第04讲：二项式定理【6大题型】-2024-2025学年高二数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第三册）

第04讲：二项式定理 【考点梳理】 考点一：二项式定理的正用、逆用 考点二：二项式定理的应用 考点三：二项展开式的通项的应用 考点四：求多项式的展开式 考点五：根据二项式展开式K项求值 考点六：二项式定理的综合问题 【知识梳理】 知识点一　二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)． (1)这个公式叫做二项式定理． (2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项． (3)二项式系数：各项的系数C(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数． 知识点二　二项展开式的通项 (a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝Can－kbk. 【题型归纳】 题型一：二项式定理的正用、逆用 1．（22-23高二下·北京通州·期中）二项式的展开式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二项式定理求解. 【详解】二项式， . 故选：B 2．（21-22高二下·江苏南京·期中）化简的结果为（    ） A．x4 B． C． D． 【答案】A 【分析】逆用二项展开式定理即可得答案. 【详解】 故选：A. 3．（20-21高二下·辽宁朝阳·期中）化简（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】逆用二项式定理化简. 【详解】 ． 故选：B 题型二：二项式定理的应用 4．（24-25高二上·全国·随堂练习）代数式可化简为 ． 【答案】 【分析】根据条件，利用二项展开式，即可求出结果. 【详解】因为 ， 故答案为：. 5．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）已知，则 . 【答案】1 【分析】利用赋值法，令代入可求得答案. 【详解】令，则， 所以. 故答案为：1 6．（23-24高二下·安徽蚌埠·阶段练习）设，则 ． 【答案】21 【分析】根据给定条件，利用二项式展开式的通项公式分析求解即可. 【详解】二项式展开式的通项公式为， 所以. 故答案为：21 题型三：二项展开式的通项的应用 7．（24-25高二上·广西桂林·期末）的展开式中常数项是 .（用数字作答）. 【答案】160 【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得展开式中常数项 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 令，即，∴常数项为. 故答案为：160. 8．（2024·浙江绍兴·二模）的展开式的第四项为 . 【答案】 【分析】写出二项式的通项公式，代值计算即得. 【详解】的展开式的通项为， 令，得 故答案为：. 9．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·阶段练习）在的展开式中，第项的系数为 （用数字作答）． 【答案】 【分析】先写出展开式的通项，当时即可求得第项的系数. 【详解】的展开式中的通项为， 当时，， 所以第项的系数为. 故答案为：. 题型四：求多项式的展开式 10．（22-23高二下·湖南湘潭·期末）在的展开式中常数项等于 . 【答案】16 【分析】根据二项式展开式结合其常数项组成形式即可得到答案. 【详解】因为展开式的通项为，， 的展开式中常数项由两项构成， 即与， 所以的展开式中常数项为. 故答案为：16. 11．（22-23高二下·河北·阶段练习）已知多项式展开式中所有项的系数之和为32，则该展开式中的常数项为 ． 【答案】 【分析】先用展开式中所有项的系数之和为32求出，再将化为进行求解. 【详解】由题意可得，解得，则， 故该展开式中的常数项为． 故答案为： 12．（23-24高三上·江西抚州·阶段练习） 【答案】152 【分析】利用二项式定理得到的展开式，求出相加得到答案. 【详解】 ， ， 故. 故答案为：152 题型五：根据二项式展开式K项求值 13．（2024·河北保定·三模）在的展开式中，常数项为75，则 . 【答案】 【分析】写出二项展开式的通项公式，进而可求出结果. 【详解】的展开式的通项公式为， 令，解得， 所以常数项为，又，解得. 故答案为：. 14．（22-23高二下·上海浦东新·期中）若的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，则n＝ 【答案】10 【分析】根据题意得到，再求出n即可. 【详解】因为的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等， 所以，解得． 故答案为：10. 15．（2023·山东·模拟预测）已知的展开式中含有常数项，则的一个可能取值是 ． 【答案】4、8、12、16（任选一个为答案） 【分析】根据二项式定理展开上述式子，找到满足题意的关于的取值规律，即可求出答案. 