第4章 平行四边形 知识归纳与题型训练（7类题型清单）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（浙教版）

第4章 《平行四边形》知识归纳与题型训练（7题型清单） 一、多边形 1.多边形的定义：在同一平面内，由任意两条都不在同一条直线上的若干条线段（线段的条数不小于3）首尾顺次相接形成的图形叫做多边形． 如右图：组成多边形的各条线段叫做多边形的边.边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，多边形一边的延长线与相邻的另一边所组成的角叫做多边形的外角. 多边形每一个内角的顶点叫做多边形的顶点. 连结多边形不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线. 2.四边形内角和定理：四边形内角和=360°； 3.n边形内角和公式：； 4.n边形外角和定理：n边形外角和=360° 要点诠释： 四边形具有不稳定性. 二、平行四边形及其性质 1.平行四边的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形； 平行四边形用符号“▱”表示，如图，平行四边形ABCD可记做▱ABCD 2.平行四边的性质定理： （1）平行四边形的对角相等； （2）平行四边形的对边相等； （3）平行四边形的对角线互相平分； 3.两平行线间的距离的性质：夹在两条平行线间的平行线段相等； 推论：夹在两条平行线间的垂线段相等 4.平行线之间的距离的定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离； 要点诠释： （1）如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等. （2）平行四边形的各个性质的推理证明都是用全等三角形证明所得，故平行四边形问题常转化为全等三角形的问题思考，这个转化思想要记牢！ 三、中心对称 1.中心对称图形的定义：如果一个图形绕着一个点O旋转180°后，所得到的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点O叫对称中心； 2.中心对称的定义：如果一个图形绕着一个点O旋转180°后，能够和另外一个图形互相重合，我们就称这两个图形关于点O成中心对称； 3.中心对称图形的性质：对称中心平分连结两个对称点的线段； 要点诠释： （1）、中心对称图形指的是一个图形具有的性质，而两个图形成中心对称指的是两个图形的位置关系，不要把二者弄混淆了。 （2）在直角坐标系中，点 A（x，y）与点 B（-x，-y）关于原点成中心对称； 四、平行四边形的判定定理 1.定义法：两两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形； 2.平行四边形的判定定理： （1）一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形 （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形 （3）对角线互相平分的四边形是平行四边形 要点诠释： 两组对角分别相等的四边形也是平行四边形，但不能直接用，可以通过两组对角相等证明两组对边分别平行，得到定义法，然后得平行四边形。 五、三角形的中位线 1.三角形中位线的定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线； 2.三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半； 如图，当DE是△ABC的中位线时，有DE∥BC，且DE=½BC。 要点诠释： （1） 中位线是三角形的，在做理论性问题时注意语句描述； （2） 三角形的中位线既可以提供线段长度关系，又可以提供线段的位置关系，进而转化角度关系，做题时注意其应用的多方向性； （3） 当条件中出现2个及以上的中点时，要主动往三角形中位线方向想，三角形中位线如果不完整，则常需添加辅助线构造。 六、反证法 反证法基本步骤： （1）先假设命题不成立； （2） 从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义、基本事实、定理等矛盾； （3） 从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确。这种证明方法叫做反证法； 要点诠释： 反证法在考察时通常只考察第一步，即假设原命题中结论的反面成立，所以需要多注意某些 关键词的否定形式，常见关键词的否定词如下 题型一　多边形与多边形的内角和 例题： 1．（2024秋•台州期末）椒江章安剪纸是台州市非物质文化遗产代表性项目．如图是小明的窗花剪纸，外形为正八边形，则它的内角和为（　　） A．900° B．1080° C．1260° D．1440° 2．（2024春•江汉区期末）一个多边形的内角和比其外角和大720°，则它的边数是 　 　． 3．（2024春•新昌县期中）如图，在五边形ABCDE中，∠P＝80°，∠BCD的平分线与∠CDE的平分线交于点P， 求∠A+∠B+∠E． 巩固训练 4．（2024•金华开学）将一个正八边形与一个正六边形如图放置，顶点A，B，C，D四点在同一条直线上，E为公共顶点，则∠FEG+∠BEC＝（　　）° A．105 B．120 C．135 D．255 5．（2024秋•汕尾期末）一个多边形的内角和等于1080°，这个多边形是　 　边形． 6．（2024•拱墅区一模）问题情境：在探索多边形的内角与外角关系的活动中，同学们经历了观察、猜想、实验、计算、推理、验证等过程，提出了问题，请解答． （1）若四边形的一个内角的度数是α． ①求和它相邻的外角的度数（用含α的代数式表示）； ②求其它三个内角的和（用含α的代数式表示）． （2）若一个n边形（n＞3），除了一个内角，其余内角的和为920°，求n的值． 深入探究： （3）探索n边形（n＞3）的一个外角与和它不相邻的（n﹣1）个内角的和之间满足的等量关系，说明理由． 题型二　平行四边形的性质 例题： 1．（2024春•义乌市校级期中）已知▱ABCD中，∠A+∠C＝130°，则∠D的度数是（　　） A．50° B．65° C．115° D．130° 2．（2024•浙江）如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，AC＝2，．过点A作AE⊥BC的垂线交BC于点E，记BE长为x，BC长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A．x+y B．x﹣y C．xy D．x2+y2 3．（2024秋•瑞安市月考）如图，平行四边形ABCD与平行四边形EFGH全等，且点A，B，C，D的对应顶点分别是点H，E，F，G，其中点E在DC上，点F在BC上，点C在FG上，连结DB，DB＝AB．若AB＝9，AD＝6，则CG的长为　 　． 4．（2024春•萧山区期中）如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，EF过点O且垂直于AD． （1）求证：OE＝OF； （2）若S▱ABCD＝63，OE＝3.5，求AD的长． 5．（2024•宁波模拟）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交边AB，DC于点E，F，连结AF，CE．若AE＝13，OA＝12． （1）求EF的长； （2）求▱ABCD边AB上的高． 巩固训练 6．（2024春•吴兴区期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC，AB＝10，BC＝8，则对角线BD的长是（　　） A． B． C．12 D．14 7．（2024•柯桥区模拟）如图，E是▱ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F，若∠BAF＝90°，BC＝5，EF＝3，则CD的长是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 8．