第30讲 尺规作图与定义、命题、定理（课件）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（全国通用）

第七章 图形的变化 第30讲 尺规作图与定义、命题、定理 2025年中考 一轮复习讲练测 数学 2大考点精讲+专训 2大中考命题点+18大题型探究 目录 01 考情透视·目标导航 02 知识导图·思维引航 03 考点突破·考法探究 04 题型精研·考向洞悉 01 考情透视·目标导航 中考考点 考查频率 新课标要求 尺规作图 定义、命题、定理 ★ 能用尺规作图 通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义. 结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念.会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立. ★★ 【命题预测 】本考点内容以考查尺规作图和真假命题为主，年年考查，是广大考生的得分点，分值为6分左右．预计2025年各地中考还将继续考查这两个知识点. 中考对尺规作图的考查涉及多种形式，不再是单一的对作图技法操作进行考查，而是把作图与计算、证明、分析、判断等数学思维活动有效融合，既体现了动手实践的数学思维活动，也考查了学生运用数学思考解决问题的能力，为避免丢分，学生应扎实掌握． 02 知识导图·思维引航 03 考点突破·考法探究 定义、命题、定理 考点二 尺规作图 考点一 尺规作图 尺规作图 考点一 1.五种基本作图 尺规作图定义 最基本、最常用的尺规作图，通常称作基本作图 五种基本作图 1）作一条线段等于已知线段 已知 线段 a 求作 线段0A，使OA等于a 作法 1）任作一条射线OP； 2）以点0为圆心，a的长为半径画弧，交0P于点A，则线段OA 即为所求 依据 圆上的点到圆心的距离等于半径. 尺规作图 考点一 1.五种基本作图 2）作一个角等于已知角 已知 ∠AOB 求作 ∠A'O'B'，使∠A'O'B'=∠AOB 作法 1）作射线O'A'； 2）以点0为圆心，任意长为半径画弧，交0A于点C，交OB于点 D； 3）以点0'为圆心，0C的长为半径画弧，交O'A'于点E； 4）以点E为圆心，CD的长为半径画弧，交前弧于点F； 5）经过点F作射线O'B',ㄥA'0'B'即为所求. 依据 1）三边分别相等的两个三角形全等； 2）全等三角形的对应角相等； 3）两点确定一条直线. 尺规作图 考点一 1.五种基本作图 3）作已知角的角平分线 已知 ∠AOB 求作 射线OP，使∠AOP=∠BOP 作法 1）以点0为圆心，适当长为半径画弧，交0A于点M，交0B于点N； 2）分别以点M、N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P； 3）作射线OP，射线OP即为所求. 依据 1）三边分别相等的两个三角形全等； 2）全等三角形的对应角相等； 3）两点确定一条直线. 尺规作图 考点一 1.五种基本作图 4）过一点作已知直线的垂线 已知 直线AB和AB上的一点M 求作 AB的垂线，使它经过点M 作法 作平角ㄥACB的平分线MF.直线MF就是所求作的垂线. 已知 直线AB和AB外一点M     求作 AB的垂线，使它经过点M 作法 1）任意取一点P，使点P和点M在AB的两旁； 2）以点M为圆心，MP的长为半径作弧，交AB于点C和点D； 3）分别以点C和点D为圆心，大于 CD的长为半径作弧，两弧相交于点E； 4）作直线EM，直线EM就是所求作的垂线. 依据 1）等腰三角形“三线合一”； 2）两点确定一条直线. 尺规作图 考点一 1.五种基本作图 5）作线段的垂直平分线 已知 线段AB 求作 线段AB的垂直平分线 作法 1）分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N； 2）作直线MN，直线MN就是线段AB的垂直平分线. 依据 1）到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上； 2）两点确定一条直线. 尺规作图 考点一 2.尺规作图的关键 1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么； 2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题； 3)切记作图中一定要保留作图痕迹； 4）无刻度直尺作图通常会与等腰三角形的判定，三角形中位线定理，矩形的性质和勾股定理等几何知识点结合，熟练掌握相关性质是解题关键. 尺规作图 考点一 针对练习 1．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在中，是边的中点．按下列要求作图： ①以点为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点，交于点； ②以点为圆心、长为半径画弧，交线段于点； ③以点为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点，点与点在直线同侧； ④作直线，交于点．下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 解：A．根据作图可知：一定成立，故A不符合题意； B．∵，∴， ∴一定成立，故B不符合题意； C．∵是边的中点，∴， ∵，∴， ∴一定成立，故C不符合题意； D．