专题01 几何求解（3种题型60道）-2025年中考数学复习高频考题专项训练（安徽专用）

专题01 几何求解（3种题型60道） 目录 【题型1求角度】 1 【题型2 求长度】 7 【题型3 求面积】 13 【题型1求角度】 1．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）如图，是以O为圆心的半圆的直径，A是延长线上一点，过A点的直线交半圆于B，E两点，B在A，E之间，若，，则的大小为（   ）    A． B． C． D． 2．（2024·安徽安庆·一模）如图，现有两把一样的直尺，将一把直尺的边与射线重合，另一把直尺的边与射线重合，两把直尺的另一边在的内部交于点，作射线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·安徽·模拟预测）如图，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·北京东城·期末）如图，是的切线，是切点，点为上一点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（2024·安徽·模拟预测）如图，将绕点C顺时针旋转得到，且点A，D，E在同一条直线上，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 6．（2024·安徽·模拟预测）为的外接圆，，为的直径，若，则为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·安徽合肥·一模）如图，在平行四边形中，，，若，则（   ） A． B． C． D． 8．（2024·安徽合肥·二模）如图，正五边形的外接圆为，点是劣弧上一点，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·安徽亳州·模拟预测）在中，若，则 ． 10．（2024·安徽·二模）如图，是的直径，弦垂直平分，点在上，连接，，则 ． 11．（2024·安徽·二模）如图，内接于，，的平分线交于点D，连接，，则 ． 12．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）正方形中，E，F分别是的中点，则 13．（2024·安徽合肥·三模）如图，是的直径，是的弦，连接，若，则的度数为 ． 14．（2024·安徽合肥·三模）如图，在矩形纸片中，点在上，将矩形沿着折叠，使得点的对应点落在边上的点处，连接，为的中点，连接交、于点、两点． （1）若，则的度数为 ． （2）若，则值为 ． 15．（2024·安徽淮北·二模）如图，是正五边形和正六边形的外接圆，连接和，则的度数为 ． 16．（2024·安徽安庆·二模）如图，是的高，，，，E是边上一点，且，连接，求． 17．（21-22九年级上·江苏南京·阶段练习）在中，为直径，为上一点．    (1)如图①，过点作的切线，与的延长线相交于点，若，求的大小； (2)如图②，为上一点，且经过的中点，连接并延长，与的延长线相交于点，若，求的大小． 18．（2024·安徽·三模）如图，在中， 是直径， 于 H，弦 交 于点F，连 接交 于点G．且．    (1)求证：； (2)若点E 为的中点，求的度数． 19．（2024·安徽池州·三模）已知，是的直径，点C是半圆的中点，点D在上，且点D与点C在的两侧，直线是的切线，点D是切点．    如图1，若，求的度数； 【题型2 求长度】 20．（2024·安徽安庆·二模）如图，在长方形中，，在上存在一点E，沿直线把折叠，使点D恰好落在边上，设此点为F，若的面积为24，则的长度为（   ） A．3.5 B． C．2 D．3 21．（2025·安徽·模拟预测）如图，是的中线，是的中线，延长交于点．已知，则的长为（    ）    A．6 B．8 C．10 D．12 22．（22-23九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）已知：中，，为边上一点，，，于，延长线交于，则的长为（    ） A． B． C． D． 23．（2024·安徽合肥·一模）如图，为的直径，弦，垂足为点E，连接，若的半径为4，，则（   ） A． B． C． D． 24．（2024·安徽宿州·一模）如图，是等边三角形，点D是下方的一点，，点E和点F分别是和上一点，．若的周长为12，则的周长为（　　） A．5 B．6 C．8 D．9 25．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在菱形中，，点M和N分别是和上一点，沿将折叠，点A恰好落在边的中点E上．若，则的长为（    ）    A． B． C．3 D． 26．（2024·安徽·模拟预测）如图所示，在矩形中，，平分，分别交、于点、，，则（    ） A． B．4 C． D． 27．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形中，，点分别在线段和线段的延长线上．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 28．（2024·安徽阜阳·二模）如图，是等腰三角形，，点D、G分别是的中点，在取一点E使，过点E作，且，连接．若，，则线段的长为（   ）      A．1 B． C． D． 29．（2024·安徽池州·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，，垂足为点E，F为上一点，连接交于点G，若，则的长是 ． 30．（2022·黑龙江鸡西·一模）如图，是的弦，半径于点C，为直径，，，则线段的长为 ． 31．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在平行四边形中，平分交边于点为上一点，延长至点，使得，连接． （1） ； （2）若，则 ． 32．（2024·安徽淮北·三模）如图，在中，，，点为外一点，．连接，，交于点，且，则的长为 ． 33．（2024·黑龙江鸡西·二模）如图，在矩形ABCD中，是BC的中点，连接是边上一个动点，沿过点的直线将矩形折叠，使点落在上的点处，当是直角三角形时，的值为 ． 34．（2024·安徽淮北·一模）在矩形纸片中，对角线和交于点O，将矩形纸片折叠使点D落在上的点F处，折痕交于点G． （1）若，，则的长为 ． （2）若，则的值为 ． 35．（2024·安徽宿州·二模）已知，是等边三角形，点D，E分别是，上的点，将沿着折叠得到，点F落在边上．               图1                       图2 （1）如图1，当时， °； （2）如图2，当，时，的长为 ． 36．（2024·安徽六安·模拟预测）点是正方形的对角线上一点，过点作交于点，的延长线交于点，交于点． (1)如图1，证明：； (2)如图2，若，，求CF的长． 37．（2024·安徽合肥·三模）如图，是边长为3的等边三角形，D是的中点，E，F分别在，上，连接，，两线交于点G，连接，，，． (1)求的长； (2)求证：； (3)求的长． 38．（2024·安徽合肥·三模）如图1，C为线段上一点，分别以，为底，在的同侧作等腰和等腰且．在线段上取一点F，使得，连接，． (1)求证：； (2)如图2，延长交于点G，若G是的中点，且，求的长． 39．（2024·安徽六安·一模）如图，已知等腰和等腰有公共的顶点， 且，，，点恰好落在边上（与不重合），连接． (1)求证：； (2)若与相交于点，求证：； (3)若，，且，求的长． 40．（2024·安徽蚌埠·三模）如图，在正方形中，为边的中点，为对角线上的一点，连接交于点．