（2024•娄星区二模）如图，在▱ABCD中，已知AD＝8cm，AB＝6cm，DE平分∠ADC，交BC边于点E，则BE＝ 　 　cm． 9．（2024春•开化县期中）已知：如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F．求证：BE＝DF． 10．（2024•定海区开学）如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC上一点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，AD＝DF，连接DE． （1）求证：AE平分∠BAD； （2）若点E为BC中点，∠B＝60°，AD＝5，求平行四边形ABCD的周长． 题型三　平行四边形的判定 例题： 1．（2024春•诸暨市校级期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，下列可添加的条件不正确的是（　　） A．AD＝BC B．AB＝CD C．AD∥BC D．∠A＝∠C 2．（2024春•长兴县期中）平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B（0，1），点C（1，3），点D（x，y）（y≥0），以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形，则x的值为 　 　． 3．（2024春•柯桥区期末）已知△ABC和△ADE均为等边三角形，点F、D分别在AC、BC上，AF＝CD，连接BF、EF．求证： （1）AD＝BF； （2）四边形BFED为平行四边形． 巩固训练 4．（2024春•西湖区校级期中）如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列不能判定其为平行四边形的是（　　） A．AB＝CD，AD＝BC B．AB∥CD，AB＝CD C．OA＝OC，OB＝OD D．AB∥CD，AD＝BC 5．（2024春•吴兴区期中）在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B（﹣3，2），点C（0，2），点P从点B出发，以2个单位每秒的速度沿射线BC运动，点Q从点A出发，开始以1个单位每秒的速度向原点O运动，到达原点后立刻以原来3倍的速度沿射线OA运动，若P，Q两点同时出发，设运动时间为t秒，则当t＝　 　时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形． 6．（2024•台州模拟）图1是某小区倾斜式停车位，图2是车位示意图，工人在绘制时保证AD＝BC，∠A＝60°，∠B＝120°． （1）请判断四边形ABCD的形状，并说明理由； （2）若AD为6米，AB为2.8米，求停车位ABCD的面积． 题型四　平行四边形的性质与判定 例题： 1．（2024春•萧山区校级期中）▱ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（　　） A．BE＝DF B．AF∥CE C．CE＝AF D．∠DAF＝∠BCE 2．（2024春•嵊州市期末）如图，将三角形ABC沿AB方向平移到三角形DEF的位置，若AE＝10，BD＝2，三角形ABC的面积为10，则四边形ACFD的面积为 　 　． 3．（2023秋•拱墅区月考）如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，点E在BC上，AE∥DC． （1）求证：四边形AECD是平行四边形； （2）若∠B＝30°，AE平分∠BAC，，求AD的长． 4．（2024春•西湖区期中）已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD，AC相交于点O，点E，F分别在BD，DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，AF，CF，CE． （1）求证：四边形AFCE为平行四边形； （2）若AC平分∠EAF，∠AEC＝60°，OA＝4，求四边形AFCE的周长． 巩固训练 5．（2024春•西湖区期中）如图，在▱ABCD中，AB＝8，AD＝6，∠A＝120°，DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，则图中四边形DEBF的面积是（　　） A．24 B．12 C． D． 6．（2024春•柯桥区期末）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，EF过点O且分别交AD，BC于点E，F，在BD上找点M，N（点N在点M下方），使以点E，F，M，N为顶点的四边形为平行四边形，在甲、乙、丙三个方案中，正确的方案是（　　） A．甲、乙、丙 B．只有甲、乙 C．只有甲、丙 D．只有乙、丙 7．（2024•浙江模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上，连接AD，E，F分别为AD，AB边上的中点，连接DF，CE，CF，记CF交AD于点O．若∠FDA＝2∠CAD． （1）求证：四边形CEFD为平行四边形． （2）若，∠B＝60°，求△AOF的周长． 题型五　中心对称与中心对称图形 例题： 1．（2024秋•玉环市期末）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024春•丽水期末）在直角坐标系中，点A（1，a）和点B（b，﹣5）关于原点成中心对称，则a﹣b的值为（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣6 D．6 3．（2024秋•临海市期中）如图，△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称．则下列结论不成立的是（　　） A．OA＝OA' B．∠BAC＝∠B'A'C' C．∠AOB＝∠A'OB' D．∠ACB＝∠C'B'A' 4．（2024秋•武汉期末）若点P与点Q（﹣2，3）关于坐标原点成中心对称，则点P的坐标是 　 　． 巩固训练 5．（2024秋•天台县期末）下列是天台县一些部门的公众号图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 6．（2024春•海曙区校级期中）在平面直角坐标系中，点P（﹣5，5）与点Q（5，m）关于原点对称，则m＝　 　． 7．（2024秋•诸暨市校级月考）将数字“6”旋转180°，得到数字“9”，将数字“9”旋转180°，得到数字“6”，现将数字“609”整体旋转180°，得到的数字是 　 　． 题型六　三角形的中位线 例题： 1．（2024春•拱墅区校级期中）如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，E、F分别是AC，AD的中点，连接EF．已知BC＝8，则EF的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（2025•萧山区校级开学）如图，点D、E分别为AB，AC的中点，BF平分∠ABC交DE于点F，若AB＝4，BC＝6，则EF＝　 　． 3．（2024秋•嵊州市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，E是AB的中点，连结DE． （1）求证：DE∥AC． （2）若DE，AD＝4，求△ABC的面积． 巩固训练 4．（2024•苍南县校级自主招生）如图，在三角形ABC中，AB＝11，AC＝15，点M是BC的中点，AD是∠BAC的角平分线，MF∥AD，则FC＝（　　） A．14 B．13 C．12 D．11 5．（2024秋•浙江期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D，F分别是AB，BC的中点，BE⊥AC于点E，连接AF，DF，DE，EF．