【详解】根据二项式定理展开可得， 因为展开式中含有常数项，所以， 由此可得当为4的倍数时，即可满足题意，又因，故可取4、8、12、16. 故答案为：4、8、12、16（任选一个为答案） 题型六：二项式定理的综合问题 16．（23-24高二下·宁夏石嘴山·期中）已知的展开式中，二项式系数最大的项只有第五项． (1)求的值； (2)求该展开式中的常数项． (3)求其展开式中系数最大的项. 【答案】(1) (2) (3)1792 【分析】（1）由题意可得，求解即可； （2）利用展开式的通项公式，可求常数项； （3）利用展开式的通项公式，可求系数最大的项. 【详解】（1）因为展开式中只有第五项的二项式系数最大， 所以，展开式共有9项，所以， 解得； （2）通项公式为，， 当时，则，所以展开式的常数项为； （3）因为，， 所以时，系数为负， 所以时，系数是， 可得系数分别为，，，， 所以当时，系数最大，最大的项是. 17．（23-24高二下·江苏镇江·期中）已知展开式中，二项式系数最大的项为第6项，且展开式中第二项系数为20. (1)求实数的值； (2)求展开式中的常数项； (3)求展开式中系数最大的项. 【答案】(1)2 (2)13440 (3) 【分析】（1）由题意依次列方程求得即可； （2）写出展开式通项，令，解得，回代即可； （3）利用不等式法求最大项即可. 【详解】（1）因为二项式系数最大的项为第6项，所以，解得， 所以展开式为， 而展开式中第二项系数为20，从而，解得； （2）由（1）可知，展开式为， 令，解得，故所求为； （3）设展开式中系数最大的项为第项，则， 即，即， 解得，所以， 所以展开式中系数最大的项为，经检验符合题意. 18．（24-25高二上·河南·阶段练习）（1）求的展开式中的常数项； （2）已知，求的值. 【答案】（1）80（2）510 【分析】（1）由二项式定理的通项公式确定展开式中常数项的项数，从而可得常数项． （2）利用赋值法求出及所有项系数和，再由通项得出，即可求解． 【详解】（1）展开式通项为． 由，可得． 因此展开式的常数项为第5项：． （2）在已知式中令得， 令得， 又，所以， 所以． 【高分达标】 一、单选题 19．（24-25高二上·江西九江·期末）若的二项展开式中常数项为160，则实数的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】求出展开式的通项，令的指数等于零，进而可得出答案. 【详解】展开式的通项为， 令，得， 则，解得. 故选：A． 20．（24-25高二上·江西·期末）二项式的展开式中有理项的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】由二项式展开式的通项公式求出通项，然后由指数为整数得到的取值，得出结果. 【详解】二项式展开式的通项为． 其中当k的值分别为0，2，4时，为有理项，共有3项． 故选：B． 21．（24-25高二上·辽宁·期末）已知的展开式中，常数项为135，则的值为（    ） A．2 B．2或 C．3 D．3或 【答案】D 【分析】先求的展开式的通项公式，再结合式子特点令，得出，即可得到关于的方程，解出. 【详解】展开式的通项公式为， 令，可得，因此，展开式中的常数项为． 则，解得． 故选：D. 22．（24-25高二下·全国·课后作业）的展开式中的项的系数为30，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】结合两个二项式乘积展开项的系数问题的方法求解.根据所给的条件可求的值. 【详解】中的展开式的通项为， 当时，，得到项的系数为， 当时，，得到项的系数为， 故展开式中的项的系数为，即． 故选：C 23．（24-25高二下·全国·课后作业）的展开式中项的系数为（    ） A．280 B． C．448 D． 【答案】D 【分析】利用二项式展开式的通项特征，即可求解. 【详解】由于，则其展开式的通项为，， 令，则，所以项的系数为． 故选：D 24．（23-24高二下·江苏宿迁·阶段练习）的值是（    ） A． B．1 C．0 D．22024 【答案】B 【分析】逆用二项式展开式计算求解. 【详解】 . 故选：B. 25．（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项式展开式的通项公式计算即可求解. 【详解】展开式的通项为，， 又， 分别令、，分别解得和， 所以的展开式含项的系数为. 故选：C. 26．（24-25高二上·上海浦东新·期中）已知乘积展开后共有60项，则的值为（   ） A．5 B．7 C．10 D．12 【答案】C 【分析】根据二项展开式定理可得展开式中共有项，即可得的值. 【详解】易知的展开式中共有6项， 则乘积展开后共有项， 因此可得，解得. 故选：C 27．（23-24高二下·辽宁丹东·阶段练习）二项式的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式中有理项的项数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由二项式展开式求出前3项的系数，由条件列方程求出，再由展开式通项公式确定有理项的项数. 