第八章实数知识点清单 2024—2025学年人教版数学七年级下册

人教版（2024）初中数学七年级下册第八章实数知识点清单 一、平方根 （一）平方根的定义 如果一个数(x)的平方等于(a)，即(x2=a)，那么这个数(x)就叫做(a)的平方根（也叫做二次方根）。例如，因为((3)2=9)，所以(9)的平方根是() 。 （二）平方根的表示方法 正数(a)的平方根可表示为(±)，读作 “正负根号(a)”，其中()表示(a)的正平方根（又叫算术平方根），(-)表示(a)的负平方根 。例如，(25)的平方根表示为(±)，(=5)，(-=-5) 。 （三）平方根的性质 正数有两个平方根，它们互为相反数。 (0)的平方根是(0)。 负数没有平方根 。 （四）开平方 求一个数(a)的平方根的运算，叫做开平方。开平方与平方互为逆运算 。例如，因为(42=16)，所以(16)的平方根是(±4)，即通过开平方运算得到(=±4)。 二、算术平方根 （一）算术平方根的定义 若一个正数(x)的平方等于(a)，即(x2=a)，那么这个正数(x)叫做(a)的算术平方根 。特别地，(0)的算术平方根是(0) 。例如，(4)是(16)的算术平方根，可表示为(=4) 。 （二）算术平方根的性质 算术平方根()具有双重非负性 。 正数的算术平方根是正数，(0)的算术平方根是(0) 。 三、立方根 （一）立方根的定义 如果一个数(x)的立方等于(a)，即(x3=a)，那么这个数(x)就叫做(a)的立方根（也叫做三次方根）。例如，因为(23=8)，所以(8)的立方根是(2) 。 （二）立方根的表示方法 数(a)的立方根用符号()表示，读作 “三次根号(a)” 。例如，(=3)，表示(27)的立方根是(3) 。 （三）立方根的性质 正数的立方根是正数。 负数的立方根是负数。 (0) 的立方根是(0) 。 (1) （四）开立方 求一个数(a)的立方根的运算，叫做开立方。开立方与立方互为逆运算 。例如，因为(33=27)，通过开立方运算可得(=3) 。 四、实数 （一）无理数的定义 无限不循环小数叫做无理数 。例如，(pi = 3.1415926cdots)，(sqrt2=1.41421356cdots)等都是无理数 。 （二）无理数的常见类型 开方开不尽的数，如() 。 有规律但不循环的无限小数，。 （三）实数的定义 有理数和无理数统称实数 。（四）实数的分类 按定义分类： 有理数：整数（正整数、(0)、负整数）和分数（正分数、负分数） 。无理数：无限不循环小数 。 按正负分类： 正实数：正有理数（正整数、正分数）和正无理数 。 负实数：负有理数（负整数、负分数）和负无理数 。 （五）实数与数轴的关系 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数与数轴上的点是一一对应的 。 （六）实数的性质 相反数：实数(a)的相反数是(-a)，(a)与(-a)在数轴上关于原点对称，且(a + (-a)=0) 。例如，(5)的相反数是(-5)，。在物理中，力是矢量，有大小和方向，大小相等、方向相反的两个力互为相反数，这与实数的相反数概念类似 。 绝对值：一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，(0)的绝对值是(0) 。 倒数：乘积为(1)的两个非零实数互为倒数， （七）实数的运算 运算法则： 加法：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得(0)；一个数同(0)相加，仍得这个数 。例如，(3 + 5 = 8)，((-3)+(-5)= -8)，(3 + (-5)= -2)，(0 + 7 = 7) 。 减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即(a - b = a + (-b)) 。例如，(5 - 3 = 5 + (-3)=2)，(3 - 5 = 3 + (-5)= -2) 。 乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与(0)相乘都得(0) 。例如，(3X5 = 15)，((-3)X(-5)=15)，(3X(-5)= -15)，(0X6 = 0) 。 除法：除以一个不等于(0)的数，等于乘这个数的倒数。 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；(0)除以任何一个不等于(0)的数，都得(0) 。 乘方：求(n)个相同因数(a)的积的运算叫做乘方。 正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，(0)的任何正整数次幂都是(0) 。 开方：包括开平方和开立方，前面已介绍相关定义和运算 。 运算顺序： 先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减。 同级运算，按照从左到右的顺序进行 。 如果有括号，先算括号里面的 。 运算律： 加法交换律：(a + b = b + a) 。例如，(2 + 3 = 3 + 2) 。 加法结合律：((a + b)+c = a+(b + c)) 。例如，((2 + 3)+4 = 2+(3 + 4)) 。 乘法交换律：(ab = ba) 。例如，(2X3 = 3X2) 。 乘法结合律：((ab)c = a(bc)) 。例如，((2X3)X4 = 2X(3X4)) 。 乘法分配律：(a(b + c)=ab + ac) 。例如，(2X(3 + 4)=2X3 + 2X4) 。 学科网（北京）股份有限公司 $$