若BC＝6，△DEF的周长是11，则AF的长为（　　） A． B． C． D．8 6．（2024春•东阳市期中）在△ABC中，点D、E分别是AC，BC的中点，以A为圆心，AD为半径作圆弧交AB于点F，若AD＝8，DE＝7，则BF的长为 　 　． 题型七　反证法 例题： 1．（2024春•湖州期末）用反证法证明命题“一个多边形最多有四个内角是直角”时，我们可以先假设（　　） A．有三个直角 B．有四个直角 C．至少有四个内角是直角 D．至少有五个内角是直角 2．（2024秋•温州校级期中）对于命题“如果x2＞0，那么x＞0．”能够说明它是假命题的反例是（　　） A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝0.5 3．（2024春•滨江区期末）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，首先应假设这个直角三角形中（　　） A．两个锐角都大于45° B．两个锐角都小于45° C．两个锐角都不大于45° D．两个锐角都等于45° 巩固训练 4．（2024春•海曙区校级期中）用反证法证明命题“一个三角形中至多有一个角是直角”，应先假设这个三角形中（　　） A．至少有两个角是直角 B．没有直角 C．至少有一个角是直角 D．有一个角是钝角，一个角是直角 5．（2024春•杭州月考）用反证法证明“不是有理数”，应先假设（　　） A．是无理数 B．不是无理数 C．是有理数 D．不是有理数 6．（2024春•诸暨市期末）用反证法证明：“在△ABC中，若AB≠AC，则∠B≠∠C”，则应假设 　 　． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 《平行四边形》知识归纳与题型训练（7题型清单） 一、多边形 1.多边形的定义：在同一平面内，由任意两条都不在同一条直线上的若干条线段（线段的条数不小于3）首尾顺次相接形成的图形叫做多边形． 如右图：组成多边形的各条线段叫做多边形的边.边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，多边形一边的延长线与相邻的另一边所组成的角叫做多边形的外角. 多边形每一个内角的顶点叫做多边形的顶点. 连结多边形不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线. 2.四边形内角和定理：四边形内角和=360°； 3.n边形内角和公式：； 4.n边形外角和定理：n边形外角和=360° 要点诠释： 四边形具有不稳定性. 二、平行四边形及其性质 1.平行四边的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形； 平行四边形用符号“▱”表示，如图，平行四边形ABCD可记做▱ABCD 2.平行四边的性质定理： （1）平行四边形的对角相等； （2）平行四边形的对边相等； （3）平行四边形的对角线互相平分； 3.两平行线间的距离的性质：夹在两条平行线间的平行线段相等； 推论：夹在两条平行线间的垂线段相等 4.平行线之间的距离的定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离； 要点诠释： （1）如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等. （2）平行四边形的各个性质的推理证明都是用全等三角形证明所得，故平行四边形问题常转化为全等三角形的问题思考，这个转化思想要记牢！ 三、中心对称 1.中心对称图形的定义：如果一个图形绕着一个点O旋转180°后，所得到的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点O叫对称中心； 2.中心对称的定义：如果一个图形绕着一个点O旋转180°后，能够和另外一个图形互相重合，我们就称这两个图形关于点O成中心对称； 3.中心对称图形的性质：对称中心平分连结两个对称点的线段； 要点诠释： （1）、中心对称图形指的是一个图形具有的性质，而两个图形成中心对称指的是两个图形的位置关系，不要把二者弄混淆了。 （2）在直角坐标系中，点 A（x，y）与点 B（-x，-y）关于原点成中心对称； 四、平行四边形的判定定理 1.定义法：两两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形； 2.平行四边形的判定定理： （1）一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形 （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形 （3）对角线互相平分的四边形是平行四边形 要点诠释： 两组对角分别相等的四边形也是平行四边形，但不能直接用，可以通过两组对角相等证明两组对边分别平行，得到定义法，然后得平行四边形。 五、三角形的中位线 1.三角形中位线的定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线； 2.三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半； 如图，当DE是△ABC的中位线时，有DE∥BC，且DE=½BC。 要点诠释： （1） 中位线是三角形的，在做理论性问题时注意语句描述； （2） 三角形的中位线既可以提供线段长度关系，又可以提供线段的位置关系，进而转化角度关系，做题时注意其应用的多方向性； （3） 当条件中出现2个及以上的中点时，要主动往三角形中位线方向想，三角形中位线如果不完整，则常需添加辅助线构造。 六、反证法 反证法基本步骤： （1）先假设命题不成立； （2） 从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义、基本事实、定理等矛盾； （3） 从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确。这种证明方法叫做反证法； 要点诠释： 反证法在考察时通常只考察第一步，即假设原命题中结论的反面成立，所以需要多注意某些 关键词的否定形式，常见关键词的否定词如下 题型一　多边形与多边形的内角和 例题： 1．（2024秋•台州期末）椒江章安剪纸是台州市非物质文化遗产代表性项目．如图是小明的窗花剪纸，外形为正八边形，则它的内角和为（　　） A．900° B．1080° C．1260° D．1440° 【分析】根据多边形内角和定理：（n﹣2）•180°，即可得出答案． 【解答】解：（8﹣2）×180° ＝6×180° ＝1080°． 故选：B． 2．（2024春•江汉区期末）一个多边形的内角和比其外角和大720°，则它的边数是 　8　． 【分析】根据多边形内角和等于（n﹣2）×180°，多边形外角和为360°，列出方程求解即可． 【解答】解：由题意可得， （n﹣2）×180°＝360°+720°， 解得n＝8， 故答案为：8． 3．（2024春•新昌县期中）如图，在五边形ABCDE中，∠P＝80°，∠BCD的平分线与∠CDE的平分线交于点P， 求∠A+∠B+∠E． 【分析】由PC平分∠BCD，PD平分∠EDC得出∠BCD＝2∠PCD，∠EDC＝2∠PDC，根据三角形的内角和为180°，得出∠PCD+∠PDC的度数，即可求出∠BCD+∠EDC的度数和，再根据五边形的内角和公式求出内角和即可得出． 【解答】解：∵PC平分∠BCD，PD平分∠EDC， ∴∠BCD＝2∠PCD，∠EDC＝2∠PDC， ∵∠P＝80°， ∴∠PCD+∠PDC＝180°﹣∠P＝180°﹣80°＝100°， ∴∠BCD+∠EDC＝2∠PCD+2∠PDC＝2×100°＝200°， ∵∠A+∠B+∠E+∠BCD+∠EDC＝（5﹣2）×180°＝540°， ∴∠A+∠B+∠E＝540°﹣∠BCD﹣∠EDC＝540°﹣200°＝340°． 巩固训练 4．（2024•金华开学）将一个正八边形与一个正六边形如图放置，顶点A，B，C，D四点在同一条直线上，E为公共顶点，则∠FEG+∠BEC＝（　　）° A．