山东省淄博市高青县2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷（五四制）

2024-2025学年山东省淄博市高青县九年级（上）期末数学试卷（五四学制） 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不得分） 1．（4分）用一个平面截长方体，得到如图的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”的左视图是（　　） A． B． C． D． 2．（4分）若点A（﹣2，a），B（﹣1，b），C（1，c）都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系是（　　） A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．c＜a＜b 3．（4分）如图是一个圆柱形输水管横截面的示意图，阴影部分为有水部分，如果水面AB的宽为8cm，水面最深的地方高度为2cm，则该输水管的半径为（　　） A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm 4．（4分）为发展学生的阅读素养，某校开设了《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》4个整本书阅读项目，甲、乙两名同学都通过抽签的方式从这四个阅读项目中随机抽取1个，则他们恰好抽到同一个阅读项目的概率是（　　） A． B． C． D． 5．（4分）下列图象中，可能是函数y＝ax2﹣a（a≠0）的图象的是（　　） A． B． C． D． 6．（4分）如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得∠A＝88°，∠C＝42°，AB＝60，则点A到BC的距离为（　　） A．60sin50° B． C．60cos50° D．60tan50° 7．（4分）如图，点P是反比例函数y＝（k≠0）的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，若△POM的面积等于5，则k的值等于（　　） A．2.5 B．10 C．﹣10 D．﹣5 8．（4分）如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的北偏西60°方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西15°方向上，码头A到小岛C的距离AC为（+1）海里．观测站B到AC的距离BP是（　　） A． B．1 C．2 D． 9．（4分）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从点O正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（单位：m）与运行的水平距离x（单位：m）满足关系式，已知球网与点O的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距点O的水平距离为18m．下列判断正确的是（　　） A．球运行的最大高度是2.43m B．球不会过球网 C．球会过球网但不会出界 D．球会过球网但会出界 10．（4分）如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D，且DC+DA＝12，⊙O的直径为20，则AB的长等于（　　） A．8 B．12 C．16 D．18 二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分） 11．（4分）如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC＝10m，则坡面AB的长度为 　 　m． 12．（4分）如图，△ABC为等边三角形，AB＝2且AB⊥x轴于点B，反比例函数经过点A与点C，则k＝　 　． 13．（4分）如图，MN是⊙O的直径，MN＝4，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为　 　． 14．（4分）一个由若干个相同的小正方体组成的几何体，从正面和上面看到的图如图所示，则构成该几何体小正方体的最多个数为a，最少个数为b，则a﹣b＝ 　 　． 15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，作直线x＝i（i＝1，2，3，…）与x轴相交于点Ai，与抛物线相交于点Bi，连接AiBi+1，BiAi+1相交于点∁i，得△AiBi∁i和△Ai+1Bi+1∁i，若将其面积之比记为ai＝，则a2024＝ 　 　． 三、解答题（共8小题，共90分．