八年级数学月考卷01（人教版，测试范围：八年级下册第16章～第17章）-学易金卷：2024-2025学年初中下学期第一次月考

2024-2025学年八年级数学下学期第一次月考卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版八年级下册 第16章~第17章。 5．难度系数：0.75。 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．满足下列条件的△ABC（a、b、c为三边），不是直角三角形的是（　　） A．∠B＝50°，∠C＝40° B．a2＝c2﹣b2 C．a2＝5，b2＝12，c2＝13 D．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 3．在下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 4．如图，把一块含45°角的三角板放入2×4的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示﹣1的点重合，则数轴上点A所表示的数为（　　） A．2 B．1.8 C．﹣1+2 D． 5．已知y3，则的值为（　　） A． B． C． D． 6．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如图①所示，人只要移至该门铃5m及5m以内时，即AC≤5m，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如图②所示，一个身高1.5m的学生走到D处，即CD＝1.5m，门铃恰好自动响起，则BD的长为（　　） A．3米 B．4米 C．5米 D．7米 7．若实数m，n在数轴上的位置如图所示，则代数式的化简结果为（　　） A．﹣2m B．2n C．2m D．﹣2n 8．若a＝1，b，则a与b的关系是（　　） A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．互为负倒数 9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，分别以各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（　　） A．6 B． C．4π﹣6 D． 10．我国宋代数学家秦九韶的著作《数书九章》中关于三角形的面积公式与古希腊数学家海伦的成果并称“海伦﹣秦九韶公式”．它的主要内容是：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，S为三角形的面积，，若一个三角形的三边长分别为a，b，c，p＝S＝15，a＝10，且b＞c，则b值为（　　） A． B． C． D．10 11．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n（m＞n）．若小正方形面积为7，（m+n）2＝21，则大正方形面积为（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 12．我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把原数分母中的无理数化为有理数．如：，．这样的化简过程叫做分母有理化．我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式．利用有理化因式，可以得到如下结论：①；②设有理数a，b满足，则a+b＝6；③；④已知，则；以上结论正确的有（　　） A．①③ B．①② C．①④ D．③④ 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．已知平面直角坐标系内两点A（3，﹣1）和B（﹣1，2），则AB＝　　 ． 14．已知是整数，则正整数n的最小值为　　 ． 15．若最简二次根式与能够合并，那么合并后的值为　　 ． 16．把 a中根号外面的因式移到根号内的结果是　　 ． 17．如图，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝10cm，AC＝5cm，点P从点A开始以2cm/s的速度向点B移动，点Q从点C开始以3cm/s的速度沿C→A→B的方向移动．如果点P，Q同时出发，点P到达点B时，P，Q两点都停止运动．设移动时间为t（s），当QA＝AP时，t＝　　 s． 18．如图是一种笔记本电脑支架，它有A～F共6个档位调节角度，相邻两个档位距离为2cm，已知托架OK的长度为24cm，M点是支点且OM＝2MK．当支架调至A点时，AM⊥OK，当支架调至E档时，托架OK绕着点O旋转到OK′，此时M′E＝OE，则支点M′到OA的距离为　　 cm． 三．解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）计算： （1）； （2）． 20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，AC的垂直平分线交AD于点E，交AC于点F，连接BE． （1）求证：AE＝BE； （2）若AB＝AC＝5，BC＝6，求△ABE的周长． 21．（8分）已知； （1）求x2﹣xy+y2的值； （2）若x的小数部分为a，y的小数部分为b，求的值． 22．（8分）如图，A，B两村庄相距3千米，C为供气站，AC＝2.4千米，BC＝1.8千米，为了方便供气，现有两种方案铺设管道． 