专题02 几何最值（4种题型40道）-2025年中考数学复习高频考题专项训练（安徽专用）

专题02 几何最值（4种题型40道） 目录 【题型1两点之间，线段最短】 1 【题型2 点圆最值】 4 【题型3 垂线段最短】 7 【题型4 利用二次函数解决最值问题】 10 【题型1两点之间，线段最短】 1．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图所示，正方形边长为8，为中点，为上的动点，为上的点，且，连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽合肥·二模）如图，在中，，，D，E分别为BC，AB的中点，P是AD上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·安徽芜湖·三模）如图，E是正方形的边上一点，连接，在的右上一侧以为直角边作等腰直角三角形，连接，若，则的周长的最小值为（    ） A．16 B． C． D． 4．（2024·江苏宿迁·二模）如图，等边的边长为，为高，点、分别为、上两个动点，且满足，求的最小值（   ） A．1 B． C． D． 5．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形中，已知，，E为边上一动点，将沿翻折到的位置，点A与点F重合，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 6．（2022·广东东莞·一模）如图，在正方形ABCD中，已知边长，点E是BC边上一动点（点E不与B、C重合），连接AE，作点B关于直线AE的对称点F，则线段CF的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 7．（2024·安徽阜阳·三模）如图，在中，，，，的平分线交于点C，点P，Q分别为线段，边上的动点． （1）的长为 （2）的最小值为 ． 8．（2024·安徽阜阳·二模）如图，在正方形中，，E，F分别是边上的动点，交于点G，连接． （1）若E，F分别是边上的中点，则 ； （2）若，则的最小值为 ． 9．（24-25八年级上·陕西延安·期末）如图，在等腰中，，，是等边三角形，点是的平分线上一动点，连接，则的最小值为 ． 10．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，，，，点、、分别是、、上的动点，且，则的最小值为 ． 【题型2 点圆最值】 11．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，中，，，．是上一动点，连接，过作于，取中点，连接，若的延长线交于，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C． D． 12．（2024·安徽宿州·二模）如图，在矩形中，，，点E是右侧一点且，点G是上一点，点F是的中点，若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 13．（2024·安徽马鞍山·一模）如图，在中，，点D是斜边上的动点，将沿直线翻折得到，连接，则周长的最小值为（    ） A． B． C．9 D． 14．（2021·福建龙岩·模拟预测）四边形ABCD中，△ACD是边长为10的等边三角形，△ABC是以AC为斜边的直角三角形，则对角线BD最大值是　　 A．10 B． C． D． 15．（2024·安徽·三模）如图，矩形中，，，P为边上一点（不与A、D重合），连接，过C点作，垂足为点E，点F为的中点，则的最小值是（   ）    A．3 B． C． D． 16．（2024·安徽淮北·三模）如图，线段，点为的中点，动点到点的距离是1，连接，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段长度的最大值是（    ） A．3 B．4 C． D． 17．（2024·安徽滁州·三模）如图，中，，，O 为的中点，P为 上动点，连接并延长至点D，使得，则 的最小值为（       ） A．1 B． C．2 D．3 18．（2024·安徽·模拟预测）如图，边长为7的正方形中，点E、G分别在射线、上，在边上，与交于点，，，，则的最小值为 ． 19．（2024·新疆乌鲁木齐·一模）如图，正方形的边长为4，点E是正方形对角线所在直线上的一个动点，连接AE．以为斜边作等腰（点A，E，F按逆时针排序），则长的最小值为 ． 20．（2024·浙江金华·二模）如图，在正方形中，，，以点为直角顶点作等腰直角三角形（为顺时针排列），连接，则的长为 ，的最大值为 ． 【题型3 垂线段最短】 21．（22-23九年级上·山东济宁·期末）如图，中，，，于点E，D是线段上的一个动点，则的最小值是（      ）    A． B． C． D．10 22．（2024·安徽合肥·二模）如图，和都是等腰三角形，且，，是的中点，若点在直线上运动，连接，则在点运动过程中，的最小值为（    ） A． B． C． D．2 23．（2024·安徽合肥·二模）如图，在中，，，，，分别是边上的动点，则的最小值是(   ) A． B． C． D．2 24．（2024·安徽阜阳·二模）如图，为等边三角形，D，E分别是边上的点，且满足，M是边上的一动点，以M，D，E为顶点，为对角线构造．若，则的最小值为（      ） A． B． C．6 D．4 25．（2024·安徽马鞍山·二模）如图，点在等腰内，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 26．（2024·安徽·三模）如图，在中，，，，于点，点在上，且，点是线段上的动点，连接，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C． D． 27．（2024·安徽合肥·一模）如图，，点在线段上运动，为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是（    ）    A．3 B．