不一定成立，故D符合题意． D 作一个角等于已知角 针对练习 尺规作图 考点一 2．（2024·四川·中考真题）如图，在中，，，按如下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧在的内部相交于点F，作射线交于点G．则的大小为 度． 解： ，， ， 根据尺规作图过程，可知为的角平分线， ， 故， 作角平分线 针对练习 尺规作图 考点一 3．（2024·山东德州·中考真题）已知，点P为上一点，用尺规作图，过点P作的平行线．下列作图痕迹不正确的是（   ） B． D． A． C． B 解：A、由作图知，是的平分线， 且， ∴，， ∴，∴， 故本选项不符合题意； B、由作图知， 是的平分线， 且， ∴，， 不能说明与相等， ∴与不平行， 故本选项符合题意； C、由作图知， ， ∴四边形是菱形， ∴， 故本选项不符合题意； D、由作图知，， ∴， 故本选项不符合题意； 03 考点突破·考法探究 定义、命题、定理 考点二 尺规作图 考点一 定义、命题、定理 定义、命题、定理 考点二 1. 命题 定义 判断一件事情的语句，叫做命题 组 成 表达形式 可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论． 题设+结论 已知事项 由已知事项推出的事项 2.真命题、假命题   内容 举例 注意 真命题 如果题设成立，那么结论一定成立的命题，叫做真命题 ‌对顶角不相等 说明一个命题是真命题，需从已知出发,经过一步步推理，最后得出正确结论 假命题 命题中题设成立时，不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题 ‌相等的角是对顶角 判定一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)，使它符合命题的题设，但不满足结论即可 16 定义、命题、定理 考点二 3.逆命题 逆命题 把原命题的结论作为命题的题设，把原命题的题设作为命题的结论，所组成的命题叫做原命题的逆命题. 互逆命题 在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题． 定义、命题、定理 考点二 4.公理、定理 公理 如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.如：两点之间线段最短. 定理 如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理． 互逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理． 定义、命题、定理 考点二 5.反证法 定义 先假设原命题的结论不正确，然后从这个假设出发，经过逐步推理论证，最后得出与学过的概念、基本事实、已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，这种证明的方法叫做反证法. 反证法的步骤 ①假设命题结论的反面正确； ②从假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、定理、定义或已知条件相矛盾的结论； ③说明假设不成立，从而得出原命题正确． 针对练习 定义、命题、定理 考点二 1．（2024·江苏宿迁·中考真题）请写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理 ． 2．（2024·山东潍坊·中考真题）下列命题是真命题的有（     ） A．若，则 B．若，则 C．两个有理数的积仍为有理数 D．两个无理数的积仍为无理数 解：A、由等式的性质可得，若，则，原命题为真命题； B、由不等式的性质可得，若，且，则，原命题为假命题； C、两个有理数的积仍为有理数，原命题为真命题； D、两个无理数的积不一定为无理数，比如，原命题为假命题． 同位角相等，两直线平行 AC 针对练习 定义、命题、定理 考点二 3．（2022·上海·中考真题）下列说法正确的是（   ） A．命题一定有逆命题 B．所有的定理一定有逆定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题 A 解：A、命题一定有逆命题，故此选项符合题意； B、定理不一定有逆定理，如：全等三角形对应角相等没有逆定理， 故此选项不符合题意； C、真命题的逆命题不一定是真命题，如：对顶角相等的逆命题是： 相等的两个角是对顶角，它是假命题而不是真命题，故此选项不符合题意； D、假命题的逆命题定不一定是假命题，如：相等的两个角是对顶角的逆命题是：对顶角相等，它是真命题，故此选项不符合题意． 针对练习 定义、命题、定理 考点二 4．（2022·黑龙江绥化·中考真题）下列命题中是假命题的是（    ） A．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半 B．如果两个角互为邻补角，那么这两个角一定相等 C．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 B 解：A. 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，是真命题，故此选项不符合题意； B. 如果两个角互为邻补角，那么这两个角不一定相等，故此选项是假命题，符合题意； C. 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角，是真命题，故此选项不符合题意； D. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是真命题，故此选项不符合题意； 04 题型精研·考向洞悉 作线段 题型01 尺规作图 命题点一 作一个角等于已知角 题型02 尺规作角的和、差 题型03 过直线外一点作已知直线的平行线 题型04 作三角形 题型05 作角平分线 题型06 作垂线 题型07 23 04 题型精研·考向洞悉 作等腰三角形 题型08 尺规作图 命题点一 画圆 题型09 过圆外一点作圆的切线 题型10 作正多边形 题型11 格点作图 题型12 无刻度直尺作图 题型13 最短路径问题 题型14 24 命题点一 尺规作图 ►题型01 作线段 【例1】 （2023·山西太原·模拟预测）已知线段、、． (1)用直尺和圆规作出一条线段，使它等于．（保留作图痕迹，检查无误后用水笔描黑，包括痕迹） (2)若，，，点是线段的中点，求的长． 方法指导 解题的关键： ٭掌握基本作图的作法 ٭熟练运用线段的和差、线段的中点进行线段和差计算 （1）解：如图，线段即为所求： （2）如图， ，，， 点是线段的中点， 命题点一 尺规作图 ►题型01 作线段 1.（2024·广东·模拟预测）如图，在等边中，为边上的高． (1)实践与操作：利用尺规，以为边在下方作等边，延长交于点；（要求：尺规作图并保留作图痕迹、不写作法，标明字母） (2)应用与证明：在（1）的条件下，证明． （1）解：如图，分别以为圆心，的长为半径画弧，交点为，连接，则，等边即为所作，延长交于点，点即为所作； （2）证明：∵△ABC为等边三角形，AD为BC边上的高， ∴∠B=∠ACB=60°，BD=CD， ∵等边△CDE， ∴∠ECD=60°， ∴∠B=∠ECD， 又∵∠MDB=∠EDC， ∴△BMD≌△CED(ASA)， ∴CE=BM． 上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（    ） 命题点一 尺规作图 ►题型02 作一个角等于已知角 【例1】 （2024·北京·中考真题）下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法. （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则. A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 方法指导 解题的关键： ٭掌握基本作图的作法，三角形全等判定方法 ٭熟练掌握作一个角等于已知角的基本作图 解：根据上述基本作图，可得， 故可得判定三角形全等的依据是边边边， A 命题点一 尺规作图 ►题型02 作一个角等于已知角 1.（2024·河南·中考真题）如图，在中，是斜边上的中线，交的延长线于点E． (1)请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）． (2)证明（1）中得到的四边形是菱形 （1）解：如图， （2）证明：∵∠ECM=∠A， ∴CM∥"AB， ∵BE∥ DC， ∴四边形CDBF是平行四边形， ∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线， ∴CD=BD=AB， ∴平行四边形CDBF是菱形． 命题点一 尺规作图 ►题型03 尺规作角的和、差 【例1】 （2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知及边上一点． (1)用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，以点为圆心，以为半径的圆交射线于点，用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使点到点的距离与点到射线的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法） (3)在（1）、（2）的条件下，若，，求的长． 方法指导 解题的关键： ٭掌握尺规作角等于已知角，尺规作垂线，٭正确应用勾股定理及锐角三角函数的定义相关知识解决问题 命题点一 尺规作图 ►题型03 尺规作角的和、差 【例1】 （2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知及边上一点． (1)用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，以点为圆心，以为半径的圆交射线于点，用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使点到点的距离与点到射线的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法） （1）解：如图所示， 由作图得：∠ACO=∠CAQ ∴∠COQ=2∠CAQ； 点O即为所求 （2）解：如图所示， 连接BC，以点B为圆心，以BC为半径画弧交AQ于点D， 以点D为圆心，过D作DM⊥AQ交AP于点M， ∵AB是直径，∴∠ACB=90°，即BC⊥AP， 根据作图可得∵BC=BD， ∴Rt△BCM≌Rt△BD M(HL)， ∴CM=D M， 点M即为所求点的位置； 30 命题点一 尺规作图 ►题型03 尺规作角的和、差 【例1】 （2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知及边上一点． (3)在（1）、（2）的条件下，若，，求的长． （3）解：如图所示， 根据作图可得，，连接， ∴在中，， ∴， ∴， ∵AB是直径，∴∠ACB=90°， ∴sinA=， 设BC=3x，则AB=5x， ∴在Rt△ABC中， 解得，x=2（负值舍去），∴BC=3x=6， 在Rt△BCM中， 命题点一 尺规作图 ►题型04 过直线外一点作已知直线的平行线 【例1】 （2024·山东青岛·中考真题）已知：如图，四边形，E为边上一点． 