精品解析：辽宁省大连市西岗区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

西岗区期末质量抽测试卷 九年级数学 （本试卷共 23 道题 满分 120 分 考试时间共 120 分钟） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题 （共30 分） 一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共30 分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 剪纸是我国传统民间艺术． 下列“花朵”剪纸作品中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，则 A. B. C. D. 3. 一根排水管截面如图所示，已知排水管的截面圆半径，截面圆圆心到水面的距离是6，则水面宽是（ ） A. 16 B. 10 C. 8 D. 6 4. 方程 的根的情况为（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 5. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 打开电视机，正在播放动画片 B. 阴天一定会下雨 C. 某彩票中奖率是1%，买100张一定会中奖 D. 在只装有5个红球的袋中摸出1个球，是红球 6. 若相似△ABC与△DEF的相似比为1：3，则△ABC与△DEF的面积比为（　　） A 1：3 B. 1：9 C. 3：1 D. 1： 7. 某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x米，则可列方程为（ ） A. x(x－10)＝200 B. 2x＋2(x－10)＝200 C. x(x＋10)＝200 D. 2x＋2(x＋10)＝200 8. 将抛物线 向右平移1个单位后所得抛物线的解析式是 （ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，点D、E分别在边、上，下列条件中不能判断的是（ ） A B. C. D. 10. 二次函数（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是 A. a＞0 B. 当﹣1＜x＜3时，y＞0 C. c＜0 D. 当x≥1时，y随x的增大而增大 第二部分 非选择题 （共90 分） 二、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共15 分） 11. 计算___________． 12. 如图，点上，若，则____________°． 13. 圆的内接正六边形的中心角是____________． 14. 圆锥的底面半径为，母线长为，则它的侧面展开图扇形的面积为______． 15. 如图，，，若，且，则____________． 三、解答题（本题共 8 小题，共75 分． 解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，在中，弦、于点E，且．求证：． 18. 如图，平面直角坐标系中，A、B、C坐标分别是、、，将 绕点O逆时针方向旋转 后得 （1）画出 并写出 的坐标； （2）求出点 B 在旋转过程中所走过的弧的长度． 19. 一个不透明口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4． （1）随机摸取一个小球，则摸到标号为“3”的小球的概率是 ； （2）随机摸取一个小球，然后不放回，再随机摸取一个小球，请用列表或画树状图的方法、求出两次摸取的小球的标号和为5的概率． 20. 图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.4m．当起重臂AC长度为9m，张角∠HAC为118°时，求操作平台C离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53） 21. 如图，为的直径，平分交于，过点作与的延长线交于点． （1）求证：为切线； （2）若 ，求的长． 22. 在数学课堂上，刘老师定义了一个新概念如下：经过多边形某一边的中点，且平分该图形周长的直线叫这个多边形在该边上的“平衡线”，其中与多边形边的两个交点间的线段（含两个交点） 叫做该边上的“平衡线段”，如图（1） 为四边形，边上的中点，且平分四边形周长，则称直线 为四边形 ，边上平衡线，称线段为边上的平衡线段． （1）如图 （2） 中，， ①直接写出，边上的平衡线段长为 ； ②求出中，边上的平衡线段的值． （2）如图（3）为中边上的“平衡线段”，于交 于，为中点． ①判断：与的数量关系，并证明； ②若，求的值（用含的式子表示） ． 23. 已知： 抛物线 交轴于 ，交轴于，顶点为为抛物线上动点． （1）求抛物线的解析式； （2）在 运动过程中，连，当． 时，求点坐标； （3）随着运动到第一象限，如图（2）直线交对称轴于，直线交对称轴于，若对称轴交轴于，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西岗区期末质量抽测试卷 九年级数学 （本试卷共 23 道题 满分 120 分 考试时间共 120 分钟） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题 （共30 分） 一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共30 分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 剪纸是我国传统民间艺术． 下列“花朵”剪纸作品中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形概念理解，中心对称图形是该图形旋转之后仍然与原图形重合的图形，根据概念对选项依次判断即可． 