105 B．120 C．135 D．255 【分析】根据多边形的内角和定理分别算出正多边形的每个内角，再根据周角为360°即可求解． 【解答】解：∠FEB135°， ∠GEC120°， ∴∠FEG+∠BEC＝360°﹣135°﹣120°＝105°， 故选：A． 5．（2024秋•汕尾期末）一个多边形的内角和等于1080°，这个多边形是　8　边形． 【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，依此列方程可求解． 【解答】解：设所求正n边形边数为n， 则1080°＝（n﹣2）•180°，解得n＝8． 故答案为：8． 6．（2024•拱墅区一模）问题情境：在探索多边形的内角与外角关系的活动中，同学们经历了观察、猜想、实验、计算、推理、验证等过程，提出了问题，请解答． （1）若四边形的一个内角的度数是α． ①求和它相邻的外角的度数（用含α的代数式表示）； ②求其它三个内角的和（用含α的代数式表示）． （2）若一个n边形（n＞3），除了一个内角，其余内角的和为920°，求n的值． 深入探究： （3）探索n边形（n＞3）的一个外角与和它不相邻的（n﹣1）个内角的和之间满足的等量关系，说明理由． 【分析】（1）①根据一个内角与它相邻的外角的和是180°进行计算即可；②四边形的内角和是360°进行计算即可； （2）根据多边形的内角和的计算方法进行计算即可； （3）n边形的一个外角与和它不相邻的（n﹣1）个内角的和以及内角和的计算方法进行计算即可． 【解答】解：（1）①四边形的一个内角的度数是α，则与它相邻的外角的度数180°﹣α； ②由于四边形的内角和是360°其中一个内角为α，则其它三个内角的和为360°﹣α； （2）由题意得， （n﹣2）×180°﹣α＝920°， ∵n＞3的正整数，0°＜α＜180°， ∴n＝8， 即这个多边形为八边形； （3）设n边形（n＞3）的一个外角为α，它不相邻的（n﹣1）个内角的和为β， 则有180°﹣α+β＝（n﹣2）×180°， 即β﹣α＝（n﹣3）×180°． 题型二　平行四边形的性质 例题： 1．（2024春•义乌市校级期中）已知▱ABCD中，∠A+∠C＝130°，则∠D的度数是（　　） A．50° B．65° C．115° D．130° 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形对角相等、邻角互补的性质平行四即可求出∠A，进而可求出∠D． 【解答】解：在▱ABCD中，∠A＝∠C，∠A+∠D＝180°， ∵∠A+∠C＝130°， ∴∠A＝∠C＝65°， ∴∠D＝180°﹣∠A＝115°， 故选：C． 2．（2024•浙江）如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，AC＝2，．过点A作AE⊥BC的垂线交BC于点E，记BE长为x，BC长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A．x+y B．x﹣y C．xy D．x2+y2 【分析】过D作DH⊥BC，交BC延长线于H，由平行四边形当性质推出AB＝DC，AD∥BC，得到AE＝DH，判定Rt△DCH≌Rt△ABE（HL），得到CH＝BE＝x，由勾股定理得到22﹣（y﹣x）2（y+x）2，得到xy＝2． 【解答】解：过D作DH⊥BC，交BC延长线于H， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝DC，AD∥BC， ∵AE⊥BC，DH⊥BC， ∴AE＝DH， ∴Rt△DCH≌Rt△ABE（HL）， ∴CH＝BE＝x， ∵BC＝y， ∴EC＝BC﹣BE＝y﹣x，BH＝BC+CH＝y+x， ∵AE2＝AC2﹣EC2，DH2＝BD2﹣BH2， ∴22﹣（y﹣x）2（y+x）2， ∴xy＝2． 故选：C． 3．（2024秋•瑞安市月考）如图，平行四边形ABCD与平行四边形EFGH全等，且点A，B，C，D的对应顶点分别是点H，E，F，G，其中点E在DC上，点F在BC上，点C在FG上，连结DB，DB＝AB．若AB＝9，AD＝6，则CG的长为　5　． 【分析】根据全等图形的性质、平行四边形的性质及等腰三角形的判定与性质求解即可． 【解答】解：∵平行四边形ABCD与平行四边形EFGH全等，且A、B、C、D的对应顶点分别是H、E、F、G， ∴AB＝CD＝HE＝FG＝9，AD＝HG＝EF＝6，∠DCB＝∠GFE， ∴EF＝EC＝6， ∵FC＝4， ∴CG＝FG﹣FC＝9﹣4＝5， 故答案为：5． 4．（2024春•萧山区期中）如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，EF过点O且垂直于AD． （1）求证：OE＝OF； （2）若S▱ABCD＝63，OE＝3.5，求AD的长． 【分析】（1）运用ASA证明△AEO≌△CFO即可得到结论； （2）由（1）得EF＝7，再根据平行四边形的面积计算公式求解即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，OA＝OC， ∴∠EAO＝∠FCO， 在△AEO和△CFO中， ∵∠EAO＝∠FCO，OA＝OC，∠AOE＝∠COF， ∴△AEO≌△CFO，（ASA） ∴OE＝OF； （2）解：∵OE＝OF，OE＝3.5， ∴EF＝2OE＝7， 又∵EF⊥AD， ∴S▱ABCD＝AD×EF＝63， ∴AD＝9． 5．（2024•宁波模拟）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交边AB，DC于点E，F，连结AF，CE．若AE＝13，OA＝12． （1）求EF的长； （2）求▱ABCD边AB上的高． 【分析】（1）先由勾股定理可得，，再判定△DOF≌△BOE（ASA），即可得OE＝OF，进而得出EF的长； （2）过点F作FH⊥AB于点H，利用等面积即可得出高． 【解答】解：（1）∵EF⊥AC，AE＝13，OA＝12， ∴． ∵▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O， ∴OD＝OB，DC∥BA， ∴∠FDO＝∠EBO． 又∵∠FOD＝∠EOB， ∴△FDO≌△EBO（ASA）， ∴FO＝EO， ∴EF＝2EO＝10． （2）如图，过点F作FH⊥AB于点H， ∵， 即， ∴▱ABCD边AB上的高． 巩固训练 6．（2024春•吴兴区期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC，AB＝10，BC＝8，则对角线BD的长是（　　） A． B． C．12 D．14 【分析】由∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8，求得AC6，则CO＝AO＝3，所以DO＝BO，则BD＝2DO＝2，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵AC⊥BC，AB＝10，BC＝8， ∴∠ACB＝90°， ∴AC6， ∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O， ∴CO＝AOAC＝3， ∴DO＝BO， ∴BD＝2DO＝2， 故选：A． 7．（2024•柯桥区模拟）如图，E是▱ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F，若∠BAF＝90°，BC＝5，EF＝3，则CD的长是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【分析】由平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，证出∠DAE＝∠F，∠D＝∠ECF，由全等三角形的性质得出AE＝EF＝3，由平行线的性质证出∠AED＝∠BAF＝90°，求出DE，即可得出CD的长． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠DAE＝∠F，∠D＝∠ECF， ∵E是▱ABCD的边CD的中点， ∴DE＝CE， 在△ADE和△FCE中， ， ∴△ADE≌△FCE（AAS）， ∴AE＝EF＝3， ∵AB∥CD， ∴∠AED＝∠BAF＝90°， 在△ADE中，AD＝BC＝5， ∴DE4， ∴CD＝2DE＝8． 故选：B． 8．（2024•娄星区二模）如图，在▱ABCD中，已知AD＝8cm，AB＝6cm，DE平分∠ADC，交BC边于点E，则BE＝ 　2　cm． 【分析】由▱ABCD和DE平分∠ADC，可证∠DEC＝∠CDE，从而可知△DCE为等腰三角形，则CE＝CD，由AD＝BC＝8cm，AB＝CD＝6cm即可求出BE． 【解答】解：∵▱ABCD， ∴∠ADE＝∠DEC， ∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠CDE， ∴∠DEC＝∠CDE， ∴CD＝CE， ∵CD＝AB＝6cm， ∴CE＝6cm， ∵BC＝AD＝8cm， ∴BE＝BC﹣EC＝8﹣6＝2（cm）． 故答案为2． 9．（2024春•开化县期中）已知：如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F．求证：BE＝DF． 【分析】由平行四边形的性质推出OB＝OD，由垂直的定义得到∠OEB＝∠OFD＝90°，由AAS判定△BOE≌△DOF，即可证明BE＝DF． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD， ∵BE⊥AC，DF⊥AC， ∴∠OEB＝∠OFD＝90°， 在△BOE和△DOF中， ， ∴△BOE≌△DOF（AAS）， ∴BE＝DF． 10．（2024•定海区开学）如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC上一点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，AD＝DF，连接DE． （1）求证：AE平分∠BAD； （2）若点E为BC中点，∠B＝60°，AD＝5，求平行四边形ABCD的周长． 【分析】（1）证出∠BAE＝∠F，∠DAE＝∠F，则可得出答案； （2）证明△ABE是等边三角形，得出AB＝BE，则可得出答案． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， 即AB∥DF， ∴∠BAE＝∠F， ∵AD＝DF， ∴∠DAE＝∠F， ∴∠BAE＝∠DAE， ∴AE平分∠BAD； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵AD＝5， ∴BC＝5， ∵E为BC的中点， ∴BEBC5， ∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠BEA， ∵∠BAE＝∠DAE， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴△ABE为等腰三角形， 又∵∠B＝60°， ∴△ABE是等边三角形， ∴AB＝BE， ∴CD＝AB， ∴平行四边形ABCD的周长为2AD+2AB＝2×5+215． 题型三　平行四边形的判定 例题： 1．（2024春•诸暨市校级期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，下列可添加的条件不正确的是（　　） A．AD＝BC B．AB＝CD C．AD∥BC D．∠A＝∠C 【分析】根据平行四边形的判定方法，逐项判断即可． 【解答】解：A、当AB∥CD，AD＝BC时，四边形ABCD可能为等腰梯形，所以不能证明四边形ABCD为平行四边形； B、AB∥CD，AB＝DC，一组对边分别平行且相等，可证明四边形ABCD为平行四边形； C、AB∥CD，AD∥BC，两组对边分别平行，可证明四边形ABCD为平行四边形； D、∵AB∥CD， ∴∠A+∠D＝180°， ∵∠A＝∠C， ∴∠C+∠D＝180°， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD为平行四边形； 故选：A． 2．（2024春•长兴县期中）平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B（0，1），点C（1，3），点D（x，y）（y≥0），以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形，则x的值为 　﹣3或5　． 【分析】分两种情况得到点D的坐标，即可求出x值． 【解答】解：如图1，点C（1，3）向右平移4个单位，再向下平移1个单位得点D（5，2）， ∴x＝5； 如图2，点C（1，3）向左平移4个单位，再向上平移1个单位得点D（﹣3，4）， ∴x＝﹣3； 综上，x的值为﹣3或5， 故答案为：﹣3或5． 3．（2024春•柯桥区期末）已知△ABC和△ADE均为等边三角形，点F、D分别在AC、BC上，AF＝CD，连接BF、EF．求证： （1）AD＝BF； （2）四边形BFED为平行四边形． 【分析】（1）根据SAS证明△ABF≌△CAD即可得出结论； （2）证明BF∥DE且BF＝DE即可得出结论． 【解答】证明：（1）∵△ABC和△ADE均为等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAF＝∠C＝60°， 又∵AF＝CD， ∴△ABF≌△CAD（SAS）， ∴AD＝BF； （2）如图，设AC与DE相交于点H， 由（1）知，BF＝AD， ∵△ADE是等边三角形， ∴AD＝DE， ∴BF＝DE， ∵∠C＝∠AED＝60°，∠DHC＝∠AHE， ∴∠CDH＝∠CAE， ∵∠CAE+∠DAC＝∠CBF+∠ABF＝60°，∠ABF＝∠DAC， ∴∠CBF＝∠CAE， ∴∠CBD＝∠CDH， ∴BF∥DE， ∴四边形BFED为平行四边形． 巩固训练 4．（2024春•西湖区校级期中）如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列不能判定其为平行四边形的是（　　） A．AB＝CD，AD＝BC B．AB∥CD，AB＝CD C．OA＝OC，OB＝OD D．AB∥CD，AD＝BC 【分析】根据平行四边形的判定方法求解． 【解答】解：A、∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意； B、∵AB∥CD，AB＝CD ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意； C、∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意； D、∵AB∥CD，AD＝BC， ∴不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项D符合题意； 故选：D． 5．（2024春•吴兴区期中）在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B（﹣3，2），点C（0，2），点P从点B出发，以2个单位每秒的速度沿射线BC运动，点Q从点A出发，开始以1个单位每秒的速度向原点O运动，到达原点后立刻以原来3倍的速度沿射线OA运动，若P，Q两点同时出发，设运动时间为t秒，则当t＝　1或3或13　时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形． 【分析】利用A、B、C的坐标可得到OA＝4，BC＝3，BC∥x轴，根据平行四边形的判定，当PC＝AQ时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形，讨论：若0＜t时，3﹣2t＝t；若t＜4时，2t﹣3＝t；若4＜t时，2t﹣3＝4﹣3（t﹣4）；若t时，2t﹣3＝3（t﹣4）﹣4，然后分别解方程可确定满足条件的t的值． 