方案一：从供气站C直接铺设管道分别到A村和B村； 方案二：过点C作AB的垂线，垂足为点H，先从C铺设管道到点H处，再从点H处分别向A、B两村铺设． （1）试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）两种方案中，哪一种方案铺设管道较短？请通过计算说明． 23．（8分）小明同学在解决问题“已知，求2a2﹣8a+1的值”时，他是这样解答的： ∵，∴，∴，∴a2＝4a﹣1． ∴2a2﹣8a+1＝2（4a﹣1）﹣8a+1＝8a﹣2﹣8a+1＝﹣1． 请你认真理解小明的解答过程，解决如下问题： （1）化简：； （2）已知，求2x3﹣8x2+3x+7的值． 24．（10分）如图，把两张小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一张面积为16cm2的大正方形纸片． （1）小方形纸片的边长为　　 cm； （2）在（1）的条件下，设小正方形纸片的边长的值的整数部分为a，小数部分为b，求的值； （3）若沿此大正方形纸片边的方向剪出一张长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片a的长宽之比为2：1，且面积为12cm2？若能，试求出剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 25．（10分）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2． 【结论探究】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； 【结论应用】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝0.8千米，HB＝0.6千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ 【问题拓展】 （3）△ABC中，AC＝10，BC＝17，AB＝21，CH⊥AB，垂足为H，请直接写出CH的值． 26．（12分）如图，在△ABC中，CO⊥AB于点O，BA＝BC＝3，AO＝1． （1）求CO的长； （2）若点D是射线OB上的一个动点，过点D作DE⊥AC于点E． ①当点D在线段OB上时，若AO＝AE，求OD的长； ②设直线DE交射线CB于点F，连接OF，若S△OBF：S△OCF＝1：4，求OD的长． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级数学下学期第一次月考卷01 参考答案 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D C B C C B A A A A D A 二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。 13．5 14．7 15．﹣3 16． 17．1或5 18． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分） 【解析】解：（1）原式6 ； （4分） （2）原式＝（）2﹣（）2﹣4 ＝5﹣3﹣4 ＝﹣2． （8分） 20．（8分） 【解析】（1）证明：连结EC． ∵AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线， ∴AD垂直平分BC， （1分） ∵点E在AD上， ∴BE＝EC， （2分） ∵AC的垂直平分线交AD于点E， ∴AE＝EC， （3分） ∴AE＝BE． （4分） （2）由（1）得，， ∵BC＝6， ∴BD＝3， ∴AD4， （5分） 设AE＝BE＝x， 在Rt△BDE中，BD2+DE2＝BE2， ∴32+（4﹣x）2＝x2， （6分） ∴， 即， （7分） ∴△ABE的周长为：AB+BE+AE＝5． （8分） 21．（8分） 【解析】解：（1）∵x2， y2， （2分） ∴x2﹣xy+y2 ＝（x+y）2﹣3xy （3分） ＝（22）2﹣3×（2）（2） ＝42﹣3×1 ＝16﹣3 ＝13； （4分） （2）由（1）知，x＝2，y＝2， ∵1＜3＜4， ∴12， ∴﹣21，3＜24， ∴0＜21， ∵x的小数部分为a，y的小数部分为b， ∴a＝2，b＝231， （6分） ∴原式＝（21）2 ＝1 ＝1+23 ＝22． （8分） 22．（8分） 【解析】解：（1）△ABC是直角三角形．理由如下： （1分） ∵AC2+BC2＝2.42+1.82＝9，AB2＝32＝9， （2分） ∴AC2+BC2＝AB2， （3分） ∴△ABC是直角三角形； （4分） （2）∵△ABC的面积， （5分） ∴（米）； （6分） ∵AC+BC＝2.4+1.8＝4.2（米）， CH+AB＝1.44+3＝4.44（米）， （7分） 4.2米＜4.44米， ∴方案一所修的管道较短． （8分） 23．（8分） 【解析】解：（1）原式1... （2分） 1 ＝45﹣1 ＝44； （4分） （2）∵x1， （5分） ∴x﹣1， ∴（x﹣1）2＝2， 即x2﹣2x+1＝2， ∴x2＝2x+1， （6分） ∴x3＝x（2x+1）＝2x2+x＝2（2x+1）+x＝5x+2， （7分） ∴原式＝2（5x+2）﹣8（2x+1）+3x+7＝﹣3x+3＝﹣3（1）+3＝﹣3． （8分） 24．（10分） 【解析】解：（1）∵小正方形的面积为16÷2＝8（cm2）， ∴小正方形的边长为2cm． 