【详解】A选项中的图形不能旋转之后仍然与原图形重合，不是中心对称图形，不符合题意； B选项中的图形旋转后与原图形重合，是中心对称图形，符合题意； C选项中的图形不能旋转之后仍然与原图形重合，不是中心对称图形，不符合题意； D选项中的图形不能旋转之后仍然与原图形重合，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：B 2. 在中，，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了余弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的余弦等于这个角的邻边与斜边的比值，根据余弦的定义即可得到答案，熟练掌握余弦的定义是解此题的关键． 【详解】解：中，， ， 故选：C． 3. 一根排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆半径，截面圆圆心到水面的距离是6，则水面宽是（ ） A. 16 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】先根据垂径定理得出AB=2BC，再根据勾股定理求出BC的长，进而可得出答案． 解答：∵截面圆圆心O到水面的距离OC是6， 【详解】∴OC⊥AB， ∴AB=2BC， 在Rt△BOC中，OB=10，OC=6， ∴BC===8， ∴AB=2BC=2×8=16． 故选：A． 【点睛】本题考查了垂径定理的应用，作OC⊥AB，构建直角三角形是解题的关键． 4. 方程 的根的情况为（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解，熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：． 5. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 打开电视机，正在播放动画片 B. 阴天一定会下雨 C. 某彩票中奖率1%，买100张一定会中奖 D. 在只装有5个红球的袋中摸出1个球，是红球 【答案】D 【解析】 【分析】在一定条件下，必然发生的事件是必然事件；在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件是随机事件；在一定条件下不可能发生的事件是不可能事件；由此问题可求解． 【详解】解：A，B，C是随机事件，D选项是必然事件． 故选D． 【点睛】本题主要考查随机事件，熟练掌握随机事件的相关概念是解题的关键． 6. 若相似△ABC与△DEF的相似比为1：3，则△ABC与△DEF的面积比为（　　） A. 1：3 B. 1：9 C. 3：1 D. 1： 【答案】B 【解析】 【分析】由相似△ABC与△DEF的相似比为1：3，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得△ABC与△DEF的面积比． 【详解】相似△ABC与△DEF的相似比为1：3 △ABC与△DEF的面积比为1：9 故答案为B 7. 某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x米，则可列方程为（ ） A. x(x－10)＝200 B. 2x＋2(x－10)＝200 C. x(x＋10)＝200 D. 2x＋2(x＋10)＝200 【答案】C 【解析】 【分析】设长为(x＋10)米，可列方程x(x＋10)＝200． 【详解】解：∵花圃的长比宽多10米，设花圃的宽为x米， ∴长为(x＋10)米． ∵花圃的面积为200， ∴可列方程为x(x＋10)＝200． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的几何问题，利用“长比宽多10米”用未知数把长和宽表示出来是解题的关键． 8. 将抛物线 向右平移1个单位后所得抛物线的解析式是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键． 根据二次函数平移规律“左加右减，上加下减”计算即可． 【详解】解：将抛物线 向右平移1个单位， ∴平移后的解析式为， 故选：A ． 9. 如图，在中，点D、E分别在边、上，下列条件中不能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，关键是相似三角形判定定理的应用． 结合相似三角形的判定定理进行解答即可． 详解】解：A． ，，，故A选项正确，不符合题意； B． ，，，故B选项正确，不符合题意； C． ，，又，，故C选项正确，不符合题意； D． ，而与不一定相等，不能使和相似，故D选项正确，符合题意； 故答案为：D． 10. 二次函数（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是 A. a＞0 B. 当﹣1＜x＜3时，y＞0 C. c＜0 D. 当x≥1时，y随x的增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断. 【详解】A．抛物线的开口方向向下，则a＜0，故本选项错误； B．根据图示知，抛物线的对称轴为x=1，抛物线与x轴的一交点的横坐标是﹣1，则抛物线与x轴的另一交点的横坐标是3，所以当﹣1＜x＜3时，y＞0，故本选项正确； C．根据图示知，该抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0，故本选项错误； D．根据图示知，当x≥1时，y随x的增大而减小，故本选项错误． 故选B． 第二部分 非选择题 （共90 分） 二、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共15 分） 11. 计算___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值．根据特殊角的三角函数值进行解答即可． 【详解】解：； 故答案为：． 12. 