连接，，．    (1)求证：． (2)若，求证：． (3)若，，求的长． 【题型3 求面积】 41．（2024·安徽池州·模拟预测）如图，在矩形中，是对角线，，垂足为点E，连接，已知，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 42．（2024·安徽安庆·三模）已知反比例与的图像如图所示，为x轴正半轴上一动点，过点作轴，分别交反比例函数与的图像于点，，点，（点在点的上方）在轴上，且，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 43．（2022·重庆·一模）如图，矩形中，，以O 为圆心，为半径作弧，且，则阴影部分的面积为（     ）    A． B． C． D． 44．（2024·安徽马鞍山·二模）已知是边长为4的等边三角形，点D为高上的一个动点，连接，将绕点A顺时针旋转得到，连接和，则下列说法错误的是（    ） A．的面积为 B．的最小值为1 C．周长的最小值为 D．为直角三角形时，的面积为 45．（2020·贵州毕节·中考真题）如图，已知点，是以为直径的半圆的三等分点，的长为，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 46．（2024·安徽合肥·一模）一个几何体的三视图如图所示，根据图中的相关数据求得该几何体的侧面积为（    ） A． B． C． D． 47．（2024·安徽阜阳·一模）如图，在中，点D，E，F分别在，，上，连接，，且，，，若四边形的面积为16，则的面积为（    ）    A．2 B． C．4 D． 48．（2023·江苏苏州·一模）如图，在中，，，点D在的延长线上，，则的面积为（    ） A． B． C．7 D． 49．（2023·浙江嘉兴·中考真题）如图，点是的重心，点是边的中点，交于点，交于点，若四边形的面积为6，则的面积为（　　）    A．12 B．14 C．18 D．24 50．（2022·四川资阳·中考真题）如图．将扇形翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与交于点C，连接．若，则图中阴影部分的面积是(   ) A． B． C． D． 51．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图，在正方形中，点在对角线上，连接，于点，交于点，连接，已知，，则的面积为（    ） A．4 B．5 C．10 D． 52．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）如图，D，E，F分别为三边上一点，且交于点G，若，则（   ） A．50 B．54 C．60 D．63 53．（2024·安徽合肥·三模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，矩形的顶点，反比例函数的图象经过对角线的中点，分别交边，于，，则的面积为 ． 54．（2024·安徽宿州·二模）如图，在四边形中，，对角线，相交于点．若，，．    （1） ； （2）的长为 ． 55．（2024·安徽·三模）如图，点是斜边的中点，沿着将对折叠得到，再将与叠合，折痕交于点． （1）若，则的度数为 ； （2）若，，则的面积为 ． 56．（2022·安徽安庆·一模）如图，在中，，、，点是内部的一个动点，连接，且满足． （1） ； （2）当线段最短时，的面积为 ． 57．（23-24九年级上·重庆巴南·期末）如图，为半圆的直径，点为半圆上的一点，，垂足为点，延长与半圆交于点．若，，则图中阴影部分的面积为 ． 58．（2024·安徽马鞍山·一模）已知为等边三角形且点D是边上一点，E为的中点，连接，过E点作交于F． （1）当D为中点时，的面积为 ； （2）若为等腰直角三角形，则 ． 59．（2024·河南·一模）如图，在扇形中，，点C，D分别在，上，连接，，点D，O关于直线对称，的长为，则图中阴影部分的面积为 ． 60．（2023·四川南充·模拟预测）如图，和都是以为直角顶点的等腰直角三角形，    (1)如图1，连接，，试判断与的数量关系和位置关系，并说明理由； (2)如图2，连接，，若点恰好在上，且为的中点，，求的面积； / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 几何求解（3种题型60道） 目录 【题型1求角度】 1 【题型2 求长度】 18 【题型3 求面积】 49 【题型1求角度】 1．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）如图，是以O为圆心的半圆的直径，A是延长线上一点，过A点的直线交半圆于B，E两点，B在A，E之间，若，，则的大小为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边对等角、三角形的外角的性质等知识点，连接，可推出，，根据，得，进而得，即可求解； 【详解】解：连接，如图所示：    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B 2．（2024·安徽安庆·一模）如图，现有两把一样的直尺，将一把直尺的边与射线重合，另一把直尺的边与射线重合，两把直尺的另一边在的内部交于点，作射线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的判定与性质．根据题意得到是的角平分线，由角平分线定义求解即可得到的度数． 【详解】解：过点作、，如图所示： 两把一样的直尺， ， 由角平分线的判定定理可得是的角平分线， ， ， 故选：D． 3．（2024·安徽·模拟预测）如图，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，邻补角互补，由得，根据平行线的性质得，通过邻补角互补即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选：． 4．（23-24九年级上·北京东城·期末）如图，是的切线，是切点，点为上一点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆中求角度，涉及切线性质、圆周角定理及四边形内角和为等知识，连接，如图所示，由切线性质得到，再由圆周角定理得到，最后由四边形内角和为计算即可得到答案，熟记切线性质、圆周角定理及四边形内角和是解决问题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： 是的切线， ， ， ， ， 在四边形中，，，则由四边形内角和为可得， 故选：D． 5．（2024·安徽·模拟预测）如图，将绕点C顺时针旋转得到，且点A，D，E在同一条直线上，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形的外角定理，解题的关键是掌握旋转前后对应边相等，对应边的夹角等于旋转角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和． 根据旋转得出，则，根据三角形的外交定理，即可解答． 【详解】解：∵绕点C顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6．（2024·安徽·模拟预测）为的外接圆，，为的直径，若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，圆周角定理，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用同弧所对的圆周角相等可得，再利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形内角和定理可得，最后利用同弧所对的圆周角相等可得，即可解答． 