故答案为：2； （2分） （2）由题意a＝2，b＝22， （4分） ∴a+2b﹣42+2（22）﹣42+44﹣42； （6分） （3）不能，理由如下： ∵长方形长宽之比为2：1， ∴设长方形的长和宽分别为2x cm，x cm， ∴2x•x＝12， ∴x2＝6， （7分） ∵x＞0， ∴x， （8分） ∴2x＝2， ∵23， ∴24． （9分） ∴沿此大正方形纸片边的方向不能裁剪出符合要求的长方形． （10分） 25．（10分） 【解析】（1）证明：∵梯形ABCD的面积可表示为， （1分） 也可以表示为， （2分） ∴， 整理，得a2+b2＝c2； （3分） （2）设AB＝AC＝x千米， ∴AH＝AB﹣BH＝（x﹣0.6）千米， （4分） 在Rt△ACH中， 由勾股定理，得CA2＝CH2+AH2， 即x2＝0.82+（x﹣0.6）2， 解得， 即千米， （5分） ∴（千米）， 答：新路CH比原路CA少千米； （6分） （3）CH＝8． 理由：如图，设AH＝y， ∵AB＝21， ∴BH＝21﹣y， ∵CH⊥AB，垂足为H， ∴△ACH，△BCH都是直角三角形， 在Rt△ACH中， ∵AC＝10， ∴由勾股定理，得CH2＝AC2﹣AH2＝102﹣y2， （7分） 在Rt△BCH中， ∵BC＝17， ∴由勾股定理，得CH2＝BC2﹣BH2＝172﹣（21﹣y）2， （8分） ∴102﹣y2＝172﹣（21﹣y）2， 解得y＝6， （9分） 在Rt△ACH中， 由勾股定理，得CH8， （10分） 26．（12分） 【解析】解：（1）∵BA＝BC＝3，AO＝1． ∴OB＝2． （1分） ∵CO⊥AB， ∴∠COB＝∠AOC＝90°． （2分） ∴CO． （3分） （2）∵∠AOC＝90°，AO＝1，OC， ∴AC． （4分） ∵DE⊥AC， ∴∠AED＝90°． 在△AED和△AOC中， ∴△AED≌△AOC（AAS）． （5分） ∴AD＝AC． ∴OD＝AD﹣AO1． （6分） ②Ⅰ、点D在线段OB上时，过点O作OM⊥CF于点M． ∵S△OBF：S△OCF＝1：4，OM为它们共同的高， ∴BF：CF＝1：4． ∵BC＝3， ∴BF＝1． （7分） ∵BA＝BC， ∴∠A＝∠BCA． ∵DE⊥AC， ∴∠AED＝∠CEF＝90°． ∴∠ADE＝∠CFD． ∵∠BDF＝∠ADE， ∴∠CFD＝∠BDF． ∴BD＝BF＝1， （8分） ∴OD＝OB﹣BD＝2﹣1＝1． （9分） Ⅱ、点D在线段OB的延长线上时，过点O作OM⊥CF于点M． ∵S△OBF：S△OCF＝1：4，OM为它们共同的高， ∴BF：CF＝1：4． ∵BC＝3， ∴BF＝30.6． （10分） ∵BA＝BC， ∴∠A＝∠BCA． ∵DE⊥AC， ∴∠AED＝∠CEF＝90°． ∴∠D＝∠CFE． ∵∠BFD＝∠CFE， ∴∠BFD＝∠D． ∴BD＝BF＝0.6， （11分） ∴OD＝OB+BD＝2+0.6＝2.6． 综上，OD的长为：1或2.6． （12分） 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级数学下学期第一次月考卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版八年级下册 第16章~第17章。 5．难度系数：0.75。 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：A、与不是同类二次根式，所以不能合并，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、32，故D符合题意； 故选：D． 2．满足下列条件的△ABC（a、b、c为三边），不是直角三角形的是（　　） A．∠B＝50°，∠C＝40° B．a2＝c2﹣b2 C．a2＝5，b2＝12，c2＝13 D．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 【答案】C 【解析】解：A、∵∠B＝50°，∠C＝40°， ∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形，故选项A不符合题意； B、∵a2＝c2﹣b2， ∴a2+b2＝c2， ∴△ABC是直角三角形，故选项B不符合题意； C、∵a2＝5，b2＝12，c2＝13， ∴a2+b2＝17≠c2＝13， ∴△ABC不是直角三角形，故选项C符合题意； D、∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+C＝180°， ∴最大角∠C180°＝90°， ∴△ABC是直角三角形，故选项D不符合题意； 故选：C． 3．在下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、|x|，不是最简二次根式，不符合题意； D、3，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 4．如图，把一块含45°角的三角板放入2×4的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示﹣1的点重合，则数轴上点A所表示的数为（　　） A．2 B．1.8 C．﹣1+2 D． 【答案】C 【解析】解：如图， 由题意可知，BA＝BC，∠BDC＝90°，BD＝CD＝2， ∴BC2， ∴BA＝2， ∴数轴上点A所表示的数为﹣1+2， 故选：C． 5．已知y3，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：由题意可得：，所以x＝4， 则y＝3， 则的值为：． 