【解答】解：∵A（4，0），B（﹣3，2），C（0，2）， ∴OA＝4，BC＝3，BC∥x轴， ∵PC∥AQ， ∴当PC＝AQ时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形， 若0＜t时，BP＝2t，PC＝3﹣2t，AQ＝t，此时3﹣2t＝t，解得t＝1； 若t＜4时，BP＝2t，PC＝2t﹣3，AQ＝t，此时2t﹣3＝t，解得t＝3； 若4＜t时，BP＝2t，PC＝2t﹣3，OQ＝3（t﹣4），AQ＝4﹣3（t﹣4），此时2t﹣3＝4﹣3（t﹣4），解得t（舍去）； 若t时，BP＝2t，PC＝2t﹣3，OQ＝3（t﹣4），AQ＝3（t﹣4）﹣4，此时2t﹣3＝3（t﹣4）﹣4，解得t＝13； 综上所述，当t为1或3或13秒时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形． 故答案为1或3或13． 6．（2024•台州模拟）图1是某小区倾斜式停车位，图2是车位示意图，工人在绘制时保证AD＝BC，∠A＝60°，∠B＝120°． （1）请判断四边形ABCD的形状，并说明理由； （2）若AD为6米，AB为2.8米，求停车位ABCD的面积． 【分析】（1）证明AD∥BC，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）过点C作CE⊥AB于点E，由平行四边形的性质得BC＝AD＝6米，进而由含30°角的直角三角形的性质得BE＝3米，再由勾股定理求出CE的长，然后由平行四边形面积公式即可得出结论． 【解答】解：（1）四边形ABCD是平行四边形，理由如下： ∵∠A＝60°，∠D＝120°， ∴∠A+∠B＝180°， ∴AD∥BC， 又∵AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形； （2）如图，过点C作CE⊥AB于点E， 由（1）可知，四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD＝6米， ∵∠ABC＝120°， ∴∠CBE＝180°﹣120°＝60°， ∴BEBC6＝3（米）， 在Rt△BCE中，由勾股定理得：CE3（米）， ∴S平行四边形ABCD＝AB•CE＝2.8×3（平方米）， 答：停车位ABCD的面积为平方米． 题型四　平行四边形的性质与判定 例题： 1．（2024春•萧山区校级期中）▱ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（　　） A．BE＝DF B．AF∥CE C．CE＝AF D．∠DAF＝∠BCE 【分析】连接AC与BD相交于O，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA＝OC，OB＝OD，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到OE＝OF即可，然后根据各选项的条件分析判断即可得解． 【解答】解：连接AC与BD相交于O， 在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD， 要使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到OE＝OF即可； A、若BE＝DF，则OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，故本选项不符合题意； B、AF∥CE能够利用“角角边”证明△AOF和△COE全等，从而得到OE＝OF，故本选项不符合题意； C、若CE＝AF，则无法判断OE＝OE，故本选项符合题意； D、由∠DAF＝∠BCE，从而推出△DAF≌△BCE，然后得出∠DFA＝∠BEC，∴∠AFE＝∠CEF，∴AF∥CE，结合选项B可证明四边形AECF是平行四边形；故本选项不符合题意； 故选：C． 2．（2024春•嵊州市期末）如图，将三角形ABC沿AB方向平移到三角形DEF的位置，若AE＝10，BD＝2，三角形ABC的面积为10，则四边形ACFD的面积为 　30　． 【分析】连接CD由平移的性质得：AD∥CF，AD＝CF，DE＝AB，再证明四边形ACFD是平行四边形，进而得BDAB，则S△CBDS△ABC＝5，然后求出S△ACD＝S△ABC+S△CBD＝15，即可解决问题． 【解答】解：如图，连接CD， 由平移的性质得：AD∥CF，AD＝CF，DE＝AB， ∴四边形ACFD是平行四边形， ∵AE＝10，BD＝2， ∴AB+DE＝AE﹣BD＝8， ∴AB＝DE＝4， ∴BDAB， ∴S△CBDS△ABC10＝5， ∴S△ACD＝S△ABC+S△CBD＝10+5＝15， ∴S平行四边形ACFD＝2S△ACD＝30， 故答案为：30． 3．（2023秋•拱墅区月考）如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，点E在BC上，AE∥DC． （1）求证：四边形AECD是平行四边形； （2）若∠B＝30°，AE平分∠BAC，，求AD的长． 【分析】（1）证AD∥BC，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得EC＝AD＝2，再由含30°角的直角三角形的性质得AE＝2EC＝4，进而由勾股定理得AC＝4，然后由含30°角的直角三角形的性质即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠CAD＝90°， ∴AD∥BC， 又∵AE∥DC， ∴四边形AECD是平行四边形； （2）解：由（1）可知，四边形AECD是平行四边形， ∴EC＝AD， ∵∠B＝30°，， ∴∠BAC＝90°﹣∠B＝60°，AC＝4， ∵AE平分∠BAC， ∴， ∴∠AEC＝60°，AE＝2CE， 在Rt△AEC中，由勾股定理得：AC4， ∴EC＝4， ∴AD＝4． 4．（2024春•西湖区期中）已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD，AC相交于点O，点E，F分别在BD，DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，AF，CF，CE． （1）求证：四边形AFCE为平行四边形； （2）若AC平分∠EAF，∠AEC＝60°，OA＝4，求四边形AFCE的周长． 【分析】（1）由平行四边形的性质得OD＝OB，OA＝OC，而DE＝BF，所以OE＝OF，即可证明四边形AFCE是平行四边形； （2）由∠EAC＝∠FAC，∠ECA＝∠FAC，推导出∠EAC＝∠ECA，则AE＝CE，所以四边形AFCE是菱形，而∠AEC＝60°，则△EAC是等边三角形，所以AE＝AC＝8，即可求得四边形AFCE周长是32． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OD＝OB， ∵DE＝BF， ∴OD+DE＝OB+BF， ∴OE＝OF， ∵OA＝OC， ∴四边形AFCE为平行四边形． （2）解：∵AC平分∠EAF， ∴∠EAC＝∠FAC， ∵四边形AFCE为平行四边形，OA＝4， ∴CE∥AF，OC＝OA＝4， ∴∠ECA＝∠FAC，AC＝4+4＝8， ∴∠EAC＝∠ECA， ∴AE＝CE， ∴四边形AFCE是菱形， ∵∠AEC＝60°， ∴△EAC是等边三角形， ∴AE＝AC＝8， ∴AF+CF+CE+AE＝4AE＝4×8＝32， ∴四边形AFCE周长是32． 巩固训练 5．（2024春•西湖区期中）如图，在▱ABCD中，AB＝8，AD＝6，∠A＝120°，DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，则图中四边形DEBF的面积是（　　） A．24 B．12 C． D． 【分析】过A作AH⊥BC于H，由平行线的性质推出∠ADC+∠BAD＝180°，求出∠ADH＝60°，由sin∠ADH，AD＝6，求出AH＝3，由角平分线定义得到∠ADE＝∠CDE，由平行线的性质得到∠AED∠＝∠CDE，因此∠ADE＝∠AED，推出AE＝AD＝6，求出BE＝AB﹣AE＝8﹣6＝2，同理：FD＝2，而BE∥DF，推出四边形EDFB是平行四边形，于是求出四边形DEBF的面积＝DF•AH＝2×36． 