【详解】因为二项式的展开式的通项公式为 ， 所以二项式的展开式的前三项的系数依次为， 由已知依次成等差数列，且， 则，即， 化简得，解得，或（舍去）， 故二项式的展开式的通项公式为，. 设为有理项，则为整数， 可得， 故此展开式中有理项的项数是3. 故选：C. 二、多选题 28．（23-24高二下·河北石家庄·阶段练习）在的展开式中（    ） A．所有系数的绝对值之和为 B．项的系数为 C．系数最大项为第3项 D．有理项共有5项 【答案】BCD 【分析】利用展开式系数绝对值之和与展开式系数和相等判断A，根据二项展开式的通项公式可得，令，运算求解即可判断B，由第项的系数为，列不等式组分析运算判断C，令，分析运算即可判断D. 【详解】对于A：在的展开式中所有系数的绝对值之和与的展开式中所有系数的和相等， 故令，可知展开式的系数之和为，故A错误； 对于B：因为的展开式的通项公式 ，， 令，解得，可得， 即项的系数为，故B正确； 对于C：由通项公式可得：第项的系数为， 当为偶数时，；当为奇数时，； 取为偶数，令，则， 整理得，所以， 所以系数最大项为第3项，故C正确； 对于D：令，则，所以有理项共有5项，故D正确； 故选：BCD. 29．（23-24高二下·西藏拉萨·期末）已知二项式展开式中二项式系数和为128，则下列结论中正确的是（     ） A．二项展开式中各项的系数之和为 B．二项展开式中二项式系数最大的项为 C．二项展开式中无常数项 D．二项展开式中含项的系数为945 【答案】CD 【分析】由二项式系数和求得n，令x＝1可求得各项系数之和即可判断A，由二项式系数的性质可得二项式系数最大的项即可判断B，由展开式的通项中x的指数确定有无常数项即可判断C，运用通项公式分析得到含项的系数即可判断D． 【详解】因为二项式的展开式中二项式系数之和为128， 所以，得，所以二项式为， 则二项式展开式的通项， 对于A，令，可得二项展开式中各项系数之和为，故A错误； 对于B，第4项,第5项的二项式系数最大，此时，,则二项展开式中二项式系数最大的项为和，故B错误； 对于C，令，则无整数解，所以二项展开式中的常数项不存在，故C正确； 对于D，令，则，，所以D正确. 故选：CD. 30．（23-24高二下·云南玉溪·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】变形得到，从而依次判断四个选项. 【详解】由二项式定理可得， 令得，同理可得，，，. 故选：ACD. 31．（23-24高二下·四川成都·期末）在二项式的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．奇数项的二项式系数和为64 B．第6项和第7项二项式系数相等 C．第4项系数为280 D．系数最大的是第6项 【答案】ACD 【分析】利用二项式定理展开式的性质判断AB，根据二项展开式的通项公式求解可判断C；列不等式求最大项的系数，判断D. 【详解】 对于A：由二项式的展开式可得展开式奇数项二项式系数之和为，故A正确； 对于B：由二项式系数的性质，第6项和第7项二项式系数分别为,不相等，故B错误； 对于C：第4项为，所以第4项的系数为，故C正确； 对于D：二项展开式的通项为， 由，解得，所以，即第6项系数最大，故D正确. .故选：ACD. 32．（22-23高二下·浙江·阶段练习）已知在的二项展开式中，第6项为常数项，则（    ） A． B．展开式中项数共有13项 C．含的项的系数为 D．展开式中有理项的项数为3 【答案】ACD 【分析】利用二项式定理及二项展开式的通项公式，结合展开式中的特定项的求法即可求解. 【详解】依题意，展开式的通项公式为， 因为第6项为常数项， 所以时，有，解得，故A正确； 由，得展开式中项数共有项，故B错误； 令，得， 所求含项的系数为.故C正确； 由,令，,则，即， 因为，所以应为偶数，所以可取，即可以取，所以第项，第项，第项为有理项，即展开式中有理项的项数为3，故D. 故选：ACD. 三、填空题 33．（24-25高二上·上海·期末）的二项展开式中，系数最大的项是第 项． 【答案】12和13 【分析】写出二项展开式的通项公式和对应系数，根据条件列不等式可得结果. 【详解】的二项展开式的通项公式为，系数为， 由得，， ∴系数最大的项是第12和13项. 故答案为：12和13. 34．（24-25高二上·辽宁·期末）的展开式中，的系数是 .（用数字作答） 【答案】 【分析】把式子整理成，根据通项整理后得 ，从而求解. 【详解】由， 而的展开式的通项为， 则在的展开式中，含的项为， 故的系数是. 故答案为：. 35．（24-25高二下·全国·课后作业）的展开式中项的系数为 ． 【答案】/ 【分析】利用二项展开式的通项公式求指定项的系数. 【详解】的展开式的通项公式为， 令，解得，故展开式中项的系数为． 故答案为： 36．（23-24高二下·福建福州·阶段练习）若的展开式中的系数为40，则实数 . 【答案】 【分析】将化为，分别求两个二项式中的系数，再合并列方程，求解即得. 【详解】因， 故其展开式中的系数为，解得. 故答案为：. 37．（24-25高三上·湖北·阶段练习）若为一组从小到大排列的数，1，3，5，7，9，11，13的第六十百分位数，则的展开式中的系数为 . 