故选：C． 6．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如图①所示，人只要移至该门铃5m及5m以内时，即AC≤5m，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如图②所示，一个身高1.5m的学生走到D处，即CD＝1.5m，门铃恰好自动响起，则BD的长为（　　） A．3米 B．4米 C．5米 D．7米 【答案】B 【解析】解：由题意可知，BD＝CE，BE＝CD＝1.5m，AC＝5m，则AE＝AB﹣BE＝4.5﹣1.5＝3（m）， 在Rt△ACE中，由勾股定理得：CE4（m）， ∴BD＝CE＝4米， 即门铃恰好自动响起，则BD的长为4米， 故选：B． 7．若实数m，n在数轴上的位置如图所示，则代数式的化简结果为（　　） A．﹣2m B．2n C．2m D．﹣2n 【答案】A 【解析】解：由数轴可知，n＜0，m＜0，|m|＜|n|， ∴ ＝|m+n|﹣|m﹣n| ＝﹣（m+n）﹣（m﹣n） ＝﹣m﹣n﹣m+n ＝﹣2m， 故选：A． 8．若a＝1，b，则a与b的关系是（　　） A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．互为负倒数 【答案】A 【解析】解：b（1），a＝1， ∴a与b互为相反数． 故选：A． 9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，分别以各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（　　） A．6 B． C．4π﹣6 D． 【答案】A 【解析】解：由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2＝25， 则阴影部分的面积AC×BCπ×（）2π×（）2π×（）2 3×4π（AC2+BC2﹣AB2） ＝6， 故选：A． 10．我国宋代数学家秦九韶的著作《数书九章》中关于三角形的面积公式与古希腊数学家海伦的成果并称“海伦﹣秦九韶公式”．它的主要内容是：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，S为三角形的面积，，若一个三角形的三边长分别为a，b，c，p＝S＝15，a＝10，且b＞c，则b值为（　　） A． B． C． D．10 【答案】A 【解析】解：∵p＝S＝15，a＝10， ∴， ∴b+c＝20， 即c＝20﹣b， ∵， ∴p（p﹣a）（p﹣b）（p﹣c）＝p2， 即（p﹣a）（p﹣b）（p﹣c）＝p， 把p＝15，a＝10，c＝20﹣b代入得： （15﹣10）（15﹣b）（15﹣20+b）＝15， 整理得b2﹣20b+78＝0， 即（b﹣10）2＝22， ∵b+c＝20且b＞c， ∴b＞10， ∴， 即， 故选：A． 11．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n（m＞n）．若小正方形面积为7，（m+n）2＝21，则大正方形面积为（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】D 【解析】解：∵小正方形面积为7， ∴（m﹣n）2＝7， 又∵（m+n）2＝21， ∴（m+n）2﹣（m﹣n）2＝14， ∴2mn＝7． 又∵大正方形的面积4+（m﹣n）2＝m2+n2， ∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝21﹣7＝14， 故选：D． 12．我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把原数分母中的无理数化为有理数．如：，．这样的化简过程叫做分母有理化．我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式．利用有理化因式，可以得到如下结论：①；②设有理数a，b满足，则a+b＝6；③；④已知，则；以上结论正确的有（　　） A．①③ B．①② C．①④ D．③④ 【答案】A 【解析】解：，故①正确，符合题意； ∴a+b＝-6，故②错误，不符合题意； ， ， ∴，故③正确，符合题意； ∵，， ∴，故④错误，不符合题意； 故选：A． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．已知平面直角坐标系内两点A（3，﹣1）和B（﹣1，2），则AB＝　　 ． 【答案】5 【解析】解：根据两点间的距离公式可知：AB5， 故答案为：5． 14．已知是整数，则正整数n的最小值为　　 ． 【答案】7 【解析】解：， ∵是整数，n为正整数， ∴n的最小值是7． 故答案为：7． 15．若最简二次根式与能够合并，那么合并后的值为　　 ． 【答案】﹣3 【解析】解：由题意得：3a﹣8＝17﹣2a， 解得：a＝5， 则3a﹣8＝17﹣2a＝7， 4（﹣7）＝﹣3， 故答案为：﹣3． 16．把 a中根号外面的因式移到根号内的结果是　　 ． 【答案】 【解析】解：原式， 故答案为： 17．如图，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝10cm，AC＝5cm，点P从点A开始以2cm/s的速度向点B移动，点Q从点C开始以3cm/s的速度沿C→A→B的方向移动．如果点P，Q同时出发，点P到达点B时，P，Q两点都停止运动．设移动时间为t（s），当QA＝AP时，t＝　　 s． 