【详解】为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 7．（2024·安徽合肥·一模）如图，在平行四边形中，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，由四边形是平行四边形，得，，从而有，根据等边对等角得，最后由平行线的性质和三角形外角的性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 8．（2024·安徽合肥·二模）如图，正五边形的外接圆为，点是劣弧上一点，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正五边形的性质，圆内接四边形的性质，三角形内角和定理，根据正五边形的性质求出，再根据圆内接四边形的性质求出，最后根据三角形内角和定理即可求解，掌握正五边形和圆内接四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴， 故选：． 9．（2024·安徽亳州·模拟预测）在中，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值非负性，特殊角的三角函数，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握特殊角的三角函数是解题的关键． 由绝对值的非负性及完全平方式的非负性可得，，进而可得，，由特殊角的三角函数可得，，由三角形的内角和定理可得，由此即可求出的度数． 【详解】解：， ，， ，， ，， ， 故答案为：． 10．（2024·安徽·二模）如图，是的直径，弦垂直平分，点在上，连接，，则 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的性质，圆周角定理．连接，根据垂直平分线的性质可得，由等边三角形的性质可得，再根据圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 是的直径，弦垂直平分， ， 是等边三角形，则， ， ， 故答案为：． 11．（2024·安徽·二模）如图，内接于，，的平分线交于点D，连接，，则 ． 【答案】/56度 【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，连接，则：得到，圆周角定理结合得到，再利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：连接，则：， ∴， ∵的平分线交于点D， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 12．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）正方形中，E，F分别是的中点，则 【答案】/0.6 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，解直角三角形，正确构造直角三角形是解题的关键． 连接，过点于点G，设正方形的边长为，由勾股定理得，，设，则，则由勾股定理得，那么，解得：，再由勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：连接，过点于点G， 设正方形的边长为， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵E，F分别是的中点， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 设，则， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（2024·安徽合肥·三模）如图，是的直径，是的弦，连接，若，则的度数为 ． 【答案】/25度 【分析】本题主要考查了同弧或等弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角为直角等知识，正确作出辅助线是解题关键．连接，根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”可得，再根据“直径所对的圆周角为直角”可得，然后由求解即可． 【详解】解：如下图，连接， ∵，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴． 故答案为：． 14．（2024·安徽合肥·三模）如图，在矩形纸片中，点在上，将矩形沿着折叠，使得点的对应点落在边上的点处，连接，为的中点，连接交、于点、两点． （1）若，则的度数为 ． （2）若，则值为 ． 【答案】 /30度 / 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，解直角三角形，平行线的性质，等腰三角形的性质与判定等知识： （1）由折叠得根据可得结论； （2）设分别表示出证明，得出根据得出进而即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴ 由折叠得 ∴在中， ∴， 故答案为：； （2）设　 ∴ ∴ ∵G是的中点， ∴， 如图， ∵ ∴ ∵ ∴ 又 ∴ ∴， 由折叠得， ∴， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， 故答案为：． 15．（2024·安徽淮北·二模）如图，是正五边形和正六边形的外接圆，连接和，则的度数为 ． 【答案】/24度 【分析】本题考查正多边形与圆，连接，根据正多边形的性质可得：，进而得到，，再根据即可求解． 【详解】解：连接， 根据题意得：， ， ， ， 故答案为：． 16．（2024·安徽安庆·二模）如图，是的高，，，，E是边上一点，且，连接，求． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理、勾股定理逆定理，作于，解直角三角形得出，由勾股定理可得，，证明为直角三角形，且，结合题意可得，，再由勾股定理可得，解直角三角形得出，，从而可得，最后由余弦的定义计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：如图：作于， ， ∵是的高， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴为直角三角形，且， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 17．（21-22九年级上·江苏南京·阶段练习）在中，为直径，为上一点．    (1)如图①，过点作的切线，与的延长线相交于点，若，求的大小； (2)如图②，为上一点，且经过的中点，连接并延长，与的延长线相交于点，若，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，首先根据切线的性质得到，根据同圆中，等弧所对的圆周角是圆心角的一半得出，然后根据直角三角形两锐角互余即可求解； （2）根据垂径定理可得，根据直角三角形两锐角互余求得，根据同圆中，等弧所对的圆周角是圆心角的一半得出，根据三角形的外角的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接，    ∵与相切于点， ∴，即， ∵， ∴， 在中，， ∴． （2）解：∵为的中点， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，垂径定理，三角形的外角性质等．