【答案】 【分析】利用第百分位数的定义求出，再利用组合的应用列式计算作答. 【详解】由，得， 于是展开式中含的项为， 所以的展开式中的系数为. 故答案为： 四、解答题 38．（24-25高二上·全国·课前预习）（1）求的展开式； （2）化简：. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由直接应用或化简后应用二项式定理展开可得； （2）逆用二项式定理化简即可. 【详解】方法一  ： . 方法二：   . （2）原式 . 39．（24-25高二上·甘肃白银·阶段练习）已知二项式． (1)写出当时的展开式； (2)写出当时所有的有理项． 【答案】(1) (2)，， 【分析】（1）根据二项式定理展开即可； （2）写出通项，依次列出有理项即可. 【详解】（1） （2）因为当时，二项式的通项为， 所以当时，；当时，；当时，． 所以当时，所有的有理项为，， 40．（24-25高二上·全国·课堂例题）在二项式的展开式中，求： (1)第项的二项式系数和第项的系数； (2)的系数． 【答案】(1)第6项的二项式系数为，第6项的系数为 (2) 【分析】（1）根据条件得到二项式通项为，即可求出结果； （2）利用（1）中的通项公式，即可求出结果. 【详解】（1）由已知得，二项式通项为， 所以， 所以第6项的二项式系数为，第6项的系数为． （2）设展开式中的第项为含的项，则由（1）得，即， 所以展开式中第4项含，其系数为． 41．（24-25高二上·全国·课后作业）已知（其中）的展开式中第9项与第11项的二项式系数之和是第10项的二项式系数的2倍． (1)求n的值； (2)写出该二项式的展开式中所有的有理项． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由题意得，化简得，解方程结合即可求解； （2）由（1）知，，写出二项式展开式的通项，可得当且仅当是6的倍数时，展开式中的项是有理项，写出有理项即可求解. 【详解】（1）（其中）的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数分别是，，． 依题意得，， 即， 化简得， 即，解得或． 因为，所以． （2）由（1）知，， 故二项式的展开式的通项， 当且仅当是6的倍数时，展开式中的项是有理项， 又，， 所以展开式中的有理项共3项，分别是 当时，； 当时，； 当时，． 42．（23-24高二下·四川眉山·阶段练习）已知，其中，，，…，，若第二项与第三项的二项式系数之比是； (1)求n的值； (2)求（可用指数形式作答）； (3)若，求该二项式的值被8除的余数. 【答案】(1)9 (2) (3)1 【分析】（1）由已知可得，求解即可； （2）令，，可求的值； （3），利用二项式的展开式可求二项式的值被8除的余数. 【详解】（1）第二项与第三项的二项式系数之比是，所以， 即，解得：或（舍）； （2）令，得， 令，得，得 （3）当， 因为8是8的倍数，所以能被8整除， 所以被8除的余数为1. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲：二项式定理 【考点梳理】 考点一：二项式定理的正用、逆用 考点二：二项式定理的应用 考点三：二项展开式的通项的应用 考点四：求多项式的展开式 考点五：根据二项式展开式K项求值 考点六：二项式定理的综合问题 【知识梳理】 知识点一　二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)． (1)这个公式叫做二项式定理． (2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项． (3)二项式系数：各项的系数C(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数． 知识点二　二项展开式的通项 (a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝Can－kbk. 【题型归纳】 题型一：二项式定理的正用、逆用 1．（22-23高二下·北京通州·期中）二项式的展开式为（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高二下·江苏南京·期中）化简的结果为（    ） A．x4 B． C． D． 3．（20-21高二下·辽宁朝阳·期中）化简（    ） A． B． C． D． 题型二：二项式定理的应用 4．（24-25高二上·全国）代数式可化简为 ． 5．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）已知，则 . 6．（23-24高二下·安徽蚌埠）设，则 ． 题型三：二项展开式的通项的应用 7．（24-25高二上·广西桂林·期末）的展开式中常数项是 .（用数字作答）. 8．（2024·浙江绍兴·二模）的展开式的第四项为 . 9．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·阶段练习）在的展开式中，第项的系数为 （用数字作答）． 题型四：求多项式的展开式 10．（22-23高二下·湖南湘潭·期末）在的展开式中常数项等于 . 