4 C．5 D．不存在 28．（2024·安徽池州·一模）如图，在等边三角形中，为边上的高，是直线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．若，则在点的运动过程中，线段的长的最小值是（　　） A．2 B． C． D． 29．（2024·安徽淮北·模拟预测）如图，在中，，，，为的角平分线，点为上一动点，点为的中点，连接，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D． 30．（2023·安徽合肥·一模）如图，在中，，，，点为边上任意一点，连接，以，为邻边作，连接，则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【题型4 利用二次函数解决最值问题】 31．（2024·江苏盐城·三模）中，，，则的最小值等于（   ）    A． B． C． D． 32．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，平面直角坐标系中，已知，，为轴正半轴上一个动点，将线段绕点逆时针旋转，点的对应点为，则线段的最小值是（    ） A． B． C． D． 33．（2024·安徽宣城·模拟预测）如图，在中，，为边上的一点，当时，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，连接，．若，则的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 34．（2024·安徽淮南·三模）如图，在矩形中，点是的中点，点是边上的动点，连接并延长交的延长线于点点在五边形中，连接若则四边形面积的最大值为（    ） A． B． C．41 D．42 35．（2024·安徽六安·三模）如图，中，，，，延长到点，使，过点作，交的延长线于点，点是上一点，过点作，交于点，连接，点在上，，连接，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 36．（2024·安徽淮南·模拟预测）如图，E是线段上一点，在线段的同侧分别以为斜边作等腰和等腰，，分别是，的中点．若，则下列结论错误的是（    ）． A．的最小值为 B．四边形面积的最小值为 C．周长的最小值为 D．的最小值为3 37．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在正方形中，点在边上（不与点，重合），连接，交于点，若点在线段上，且，连接，，记四边形的面积为，的面积为． （1）若，则 ； （2）若，则的最大值 ． 38．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在矩形中，，，点E是边上的一动点，连接，并以为直角边做等腰直角三角形，其中． （1）当点F正好在边上时， ； （2）点E在边上运动时，的最小值等于 ． 39．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，，若点D、E分别是、边上的两个动点，连接、，且，则的最小值为 ．    40．（2024·安徽·一模）如图，一次函数与反比例函数的图像相交于A，B两点，其交点的横坐标分别为4，8． （1）k的值是 ； （2）将点A沿x轴正方向平移个单位长度得到点C，连接并延长交x轴正半轴于点D，则的最大值是 ． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 几何最值（4种题型40道） 目录 【题型1两点之间，线段最短】 1 【题型2 点圆最值】 14 【题型3 垂线段最短】 26 【题型4 利用二次函数解决最值问题】 39 【题型1两点之间，线段最短】 1．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图所示，正方形边长为8，为中点，为上的动点，为上的点，且，连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，取的中点，连接，证明，得出，从而得出，连接交于，当、、在同一直线上时，最小，即最小，最小为，再由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：取的中点，连接， ， ∵四边形为正方形，边长为8，为中点， ∴，，， ∵为上的动点， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接交于，当、、在同一直线上时，最小，即最小，最小为， ∵， ∴最小值为， 故选：D． 2．（2024·安徽合肥·二模）如图，在中，，，D，E分别为BC，AB的中点，P是AD上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，连接，过点A作的平行线与的延长线交于F，过点C作交的延长线于点H，证明出，的最小值为，再在 中，利用勾股定理求出即可求出，进而得到的最小值． 【详解】解：如图，连接，过点A作的平行线与的延长线交于F，过点C作交的延长线于点H． ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，D，E分别为的中点，， ∴ ∴， ∵， ∴的最小值为． 在中， ∵， ∴由勾股定理，得， 在中，， ∴由勾股定理，得， ∴， 即的最小值为． 故选：A． 3．（2024·安徽芜湖·三模）如图，E是正方形的边上一点，连接，在的右上一侧以为直角边作等腰直角三角形，连接，若，则的周长的最小值为（    ） A．16 B． C． D． 【答案】D 【分析】结合等腰直角三角形性质得出，，再证明，因为，所以，得出是等腰直角三角形，作点A关于直线CF的对称点，当点A，C，在同一直线上，的周长最小．得证 即可作答．本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，轴对称性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】提示：如图，过点F作，交的延A长线于点H，连接, ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，． 