【答案】1或5 【解析】解：因为点Q从点C开始以3cm/s 的速度沿C→A→B 的方向移动，移动时间用t（s）表示， 所以当点Q在AC上运动时，CQ＝3tcm， 所以 AQ＝AC﹣CQ＝（5﹣3t） cm， 分两种情况： ①当点Q在AC上运动时，QA＝AP，即5﹣3t＝2t， 解得 t＝1； ②当点Q在AB上运动时，QA＝AP，即3t﹣5＝2t， 解得 t＝5，此时点P与点Q同时到达点B， 综上所述，t的值为1或5． 18．如图是一种笔记本电脑支架，它有A～F共6个档位调节角度，相邻两个档位距离为2cm，已知托架OK的长度为24cm，M点是支点且OM＝2MK．当支架调至A点时，AM⊥OK，当支架调至E档时，托架OK绕着点O旋转到OK′，此时M′E＝OE，则支点M′到OA的距离为　　 cm． 【答案】 【解析】解：由题意可知：MA＝M'E＝OE，AM⊥OK，AE＝8cm， ∵有A～F共6个档位调节角度，相邻两个档位距离为2cm， ∴AE＝8cm， ∵OK＝24cm，OM＝2MK， ∴OM＝OM'＝16cm， 设MA＝M'E＝OE＝x cm，则OA＝（x+8）cm， 在Rt△OAM中， 由勾股定理，得OA2＝MA2+OM2， 即（x+8）2＝x2+162， 解得x＝12， ∴MA＝M'E＝OE＝12cm， 过点M'作M'H⊥OA， 设OH＝y cm，则EH＝（12﹣y）cm， 由勾股定理，得M'H2＝OM'2﹣OH2＝M'E2﹣EH2， 即162﹣y2＝122﹣（12﹣y）2， 解得y， ∴M'H（cm）． 答：支点M″到OA的距离为cm． 故答案为：． 三．解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）计算： （1）； （2）． 【解析】解：（1）原式6 ； （4分） （2）原式＝（）2﹣（）2﹣4 ＝5﹣3﹣4 ＝﹣2． （8分） 20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，AC的垂直平分线交AD于点E，交AC于点F，连接BE． （1）求证：AE＝BE； （2）若AB＝AC＝5，BC＝6，求△ABE的周长． 【解析】（1）证明：连结EC． ∵AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线， ∴AD垂直平分BC， （1分） ∵点E在AD上， ∴BE＝EC， （2分） ∵AC的垂直平分线交AD于点E， ∴AE＝EC， （3分） ∴AE＝BE． （4分） （2）由（1）得，， ∵BC＝6， ∴BD＝3， ∴AD4， （5分） 设AE＝BE＝x， 在Rt△BDE中，BD2+DE2＝BE2， ∴32+（4﹣x）2＝x2， （6分） ∴， 即， （7分） ∴△ABE的周长为：AB+BE+AE＝5． （8分） 21．（8分）已知； （1）求x2﹣xy+y2的值； （2）若x的小数部分为a，y的小数部分为b，求的值． 【解析】解：（1）∵x2， y2， （2分） ∴x2﹣xy+y2 ＝（x+y）2﹣3xy （3分） ＝（22）2﹣3×（2）（2） ＝42﹣3×1 ＝16﹣3 ＝13； （4分） （2）由（1）知，x＝2，y＝2， ∵1＜3＜4， ∴12， ∴﹣21，3＜24， ∴0＜21， ∵x的小数部分为a，y的小数部分为b， ∴a＝2，b＝231， （6分） ∴原式＝（21）2 ＝1 ＝1+23 ＝22． （8分） 22．（8分）如图，A，B两村庄相距3千米，C为供气站，AC＝2.4千米，BC＝1.8千米，为了方便供气，现有两种方案铺设管道． 方案一：从供气站C直接铺设管道分别到A村和B村； 方案二：过点C作AB的垂线，垂足为点H，先从C铺设管道到点H处，再从点H处分别向A、B两村铺设． （1）试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）两种方案中，哪一种方案铺设管道较短？请通过计算说明． 【解析】解：（1）△ABC是直角三角形．理由如下： （1分） ∵AC2+BC2＝2.42+1.82＝9，AB2＝32＝9， （2分） ∴AC2+BC2＝AB2， （3分） ∴△ABC是直角三角形； （4分） （2）∵△ABC的面积， （5分） ∴（米）； （6分） ∵AC+BC＝2.4+1.8＝4.2（米）， CH+AB＝1.44+3＝4.44（米）， （7分） 4.2米＜4.44米， ∴方案一所修的管道较短． （8分） 23．（8分）小明同学在解决问题“已知，求2a2﹣8a+1的值”时，他是这样解答的： ∵，∴，∴，∴a2＝4a﹣1． ∴2a2﹣8a+1＝2（4a﹣1）﹣8a+1＝8a﹣2﹣8a+1＝﹣1． 请你认真理解小明的解答过程，解决如下问题： （1）化简：； （2）已知，求2x3﹣8x2+3x+7的值． 【解析】解：（1）原式1... （2分） 1 ＝45﹣1 ＝44； （4分） （2）∵x1， （5分） ∴x﹣1， ∴（x﹣1）2＝2， 即x2﹣2x+1＝2， ∴x2＝2x+1， （6分） ∴x3＝x（2x+1）＝2x2+x＝2（2x+1）+x＝5x+2， （7分） ∴原式＝2（5x+2）﹣8（2x+1）+3x+7＝﹣3x+3＝﹣3（1）+3＝﹣3． （8分） 24．（10分）如图，把两张小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一张面积为16cm2的大正方形纸片． （1）小方形纸片的边长为　　 cm； （2）在（1）的条件下，设小正方形纸片的边长的值的整数部分为a，小数部分为b，求的值； （3）若沿此大正方形纸片边的方向剪出一张长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片a的长宽之比为2：1，且面积为12cm2？