求作：四边形内一点P，使𝑬𝑷∥𝑩𝑪，且点P到𝑨𝑩,𝑨𝑫的距离相等． 方法指导 解题的关键： ٭掌握尺规作角等于已知角，角平分线的性质 ٭正确掌握作角平分线和作一个角等于已知角的尺规作图方法 解：作的平分线，以E为顶点，为一边作，交于P， 如图，点P即为所求． 32 命题点一 尺规作图 ►题型04 过直线外一点作已知直线的平行线 1.（2024·河南新乡·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，两点，且直线与坐标轴分别交于P，Q两点．(1)求m和n的值；(2)已知点，请用无刻度的直尺和圆规过点M作直线的平行线（保留作图痕迹，不写作法）；(3)若（2）中所作的平行线交x轴负半轴于点N，连接，求四边形的面积． （1）解：一次函数经过点，代入解得， ∵在反比例函数的图象上，∴； （2）解：所作平行线如图所示： （3）解：由（1）知反比例函数解析式为， 当时，， 当时，，解得：， 则交坐标轴于，， ∴，， ∴，∴为腰长是2的等腰直角三角形， ∴． 33 命题点一 尺规作图 ►题型05 作三角形 【例1】 （2022·广西贵港·中考真题） 尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）： 如图，已知线段m，n．求作△ABC，使∠A=90°,AB=m,BC=n． 方法指导 解题的关键： ٭熟练掌握五种基本作图 ٭ 解：如图所示：为所求． 注：（1）作直线l及l上一点A； （2）过点A作l的垂线； （3）在l上截取； （4）作． 命题点一 尺规作图 ►题型05 作三角形 1.（2023·江苏南京·中考真题）在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点旋转一个角度，再将旋转后的多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，称这种变换为自旋转位似变换．若顺时针旋转，记作，顺，；若逆时针旋转，记作，逆，． 例如：如图①，先将绕点逆时针旋转，得到，再将以点为位似中心缩小到原来的，得到，这个变换记作，逆，． (1)如图②，经过，顺，得到，用尺规作出．（保留作图痕迹） (2)如图③，经过，逆，得到，经过，顺，得到，连接，．求证：四边形是平行四边形． (3)如图④， 在 中， 若 经过（2） 中的变换得到的四边形是正方形． ①用尺规作出点D（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； ②直接写出的长． 35 命题点一 尺规作图 ►题型05 作三角形 1.（2023·江苏南京·中考真题）在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点旋转一个角度，再将旋转后的多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，称这种变换为自旋转位似变换．若顺时针旋转，记作，顺，；若逆时针旋转，记作，逆，． (1)如图②，经过，顺，得到，用尺规作出．（保留作图痕迹） (2)如图③，经过，逆，得到，经过，顺，得到，连接，．求证：四边形是平行四边形． （1）解：如图1， 1．以为圆心，为半径画弧，以为圆心，为半径画弧，两弧在的上方交于点，分别以，为圆心，以为半径画弧，两弧交于点， 2．延长至，使，延长至，使，连接， 则就是求作的三角形； （2）证明：和位似，与位似， ，，， ，， ， ，， 同理可得：， 四边形是平行四边形； 36 命题点一 尺规作图 ►题型05 作三角形 1.（2023·江苏南京·中考真题）在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点旋转一个角度，再将旋转后的多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，称这种变换为自旋转位似变换．若顺时针旋转，记作，顺，；若逆时针旋转，记作，逆，． 例如：如图①，先将绕点逆时针旋转，得到，再将以点为位似中心缩小到原来的，得到，这个变换记作，逆，． (1)如图②，经过，顺，得到，用尺规作出．（保留作图痕迹） (2)如图③，经过，逆，得到，经过，顺，得到，连接，．求证：四边形是平行四边形． (3)如图④， 在 中， 若 经过（2） 中的变换得到的四边形是正方形． ①用尺规作出点D（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； ②直接写出的长． 37 命题点一 尺规作图 ►题型05 作三角形 (3)如图④， 在 中， 若 经过（2） 中的变换得到的四边形是正方形． ①用尺规作出点D（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； ②直接写出的长． （3）解：如图2， 1．以为边在上方作等边三角形， 2．作等边三角形的外接圆，作直径，连接， 3．作，，延长，交于，连接，， 则四边形是正方形， 证明：由上知：，， ，，，， ， 要使是正方形，应使，， ，， ， ，， 作等边，保证，作直径，保证，这样得出作法； ，，， ． 38 由作图得：平分，，， ∴， 在中根据勾股定理得： ， ，， ，， 设，则，， 在中，根据勾股定理得：， 即：，解得：， ，在中根据勾股定理得： ． 【例1】 （2024·西藏·中考真题）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线交于点F．已知，，则的长为 ． 解：过F作于G， 方法指导 解题的关键： ٭掌握作角平分线，角平分线的性质定理，勾股定理及全等三角形的判定与性质 ٭正确掌握角平分线性质 G ∟ 命题点一 尺规作图 ►题型06 作角平分线 命题点一 尺规作图 ►题型06 作角平分线 1.（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则 ． 解：因为， 所以， 根据题意得：平分， 所以， 因为为高， 所以， 所以, 所以， 命题点一 尺规作图 ►题型07 作垂线 【例1】 （2021·江苏南京·中考真题）如图，已知P是外一点．用两种不同的方法过点P作的一条切线．要求：（1）用直尺和圆规作图； （2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 方法指导 解题的关键： ٭掌握垂直平分线的作法，角平分线的作法，等腰三角形的作法，圆的作法٭正确理解题意，熟悉基本几何图形的性质，结合基本几何图形的性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作 作法：连结PO，分别以P、O为圆心，大于PO的长度为半径画弧，交于两点，连结两点交PO于点A； 以点A为圆心，PA长为半径画弧，交于点Q，连结PQ，PQ即为所求． 作法：作射线，交于点，以为圆心，为半径作,以为圆心，的长为半径画弧交于点，连接,交于点，则是等腰三角形，，则，即为所求． 41 命题点一 尺规作图 ►题型08 作等腰三角形 【例1】 （2024·福建泉州·模拟预测）如图，在中，，，，是直线上一个动点，若是等腰三角形．(1)用直尺和圆规作出点的位置（不写作法，保留作图痕迹）．(2)求的长． 方法指导 解题的关键： ٭掌握基本几何图形的方法，勾股定理，等腰三角形的性质 ٭理解题意，学会用分类讨论的射线解决问题． （1）解：当时，点的位置如图1所示； 当时，点的位置如图2所示； 当时，点的位置如图3所示； （2）解：如图2中，当时，； 如图1中，当时，设，则有， 解得，； 如图3中，当时，， 或．综上所述，的长为4或或1或9． 命题点一 尺规作图 ►题型09 画圆 【例1】 （2024·甘肃·中考真题）马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧．如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通．如图2，已知和圆上一点M．作法如下： ①以点M为圆心，长为半径，作弧交于A，B两点； ②延长交于点C； 即点A，B，C将的圆周三等分． (1)请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将的圆周三等分（保留作图痕迹，不写作法）； (2)根据（1）画出的图形，连接，，，若的半径为，则的周长为______． 方法指导 解题的关键： ٭掌握基本几何图形的方法，圆的性质，等边三角形的性质 ٭理解题意，正确应用相关知识解题． 命题点一 尺规作图 ►题型09 画圆 【例1】 （2024·甘肃·中考真题）如图2，已知和圆上一点M．作法如下：①以点M为圆心，长为半径，作弧交于A，B两点；②延长交于点C；即点A，B，C将的圆周三等分． (1)请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将的圆周三等分（保留作图痕迹，不写作法）； (2)根据（1）画出的图形，连接，，，若的半径为，则的周长为______． 方法指导 解题的关键： ٭掌握基本几何图形的方法，圆的性质，等边三角形的性质 ٭理解题意，正确应用相关知识解题． （1）根据基本作图的步骤，作图如下： 则点A，B，C是求作的的圆周三等分点． （2）连接，设的交点为D，根据垂径定理得到， ∵的半径为，是直径，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴的周长为， 命题点一 尺规作图 ►题型09 画圆 1．（2023·内蒙古通辽·中考真题）下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程： 已知：如图1，在中，． 求作：的外接圆． 作法：如图2． （1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； （2）作直线，交于点O； （3）以O为圆心，为半径作，即为所求作的圆．    下列不属于该尺规作图依据的是（    ） A．两点确定一条直线 B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 D 命题点一 尺规作图 ►题型10 过圆外一点作圆的切线 【例1】 （2023·黑龙江绥化·中考真题）已知：点是外一点．(1)尺规作图：如图，过点作出的两条切线，，切点分别为点、点．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）(2)在（1）的条件下，若点在上（点不与，两点重合），且．求的度数． 方法指导 解题的关键： ٭掌握基本几何图形的方法，切线的性质与判定，直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形对角互补，圆周角定理٭理解题意，正确应用相关知识解题． （1）解：如图所示， ①连接，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点两点，作直线交于点， ②以点为圆心，为半径画圆，与交于两点，作直线， 则直线即为所求； 命题点一 尺规作图 ►题型10 过圆外一点作圆的切线 【例1】 （2023·黑龙江绥化·中考真题）已知：点是外一点．(1)尺规作图：如图，过点作出的两条切线，，切点分别为点、点．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）(2)在（1）的条件下，若点在上（点不与，两点重合），且．求的度数． （2）如图所示，点在上（点不与，两点重合）， 且， ∵是的切线， ∴， ∴， 当点在优弧上时，， 当点在劣弧上时，， ∴或． ①连接并延长到点； ②分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点（点在直线上方）； ③以点为圆心，长为半径作； ④连接并延长，交于点，作直线．则直线就是所求作的直线． 根据小明设计的尺规作图过程，完成下列问题： (1)使用直尺和圆规，完成作图；（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接． 点在上，是的直径． ．（ ） ________． 是的半径， 是的切线．（___________ ） 命题点一 尺规作图 ►题型10 过圆外一点作圆的切线 1.（2023·北京东城·模拟预测）下面是小明设计的“过圆上一点作这个圆的切线”的尺规作图过程．已知：及圆上一点．求作：直线，使得为的切线，为切点． 小明的作法如下： 直径所对的圆周角是 过半径的外端且垂线于半径的直线是圆的切线 48 命题点一 尺规作图 ►题型11 作正多边形 【例1】 （2024·甘肃临夏·中考真题）根据背景素材，探索解决问题． 平面直角坐标系中画一个边长为2的正六边形 背景素材 六等分圆原理，也称为圆周六等分问题，是一个古老而经典的几何问题，旨在解决如何使用直尺和圆规将一个圆分成六等份的问题．这个问题由欧几里得在其名著《几何原本》中详细阐述． 已知条件 点与坐标原点重合，点在轴的正半轴上且坐标为 操作步骤 ①分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点； ②以点为圆心，长为半径作圆； ③以的长为半径，在上顺次截取； ④顺次连接，，，，，得到正六边形． 问题解决 任务一 根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法） 任务二 将正六边形绕点顺时针旋转，直接写出此时点所在位置的坐标：______． ． 命题点一 尺规作图 ►题型12 格点作图 【例1】 （2024·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形，使其是轴对称图形且点、均在格点上． (1)在图①中，四边形面积为2； (2)在图②中，四边形面积为3； (3)在图③中，四边形面积为4． 方法指导 解题的关键： ٭掌握网格作图、设计图案、轴对称的性质、平移的性质 ٭理解题意，正确应用轴对称的性质、平移的性质作图 命题点一 尺规作图 ►题型12 格点作图 【例1】 （2024·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形，使其是轴对称图形且点、均在格点上． (1)在图①中，四边形面积为2； (2)在图②中，四边形面积为3； (3)在图③中，四边形面积为4． （1）解：如图①：四边形即为所求； （2）解：如图②：四边形即为所求； （3）解：如图③：四边形即为所求； 51 命题点一 尺规作图 ►题型12 格点作图 1.（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为个单位长度，线段和线段的端点均在小正方形的顶点上．(1)在方格纸中画出，且为钝角（点在小正方形的顶点上）；(2)在方格纸中将线段向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度后得到线段（点的对应点是点，点的对应点是点），连接，请直接写出线段的长． （1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，，即为所求； 解题的关键： ٭掌握网格作图、熟练掌握全等三角形性质，平行四边形性质 ٭理解题意，正确应用相关知识作图 命题点一 尺规作图 ►题型13 无刻度直尺作图 【例1】 （2024·湖北武汉·中考真题）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条． 方法指导 (1)在图（1）中，画射线交于点D，使平分的面积； (2)在（1）的基础上，在射线上画点E，使； (3)在图（2）中，先画点F，使点A绕点F顺时针旋转到点C，再画射线交于点G； (4)在（3）的基础上，将线段绕点G旋转，画对应线段（点A与点M对应，点B与点N对应）． 命题点一 尺规作图 ►题型13 无刻度直尺作图 【例1】 （2024·湖北武汉·中考真题）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条． (1)在图（1）中，画射线交于点D，使平分的面积； （1）如图，作线段，使四边形是矩形， 交于点D，做射线，点D即为所求作； (2)在（1）的基础上，在射线上画点E，使； （2）如图，作,作于点Q，连接交于点E，点E即为作求作； E 54 命题点一 尺规作图 ►题型13 无刻度直尺作图 【例1】 （2024·湖北武汉·中考真题）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条． (3)在图（2）中，先画点F，使点A绕点F顺时针旋转到点C，再画射线交于点G； (4)在（3）的基础上，将线段绕点G旋转，画对应线段（点A与点M对应，点B与点N对应）． （3）如图，在下方取点F，使，连接，连接并延长，交于点G，点F，G即为所求作； ∟ （4）如图，作，交射线于点M，作，交于点N，连接，线段即为所求作． G M T S N 命题点一 尺规作图 ►题型14 最短路径问题 解题的关键： ٭掌握轴对称-最短路径问题，勾股定理，两点之间线段最短 ٭理解题意，利用轴对称的性质 方法指导 【例1】 （2024·广东·模拟预测）综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，“中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马问题．如图，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后再回到点宿营，请问怎样走才能使总路程最短？ 【分析问题】 如图，取点关于河岸线的对称点，连接，，当三点共线时，点为饮马的地方，，此时所走的路程就是最短的． 【解决问题】 （）当三点共线时路程最短的依据是 ； 【迁移应用】 （）如图，两个村庄在河岸 的同侧，两村到河岸的距离分别为千米，千米，(千米，现要在河岸上建一水厂，从处向铺设管道以输送自来水，使得铺设所需的管道长度和最少． ①请在河岸上作出水厂的位置，并写出作图过程； ②若铺设水管的工程费用为元/千米，求出铺设水管最节省的总费用． 两点之间线段最短 命题点一 尺规作图 ►题型14 最短路径问题 【例1】 （2024·广东·模拟预测）综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，“中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马问题．如图，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后再回到点宿营，请问怎样走才能使总路程最短？ 【分析问题】 如图，取点关于河岸线的对称点，连接，，当三点共线时，点为饮马的地方，，此时所走的路程就是最短的． 【迁移应用】 （）如图，两个村庄在河岸 的同侧，两村到河岸的距离分别为千米，千米，(千米，现要在河岸上建一水厂，从处向铺设管道以输送自来水，使得铺设所需的管道长度和最少． ①请在河岸上作出水厂的位置，并写出作图过程； （）①如图，延长到点，使，连接交于点，点即为所求； 命题点一 尺规作图 ►题型14 最短路径问题 【例1】 （2024·广东·模拟预测）综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，“中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马问题．如图，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后再回到点宿营，请问怎样走才能使总路程最短？ 【分析问题】 如图，取点关于河岸线的对称点，连接，，当三点共线时，点为饮马的地方，，此时所走的路程就是最短的． 【迁移应用】 （）如图，两个村庄在河岸 的同侧，两村到河岸的距离分别为千米，千米，(千米，现要在河岸上建一水厂，从处向铺设管道以输送自来水，使得铺设所需的管道长度和最少． ①请在河岸上作出水厂的位置，并写出作图过程； ②若铺设水管的工程费用为元/千米，求出铺设水管最节省的总费用． ②过点作的延长线于点，则，千米，千米，∴千米， ∴千米， ∴最短路线千米， 04 题型精研·考向洞悉 判断是否是命题 题型01 定义、命题、定理 命题点二 判定命题的真假 题型02 写成命题的逆命题 题型03 反证法 题型04 59 命题点二定义、命题、定理 ►题型01 判断是否是命题 【例1】 （2020·四川雅安·中考真题）下列四个选项中不是命题的是（    ） A．对顶角相等 B．过直线外一点作直线的平行线 C．三角形任意两边之和大于第三边 D．如果，那么 解题的关键： ٭掌握命题与定理：判断一件事情的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题 ٭理解题意，注意判断疑问句与作图语句都不是命题 方法指导 解：由题意可知， A、对顶角相等，故选项是命题； B、过直线外一点作直线的平行线，是一个动作，故选项不是命题； C、三角形任意两边之和大于第三边，故选项是命题； D、如果，那么，故选项是命题； B 命题点二定义、命题、定理 ►题型01 判断是否是命题 1．（2023·广西南宁·模拟预测）下列语句中，不是命题的是（    ） A．如果，那么 B．对顶角相等 C．两点之间，线段最短 D．过一点作已知直线的垂线 2．（2023·广东揭阳·二模）下列句子中哪一个是命题（    ） A．你的作业完成了吗？ B．美丽的天空． C．猴子是动物． D．过直线l外一点作l的平行线． D C 解：A、如果，那么，是命题，不符合题意； B、对顶角相等，是命题，不符合题意； C、两点之间，线段最短，是命题，不符合题意； D、过一点作已知直线的垂线，不是命题，符合题意； 解：A、你的作业做完了吗？它是疑问句，不是命题，本选项不符合题意； B、美丽的天空，它是描述性语言，不是命题，本选项不符合题意； C、猴子是动物，是命题，本选项不符合题意； D、过直线l外一点作l的平行线，它是描述性语言，不是命题，本选项不符合题意； 命题点二定义、命题、定理 ►题型02 判定命题的真假 【例1】 （2023·内蒙古通辽·中考真题）下列命题： ①； ②； ③圆周角等于圆心角的一半； ④将一枚质地均匀的硬币抛掷一次时，正面朝上是必然事件； ⑤在一组数据中，如果每个数据都增加4，那么方差也增加4． 其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 解题的关键： ٭掌握同底数幂相乘、无理数大小比较、圆周角定理、随机事件、方差等知识点含义 ٭理解题意，灵活运用相关知识 方法指导 解：①，故①是真命题； ②，故②是假命题； ③在同圆或等圆值，一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半， 故③是假命题； ④将一枚质地均匀的硬币抛掷一次时，正面朝上是随机事件， 故④是假命题； ⑤在一组数据中，如果每个数据都增加4，那么方差不变， 故⑤是假命题． A 命题点二定义、命题、定理 ►题型02 判定命题的真假 1．（2024·江苏无锡·中考真题）命题“若，则”是 命题．（填“真”或“假”） 2．（2024·湖南·中考真题）下列命题中，正确的是（    ） A．两点之间，线段最短 B．菱形的对角线相等 C．正五边形的外角和为 D．直角三角形是轴对称图形 假 解：∵ ∴， ∴若，则是假命题， A 解：A、两点之间，线段最短，正确，是真命题，符合题意； B、菱形的对角线互相垂直，不一定相等，选项错误，是假命题，不符合题意； C、正五边形的外角和为，选项错误，是假命题，不符合题意； D、直角三角形不一定是轴对称图形，只有等腰直角三角形是轴对称图形，选项错误，是假命题，不符合题意； 命题点二定义、命题、定理 ►题型03 写成命题的逆命题 【例1】 （1）（2022·江苏无锡·中考真题）请写出命题“如果， 那么”的逆命题： ． （2）（2022·浙江湖州·中考真题）“如果， 那么”的逆命题是 ． （3）（2024·陕西西安·模拟预测）《原本》是古希腊数学家欧几里得的著作，它以公理和原名为基础推演出更多的结论，是流传最广、影响最大的一部世界数学名著．请写出命题“如果，那么”的逆命题： ． 解题的关键： ٭掌握逆命题的定义：把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题 ٭理解题意，灵活运用相关知识 方法指导 如果，那么 如果，那么 如果，那么 命题点二定义、命题、定理 ►题型04 反证法 【例1】（2023·湖南·中考真题）我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．则三角形的三个内角的和大于，这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．上述推理使用的证明方法是（    ） A．反证法 B．比较法 C．综合法 D．分析法 A 解题的关键： ٭掌握反证法，理解反证法的意义及步骤 ٭步骤是： （1）假设结论不成立； （2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立． 方法指导 解：假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于． 则三角形的三个内角的和大于， 这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾． 所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于． 以上步骤符合反证法的步骤． 故推理使用的证明方法是反证法． 命题点二定义、命题、定理 ►题型04 反证法 1．（2024·山西长治·三模）请阅读以下关于“圆的切线垂直于过切点的半径”的证明过程． 已知：直线与相切于点． 求证：与直线垂直． 证明：如图，假设与直线不垂直，过点作直线于点． ∴，即圆心到直线的距离小于的半径． ∴直线与相交． 这与已知“直线与相切”相矛盾． ∴假设不成立． ∴与直线垂直． 这种证明方法为（　　） A．综合法 B．归纳法 C．枚举法 D．反证法 D 解：∵证明过程先做了假设“与直线不垂直”，最后得到一个与题目已知条件相矛盾的结论，即“假设不成立”， ∴本题运用的证明方法是反证法； 命题点二定义、命题、定理 ►题型04 反证法 2．（2024·江苏南京·模拟预测）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”第一步应假设直角三角形中 ． 解：反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”， 第一步假设直角三角形中每个锐角都大于， ∴设每个锐角都大于45°． 每个锐角都大于 谢谢 聆听 2025年中考 一轮复习讲练测 数学 $$