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 连接AC，则，， ∴，． 作点A关于直线CF的对称点， ∴，点A，C，在同一直线上， 连接，交CF于点，连接，则， 此时最小， 即的周长最小． 过点作，交DC的延长线于点I， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长最小为． 故选：D． 4．（2024·江苏宿迁·二模）如图，等边的边长为，为高，点、分别为、上两个动点，且满足，求的最小值（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短、勾股定理，作辅助线构造全等于是解题的关键． 将绕点顺时针旋转得到，连接、，根据等边三角形的性质，利用证明，得出，推出，根据“两点之间线段最短”，得出当点、、在同一直线上时，的值最小，即的最小值，根据勾股定理计算得出答案即可． 【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转得到，连接、， 又∵等边的边长为，为高， ∴，，，平分， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当点、、在同一直线上时，的值最小，即的最小值， 故选：B． 5．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形中，已知，，E为边上一动点，将沿翻折到的位置，点A与点F重合，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，找到最小距离是解题的关键．在上取点G，使，连接FG，DG，证明，可得出，则，当、、三点共线时，最小，在中，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，在上取点G，使，连接，． 沿边翻折到， ， 又， ，， ， 又， ， ， ， ， 当、、三点共线时，最小， 在中，， ，， ， 即的最小值为． 故选：D． 6．（2022·广东东莞·一模）如图，在正方形ABCD中，已知边长，点E是BC边上一动点（点E不与B、C重合），连接AE，作点B关于直线AE的对称点F，则线段CF的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对称性得到动点M的轨迹是在以A圆心，5为半径的圆上，根据点圆模型，在正方形中利用勾股定理求出线段AC长即可． 【详解】连接AC，AF，由轴对称知，AF=AB=5， ∵正方形ABCD中，AB=BC=5，∠ABC=90°， ∴, ∵AF+CF≥AC， ∴当点F运动到AC上时，CF=AC-AF，CF取得最小值， 最小值为， 故选B 【点睛】本题考查动点最值问题，解题过程涉及到对称性质、圆的性质、正方形性质、勾股定理等知识点，解决问题的关键是准确根据题意得出动点轨迹． 7．（2024·安徽阜阳·三模）如图，在中，，，，的平分线交于点C，点P，Q分别为线段，边上的动点． （1）的长为 （2）的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，勾股定理的逆定理，三角形的面积计算．合理找出三角形的底和高是解题的关键． （1）作交于点，利用角平分线上的点到角两边的距离相等得出，最后按照三角形的面积公式计算即可． （2）当点、、三点共线时，最小，利用角平分线上的点到角两边的距离相等得出，最后按照三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：（1）∵ ， 是直角三角形，， 作交于点， ， 又是的平分线， ． ， 即， ． 故答案为：． 解：（2）是的平分线，点为动点， 作点关于的对称点在上， ． 作交于点P 当点、、三点共线且时，最小，为最小值． 由（1）可知，是直角三角形， ， 解得：． 故答案为：． 8．（2024·安徽阜阳·二模）如图，在正方形中，，E，F分别是边上的动点，交于点G，连接． （1）若E，F分别是边上的中点，则 ； （2）若，则的最小值为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理． （1）证明，推出，得到，再证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）同（1）理证明，得到点在以为直径的上，当共线时，有最小值，最小值为的长，据此求解即可． 【详解】解：（1）∵正方形中，，E，F分别是边上的中点， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴； 故答案为：． （2）正方形中，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴点在以为直径的上，如图， 当共线时，有最小值，最小值为的长， ∴，， ∴的最小值为， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·陕西延安·期末）如图，在等腰中，，，是等边三角形，点是的平分线上一动点，连接，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．连接，根据垂直平分，即可得到，再根据当B，P，D在同一直线上时，的最小值为线段长，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵点P是的角平分线上一动点，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当B，P，D在同一直线上时，的最小值为线段长， 又∵是等边三角形， ∴， ∴的最小值为5， 故答案为：5． 10．