11．（22-23高二下·河北·阶段练习）已知多项式展开式中所有项的系数之和为32，则该展开式中的常数项为 ． 12．（23-24高三上·江西抚州·阶段练习） 题型五：根据二项式展开式K项求值 13．（2024·河北保定·三模）在的展开式中，常数项为75，则 . 14．（22-23高二下·上海浦东新·期中）若的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，则n＝ 15．（2023·山东·模拟预测）已知的展开式中含有常数项，则的一个可能取值是 ． 题型六：二项式定理的综合问题 16．（23-24高二下·宁夏石嘴山·期中）已知的展开式中，二项式系数最大的项只有第五项． (1)求的值； (2)求该展开式中的常数项． (3)求其展开式中系数最大的项. 17．（23-24高二下·江苏镇江·期中）已知展开式中，二项式系数最大的项为第6项，且展开式中第二项系数为20. (1)求实数的值； (2)求展开式中的常数项； (3)求展开式中系数最大的项. 18．（24-25高二上·河南·阶段练习）（1）求的展开式中的常数项； （2）已知，求的值. 【高分达标】 一、单选题 19．（24-25高二上·江西九江·期末）若的二项展开式中常数项为160，则实数的值为（    ） A．2 B． C． D． 20．（24-25高二上·江西·期末）二项式的展开式中有理项的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 21．（24-25高二上·辽宁·期末）已知的展开式中，常数项为135，则的值为（    ） A．2 B．2或 C．3 D．3或 22．（24-25高二下·全国）的展开式中的项的系数为30，则（    ） A． B． C．1 D．2 23．（24-25高二下·全国·课后作业）的展开式中项的系数为（    ） A．280 B． C．448 D． 24．（23-24高二下·江苏宿迁·阶段练习）的值是（    ） A． B．1 C．0 D．22024 25．（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 26．（24-25高二上·上海浦东新·期中）已知乘积展开后共有60项，则的值为（   ） A．5 B．7 C．10 D．12 27．（23-24高二下·辽宁丹东·阶段练习）二项式的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式中有理项的项数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 28．（23-24高二下·河北石家庄·阶段练习）在的展开式中（    ） A．所有系数的绝对值之和为 B．项的系数为 C．系数最大项为第3项 D．有理项共有5项 29．（23-24高二下·西藏拉萨·期末）已知二项式展开式中二项式系数和为128，则下列结论中正确的是（     ） A．二项展开式中各项的系数之和为 B．二项展开式中二项式系数最大的项为 C．二项展开式中无常数项 D．二项展开式中含项的系数为945 30．（23-24高二下·云南玉溪·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 31．（23-24高二下·四川成都·期末）在二项式的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．奇数项的二项式系数和为64 B．第6项和第7项二项式系数相等 C．第4项系数为280 D．系数最大的是第6项 32．（22-23高二下·浙江·阶段练习）已知在的二项展开式中，第6项为常数项，则（    ） A． B．展开式中项数共有13项 C．含的项的系数为 D．展开式中有理项的项数为3 三、填空题 33．（24-25高二上·上海·期末）的二项展开式中，系数最大的项是第 项． 34．（24-25高二上·辽宁·期末）的展开式中，的系数是 .（用数字作答） 35．（24-25高二下·全国）的展开式中项的系数为 ． 36．（23-24高二下·福建福州·阶段练习）若的展开式中的系数为40，则实数 . 37．（24-25高三上·湖北·阶段练习）若为一组从小到大排列的数，1，3，5，7，9，11，13的第六十百分位数，则的展开式中的系数为 . 四、解答题 38．（24-25高二上·全国·课前预习）（1）求的展开式； （2）化简：. 39．（24-25高二上·甘肃白银·阶段练习）已知二项式． (1)写出当时的展开式； (2)写出当时所有的有理项． 40．（24-25高二上·全国·课堂例题）在二项式的展开式中，求： (1)第项的二项式系数和第项的系数； (2)的系数． 41．（24-25高二上·全国）已知（其中）的展开式中第9项与第11项的二项式系数之和是第10项的二项式系数的2倍． (1)求n的值； (2)写出该二项式的展开式中所有的有理项． 42．（23-24高二下·四川眉山）已知，其中，，，…，，若第二项与第三项的二项式系数之比是； (1)求n的值； (2)求（可用指数形式作答）； (3)若，求该二项式的值被8除的余数. 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