若能，试求出剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 【解析】解：（1）∵小正方形的面积为16÷2＝8（cm2）， ∴小正方形的边长为2cm． 故答案为：2； （2分） （2）由题意a＝2，b＝22， （4分） ∴a+2b﹣42+2（22）﹣42+44﹣42； （6分） （3）不能，理由如下： ∵长方形长宽之比为2：1， ∴设长方形的长和宽分别为2x cm，x cm， ∴2x•x＝12， ∴x2＝6， （7分） ∵x＞0， ∴x， （8分） ∴2x＝2， ∵23， ∴24． （9分） ∴沿此大正方形纸片边的方向不能裁剪出符合要求的长方形． （10分） 25．（10分）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2． 【结论探究】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； 【结论应用】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝0.8千米，HB＝0.6千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ 【问题拓展】 （3）△ABC中，AC＝10，BC＝17，AB＝21，CH⊥AB，垂足为H，请直接写出CH的值． 【解析】（1）证明：∵梯形ABCD的面积可表示为， （1分） 也可以表示为， （2分） ∴， 整理，得a2+b2＝c2； （3分） （2）设AB＝AC＝x千米， ∴AH＝AB﹣BH＝（x﹣0.6）千米， （4分） 在Rt△ACH中， 由勾股定理，得CA2＝CH2+AH2， 即x2＝0.82+（x﹣0.6）2， 解得， 即千米， （5分） ∴（千米）， 答：新路CH比原路CA少千米； （6分） （3）CH＝8． 理由：如图，设AH＝y， ∵AB＝21， ∴BH＝21﹣y， ∵CH⊥AB，垂足为H， ∴△ACH，△BCH都是直角三角形， 在Rt△ACH中， ∵AC＝10， ∴由勾股定理，得CH2＝AC2﹣AH2＝102﹣y2， （7分） 在Rt△BCH中， ∵BC＝17， ∴由勾股定理，得CH2＝BC2﹣BH2＝172﹣（21﹣y）2， （8分） ∴102﹣y2＝172﹣（21﹣y）2， 解得y＝6， （9分） 在Rt△ACH中， 由勾股定理，得CH8， （10分） 26．（12分）如图，在△ABC中，CO⊥AB于点O，BA＝BC＝3，AO＝1． （1）求CO的长； （2）若点D是射线OB上的一个动点，过点D作DE⊥AC于点E． ①当点D在线段OB上时，若AO＝AE，求OD的长； ②设直线DE交射线CB于点F，连接OF，若S△OBF：S△OCF＝1：4，求OD的长． 【解析】解：（1）∵BA＝BC＝3，AO＝1． ∴OB＝2． （1分） ∵CO⊥AB， ∴∠COB＝∠AOC＝90°． （2分） ∴CO． （3分） （2）∵∠AOC＝90°，AO＝1，OC， ∴AC． （4分） ∵DE⊥AC， ∴∠AED＝90°． 在△AED和△AOC中， ∴△AED≌△AOC（AAS）． （5分） ∴AD＝AC． ∴OD＝AD﹣AO1． （6分） ②Ⅰ、点D在线段OB上时，过点O作OM⊥CF于点M． ∵S△OBF：S△OCF＝1：4，OM为它们共同的高， ∴BF：CF＝1：4． ∵BC＝3， ∴BF＝1． （7分） ∵BA＝BC， ∴∠A＝∠BCA． ∵DE⊥AC， ∴∠AED＝∠CEF＝90°． ∴∠ADE＝∠CFD． ∵∠BDF＝∠ADE， ∴∠CFD＝∠BDF． ∴BD＝BF＝1， （8分） ∴OD＝OB﹣BD＝2﹣1＝1． （9分） Ⅱ、点D在线段OB的延长线上时，过点O作OM⊥CF于点M． ∵S△OBF：S△OCF＝1：4，OM为它们共同的高， ∴BF：CF＝1：4． ∵BC＝3， ∴BF＝30.6． （10分） ∵BA＝BC， ∴∠A＝∠BCA． ∵DE⊥AC， ∴∠AED＝∠CEF＝90°． ∴∠D＝∠CFE． ∵∠BFD＝∠CFE， ∴∠BFD＝∠D． ∴BD＝BF＝0.6， （11分） ∴OD＝OB+BD＝2+0.6＝2.6． 综上，OD的长为：1或2.6． （12分） 2 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年八年级数学下学期第一次月考卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版八年级下册 第16章~第17章。 5．难度系数：0.75。 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．满足下列条件的△ABC（a、b、c为三边），不是直角三角形的是（　　） A．∠B＝50°，∠C＝40° B．a2＝c2﹣b2 C．a2＝5，b2＝12，c2＝13 D．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 3．在下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 4．如图，把一块含45°角的三角板放入2×4的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示﹣1的点重合，则数轴上点A所表示的数为（　　） A．