【解答】解：过A作AH⊥BC于H， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ADC+∠BAD＝180°， ∵∠BAD＝120°， ∴∠ADH＝60°， ∵sin∠ADH＝sin60°，AD＝6， ∴AH＝3， ∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠CDE， ∵AB∥CD， ∴∠AED∠＝∠CDE， ∴∠ADE＝∠AED， ∴AE＝AD＝6， ∴BE＝AB﹣AE＝8﹣6＝2， 同理：FD＝2， ∵BE∥DF， ∴四边形EDFB是平行四边形， ∴四边形DEBF的面积＝DF•AH＝2×36． 故选：C． 6．（2024春•柯桥区期末）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，EF过点O且分别交AD，BC于点E，F，在BD上找点M，N（点N在点M下方），使以点E，F，M，N为顶点的四边形为平行四边形，在甲、乙、丙三个方案中，正确的方案是（　　） A．甲、乙、丙 B．只有甲、乙 C．只有甲、丙 D．只有乙、丙 【分析】结合题中所给方案，分情况，依照平行四边形的判定与性质即可得证． 【解答】解：甲方案：如图所示： 在平行四边形ABCD中，OB＝OD，DE∥BF， ∴∠EDO＝∠FBO， 在△BFO和△DEO中， ∴△BFO≌△DEO（ASA）， ∴OE＝OF， ∵BN＝DM， ∴ON＝OM， 在四边形EMFN中，由对角线相互平分可知，四边形EMFN为平行四边形； 乙方案：如图所示： 在平行四边形ABCD中，OB＝OD，DE∥BF， ∴∠EDO＝∠FBO， 在△BFO和△DEO中， ∴△BFO≌△DEO（ASA）， ∴OE＝OF， ∵EM⊥BD，FN⊥BD， ∴∠EMO＝∠FNO＝90°，则FN∥EM， 在△EMO和△FNO中， ∴△EMO≌△FNO（AAS）， ∴ME＝NF， 在四边形EMFN中，由一组对边平行且相等可知，四边形EMFN为平行四边形； 丙方案：如图所示： 在平行四边形ABCD中，OB＝OD，DE∥BF， ∴∠EDO＝∠FBO，∠DEO＝∠BFO， 在△BFO和△DEO中， ∴△BFO≌△DEO（ASA）， ∴OE＝OF， ∵EM平分∠DEF；FN平分∠BFE； ∴∠FNO＝∠EMO， 在△EMO和△FNO中， ∴△EMO≌△FNO（ASA）， ∴MO＝NO， 在四边形EMFN中，由对角线相互平分可知，四边形EMFN为平行四边形； 综上所述，甲、乙、丙三种方案均可使以点E，F，M，N为顶点的四边形为平行四边形， 故选：A． 7．（2024•浙江模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上，连接AD，E，F分别为AD，AB边上的中点，连接DF，CE，CF，记CF交AD于点O．若∠FDA＝2∠CAD． （1）求证：四边形CEFD为平行四边形． （2）若，∠B＝60°，求△AOF的周长． 【分析】（1）上点D在BC边上，E，F分别为AD，AB边上的中点，得FE∥BD，而∠ACB＝90°，则CE＝AEAD，则∠ECA＝∠CAD，所以∠CED＝2∠CAD，因为∠FDA＝2∠CAD，所以∠FDA＝∠CED，则FD∥CE，即可证明四边形CEFD是平行四边形； （2）由∠ACB＝90°，∠B＝60°，求得∠BAC＝30°，由OC＝OF，得CF＝AF＝BFAB＝3，所以BCAB＝3，AB＝6，求得AC＝3，因为BD＝2FE＝2CD，所以BC＝3CD＝3，求得CD＝1，则AD＝2，所以AE＝DE，OE＝OD，求得OA，进而求得△AOF的周长是． 【解答】（1）证明：∵点D在BC边上，E，F分别为AD，AB边上的中点， ∴FE∥BD， ∴FE∥CD， ∵∠ACB＝90°， ∴CE＝AE＝DEAD， ∴∠ECA＝∠CAD， ∴∠CED＝∠ECA+∠CAD＝2∠CAD， ∵∠FDA＝2∠CAD， ∴∠FDA＝∠CED， ∴FD∥CE， ∴四边形CEFD是平行四边形． （2）解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°， ∴∠BAC＝90°﹣∠B＝30°， ∵四边形CEFD是平行四边形， ∴OC＝OF， ∴CF＝AF＝BFAB＝OC+OF3， ∴BCAB＝3，AB＝6， ∴AC3， ∵BD＝2FE，且FE＝CD， ∴BD＝2CD， ∴BC＝BD+CD＝2CD+CD＝3CD＝3， ∴CD＝1， ∴AD2， ∵AE＝DEAD2， ∴OE＝ODDE， ∴OA＝OE+AE， ∴OA+OF+AF3， ∴△AOF的周长是． 题型五　中心对称与中心对称图形 例题： 1．（2024秋•玉环市期末）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断． 【解答】解：A、D中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A、D不符合题意； B、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故B不符合题意； C、图形既是轴对称图形又是中心对称图形的，故C符合题意． 故选：C． 2．（2024春•丽水期末）在直角坐标系中，点A（1，a）和点B（b，﹣5）关于原点成中心对称，则a﹣b的值为（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣6 D．6 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P'（﹣x，﹣y），进而得出答案． 【解答】解：∵点A（1，a）和点B（b，﹣5）关于原点成中心对称， ∴a＝5，b＝﹣1， ∴a﹣b＝5+1＝6． 故选：D． 3．（2024秋•临海市期中）如图，△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称．则下列结论不成立的是（　　） A．OA＝OA' B．∠BAC＝∠B'A'C' C．∠AOB＝∠A'OB' D．∠ACB＝∠C'B'A' 【分析】根据中心对称的性质判断即可． 【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称， OA＝OA'，∠BAC＝∠B'A'C'，∠AOB＝∠A'OB'， ∴A，B，C都不合题意． ∵∠ACB与∠C′B′A′不是对应角， ∴∠ACB＝∠C′B′A′不成立． 故选：D． 4．（2024秋•武汉期末）若点P与点Q（﹣2，3）关于坐标原点成中心对称，则点P的坐标是 　（2，﹣3）　． 【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案． 【解答】解：点P与点Q（﹣2，3）关于坐标原点成中心对称，则点P的坐标是（2，﹣3） 故答案为：（2，﹣3）． 巩固训练 5．（2024秋•天台县期末）下列是天台县一些部门的公众号图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【解答】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； D、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意． 故选：C． 6．（2024春•海曙区校级期中）在平面直角坐标系中，点P（﹣5，5）与点Q（5，m）关于原点对称，则m＝　﹣5　． 【分析】根据关于原点对称点的坐标特征，求解即可． 【解答】解：点P（﹣5，5）与点Q（5，m）关于原点对称， 则m+5＝0， 解得：m＝﹣5． 故答案为：﹣5． 7．（2024秋•诸暨市校级月考）将数字“6”旋转180°，得到数字“9”，将数字“9”旋转180°，得到数字“6”，现将数字“609”整体旋转180°，得到的数字是 　609　． 【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【解答】解：将数字“609”整体旋转180°，得到的数字是609． 