同的因式相乘， 个含有的括号中， 1个括号取个括号取个括号取个括号取1， 乘在一起构成这一项，或者3个括号取个括号取， 乘在一起构成这一项， 所以的系数为. 故答案为：. 52．（25-26高三上·上海·单元测试）若，则 . 【答案】-2 【分析】分别令，利用赋值法求解即可. 【详解】由 令，则，即； 令，则，即； . 故答案为：-2. 四、解答题 53．（24-25高二上·上海徐汇·期末）在二项式的展开式中： (1)若，求 (2)若所有项的二项式系数和等于4096，求展开式中系数最大的项． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把代入，利用赋值法求得答案. （2）由二项式系数性质求出，求出展开式的通项公式，列出不等式求出系数最大项. 【详解】（1）当时，， 取，得，取，得， 所以. （2）由所有项的二项式系数和等于4096，得，解得， 二项式展开式的通项公式， 令展开式中系数最大的项是第项，则， 整理得，解得，而，因此， 所以展开式中系数最大的项. 54．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2)0 (3) 【分析】（1）利用二项式展开式的通项公式(且)求解； （2）分别令，令求解； （3）根据展开式的通项得到偶数项的系数为负数，令求解. 【详解】（1）二项式展开式的通项为：(且)， 所以，所以． （2）令，得， 令，得， 所以． （3）因为展开式的通项为(且)， 所以当为奇数时，项的系数为负数． 所以， 令，得， ． 55．（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）已知. (1)若展开式中只有第5项的二项式系数最大，求的值； (2)当时，二项式的展开式中的系数为A，常数项为，若，则求的值； (3)当时，求二项式的展开式中系数最大的项. 【答案】(1)8 (2)2或-2 (3) 【分析】（1）根据二项定理展开式的性质可得； （2）根据二项式定理通项公式求出的系数与常数项，由条件可求的值； （3）根据二项式定理通项公式，设第r项系数最大，建立不等关系可求出的值，得系数最大的项. 【详解】（1）展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式共9项，故. （2）当时二项式为，由二项式定理通项公式得， 令，得，所以， 令，得，所以， 又，解得（舍去）或或， 所以或. （3）当 时二项式为， 由二项式定理通项公式得， 设第r项系数最大，则，即，故， 所以二项式的展开式中系数最大的项为. 56．（24-25高二上·吉林长春·期末）已知 (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合赋值法，即可求解； （2）结合（1）的结论，以及赋值法，即可求解． 【详解】（1）的展开式中，当时，，通项公式为， 可知，，，，，， 所以， 当时，， 所以； （2）根据题意，令，得， 由（1）知，，所以 57．（23-24高二下·湖北武汉·期中）已知，其展开式的二项式系数的最大值为231m． (1)求实数m的值； (2)求下列式子的值（结果可以保留指数形式） ①； ②． 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】（1）根据二项展开式的项数确定二项式系数的最大值，列出方程，计算即得； （2）①通过对分别赋值，进行等式间的运算即可求得所求式的值；②，结合所求式，需要对二项式左右分别求导再赋值即得. 【详解】（1）因展开式中共有12项，所以最中间两项的二项式系数最大，即和， 由解得； （2）①由（1）可得， 令得① 令得② ①+②得：， 即得，令得， 故； ②由， 两边求导得， 令可得，． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$