2 B．1.8 C．﹣1+2 D． 5．已知y3，则的值为（　　） A． B． C． D． 6．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如图①所示，人只要移至该门铃5m及5m以内时，即AC≤5m，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如图②所示，一个身高1.5m的学生走到D处，即CD＝1.5m，门铃恰好自动响起，则BD的长为（　　） A．3米 B．4米 C．5米 D．7米 7．若实数m，n在数轴上的位置如图所示，则代数式的化简结果为（　　） A．﹣2m B．2n C．2m D．﹣2n 8．若a＝1，b，则a与b的关系是（　　） A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．互为负倒数 9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，分别以各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（　　） A．6 B． C．4π﹣6 D． 10．我国宋代数学家秦九韶的著作《数书九章》中关于三角形的面积公式与古希腊数学家海伦的成果并称“海伦﹣秦九韶公式”．它的主要内容是：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，S为三角形的面积，，若一个三角形的三边长分别为a，b，c，p＝S＝15，a＝10，且b＞c，则b值为（　　） A． B． C． D．10 11．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n（m＞n）．若小正方形面积为7，（m+n）2＝21，则大正方形面积为（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 12．我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把原数分母中的无理数化为有理数．如：，．这样的化简过程叫做分母有理化．我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式．利用有理化因式，可以得到如下结论：①；②设有理数a，b满足，则a+b＝6；③；④已知，则；以上结论正确的有（　　） A．①③ B．①② C．①④ D．③④ 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．已知平面直角坐标系内两点A（3，﹣1）和B（﹣1，2），则AB＝　　 ． 14．已知是整数，则正整数n的最小值为　　 ． 15．若最简二次根式与能够合并，那么合并后的值为　　 ． 16．把 a中根号外面的因式移到根号内的结果是　　 ． 17．如图，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝10cm，AC＝5cm，点P从点A开始以2cm/s的速度向点B移动，点Q从点C开始以3cm/s的速度沿C→A→B的方向移动．如果点P，Q同时出发，点P到达点B时，P，Q两点都停止运动．设移动时间为t（s），当QA＝AP时，t＝　　 s． 18．如图是一种笔记本电脑支架，它有A～F共6个档位调节角度，相邻两个档位距离为2cm，已知托架OK的长度为24cm，M点是支点且OM＝2MK．当支架调至A点时，AM⊥OK，当支架调至E档时，托架OK绕着点O旋转到OK′，此时M′E＝OE，则支点M′到OA的距离为　　 cm． 三．解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）计算： （1）； （2）． 20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，AC的垂直平分线交AD于点E，交AC于点F，连接BE． （1）求证：AE＝BE； （2）若AB＝AC＝5，BC＝6，求△ABE的周长． 21．（8分）已知； （1）求x2﹣xy+y2的值； （2）若x的小数部分为a，y的小数部分为b，求的值． 22．（8分）如图，A，B两村庄相距3千米，C为供气站，AC＝2.4千米，BC＝1.8千米，为了方便供气，现有两种方案铺设管道． 方案一：从供气站C直接铺设管道分别到A村和B村； 方案二：过点C作AB的垂线，垂足为点H，先从C铺设管道到点H处，再从点H处分别向A、B两村铺设． （1）试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）两种方案中，哪一种方案铺设管道较短？请通过计算说明． 23．（8分）小明同学在解决问题“已知，求2a2﹣8a+1的值”时，他是这样解答的： ∵，∴，∴，∴a2＝4a﹣1． ∴2a2﹣8a+1＝2（4a﹣1）﹣8a+1＝8a﹣2﹣8a+1＝﹣1． 请你认真理解小明的解答过程，解决如下问题： （1）化简：； （2）已知，求2x3﹣8x2+3x+7的值． 24．（10分）如图，把两张小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一张面积为16cm2的大正方形纸片． （1）小方形纸片的边长为　　 cm； （2）在（1）的条件下，设小正方形纸片的边长的值的整数部分为a，小数部分为b，求的值； （3）若沿此大正方形纸片边的方向剪出一张长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片a的长宽之比为2：1，且面积为12cm2？