请写出必要的解答过程．） 16．近视眼镜镜片的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例．已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m． （1）求y与x的函数表达式； （2）已知王老师的近视眼镜镜片度数为200度，求该镜片的焦距． 17．如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点A到BC所在直线的距离AC＝3m，∠CAB＝60°；停止位置示意图如图3，此时测得∠CDB＝37°（点C，A，D在同一直线上，且直线CD与平面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变． （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，） （1）求AB的长； （2）求物体上升的高度CE（结果精确到0.1m）． 18．吉安高铁站开通后，旅客在网购车票时，系统是随机分配座位的，王某和李某打算购买从吉安西到南昌西的高铁车票（如图所示，一排中的座位编号为A，B，C，D，F）．假设系统已将两人的位置分配到同一排后，在同一排分配各个座位的机会是均等的． （1）“系统分给这两个人A，G座位”是 　 　（填“必然”或“不可能”或“随机”）事件； （2）利用画树状图或列表格，求系统分配给王某和李某相邻座位（过道两侧座位C，D不算相邻）的概率． 19．如图，直线l与⊙O相切于点D，AB为⊙O的直径，过点A作AE⊥l于点E，延长AB交直线l于点C． （1）求证：AD平分∠CAE； （2）如果BC＝1，DC＝3，求⊙O的半径． 20．常山是“胡柚之乡”，小明经过市场调查发现，某乡柚农家中胡柚每月的销售量与售价关系如下表： 售价x（元/箱） 80 90 100 110 … 月销量y（箱） 240 220 200 180 … 已知每箱胡柚的成本40元，设每箱胡柚的售价为x元． （1）求月销量y与售价x的函数关系式； （2）设销售胡柚的月利润为W元，那么每箱胡柚的售价为多少元时，当月的销售利润最大？最大利润是多少元？ 21．如图，一次函数y＝k1x+2的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（m，4），B两点，与x，y轴分别相交于点C，D．且tan∠ACO＝2． （1）分别求这两个函数的表达式； （2）以点D为圆心，线段DB的长为半径作弧与x轴正半轴相交于点E，连接AE，BE．求△ABE的面积； （3）根据函数的图象直接写出关于x的不等式k1x+2＞的解集． 22．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，CD⊥AB，直线CE为⊙O的切线，CE交AB的延长线于点E，连接DB、BC、CA． （1）求证：∠BDC＝∠BCE； （2）连接DO，延长DO交AC于点F，延长DB交CE于点G．当F为AC的中点时，求证：DG⊥CE； （3）若⊙O的半径为6，在（2）的条件下，求图中阴影部分面积． 23．综合与实践： 如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（4，0），与y轴交于点C，连接BC，点D在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）小明探究点D位置时发现：如图1，点D在第一象限内的抛物线上，连接BD，CD，△BCD面积存在最大值，请帮助小明求出△BCD面积的最大值； （3）小明进一步探究点D位置时发现：点D在抛物线上移动，连接CD，存在∠DCB＝∠ABC，请帮助小明求出∠DCB＝∠ABC时点D的坐标． 2024-2025学年山东省淄博市高青县九年级（上）期末数学试卷（五四学制） 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A D C A C B D B 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不得分） 1．（4分）用一个平面截长方体，得到如图的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”的左视图是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：图中几何体的左视图为： ， 故选：A． 2．（4分）若点A（﹣2，a），B（﹣1，b），C（1，c）都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系是（　　） A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．