故答案为：609． 题型六　三角形的中位线 例题： 1．（2024春•拱墅区校级期中）如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，E、F分别是AC，AD的中点，连接EF．已知BC＝8，则EF的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】根据三角形的中线的概念求出CD，再根据三角形中位线定理求出EF． 【解答】解：∵AD是△ABC的中线，BC＝8， ∴BD＝DCBC8＝4， ∵E、F分别是AC，AD的中点， ∴EF是△ADC的中位线， ∴EFCD＝2， 故选：A． 2．（2025•萧山区校级开学）如图，点D、E分别为AB，AC的中点，BF平分∠ABC交DE于点F，若AB＝4，BC＝6，则EF＝　1　． 【分析】根据三角形中位线定理得到DEBC＝3，DE∥BC，根据角平分线的定义、平行线的性质得到∠DBF＝∠DFB，得到DF＝BD＝2，计算即可． 【解答】解：∵点D、E分别为AB，AC的中点，AB＝4， ∴DE是△ABC的中位线，BDAB＝2， ∴DEBC＝3，DE∥BC， ∴∠DFB＝∠FBC， ∵BF平分∠ABC， ∴∠DFB＝∠FBC， ∴∠DBF＝∠DFB， ∴DF＝BD＝2， ∴EF＝DE﹣DF＝3﹣2＝1， 故答案为：1． 3．（2024秋•嵊州市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，E是AB的中点，连结DE． （1）求证：DE∥AC． （2）若DE，AD＝4，求△ABC的面积． 【分析】（1）根据已知易得：DE是△ABC的中位线，然后利用三角形的中位线定理可得DE∥AC，即可解答； （2）先利用等腰三角形的三线合一性质可得：∠ADB＝90°，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得AB＝5，再在Rt△ABD中，利用勾股定理可得：BD＝3，从而可得BC＝2BD＝6，最后利用三角形的面积公式进行计算，即可解答． 【解答】（1）证明：∵点D是BC的中点，E是AB的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥AC； （2）解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴∠ADB＝90°， ∵E是AB的中点， ∴AB＝2DE＝5， ∴BD3， ∴BC＝2BD＝6， ∴△ABC的面积BC•AD6×4＝12． 巩固训练 4．（2024•苍南县校级自主招生）如图，在三角形ABC中，AB＝11，AC＝15，点M是BC的中点，AD是∠BAC的角平分线，MF∥AD，则FC＝（　　） A．14 B．13 C．12 D．11 【分析】过点M作MN∥AB，交AC于点N，先证明MN是△ABC的中位线，则MNAB＝5.5，NCAC＝7.5，再证FN＝MN＝5.5，进而可得出FC的长． 【解答】解：过点M作MN∥AB，交AC于点N，如图所示： ∵AD是∠BAC的角平分线， ∴设∠BAD＝∠CAD＝α，则∠BAC＝2α ∵MF∥AD， ∴∠1＝∠CAD＝α， ∵点M是BC的中点，MN∥AB， ∴MN是△ABC的中位线，∠2＝∠BAC＝2α， ∴MNAB＝5.5，NCAC＝7.5， ∵∠2是△MNF的一个外角， ∴∠2＝∠1+∠3， ∴2α＝α+∠3， ∴∠3＝α， ∴∠1＝∠3＝α， ∵FN＝MN＝5.5， ∴FC＝FN+NC＝5.5+7.5＝13． 故选：B． 5．（2024秋•浙江期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D，F分别是AB，BC的中点，BE⊥AC于点E，连接AF，DF，DE，EF．若BC＝6，△DEF的周长是11，则AF的长为（　　） A． B． C． D．8 【分析】根据等腰三角形的性质得到AF⊥BC，根据直角三角形斜边上的中线的性质得到DE＝DF，根据三角形周长公式求出DE，进而求出AB，再根据勾股定理计算即可． 【解答】解：∵AB＝AC，F是AB的中点，BC＝6， ∴BF＝FC＝3，AF⊥BC， ∵D，F分别是AB，BC的中点， ∴DF是△ABC的中位线， ∴DFACAB， 在Rt△AEB中，D是AB的中点， ∴DEAB， ∴DE＝DF， 在Rt△CEB中，F是BC的中点， ∴EFBC＝3， ∵△DEF的周长是11， ∴DE＝DF＝4， ∴AB＝8， ∴AF， 故选：B． 6．（2024春•东阳市期中）在△ABC中，点D、E分别是AC，BC的中点，以A为圆心，AD为半径作圆弧交AB于点F，若AD＝8，DE＝7，则BF的长为 　6　． 【分析】根据三角形中位线定理求出AB，进而求出BF． 【解答】解：∵点D、E分别是AC，BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴AB＝2DE＝2×7＝14， 由尺规作图可知：AF＝AD＝8， ∴BF＝AB﹣AF＝14﹣8＝6， 故答案为：6． 题型七　反证法 例题： 1．（2024春•湖州期末）用反证法证明命题“一个多边形最多有四个内角是直角”时，我们可以先假设（　　） A．有三个直角 B．有四个直角 C．至少有四个内角是直角 D．至少有五个内角是直角 【分析】用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可． 【解答】解：用反证法证明命题“一个多边形最多有四个内角是直角”时，首先应该假设至少有五个内角是直角， 故选：D． 2．（2024秋•温州校级期中）对于命题“如果x2＞0，那么x＞0．”能够说明它是假命题的反例是（　　） A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝0.5 【分析】满足条件，但不能得出结论的即为说明命题是假命题的反例． 【解答】解：当x＝﹣1时，满足条件x2＞0，但不能得出x＞0的结论， 故能说明命题“如果x2＞0，那么x＞0”是假命题的反例是x＝﹣1， 故选：A． 3．（2024春•滨江区期末）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，首先应假设这个直角三角形中（　　） A．两个锐角都大于45° B．两个锐角都小于45° C．两个锐角都不大于45° D．两个锐角都等于45° 【分析】用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可． 【解答】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时， 应先假设两个锐角都大于45°． 故选：A． 巩固训练 4．（2024春•海曙区校级期中）用反证法证明命题“一个三角形中至多有一个角是直角”，应先假设这个三角形中（　　） A．至少有两个角是直角 B．没有直角 C．至少有一个角是直角 D．有一个角是钝角，一个角是直角 【分析】熟记反证法的步骤，然后进行判断． 【解答】解：用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中有两个角是直角． 故选：A． 5．（2024春•杭州月考）用反证法证明“不是有理数”，应先假设（　　） A．是无理数 B．不是无理数 C．是有理数 D．不是有理数 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立． 【解答】解：用反证法证明“不是有理数”，应先假设是有理数， 故选：C． 6．（2024春•诸暨市期末）用反证法证明：“在△ABC中，若AB≠AC，则∠B≠∠C”，则应假设 　∠B＝∠C　． 【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答． 【解答】解：用反证法证明：“在△ABC中，若AB≠AC，则∠B≠∠C”， 应假设∠B＝∠C， 故答案为：∠B＝∠C． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$