如图，点在上，若，则____________°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，掌握一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半是解题的关键． 【详解】 故答案为：60 13. 圆的内接正六边形的中心角是____________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了圆与正多边形的关系，掌握中心角的计算方法是解题的关键． 根据圆、正六边形的性质求解即可． 【详解】解：圆的内接正六边形的中心角是， 故答案为： ． 14. 圆锥的底面半径为，母线长为，则它的侧面展开图扇形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥侧面积计算，根据圆锥侧面展开面积公式进行计算即可，解题的关键是熟练掌握圆锥侧面展开面积公式，其中表示圆锥的底面半径，表示母线长． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为，母线长为， ∴它的侧面展开图扇形的面积为， 故答案为：． 15. 如图，，，若，且，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，三角函数，勾股定理以及相关几何图形中的线段的一元二次方程的计算等，解题的关键是通过作辅助线，利用角平分线的性质建立方程来求解线段长度． 通过过点左延长线于点，过点左延长线于点构造出平分的几何图形，利用角平分线的性质得到线段相等关系，再结合已知条件列出方程求解． 【详解】如图，过点左延长线于点，过点左延长线于点， ∵， ∴， ∵， ∴平分， （角平分线上的点到角的两边距离相等） ， ， ， 解得（负值已舍去）， ∴， 三、解答题（本题共 8 小题，共75 分． 解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要特殊角的三角函数的计算，公式法求一元二次方程，掌握特殊角的三角函数值的计算，公式法的运用是解题的关键． （1）先计算特殊角的三角函数值，再根据实数的混合运算法则计算即可； （2）确定的值，的值，再运用求根公式计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ∴，， ∴方程有两个不等的实数根， ∴， ∴． 17. 如图，在中，弦、于点E，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查圆的相关性质，解题的关键是利用在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等这一性质进行推理。 先根据已知弦相等得出弧相等，再通过弧的运算得到，最后根据弧与弦的关系得出弦相等。 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴. 18. 如图，平面直角坐标系中，A、B、C坐标分别是、、，将 绕点O逆时针方向旋转 后得 （1）画出 并写出 的坐标； （2）求出点 B 在旋转过程中所走过的弧的长度． 【答案】（1）见解析，，， （2） 【解析】 【分析】本题考查作图一旋转变换，弧长的计算，熟练掌握旋转的性质，弧长公式是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可． （2）利用弧长公式计算即可． 【小问1详解】 如图，△A′B′C′即为所求．的坐标为：，， 【小问2详解】 由题意得，点在旋转过程中所走过的弧的长度为． 19. 一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4． （1）随机摸取一个小球，则摸到标号为“3”的小球的概率是 ； （2）随机摸取一个小球，然后不放回，再随机摸取一个小球，请用列表或画树状图的方法、求出两次摸取的小球的标号和为5的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查概率公式以及用列表法或画树状图法求概率，熟练掌握概率公式，用列表法或画树状图法分析是解题的关键． （1）直接由概率公式求即可； （2）利用列表法分析出共有12种等可能的结果，其中“两次取出的小球标号的和等于5”的结果有4种，然后由概率公式计算即可． 【小问1详解】 由题意知，共有4种等可能的结果，其中摸到标号为“3”的小球的结果有1种， ∴随机摸取一个小球，摸到标号为“3”的小球的概率是． 故答案为：． 【小问2详解】 依题意列表如下： 1 2 3 4 1 —— （2，1） （3，1） （4，1） 2 （1，2） —— （3，2） （4，2） 3 （1，3） （2，3） —— （4，3） 4 （1，4） （2，4） （3，4） —— 由上表可知，摸取第一个小球后不放回，共有12种等可能的结果，其中“两次取出的小球标号的和等于5”的结果有4种， ∴P（两次取出的小球标号的和等于5）＝． 20. 图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.4m．当起重臂AC长度为9m，张角∠HAC为118°时，求操作平台C离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53） 【答案】操作平台C离地面的高度为7.6m． 【解析】 【详解】分析：作CE⊥BD于F，AF⊥CE于F，如图2，易得四边形AHEF为矩形，则EF=AH=3.4m，∠HAF=90°，再计算出∠CAF=28°，则在Rt△ACF中利用正弦可计算出CF，然后计算CF+EF即可． 详解：作CE⊥BD于F，AF⊥CE于F，如图2， 易得四边形AHEF为矩形， ∴EF=AH=3.4m，∠HAF=90°， ∴∠CAF=∠CAH-∠HAF=118°-90°=28°， 在Rt△ACF中，∵sin∠CAF=， ∴CF=9sin28°=9×0.47=4.23， ∴CE=CF+EF=4.23+3.4≈7.6（m）， 答：操作平台C离地面的高度为7.6m． 