解题的关键是能够利用圆的切线垂直于经过切点的半径得到直角三角形． 18．（2024·安徽·三模）如图，在中， 是直径， 于 H，弦 交 于点F，连 接交 于点G．且．    (1)求证：； (2)若点E 为的中点，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】该题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质和判定，三角形内角和定理等知识点，解题的关键是理解题意． （1）根据，，证明，即可证出； （2）设， 连接，根据 点E 为 的中点， 得出，．再结合，得出，根据三角形内角和定理列方程即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：设， 连接，    ∵ 点E 为 的中点， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， 即， 解得． ∴． 19．（2024·安徽池州·三模）已知，是的直径，点C是半圆的中点，点D在上，且点D与点C在的两侧，直线是的切线，点D是切点．    如图1，若，求的度数； 【答案】 【分析】先得出，根据C为半圆的中点，得出，再结合三角形外角性质，列式计算，即可作答． 【详解】解：如图1．连接，并延长交于点M．    ∵是的切线，点D是切点， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵C为半圆的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵． ∴． 【题型2 求长度】 20．（2024·安徽安庆·二模）如图，在长方形中，，在上存在一点E，沿直线把折叠，使点D恰好落在边上，设此点为F，若的面积为24，则的长度为（   ） A．3.5 B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理，由矩形的性质可得，，，求出，再由勾股定理结合折叠的性质可得，，设，则，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：∵在长方形中，， ∴，，， ∵的面积为24， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：，即， 解得：， ∴， 故选：B． 21．（2025·安徽·模拟预测）如图，是的中线，是的中线，延长交于点．已知，则的长为（    ）    A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识，构造三角形全等，相似三角形判定和性质的运用是解题的关键． 如图所示，过点作，可证，得到，再证，得到，根据中点的定义可得，，由即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作，交于点G，    ∴， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故选：A ． 22．（22-23九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）已知：中，，为边上一点，，，于，延长线交于，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点A作AM⊥BD于点M，过点E作EF⊥BC于点F，由等腰三角形的性质得出∠BAM＝∠DAM，BM＝DM，证出AB＝BE，证明△ABM≌△BEF（AAS），由全等三角形的性质得出EF＝BM＝1，则可得出答案． 【详解】解：过点A作AM⊥BD于点M，过点E作EF⊥BC于点F， ∵AB＝AD，AM⊥BC， ∴∠BAM＝∠DAM，BM＝DM， ∵BH⊥AD， ∴∠HBD＋∠HDB＝90°， 又∵∠HDB＋∠MAD＝90°， ∴∠HBD＝∠MAD， ∴∠HBD＝∠BAM＝∠MAD， ∵∠C＝45°， ∴∠MAC＝∠FEC＝45°， ∵∠AEB＝∠C＋∠EBC＝45°＋∠EBC，∠BAC＝∠MAC＋∠BAM＝45°＋∠BAM， ∴∠AEB＝∠BAC， ∴AB＝BE， 在△ABM和△BEF中，， ∴△ABM≌△BEF（AAS）， ∴EF＝BM＝1， ∴CE＝EF＝， 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，证明△ABM≌△BEF是解题的关键． 23．（2024·安徽合肥·一模）如图，为的直径，弦，垂足为点E，连接，若的半径为4，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 根据题意得出 ，进而根据含0度角的直角三角形的性质得出，在中，勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：∵为的直径， 弦 ∴， ， ， 在中， 则， ， ， 故选： D． 24．（2024·安徽宿州·一模）如图，是等边三角形，点D是下方的一点，，点E和点F分别是和上一点，．若的周长为12，则的周长为（　　） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题关键，延长至点P，使，连接，根据等边三角形以及等腰三角形的性质可得，通过证明，，可得，利用的周长，即可得出结果． 【详解】解：如图，延长至点P，使，连接， ∵是等边三角形，的周长为12， ． ， ， ， 在和中， ， ， ． ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的周长， 故选：C． 25．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在菱形中，，点M和N分别是和上一点，沿将折叠，点A恰好落在边的中点E上．若，则的长为（    ）    A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】此题考查了菱形的性质、勾股定理、角的直角三角形的性质、折叠性质等知识．过点M作于点F．求出．则，．设，则，，，．根据勾股定理，得，即，解得，即可求出的长． 【详解】如图，过点M作于点F．    ∵四边形是菱形， ∴ ∵， ∴． ∴． ∴，． 设，则，，，． 根据勾股定理，得，即，解得， ∴． 故选：B． 26．（2024·安徽·模拟预测）如图所示，在矩形中，，平分，分别交、于点、，，则（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】证明，则，如图，连接，则，，由，可得，由平分，可得，则，，由，可得，则，由，可求，根据，求解作答即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 如图，连接， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质，正切等知识．熟练掌握矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质，正切是解题的关键． 27．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形中，，点分别在线段和线段的延长线上．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形判定和性质，矩形的性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键．如图，在上截取，在上截取，且，可得，，，，，通过证明，可得，可求的长，再求解即可． 【详解】解：如图，在上截取，在上截取，且， ，，，，， ，， ，且，， ，， ， ， ， ， ， 故选：B 28．（2024·安徽阜阳·二模）如图，是等腰三角形，，点D、G分别是的中点，在取一点E使，过点E作，且，连接．若，，则线段的长为（   ）      A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，得、是等腰直角三角形，，则，证，则，由，可证得四边形为平行四边形，则．又因点G为中点，则．又因为的中位线，则，则．证明 ，即可求解． 【详解】如图，连接，    ∵，点D是的中点， ∴，， ∵，，， ∴、是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 则， ∵， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， 则． 又因点G为中点， 则． 又因点D、G分别是的中点， ∴为的中位线， 则， 则． ，， ， ， 则． 故选：B． 【点睛】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，直角三角形的性质，三角形中位线定理，平行四边形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 29．（2024·安徽池州·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，，垂足为点E，F为上一点，连接交于点G，若，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的三线合一、勾股定理等知识点，由题意求得，再由，结合勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵平行四边形， ∴，与平行， ∴， ∵ ∴ ∴ 故答案为： 30．（2022·黑龙江鸡西·一模）如图，是的弦，半径于点C，为直径，，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了中位线的判定与性质、垂径定理的应用，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，先根据勾股定理列式计算，得出半径，根据分别是，的中点，得出，即可利用勾股定理作答． 【详解】解：连接，如图    ∵是的弦，半径于点， ∴ 在中， 解得 ∵分别是，的中点 ∴是的中位线 ∴ ∵为直径 ∴ 在， 故答案为：． 31．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在平行四边形中，平分交边于点为上一点，延长至点，使得，连接． （1） ； （2）若，则 ． 【答案】 5 【分析】本题考查了平行四边形的性质，锐角三角函数，勾股定理，等腰三角形的判定等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由四边形是平行四边形，可得，由平行线的性质可得．由平分，从而可得可得出，再由等腰三角形的判定可得，最后可得答案； （2）连接，过点作于点，则．先由锐角三角形函数定义可得，再由勾股定理求得，．最后由平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ， ． 平分， ， ， ． ， ， 故答案为：5； （2）解：如图，连接，过点作于点，则． ， ， 在中，， ， 在中，由勾股定理得， 即， 解得或（舍去）， ． ， ， 在中，由勾股定理得． ∵四边形是平行四边形， ． 又， 四边形是平行四边形， ． ， 故答案为：． 32．（2024·安徽淮北·三模）如图，在中，，，点为外一点，．连接，，交于点，且，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】过点作于点，交于点，连接，由勾股定理和等腰直角三角形的性质得，，垂直平分，由三角形的外角性质得，又，从而证明，因为，则，证明四边形是平行四边形，，根据性质得，，最后由勾股定理即可求解． 【详解】解：过点作于点，交于点，连接， ∵，， ∴，则， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形的外角性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 33．（2024·黑龙江鸡西·二模）如图，在矩形ABCD中，是BC的中点，连接是边上一个动点，沿过点的直线将矩形折叠，使点落在上的点处，当是直角三角形时，的值为 ． 【答案】或 【分析】根据矩形的性质，中点以及，求出的长，进而求出的长，设，当是直角三角形时，分两种情况：①当，②当时，根据相似三角形的性质列出方程，解之即可得到结果． 【详解】解：∵在矩形中，是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在上的点处， ∴， 设，则：， 当是直角三角形时， ①时，则， ∴， ∴， ∴，即：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴； ②当时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴； 综上所述，当是直角三角形时，或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握上述知识、灵活应用分类思想和方程思想是解题的关键． 34．（2024·安徽淮北·一模）在矩形纸片中，对角线和交于点O，将矩形纸片折叠使点D落在上的点F处，折痕交于点G． （1）若，，则的长为 ． （2）若，则的值为 ． 【答案】 3 【分析】（1）根据矩形的性质可得，由勾股定理求得，根据折叠可知，，，则，，设，则，在中，根据勾股定理列出方程求解即可； （2）由题意可设，，根据矩形的性质得，，，，由勾股定理求得，根据折叠可知，，，则，，设，则，在中，根据勾股定理列出方程，解得，证，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形为矩形，， ∴， 在中，， 根据折叠的性质可得，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：3； （2）∵， ∴设，则， ∵四边形为矩形， ∴，，，， 在中，， 根据折叠的性质可得，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、勾股定理、折叠的性质、相似三角形的判定与性质，灵活运用所学知识解决问题是解题关键． 35．（2024·安徽宿州·二模）已知，是等边三角形，点D，E分别是，上的点，将沿着折叠得到，点F落在边上．               图1                       图2 （1）如图1，当时， °； （2）如图2，当，时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质： （1）根据等边三角形的性质，三角形的内角和以及折痕为角平分线，进行求解即可； （2）设，得到，证明，求出，根据，列出方程进行求解即可． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴； 故答案为：； （2）∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵折叠， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，得到，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：，经检验是原方程的解， ∴， 故答案为：． 36．（2024·安徽六安·模拟预测）点是正方形的对角线上一点，过点作交于点，的延长线交于点，交于点． (1)如图1，证明：； (2)如图2，若，，求CF的长． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题主要考查了正方形中的证明和计算，解题关键是应用正方形的性质． （1）由四边形是正方形，可证，即可得； （2）先证，可得，即可得． 【详解】（1）证明：如图，连接． 四边形是正方形， 点，关于对称， ，． ， ， 又， ， ， ； （2）由四边形是正方形， 得，，． 由， 得，， 得，即， 得， 得， 得． 37．（2024·安徽合肥·三模）如图，是边长为3的等边三角形，D是的中点，E，F分别在，上，连接，，两线交于点G，连接，，，． (1)求的长； (2)求证：； (3)求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）如图，连接，根据等边三角形的性质，结合勾股定理可得，则，，再利用勾股定理即可求解； （2）如图，延长至点，使得，连接，易证，得，则，可知，进而可知，即可证明； （3）如图，过作的垂线交于N，由可得，由角平分线定理知，进而可得，则，在中，，则． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵是边长为3的等边三角形，则， ∵是的中点， ∴，则， ∵，则， ∴． （2）证明：如图，延长至点，使得，连接， ∵， ∴， ∴，则， ∴， 又， ∴， ∴． （3）解：如图，过作的垂线交于N， 则， ∵， ∴，即平分， 令点到，的距离分别为，，点到的距离为， 由角平分线的性质可知，， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴，则， ∴是的中点， 在中，， 则． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，角平分线的性质，直角三角形的性质等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 38．（2024·安徽合肥·三模）如图1，C为线段上一点，分别以，为底，在的同侧作等腰和等腰且．在线段上取一点F，使得，连接，． (1)求证：； (2)如图2，延长交于点G，若G是的中点，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用等腰三角形的性质可得出，利用平行线的判定得出，利用平行线的性质得出，然后利用证明即可； （2）取中点H，连接，利用三角形中位线定理得出，，设，则，，利用平行线的传递性得出，则可证，利用相似三角形的性质得出，解方程即可求解． 【详解】（1）证明：∵等腰和等腰 ∴，， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）解：取中点H，连接， ∵G是的中点， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得，（舍去）， ∴， 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 39．（2024·安徽六安·一模）如图，已知等腰和等腰有公共的顶点， 且，，，点恰好落在边上（与不重合），连接． (1)求证：； (2)若与相交于点，求证：； (3)若，，且，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)． 【分析】（）直接证明，然后根据全等三角形的性质证明即可； （）先证明，，可得，则，从而可得结论； （）根据题意先画图，过点作于点，求解，结合，可得，，证明，在中，，再利用勾股定理可得答案； 本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟悉基本图形，熟练的运用以上知识是解题的关键． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴ ； （2）证明：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图，过点作于点， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∵， ∴，， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 40．（2024·安徽蚌埠·三模）如图，在正方形中，为边的中点，为对角线上的一点，连接交于点．连接，，．    (1)求证：． (2)若，求证：． (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3) 【分析】（1）证明即可得证； （2）先证明，即有，则有，即可得，即可证明； （3）过点作，垂足．先证明．即有．根据点为的中点，有，即．利用勾股定理即可求出，即．设为，则，．则在中，依据，，解得，则可得． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，为对角线， ∴，． ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴． ∵，， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵在正方形中，， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴； （3）如图，过点作，垂足．    ∵，， ∴，． ∴． ∴． ∴．， 又∵点为的中点， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵四边形是正方形，点为的中点， ∴，， ∴． ∴． ∵，， ∴．即， 设为，则，． 在中，得，即， 解得． ∴． 解得负值舍去． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，掌握全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 【题型3 求面积】 41．（2024·安徽池州·模拟预测）如图，在矩形中，是对角线，，垂足为点E，连接，已知，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，正切函数的定义．利用等角的余角相等求得，推出，求得，根据的面积计算即可求解． 【详解】解：作，垂足为点F， ∵矩形，， ∴， ∴， ∴， ∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为， 故选：D． 42．（2024·安徽安庆·三模）已知反比例与的图像如图所示，为x轴正半轴上一动点，过点作轴，分别交反比例函数与的图像于点，，点，（点在点的上方）在轴上，且，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，理解反比例函数系数的几何意义是解题的关键． 利用反比例函数系数k的几何意义可得，，再根据同底等高的三角形面积相等，得到，由平行四边形的面积公式进而求出答案 【详解】解：连接、、， 轴，， 四边形为平行四边形， ， 轴， ， 由反比例函数系数的几何意义得， ，，　 ， ， 故选：B． 43．（2022·重庆·一模）如图，矩形中，，以O 为圆心，为半径作弧，且，则阴影部分的面积为（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，扇形面积计算，掌握扇形面积公式，矩形的性质是解题的关键，注意：扇形的半径为r，圆心角为n的扇形的面积是． 根据勾股定理求出，求出，则，可得，则，，根据直角三角形的性质求出，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点E作于H， 由题意得，，， 由勾股定理得，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积=． 故选：A． 44．（2024·安徽马鞍山·二模）已知是边长为4的等边三角形，点D为高上的一个动点，连接，将绕点A顺时针旋转得到，连接和，则下列说法错误的是（    ） A．的面积为 B．的最小值为1 C．周长的最小值为 D．为直角三角形时，的面积为 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、三角函数的应用、线段的最值问题等知识点，当点与点重合时，将绕点A顺时针旋转得到，得出点在线段上运动 是解题关键． 【详解】解：由题意得： ∵ ∴ ∴的面积，故A正确； 当点与点重合时，将绕点A顺时针旋转得到，作如图所示：    由题意可知：点在线段上运动 ∴当时，有最小值 ∵ ∴， ∵ ∴, ∴ ∵ ∴ ∴ ∵，为中点 ∴，故B正确； 作点关于的对称点，连接，如图所示：    ∵ 又 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴是等边三角形 ∴ ∴，故C正确； 由以上分析可知：, 若，如图所示：    则， ∴的面积 若，如图所示：    则 ∴的面积 故D错误； 故选：D 45．（2020·贵州毕节·中考真题）如图，已知点，是以为直径的半圆的三等分点，的长为，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形面积的计算，连接，，根据，是以为直径的半圆的三等分点，可得，是等边三角形，将阴影部分的面积转化为扇形的面积，根据求解即可． 【详解】解：连接，，， ，是以为直径的半圆的三等分点， ，， 又， 、是等边三角形， ， ， ， 弧的长为， ， 解得：， ． 故选：A． 46．（2024·安徽合肥·一模）一个几何体的三视图如图所示，根据图中的相关数据求得该几何体的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了三视图的知识和圆锥侧面面积的计算，由几何体的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，可以判断这个几何体是圆锥，进而得出圆锥的高以及母线长和底面圆的半径，再利用圆锥侧面积公式求出即可，解题的关键是灵活运用三视图得到立体图形及熟练掌握圆锥的侧面面积公式运用． 【详解】解：依题意知几何体的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，则这个几何体是圆锥，通过三视图可知圆锥的母线，底面半径， 则由圆锥的侧面积公式得， 故选：． 47．（2024·安徽阜阳·一模）如图，在中，点D，E，F分别在，，上，连接，，且，，，若四边形的面积为16，则的面积为（    ）    A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定和面积计算，三角形的面积计算，由，，得到四边形为平行四边形，利用平行四边形与同高即可求解． 【详解】解：如图，过点F做于点，   ，， 四边形为平行四边形， ， , ，, ， 故选：C． 48．（2023·江苏苏州·一模）如图，在中，，，点D在的延长线上，，则的面积为（    ） A． B． C．7 D． 【答案】A 【分析】作交于点E，作交于点F，根据等腰直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，设，证明出，然后利用相似三角形的性质列方程求出，最后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】如图所示，作交于点E，作交于点F， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴解得， ∴， ∴的面积． 故选：A． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点并灵活添加辅助线． 49．（2023·浙江嘉兴·中考真题）如图，点是的重心，点是边的中点，交于点，交于点，若四边形的面积为6，则的面积为（　　）    A．12 B．14 C．18 D．24 【答案】C 【分析】连接，由点是的重心，点是边的中点，可得点在一条直线上，且，，通过可得，从而得到，通过，可得，再根据四边形的面积为6，可得出，进而可得出的面积． 【详解】解：如图所示，连接，   ，点是的重心，点是边的中点， 点在一条直线上，且，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，   ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的重心的性质，相似三角形的判定与性质，根据三角形的中线求面积，熟练掌握三角形的重心的性质，相似三角形的判定与性质，添加适当的辅助线，是解题的关键． 50．（2022·四川资阳·中考真题）如图．将扇形翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与交于点C，连接．若，则图中阴影部分的面积是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接CO，且直线l与AO交于点D，解直角三角形求出，即可求出扇形的面积，再算出的面积，即可求出阴影部分面积． 【详解】连接CO，且直线l与AO交于点D，如图所示， ∵扇形中，， ∴， ∵点A与圆心O重合， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∵，， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查求不规则图形的面积，扇形面积公式，添加辅助线是本题的关键． 51．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图，在正方形中，点在对角线上，连接，于点，交于点，连接，已知，，则的面积为（    ） A．4 B．5 C．10 D． 【答案】B 【分析】过点E作MN⊥DC，根据得出EN=DN=AM=3，则ME=1，根据勾股定理，算出AE的值，根据“AAS”证明，得出EF的长，算出三角形的面积即可． 【详解】解：过点E作MN⊥DC，交AB于点M，交DC于点N，如图所示： ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BDC=∠ABD=45°，AB=BC=CD=AD=4，， ∴∠DEN=90°-45°=45°， ∴， ∵四边形ADNM为矩形， ∴MN=AD=4，AM=DN=3， ∴ME=MN-EN=4-3=1， ∴， ∵AE⊥EF， ∴∠AEF=90°， ∴∠AEM+∠FEN=180°-90°=90°， ∵∠FEN+∠EFN=90°， ∴∠AEM=∠EFN， ∵在△AME和△ENF中， ∴， ∴， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本本题主要考查了正方形性质的应用和三角形全等的判定和性质，以及勾股定理的应用，正确作出辅助线是解题的关键． 