若能，试求出剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 25．（10分）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2． 【结论探究】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； 【结论应用】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝0.8千米，HB＝0.6千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ 【问题拓展】 （3）△ABC中，AC＝10，BC＝17，AB＝21，CH⊥AB，垂足为H，请直接写出CH的值． 26．（12分）如图，在△ABC中，CO⊥AB于点O，BA＝BC＝3，AO＝1． （1）求CO的长； （2）若点D是射线OB上的一个动点，过点D作DE⊥AC于点E． ①当点D在线段OB上时，若AO＝AE，求OD的长； ②设直线DE交射线CB于点F，连接OF，若S△OBF：S△OCF＝1：4，求OD的长． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( ) 2024-2025学年八年级下学期第一次月考卷01 数学·答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） ( 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 12 [A] [B] [C] [D] ) ( 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 3． ______________ 1 4． ______________ 1 5． ______________ 1 6． ______________ 1 7． ______________ 18 ． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19 ．（8分） ) ( 20．（8分） 21．（8分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 22．（8分） 23．（8分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 24．（10分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 25．（10分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( 26．（12分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 第4页 第5页 第6页 第1页 第2页 第3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第 1 页 第 2 页 第 3 页 2024-2025 学年八年级下学期第一次月考卷 01 数学·答题卡 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分。在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分．） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 12 [A] [B] [C] [D] 13．______________ 14．______________ 15．______________ 16．______________ 17．______________ 18． 三、解答题（本题共 8 小题，共 72 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8 分） 20．（8 分） 21．（8 分） 22．（8 分） 23．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅 笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填 写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考 证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题 必须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔 或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答， 超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题 卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 第 4 页 第 5 页 第 6 页 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（10 分） 26．（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！