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，，，，点、、分别是、、上的动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】过点作于点，连接、、，如图，先证明为等腰直角三角形，则根据等腰直角三角形的性质得，，再证明得到，，则可判断为等腰直角三角形，所以，所以，利用两点之间线段最短得到（当且仅当、、共线时取等号），则的最小值为的长，过点作于，然后利用含度角的直角三角形三边的关系求出即可． 【详解】解：过点作于点，连接、、，如图： ， ， ， ，为等腰直角三角形， 而， ，， 在和中， ， ， ，， ， 为等腰直角三角形， ， ， 而（当且仅当、、共线时取等号）， 的最小值为的长， 过点作于， 在中，，， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短、勾股定理等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键． 【题型2 点圆最值】 11．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，中，，，．是上一动点，连接，过作于，取中点，连接，若的延长线交于，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理，以为直径作，连接，作于点，求出，，，结合，得出当最小时，最小，再结合，得出取最小值时，最小．由题意得，与相切时，最小．结合切线长定理与勾股定理，求出的长即可得解． 【详解】解：以为直径作，连接，作于点， ， ∵在中，，，，为的中点，为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴，， ∵， ∴当最小时，最小， ， 取最小值时，最小． 由题意得，与相切时，最小．此时，则． ∵与相切，与相切， ∴， ∴在中，，即， 解得， ． 故选B． 12．（2024·安徽宿州·二模）如图，在矩形中，，，点E是右侧一点且，点G是上一点，点F是的中点，若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，矩形的性质，勾股定理．先判断点在以为直径的上，得到当在同一直线上时，有最大值，即的最大值为，据此求解即可． 【详解】解：∵，点F是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴点在以为直径的上，如图， ∴当在同一直线上时，有最大值，即的最大值为， ∵在矩形中，，， ∴，， ∴，， ∴的最大值为， 故选：A． 13．（2024·安徽马鞍山·一模）如图，在中，，点D是斜边上的动点，将沿直线翻折得到，连接，则周长的最小值为（    ） A． B． C．9 D． 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理，直角三角形30度角的性质，熟练掌握各性质是解题的关键： 利用直角三角形30度角的性质及勾股定理求出，根据折叠的性质得到，推出的周长，当最短时，的周长最小，以点C为圆心，长为半径作圆，则点C，E，B三点共线时，最短，由此得到答案． 【详解】∵在中，， ∴，， 由翻折得：， 的周长， 则当最短时，的周长最小， 以点C为圆心，长为半径作圆，则点C，E，B三点共线时，最短， ∴， ∴的周长， 故选：B． 14．（2021·福建龙岩·模拟预测）四边形ABCD中，△ACD是边长为10的等边三角形，△ABC是以AC为斜边的直角三角形，则对角线BD最大值是　　 A．10 B． C． D． 【答案】C 【分析】由△ABC是以AC为斜边的直角三角形可知点B在以AC为直径的圆上，然后结合点到圆上点的距离求出对角线的BD长度． 【详解】解：∵△ABC是以AC为斜边的直角三角形， ∴点B在以AC为直径的圆上， 如图，在⊙O中，连接OD并延长，交⊙O于点E和点B， ∴当点B在图中B点时，对角线BD最长， ∵等边△ACD的边长为10， ∴AC=BE=10，OB=OE=OA=OC=5，OD⊥AC， ∴∠COD=90°， ∴OD= ， ∴BD=OD+OB=5+5， ∴对角线BD最大值为5+5， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理、等边三角的性质、点到圆上任意点的距离，发现点B在以AC为直径的圆上是本题的突破点． 15．（2024·安徽·三模）如图，矩形中，，，P为边上一点（不与A、D重合），连接，过C点作，垂足为点E，点F为的中点，则的最小值是（   ）    A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】取中点O，再取中点G，点E的轨迹是以O为圆心，半径为2的圆弧，连接，可知，所以点F的轨迹是以G为圆心，以1为半径的圆弧，当点D、F、G共线时，值最小，再进一步可得答案． 【详解】解：∵矩形， ∴，， 如图，取中点O，再取中点G，连接，， ∴，，    ∵，， ∴点E的轨迹是以O为圆心，半径为2的圆弧， ∵点F为的中点， ∴， ∴点F的轨迹是以G为圆心，以1为半径的圆弧， 当点D、F、G共线时，值最小， 连接， ∴， ∴最小为， 故选：D． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，圆周角定理的应用，圆的确定，三角形的中位线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 16．（2024·安徽淮北·三模）如图，线段，点为的中点，动点到点的距离是1，连接，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段长度的最大值是（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】以为斜边向上作等腰直角，连接，．利用相似三角形的性质证明，推出点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，根据，可得结论． 【详解】解：以为斜边向上作等腰直角，连接，． ， ， 是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， ∴ ，同理， ，， ， ， ， ， 点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆， ， ， 故线段长度的最大值为． 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是旋转的性质、相似三角形的性质和判定，解直角三角形，点与圆的位置关系，三角形三边关系，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 17．（2024·安徽滁州·三模）如图，中，，，O 为的中点，P为 上动点，连接并延长至点D，使得，则 的最小值为（       ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、垂线段最短和四点共圆，过点D作交于点E，证得，有，即可知取最大值时满足条件，由题意可知，有点D、A、B和C四点共圆，当时，最小，则最大，则，有，求得即可． 【详解】解∶过点D作交于点E，如图， 则， ∵， ∴， ∴， ∵为定值， ∴取最大值时，的值最小， ∵O 为的中点，，， ∴， ∵， ∴点D、A、B和C四点以点O为圆心，为半径的圆上， 则点D在运动， 当时，最小，则最大，如图， 即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， 故选：C． 18．（2024·安徽·模拟预测）如图，边长为7的正方形中，点E、G分别在射线、上，在边上，与交于点，，，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查正方形的基本性质，和全等直角三角形的判定．本题关键搞清的运动轨迹，有，，可知，所以到的中点的距离始终相等，在根据三角形三边的关系可得的范围，从而确定它的最小值． 【详解】解：取的中点，作垂直于点， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是边长为7的正方形， ∴， ，，， ， ， 又，， ， ， ， 所以在以为圆心，2为半径的圆弧上运动， ∴在中，由勾股定理可得， ， 当落在上时，取到等号， 即达到最小，最小值为； 故答案为：． 19．（2024·新疆乌鲁木齐·一模）如图，正方形的边长为4，点E是正方形对角线所在直线上的一个动点，连接AE．以为斜边作等腰（点A，E，F按逆时针排序），则长的最小值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查正方形的性质，斜边上的中线，圆周角定理，连接交于点Q，连接并延长交于点P， 取的中点O，以点O为圆心，以长为半径作圆，连接，证明A、E、F、Q四点都在上，圆周角定理得到，进而得到，根据，即可得出结果． 【详解】解：连接交于点Q，连接并延长交于点P， ∵四边形是边长为4的正方形，且点Q是正方形的中心， ∴， ∴， ∴是以为斜边的等腰直角三角形， ∴， ∴， 取的中点O，以点O为圆心，以长为半径作圆，连接， ∵， ∴A、E、F、Q四点都在上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为2， 故答案为：2． 20．（2024·浙江金华·二模）如图，在正方形中，，，以点为直角顶点作等腰直角三角形（为顺时针排列），连接，则的长为 ，的最大值为 ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了一点到圆上一点的最值问题，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质，正方形的性质等等，正确作出辅助线构造相似三角形从而确定点的运动轨迹是解题的关键． 如图所示，连接，先证明，，进而证明得到，则点在以点为圆心，为半径的圆上运动，故当三等共线，最大，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在以点为圆心， 为半径的圆上运动， ∴当三等共线时，最大， ∴的最大值为； 故答案为：， ． 【题型3 垂线段最短】 21．（22-23九年级上·山东济宁·期末）如图，中，，，于点E，D是线段上的一个动点，则的最小值是（      ）    A． B． C． D．10 【答案】B 【分析】如图，作于，于．由，设，，利用勾股定理构建方程求出，再证明，推出，由垂线段最短即可解决问题． 【详解】解：如图，作于，于．   ， ， ， 设，， 则有：， ， 解得（舍去）， ∴， ，，，则 ∴， ，， ， ， ， 当C、D、H三点共线时，， 的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 22．（2024·安徽合肥·二模）如图，和都是等腰三角形，且，，是的中点，若点在直线上运动，连接，则在点运动过程中，的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】设的中点为，连接，过点作于，证和全等得，因此当为最小时，为最小，根据“垂线段最短”得，故点与点重合时，为最小，最小值为的长，然后在中求出的长即可． 【详解】解：设的中点为，连接，过点作于，如下图所示： 和都是等腰三角形，且， ，，， ， 点是的中点，点是的中点，， ， 在和中， ， ， ， 当为最小时，为最小， 点为的中点，，点在直线上运动， 根据“垂线段最短”得：， 当点与点重合时，为最小，最小值为的长， 在中，，， ， 在中，，， ， 的最小值为， 即的最小值为 故选：D． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，理解垂线段最短是解决问题的关键，难点是正确地作出辅助线构造全等三角形和直角三角形． 23．（2024·安徽合肥·二模）如图，在中，，，，，分别是边上的动点，则的最小值是(   ) A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查轴对称，垂线段最短，解直角三角形，延长到，使，连接，过点作于点，推出的最小值是，再求出的长即可． 【详解】解：延长到，使，连接，过点作于点，如图， ， 点与点关于轴对称， ， ， 的最小值是， ，， ， 在中， 故选：B． 24．（2024·安徽阜阳·二模）如图，为等边三角形，D，E分别是边上的点，且满足，M是边上的一动点，以M，D，E为顶点，为对角线构造．若，则的最小值为（      ） A． B． C．6 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质和勾股定理．作交于点，证明四边形是平行四边形，推出，得到，点在直线上，当时，即有最小值，据此计算即可求解． 【详解】解：作交于点，连接， ∵为等边三角形， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在直线上， 当时，即有最小值，根据平行线间的距离相等知的最小值就是等边三角形的高， 作于点， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：A． 25．（2024·安徽马鞍山·二模）如图，点在等腰内，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作，使，连接，，根据勾股定理可得，根据等腰三角形的性质及得到，，，则，；证明，根据全等三角形的性质可得，则，过点作于点，由垂线段最短可得（当点与点重合时取等号），则有，即可得出结论． 【详解】解：过点作，使，连接，， ，， 点在等腰内，且， ，，， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 过点作于点， （当点与点重合时取等号）， ， ， ， 的最小值为． 故选：D． 26．（2024·安徽·三模）如图，在中，，，，于点，点在上，且，点是线段上的动点，连接，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是含30度角的直角三角形性质，解直角三角形，垂线段最短的性质及轴对称的性质，先证出点，关于对称，作于，交于，根据垂线段最短求出即可． 【详解】解：，， ， ， ，， ， ，关于对称， 作于，交于， ， ，， 的最小值， 又， 的最小值为． 故选D． 27．（2024·安徽合肥·一模）如图，，点在线段上运动，为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是（    ）    A．3 B．4 C．5 D．不存在 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，垂线段最短，直角三角形斜边中线的性质等知识，先证明，再证明，推出，求出的最小值，可得结论．解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 【详解】解：∵， ∴，， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的值最小时，的值最小，此时的值最小， ∵，， ∴， 根据垂线段最短可知，当时，此时， ∴， ∴的最小值为， 故选：B． 28．（2024·安徽池州·一模）如图，在等边三角形中，为边上的高，是直线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．若，则在点的运动过程中，线段的长的最小值是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，因为是直线上的一个动点，所以将线段绕点逆时针旋转得到线段，在点M运动过程中，点N在线段上运动，再根据垂线段最短可得当时，最短，再证明，即可由等边三角形与直角三角形的性质求解． 【详解】解：如图，当点M在点D处时，线段绕点逆时针旋转得到线段，当点M在点C处时，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接， ∵是直线上的一个动点， ∴将线段绕点逆时针旋转得到线段，在点M运动过程中，点N在线段上运动， 根据垂线段最短可得，当时，最短， 由旋转可知：，， 连接， ∴是等边三角形， ∴，， ∵等边三角形中，为边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，垂线段最短的性质，点N在线段上运动是解题的关键，也是本题的难点． 29．（2024·安徽淮北·模拟预测）如图，在中，，，，为的角平分线，点为上一动点，点为的中点，连接，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】当点与点重合时，点在点处，此时，当点与点重合时，点在点处，此时，由三角形中位线定理得出点在上运动，当时，的值最小，由等边对等角结合三角形内角和定理得出，求出得出的最小值为，求出的长即可得解． 【详解】解：如图所示： 当点与点重合时，点在点处，此时， 当点与点重合时，点在点处，此时， 为的中位线， ，且， 点为的中点， 为的中位线， ，， 点在上运动，当时，的值最小， 在中，，，， ，， ，， ， 为的角平分线， ， ， ，即， 的最小值为， ， ， ，， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂线段最短，三角形中位线定理，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，解直角三角形的应用，正确运用相关知识点是解题关键． 30．（2023·安徽合肥·一模）如图，在中，，，，点为边上任意一点，连接，以，为邻边作，连接，则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用勾股定理得到边的长度，根据平行四边形的性质，得知最短即为最短，利用垂线段最短得到点的位置，再证明利用对应线段的比得到的长度，继而得到的长度． 【详解】解：， ， 四边形是平行四边形， ＝，＝， 最短也就是最短， 过作的垂线， ， ， ， ， 则的最小值为， 故选：C． 【点睛】考查线段的最小值问题，结合了平行四边形性质和相似三角形求线段长度，本题的关键是利用垂线段最短求解． 【题型4 利用二次函数解决最值问题】 31．（2024·江苏盐城·三模）中，，，则的最小值等于（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，含角的直角三角形的性质，二次函数的应用，解题的关键是灵活运用这些知识．过点作，交的延长线于点，根据题意可得，设，则，，由可得，进而得到，在中，根据勾股定理和二次函数的性质即可求解． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，   ， ， 在中，设，则， ， 又， ， ， 在中，， 即， 当时，最小，此时， 的最小值为， 故选：C． 32．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，平面直角坐标系中，已知，，为轴正半轴上一个动点，将线段绕点逆时针旋转，点的对应点为，则线段的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设P（0，m），则OP＝m，通过证得△AOP≌△PMQ求得Q的坐标，然后根据勾股定理得到BQ＝，即可求得当m＝1时，BQ有最小值． 【详解】解：∵A（2，0）， ∴OA＝2， 设P（0，m），则OP＝m， 作QM⊥y轴于M， ∵∠APQ＝90°， ∴∠OAP＋∠APO＝∠APO＋∠QPM， ∴∠OAP＝∠QPM， ∵∠AOP＝∠PMQ＝90°，PA＝PQ， ∴△AOP≌△PMQ（AAS）， ∴MQ＝OP＝m，PM＝OA＝2， ∴Q（m，m＋2）， ∵B（4，0）， ∴BQ＝＝， ∴当m＝1时，BQ有最小值， 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标与图形变换−旋转，三角形全等的判定和性质，勾股定理的应用以及二次函数的性质，表示出Q的坐标是解题的关键． 33．（2024·安徽宣城·模拟预测）如图，在中，，为边上的一点，当时，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，连接，．若，则的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在上截取，连接，过B作交延长线于H，由旋转性质和等边三角形的判定与性质证明是等边三角形得到，，进而证明得到，则有，设，利用直角三角形的性质得到则，进而得到，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：在上截取，连接，过B作交延长线于H，则， 由旋转性质得，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，设，则，， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，最大，最大值为， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质，旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角的判定与性质、直角三角形的性质、三角形的外角性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质和二次函数的性质，添加合适的辅助线构造全等三角形，利用二次函数性质求解几何最值问题是解答的关键． 34．（2024·安徽淮南·三模）如图，在矩形中，点是的中点，点是边上的动点，连接并延长交的延长线于点点在五边形中，连接若则四边形面积的最大值为（    ） A． B． C．41 D．42 【答案】B 【分析】先证明，再证明四边形为正方形和四边形为矩形，利用已知条件从而可推出的长度，最后利用面积法列二次函数从而求出的最大面积，即可求出四边形面积的最大值． 【详解】解：过点H作于点，过点作于点，过点作于点，连接和，如图所示， ∵为的中点， ∴ 在和中， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ∴四边形是矩形， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∵ ∴ ∵四边形为矩形， ∴四边形为正方形， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴四边形是矩形， ∴ ∴ 设 ∴， ∴， ∵ ∴当时，的面积最大，最大值为， 所以，四边形面积的最大值为 故选：B 【点睛】本题考查的有矩形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及二次函数的性质等知识，解题的关键在于寻找正确的三角形全等证明线段之间的数量关系以及学会利用参数构建二次函数解决最值问题． 35．（2024·安徽六安·三模）如图，中，，，，延长到点，使，过点作，交的延长线于点，点是上一点，过点作，交于点，连接，点在上，，连接，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】解直角三角形得出，求出，以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则，，，待定系数法求出直线的解析式为，结合得出直线的解析式为：，设点的坐标为，点的坐标为，作轴于，轴于，则，，，证明，得出，由勾股定理得出，即可得解． 【详解】解：中，，，， ， ， ， ， 以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系如图所示， ， 则，，， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得：， 解得：， 直线的解析式为， ， 设直线的解析式为：， 将代入解析式得：， 直线的解析式为：， 设点的坐标为， ，交于点， 点的坐标为， 作轴于，轴于，则，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 的最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查了解直角三角形、相似三角形的判定与性质、坐标与图形、一次函数的应用、勾股定理等知识点，正确表示出点的坐标是解此题的关键． 36．（2024·安徽淮南·模拟预测）如图，E是线段上一点，在线段的同侧分别以为斜边作等腰和等腰，，分别是，的中点．若，则下列结论错误的是（    ）． A．的最小值为 B．四边形面积的最小值为 C．周长的最小值为 D．的最小值为3 【答案】B 【分析】A、如图，延长交于点P，过点F作直线，可证四边形是矩形，直线是的中位线，且点在直线上运动，作点A关于直线的对称点，连接，由“将军饮马”模型可求； B、设，，进而即可判断． C、由四边形是矩形，结合的最小值为3，可求周长的最小值； D、连接，当时，即点与点重合时，最小．是等腰直角三角形，，故本选项不符合题意； 【详解】解：A、如图，延长交于点P，过点F作直线． 和分别是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， 四边形是矩形． 是的中点， 是的中点． 直线， 直线是的中位线，且点在直线上运动．作点A关于直线的对称点，连接，则．当，，三点共线时，最小． ，， ． 在中，，故本选项不符合题意； B、设，则． ， ．当时，有最大值，最大值为， ∵， ∴四边形面积的最小值为，故本选项符合题意． C、四边形是矩形， ， 的周长为． 的最小值为3，， 的周长的最小值为，故本选项不符合题意； D、连接，当时，即点与点重合时，最小．是等腰直角三角形， ，故本选项不符合题意； 【点睛】本题考查轴对称最短路径问题，涉及等边三角形的性质及应用，三角形面积等知识，解题的关键是求出的运动轨迹是直线． 37．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在正方形中，点在边上（不与点，重合），连接，交于点，若点在线段上，且，连接，，记四边形的面积为，的面积为． （1）若，则 ； （2）若，则的最大值 ． 【答案】 【分析】（1）如图，点在线段上，且，连接，，延长交的延长线于，在正方形中，设， 证明，可得，证明，可得，从而可得答案； （2）由，可得，，证明，可得，，可得，证明，可得，四边形的面积，再建立二次函数解析式即可得到答案． 【详解】解：（1）如图，点在线段上，且，连接，， 延长交的延长线于， 在正方形中，设，，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为： （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形的面积 ∴， ∴当时，的最大值为． 故答案为： 【点睛】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质等知识，利用二次函数的性质解决问题是本题的关键． 38．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在矩形中，，，点E是边上的一动点，连接，并以为直角边做等腰直角三角形，其中． （1）当点F正好在边上时， ； （2）点E在边上运动时，的最小值等于 ． 【答案】 3 / 【分析】（1）当点F正好在边上时，如图，根据四边形是矩形，得出，证明，得出，根据即可求解； （2）点E在边上运动时，如图，过点F作交于点H，证明，得出，设，得出，在中，根据勾股定理即可得出，当 时，最小，最小值为，故的最小值为； 【详解】解：（1）当点F正好在边上时，如图， ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）点E在边上运动时，如图，过点F作交于点H， ， ， ， ， ， ， 设， ， 在中，， 当 时，最小，最小值为，故的最小值为； 故答案为：3，． 【点睛】该题主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 39．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，，若点D、E分别是、边上的两个动点，连接、，且，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】作交于，根据等腰三角形的性质可得，，进而可知，可知，进而可证，得，设，，，则，，由比例可得，即可求得的最小值． 【详解】解：作交于， ∵，， ∴，， 则， ∵， ∴，    由三角形外角可知，， ∴， ∴， ∴， 设，，，则，， ∴，整理得：，即：， ∵， ∴， 即：的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角函数，相似三角形，二次函数等知识，根据，得，再证是解决问题的关键． 40．（2024·安徽·一模）如图，一次函数与反比例函数的图像相交于A，B两点，其交点的横坐标分别为4，8． （1）k的值是 ； （2）将点A沿x轴正方向平移个单位长度得到点C，连接并延长交x轴正半轴于点D，则的最大值是 ． 【答案】 32 36 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质、全等三角形的判定与性质、运用二次函数的性质求最值等知识点，灵活应用相关知识成为解题的关键． （1）由题意可得、，然后代入得到二元一次方程组求解即可； （2）如图：作轴于点F，交于点E，则，；根据题意可得，，进而得到，然后再证明可得、，最后代入中化成顶点式求最值即可解答． 【详解】解：（1）点A，B在反比例函数的图像上， ，； 点A，B在一次函数的图像上， ，，解得． 故答案为32． （2）如图：作轴于点F，交于点E，则，， ∵， ∴，， ， ， ∵将点A沿x轴正方向平移个单位长度得到点C， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ， ， ，当时，取最大值，最大值是36． 故答案为：36． / 学科网（北京）股份有限公司 $$