52．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）如图，D，E，F分别为三边上一点，且交于点G，若，则（   ） A．50 B．54 C．60 D．63 【答案】C 【分析】本题主要考查等积法及一元二次方程的解法，熟练掌握等积法是解题的关键；设，由题意易得，，然后可建立方程进行求解． 【详解】解：设，由等积法可知：， ∴，即①， ∵， ∴，即②， 联立①②可得：， 解得：（负根舍去）， ∴， ∴； 故选C． 53．（2024·安徽合肥·三模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，矩形的顶点，反比例函数的图象经过对角线的中点，分别交边，于，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，根据题意先求出反比例函数解析式，利用解析式得到，，再根据即可求解，熟练掌握反比例函数值几何意义是解题的关键． 【详解】∵对角线的中点，且点， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， 当时，，当时，， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 54．（2024·安徽宿州·二模）如图，在四边形中，，对角线，相交于点．若，，．    （1） ； （2）的长为 ． 【答案】 12 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，理解等腰三角形的性质，熟练掌握平行线分线段成比例是解决问题的关键． （1）过点作于点，根据等腰三角形的性质得，由勾股定理求出，即可由三角形的面积公式求解； （2）延长，交于点，先证明，再用勾股定理求出，然后根据平行线分线段成比例，即可求得的长． 【详解】解：（1）如图，过点作于点，    则， ，， ， ， ； 故答案为：12； （2）延长，交于点，   ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 解得． 故答案为：． 55．（2024·安徽·三模）如图，点是斜边的中点，沿着将对折叠得到，再将与叠合，折痕交于点． （1）若，则的度数为 ； （2）若，，则的面积为 ． 【答案】 /35度 【分析】本题考查圆内接四边形性质，等腰三角形性质，勾股定理，折叠性质，三角形面积公式等． （1）以为直径作，连接，可得是内接圆，继而得到，再利用等腰三角形性质即可得到本题答案； （2）由折叠可知是直角三角形，在中应用勾股定理可得，再利用勾股定理得，利用三角形面积公式即可得到本题答案． 【详解】解：（1）如图，以为直径作，连接， ， ∴， 四边形是内接圆， ， ， ， ； （2）∵由折叠可知，即是直角三角形， 过点作， ， ∵点是斜边的中点， ∴是的中位线， 在中，由勾股定理，得， ∵，， ∴， 由，得，解得，故， ． 56．（2022·安徽安庆·一模）如图，在中，，、，点是内部的一个动点，连接，且满足． （1） ； （2）当线段最短时，的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离，属于中考常考题型． （1）由得到，即可得到； （2）首先证明点在以为直径的上，连接与交于点，此时最小，利用勾股定理求出即可得到，即可得到． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）设的中点为，连接， 则 (直角三角形斜边中线等于斜边一半)， ∴点在以为直径的上，连接交于点，此时最小， 在中，， ∴， ∴． ∴， 故答案为：． 57．（23-24九年级上·重庆巴南·期末）如图，为半圆的直径，点为半圆上的一点，，垂足为点，延长与半圆交于点．若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，含30度角的直角三角形，扇形面积的计算，关键是由含30度角的直角三角形的性质求出长． 连接，由等腰三角形的性质得到，即可求出，由含30度角的直角三角形的性质求出，由勾股定理求出，由垂径定理得到，求出的面积，扇形的面积，即可得到阴影的面积（扇形的面积． 【详解】解：连接， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 的面积， 扇形的面积， 阴影的面积（扇形的面积． 故答案为：． 58．（2024·安徽马鞍山·一模）已知为等边三角形且点D是边上一点，E为的中点，连接，过E点作交于F． （1）当D为中点时，的面积为 ； （2）若为等腰直角三角形，则 ． 【答案】 / / 【分析】（1）先根据等边三角形的性质以及勾股定理，得，结合三角函数的定义列式，代入数值进行计算，即可作答． （2）与（1）过程同理，得，根据平行线分线段成比例，得，注意“为等腰直角三角形”，得出，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：（1）∵为等边三角形，D为中点， ∴， ， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， 则 即 ， ∴的面积为． （2）如图： 过点分别作 ∵为等边三角形且 ∴ ∵E为的中点 ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形时，， ∴， 则， ∵，设 ∴， 解得． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 59．（2024·河南·一模）如图，在扇形中，，点C，D分别在，上，连接，，点D，O关于直线对称，的长为，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质，弧长的计算以及扇形和三角形面积计算，连接；根据轴对称得出，即可得到是等边三角形．，再利用弧长公式求出半径，最后根据扇形面积和三角形面积公式求出答案即可． 【详解】如图，连接交于． ∵点D，O关于直线对称， ∴． ∴是等边三角形． ∴， ∵点D，O关于直线对称， ∴，，， ∴， ∵的长为， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． 60．（2023·四川南充·模拟预测）如图，和都是以为直角顶点的等腰直角三角形，    (1)如图1，连接，，试判断与的数量关系和位置关系，并说明理由； (2)如图2，连接，，若点恰好在上，且为的中点，，求的面积； 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）证明，得到，，然后利用三角形内角和定理，即； （2）如图2中，过点O作于H，则，设，则，由勾股定理得，，可求，则，由全等三角形的性质即可得，计算求解即可； 【详解】（1）解：如图1，设与交于点E，    ∵和都是以为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，即； （2）解：如图2，过点O作于H．    ∵， ∴， 设，则， 由勾股定理得，， 解得，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为； / 学科网（北京）股份有限公司 $$