c＜a＜b 【解答】解：∵k＜0， ∴图象在二四象限， ∵﹣2＜﹣1＜0＜1， ∴c＜a＜b； 故选：D． 3．（4分）如图是一个圆柱形输水管横截面的示意图，阴影部分为有水部分，如果水面AB的宽为8cm，水面最深的地方高度为2cm，则该输水管的半径为（　　） A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm 【解答】解：作半径OD⊥AB于C，连接OA， 设圆的半径是r cm， ∵CD＝2cm， ∴OC＝（r﹣2）cm， ∵OD⊥AB， ∴AC＝AB＝×8＝4（cm）， ∵OA2＝OC2+AC2， ∴r2＝（r﹣2）2+42， ∴r＝5， ∴该输水管的半径为5cm． 故选：A． 4．（4分）为发展学生的阅读素养，某校开设了《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》4个整本书阅读项目，甲、乙两名同学都通过抽签的方式从这四个阅读项目中随机抽取1个，则他们恰好抽到同一个阅读项目的概率是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：记《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》分别为A、B、C、D， 画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中甲、乙两名同学恰好抽到同一个阅读项目的结果有4种， ∴他们恰好抽到同一个阅读项目的概率是＝， 故选：D． 5．（4分）下列图象中，可能是函数y＝ax2﹣a（a≠0）的图象的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：当a＞0时，函数y＝ax2﹣a（a≠0）的图象开口向上，顶点在y轴的负半轴； 当a＜0时，函数y＝ax2﹣a（a≠0）的图象开口向下，顶点在y轴的正半轴， 故选：C． 6．（4分）如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得∠A＝88°，∠C＝42°，AB＝60，则点A到BC的距离为（　　） A．60sin50° B． C．60cos50° D．60tan50° 【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示： ∵∠BAC＝88°，∠C＝42°， ∴∠B＝180°﹣88°﹣42°＝50°， 在Rt△ABD中，AD＝AB×sinB＝60×sin50°， ∴点A到BC的距离为60sin50°，故A正确． 故选：A． 7．（4分）如图，点P是反比例函数y＝（k≠0）的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，若△POM的面积等于5，则k的值等于（　　） A．2.5 B．10 C．﹣10 D．﹣5 【解答】解：∵PM⊥x轴，△POM的面积等于5， ∴|k|＝5， 而图象在第二象限，k＜0， ∴k＝﹣10， 故选：C． 8．（4分）如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的北偏西60°方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西15°方向上，码头A到小岛C的距离AC为（+1）海里．观测站B到AC的距离BP是（　　） A． B．1 C．2 D． 【解答】解：由题意得：∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∠ABC＝90°+15°＝105°， ∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝45°， ∵BP⊥AC， ∴∠BPA＝∠BPC＝90°， ∵∠C＝45°， ∴△BCP是等腰直角三角形， ∴BP＝PC， ∵∠BAC＝30°， ∴PA＝BP， ∵PA+PC＝AC， ∴BP+BP＝+1， 解得：BP＝1（海里）， 故选：B． 9．（4分）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从点O正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（单位：m）与运行的水平距离x（单位：m）满足关系式，已知球网与点O的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距点O的水平距离为18m．下列判断正确的是（　　） A．球运行的最大高度是2.43m B．球不会过球网 C．球会过球网但不会出界 D．球会过球网但会出界 【解答】解：∵抛物线解析式为， ∴球运行的最大高度为2.6m，故A说法错误，不符合题意； 在中，当x＝9时，， ∴球会过球网，故B说法错误，不符合题意； 在中，当x＝18时，则， ∴球会过球网且会出界，故C说法错误，不符合题意，D说法正确，符合题意； 故选：D． 10．（4分）如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D，且DC+DA＝12，⊙O的直径为20，则AB的长等于（　　） A．8 B．12 C．16 D．18 【解答】解：连接OC，过O作OF⊥AB，垂足为F， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC， ∵AC平分∠PAE， ∴∠DAC＝∠CAO， ∴∠DAC＝∠OCA， ∴PB∥OC， ∵CD⊥PA， ∴∠OCD＝∠CDA＝∠OFD＝90°， ∴四边形DCOF为矩形， ∴OC＝FD，OF＝CD． ∵DC+DA＝12， 设AD＝x，则OF＝CD＝12﹣x， ∵⊙O的直径为20， ∴DF＝OC＝10， ∴AF＝10﹣x， 在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2+OF2＝OA2． 即（10﹣x）2+（12﹣x）2＝102， 解得x1＝4，x2＝18． ∵CD＝12﹣x大于0，故x＝18舍去， ∴x＝4， ∴AD＝4，AF＝10﹣4＝6， ∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点， ∴AB＝2AF＝12． 故选：B． 二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分） 11．（4分）如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC＝10m，则坡面AB的长度为 　20　m． 【解答】解：Rt△ABC中，BC＝10m，tanA＝1：， ∴AC＝BC÷tanA＝10m， ∴AB＝＝20m． 故答案为：20． 12．（4分）如图，△ABC为等边三角形，AB＝2且AB⊥x轴于点B，反比例函数经过点A与点C，则k＝　　． 【解答】解：如图，作CD⊥OB于点D． ∵△ABC为等边三角形，AB＝2， ∴∠ABC＝60°，BC＝AB＝2． ∵AB⊥x轴， ∴∠ABD＝90°， ∴∠CBD＝30°， ∴， ∴． 设A（a，2）则． ∵点A，点C在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13．（4分）如图，MN是⊙O的直径，MN＝4，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为　2　． 【解答】解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，与MN的交点即为点P，PA+PB的最小值即为A′B的长，连接OA′、OB、OA， ∵A′点为点A关于直线MN的对称点，∠AMN＝30°， ∴∠AON＝∠A′ON＝2∠AMN＝2×30°＝60°， 又∵点B是弧AN的中点， ∴＝， ∴∠BON＝∠AOB＝∠AON＝×60°＝30°， ∴∠A′OB＝∠A′ON+∠BON＝60°+30°＝90°， 又∵MN＝4， ∴OA′＝OB＝MN＝×4＝2， ∴Rt△A′OB中，A′B＝＝2，即PA+PB的最小值为2． 故答案为：2． 14．（4分）一个由若干个相同的小正方体组成的几何体，从正面和上面看到的图如图所示，则构成该几何体小正方体的最多个数为a，最少个数为b，则a﹣b＝ 　3　． 【解答】解：从正面看，共有三层，结合从上面看可得，第一层有4个，第二层最多有4个，最少有2个，第三次最多有2个，最少1个， ∴最多有4+4+2＝10个，最少有4+2+1＝7个， ∴a＝10，b＝7， ∴a﹣b＝10﹣7＝3， 故答案为：3． 15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，作直线x＝i（i＝1，2，3，…）与x轴相交于点Ai，与抛物线相交于点Bi，连接AiBi+1，BiAi+1相交于点∁i，得△AiBi∁i和△Ai+1Bi+1∁i，若将其面积之比记为ai＝，则a2024＝ 　　． 【解答】解：①由A1（1，0）得B1（1，）， 由A2（2，0）得B2（2，1）， 设直线A1B2的解析式为y＝kx+b， 代入由A1（1，0），B2（2，1）得： ， ∴k＝1，b＝﹣1， ∴直线A1B2的解析式为y＝x﹣1， 同理直线A2B1的解析式为y＝x+， 联立得x﹣1＝x+， ∴x＝， ∴C1（，）， ∴ai＝××（）÷[×1×（2﹣）]＝＝． ②由A3（3，0）得B3（3，）， 同①方法得直线A2B3的解析式为y＝x﹣， 直线A3B2的解析式为y＝﹣x+3， 联立得x﹣＝﹣x+3， ∴x＝， ∴C2（，）， ∴a2＝×1×（）÷[××（）]＝＝， •••， ∴a2024＝． 解法二：由题意A1B1＝×12，A2B2＝×22，A3B3＝×32，A4B4＝×42， ∵△A1B1C1∽△A2B2C2， ∴a1＝（）2＝（）2＝， 同法可得a2＝，…， ∴a2024＝． 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共90分．请写出必要的解答过程．） 16．近视眼镜镜片的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例．已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m． （1）求y与x的函数表达式； （2）已知王老师的近视眼镜镜片度数为200度，求该镜片的焦距． 【解答】解：（1）设y与x的函数表达式为y＝， 400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m， ∴k＝0.25×400＝100， ∴y与x的函数表达式为y＝． （2）＝0.5， 答：该镜片的焦距为0.5m． 17．如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点A到BC所在直线的距离AC＝3m，∠CAB＝60°；停止位置示意图如图3，此时测得∠CDB＝37°（点C，A，D在同一直线上，且直线CD与平面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变． （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，） （1）求AB的长； （2）求物体上升的高度CE（结果精确到0.1m）． 【解答】解：（1）由题意得：∠BCA＝90°， ∵AC＝3m，∠CAB＝60°， 在Rt△ABC中，由cos∠A＝， 得：＝cos60°＝， ∴AB＝6m； （2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝＝3（m）， 在Rt△BCD中，sin∠CDB＝， ∴sin37°＝＝0.6， ∴BD＝5m， 由题意得，BC+AB＝BE+BD， ∴BE＝BC+AB﹣BD＝3+6﹣5＝6﹣2（m）， ∴CE＝BC﹣BE＝3﹣（6﹣2）＝5﹣6≈2.7（m）， 答：物体上升的高度约为2.7m． 18．吉安高铁站开通后，旅客在网购车票时，系统是随机分配座位的，王某和李某打算购买从吉安西到南昌西的高铁车票（如图所示，一排中的座位编号为A，B，C，D，F）．假设系统已将两人的位置分配到同一排后，在同一排分配各个座位的机会是均等的． （1）“系统分给这两个人A，G座位”是 　不可能　（填“必然”或“不可能”或“随机”）事件； （2）利用画树状图或列表格，求系统分配给王某和李某相邻座位（过道两侧座位C，D不算相邻）的概率． 【解答】解：（1）∵一排中的座位编号为A，B，C，D，F，不存在编号为G的座位， ∴“系统分给这两个人A，G座位”是不可能事件， 故答案为：不可能； （2）根据题意画树状图如下： 由树状图可知，共有20种等情况数，其中相邻座位的情况数有6种， 则系统分配给王某和李某相邻座位（过道两侧座位C，D不算相邻）的概率是． 19．如图，直线l与⊙O相切于点D，AB为⊙O的直径，过点A作AE⊥l于点E，延长AB交直线l于点C． （1）求证：AD平分∠CAE； （2）如果BC＝1，DC＝3，求⊙O的半径． 【解答】（1）证明：连接OD，如图， ∵直线l与⊙O相切于点D， ∴OD⊥CE， ∵AE⊥CE， ∴OD∥AE， ∴∠ODA＝∠EAD， ∵OA＝OD， ∴∠ODA＝∠OAD， ∴∠OAD＝∠EAD， ∴AD平分∠CAE； （2）解：设⊙O的半径为r，则OB＝OD＝r， 在Rt△OCD中，∵OD＝r，CD＝3，OC＝r+1， ∴r2+32＝（r+1）2， 解得r＝4， 即⊙O的半径为4． 20．常山是“胡柚之乡”，小明经过市场调查发现，某乡柚农家中胡柚每月的销售量与售价关系如下表： 售价x（元/箱） 80 90 100 110 … 月销量y（箱） 240 220 200 180 … 已知每箱胡柚的成本40元，设每箱胡柚的售价为x元． （1）求月销量y与售价x的函数关系式； （2）设销售胡柚的月利润为W元，那么每箱胡柚的售价为多少元时，当月的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【解答】解：（1）设月销量y与售价x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）， 将（80，240），（90，220）代入y＝kx+b得：， 解得：， ∴月销量y与售价x的函数关系式为y＝﹣2x+400； （2）根据题意得：W＝（x﹣40）（﹣2x+400）＝﹣2x2+480x﹣16000， ∴W＝﹣2（x﹣120）2+12800． ∵﹣2＜0， ∴当x＝120时，W取得最大值，最大值为12800． 答：当每箱胡柚的售价为120元时，当月的销售利润最大，最大利润是12800元． 21．如图，一次函数y＝k1x+2的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（m，4），B两点，与x，y轴分别相交于点C，D．且tan∠ACO＝2． （1）分别求这两个函数的表达式； （2）以点D为圆心，线段DB的长为半径作弧与x轴正半轴相交于点E，连接AE，BE．求△ABE的面积； （3）根据函数的图象直接写出关于x的不等式k1x+2＞的解集． 【解答】解：（1）由y＝k1x+2得D（0，2）， ∵tan∠ACO＝2， ∴＝2， ∴C（﹣1，0）， 代入y＝k1x+2得k1＝2， ∴一次函数解析式为y＝2x+2． 过A作AM⊥x轴，如图1． ∴tan∠ACO＝＝2， ∵AM＝4， ∴CM＝2， ∴OM＝1， ∴A（1，4）， 代入y＝得k2＝4， ∴反比例函数解析式为y＝． （2）如图2：过A作AN∥y轴，交BE于N． 联立y＝2x+2和y＝得x2+x﹣2＝0， ∴x＝﹣2或1， ∴B（﹣2，﹣2）． ∴BD＝＝2， ∴DE＝DB＝2， ∴OE＝＝4， ∴E（4，0）， 设直线BE解析式为y＝mx+n， ∴， ∴m＝，n＝﹣， ∴直线BE解析式为y＝x﹣， ∴N（1，﹣1）， ∴△ABE面积＝（4+1）（4+2）＝15． （3）看图得：当﹣2＜x＜0或x＞1时，k1x+2＞，即2x+2＞． 22．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，CD⊥AB，直线CE为⊙O的切线，CE交AB的延长线于点E，连接DB、BC、CA． （1）求证：∠BDC＝∠BCE； （2）连接DO，延长DO交AC于点F，延长DB交CE于点G．当F为AC的中点时，求证：DG⊥CE； （3）若⊙O的半径为6，在（2）的条件下，求图中阴影部分面积． 【解答】（1）证明：连接OC，如图， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵直线CE为⊙O的切线， ∴OC⊥CE， ∴∠OCE＝90°， ∵∠OCB+∠ACO＝90°，∠OCB+∠BCE＝90°， ∴∠ACO＝∠BCE， ∵OA＝OC， ∴∠CAO＝∠ACO， ∵∠CAO＝∠BDC， ∴∠BDC＝∠BCE； （2）证明：如图， ∵F点为AC的中点， ∴DF⊥AC， 即DF垂直平分AC， ∴DA＝DC， ∵CD⊥AB， ∴AB平分CD， 即AB垂直平分CD， ∴AC＝AD， ∴AC＝CD＝AD， ∴△ACD为等边三角形， ∴∠CAD＝60°， ∴∠BAC＝∠BAD＝30°， ∴∠BOC＝∠BOD＝60°， ∵OB＝OD， ∴△OBD为等边三角形， ∴∠OBD＝60°， ∵∠BOC＝∠OBD， ∴DG∥OC， ∵OC⊥CE， ∴DG⊥CE； （3）解：图中阴影部分面积＝S扇形BOD﹣S△BOD＝﹣×62＝6π﹣9． 23．综合与实践： 如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（4，0），与y轴交于点C，连接BC，点D在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）小明探究点D位置时发现：如图1，点D在第一象限内的抛物线上，连接BD，CD，△BCD面积存在最大值，请帮助小明求出△BCD面积的最大值； （3）小明进一步探究点D位置时发现：点D在抛物线上移动，连接CD，存在∠DCB＝∠ABC，请帮助小明求出∠DCB＝∠ABC时点D的坐标． 【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4）， 则﹣4a＝2， 解得：a＝﹣， 则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2①； （2）过点D作DH∥y轴交BC于点H， 由点B、C（0，2）的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+2， 设点D（x，﹣x2+x+2），则点H（x，﹣x+2）， 则△BCD面积＝DH×OB＝2（﹣x2+x+2+x﹣2）＝﹣x2+4x， ∵﹣1＜0， 故△BCD面积有最大值，当x＝2时，△BCD面积的最大值为4； （3）当点D在x轴上方时， 则点D′和点C关于抛物线对称轴对称， 则点D′（3，2）； 当点D在x轴下方时， 设CD交x轴于点H，设点H（x，0）， ∵∠DCB＝∠ABC， 则CH＝BH， 则（4﹣x）2＝x2+4， 解得：x＝， 即点H（，0）， 由点C、H的坐标得，直线CH的表达式为：y＝﹣x+2②， 联立①②得：﹣x2+x+2＝﹣x+2， 解得：x＝0（舍去）或， 即点D的坐标为：（，﹣）； 综上，点D的坐标为：（3，2）或（，﹣）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$