点睛：本题考查了解直角三角形的应用：先将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题），然后利用勾股定理和三角函数的定义进行几何计算． 21. 如图，为的直径，平分交于，过点作与的延长线交于点． （1）求证：为切线； （2）若 ，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据角平分线的定义得到，由，得到，则，所以有，即，结合为半径，切线的定义即可求解； （2）连接交于，由角平分线的定义，等角所对弧相等得到，由弦，弧的关系得到，则，根据为的直径，得到，则四边形是矩形，再运用勾股定理得到，根据中位线的判定得到，由即可求解． 【小问1详解】 证明：连接， ∵平分， ∴， ∵中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为半径， ∴为切线 【小问2详解】 解：连接交于， ∵平分， ∴， ∴， ∴，则， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵，点分别是的中点， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查三角形与圆的综合，掌握切线的判定，圆的基础知识，圆周角，弦，弧的关系，直径所对圆周角为直角，矩形的判定和性质，勾股定理，中位线的判定及性质等知识的综合运用是解题的关键． 22. 在数学课堂上，刘老师定义了一个新概念如下：经过多边形某一边的中点，且平分该图形周长的直线叫这个多边形在该边上的“平衡线”，其中与多边形边的两个交点间的线段（含两个交点） 叫做该边上的“平衡线段”，如图（1） 为四边形，边上的中点，且平分四边形周长，则称直线 为四边形 ，边上平衡线，称线段为边上的平衡线段． （1）如图 （2） 中，， ①直接写出，边上的平衡线段长为 ； ②求出中，边上的平衡线段的值． （2）如图（3）为中边上的“平衡线段”，于交 于，为中点． ①判断：与的数量关系，并证明； ②若，求的值（用含的式子表示） ． 【答案】（1）①；② （2）①，证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）①根据题意得到是等腰三角形，由“平衡线”的定义得到，取线段边的中点，连接，则为边边上的平衡线段，由等腰三角形的性质（三线合一）得到，，在中，由勾股定理即可求解； ②如图，取线段的中点，在线段上取一点，连接，为中边上的“平衡线段”，过点作于点，则，且，可证，得到，，由“平衡线段”的定义得到，则，在中，由勾股定理即可求解； （2）①设，由为中点，得到，，由为中边上的“平衡线段”，得到，根据中位线的定义和性质得到，由此即可求解； ②延长至，使得，根据中位线的判定和性质得到，则=, 设，则，，，所以，根据“平衡线段”的定义得到∴， ，代入计算即可求解． 【小问1详解】 解：①∵在中，， ∴是等腰三角形， 根据经过多边形某一边的中点，且平分该图形周长的直线叫这个多边形在该边上的“平衡线”， ∴如图所示，取线段边的中点，连接， ∴为边边上的平衡线段， ∴，， 在中，， 故答案为：8； ②如图，取线段的中点，在线段上取一点，连接，为中边上的“平衡线段”，过点作于点， ∵， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为中点，即， ∴，， ∵为中边上的“平衡线段”， ∴， ∴， ∴在中，， ∴； 【小问2详解】 解：①， 证明：设， ∵为中点， ∴，， ∵为中边上的“平衡线段”， ∴， ∴， ∵为中点，为中点， ∴； ②延长至，使得， ∵为中边上的“平衡线段”， ∴为中点，且为中点， ∴， ∴=, ∵，设， ∴， ∵为的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为中边上的“平衡线段”， ∴， ∴， ， ∴． 【点睛】本题主要考查了新定义，等腰三角形的性质，中位线的判定和性质，平行线截线段成比例等知识的综合运用，理解新定义，掌握中位线的判定和性质，平行线截线段成比例的计算方法是解题的关键． 23. 已知： 抛物线 交轴于 ，交轴于，顶点为为抛物线上动点． （1）求抛物线的解析式； （2）在 运动过程中，连，当． 时，求点坐标； （3）随着运动到第一象限，如图（2）直线交对称轴于，直线交对称轴于，若对称轴交轴于，求的值． 【答案】（1）抛物线的解析式为； （2）或； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与几何图形的综合运用，掌握待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，动点与函数的关系的表示方法，数形结合分析思想是解题的关键． （1）把点代入，运用待定系数法求解即可； （2）如图所示，过点作于点，过点作轴于点，过点作轴，交延长线于点，设，可得是等腰直角三角形，则，可证，得到，则，直线的解析式为，且点是直线与抛物线的交点，联立方程组得，由此即可求解； （3）根据题意，抛物先对称轴直线为，，设，可得直线的解析式为，则，同理可得，由此即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线 交轴于 ， ∴， 解得，， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：抛物线的解析式为， ∴， 令，则， 解得，，即， 如图所示，过点作于点，过点作轴于点，过点作轴，交延长线于点，设， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，则， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线解析式为，且点是直线与抛物线的交点， ∴联立方程组得，， 解得，， ∴或； 【小问3详解】 解：根据题意，抛物先对称轴直线为，，设， 直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， 同理可得，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $