6.2.1～6.2.2排列与排列数（七个重难点突破）-2024-2025学年高二第二学期数学重难点突破及易错点分析（人教A版）

6.2.1~6.2.2排列与排列数 一、排列问题的辨析 五、（不）相邻问题 二、排列数的化简及证明 六、定序问题 三、排列数方程与不等式 七、间接法 四、特殊元素的排列问题 知识点1排列 ①排列的定义：一般地，从n个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. ②排列数、排列数公式：从n个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示，其中，，且. 重难点一、排列问题的辨析 【例1】判断正误（正确的写正确，错误的写错误） （1）顺序是判断是否为排列问题的关键点，也是唯一的判断依据．( ) （2）在排列的问题中，总体中的元素可以有重复．( ) （3）用1，2，3这三个数字组成无重复数字的三位数.123与321是不相同的排列．( ) （4）圆上的10个不同点中任取两个点作弦是排列问题．( ) 【答案】 正确 错误 正确 错误 【详解】（1）判断是否为排列问题就是看是否与顺序有关，正确. （2）根据排列的定义可知，在排列问题中总体内元素不能重复，故错误. （3）根据排列的定义可以判断123与321中数字顺序不同，是不同的排列，正确. （4）在圆上任取两点作弦与顺序无关，所以不是排列问题，故错误， 故答案为：正确；错误；正确；错误； 【例2】下列问题是排列问题吗？ (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格（假设来回的票价相同）； (2)某班40名学生在假期相互写信； (3)会场有50个座位，要求选出3个座位，有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？ (4)平面上有5个点，其中任意3个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？ 【答案】(1)不是排列问题. (2)是排列问题. (3)选3个座位不是排列问题；选3个座位安排三位客人是排列问题. (4)确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题 【详解】（1）来回的票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题. （2）A给B写信与B给A写信是不同的两件事，所以存在着顺序，属于排列问题. （3）任选3个座位，与顺序无关，不是排列问题；选3个座位安排三位客人，与顺序有关，故是排列问题. （4）直线与两点的顺序无关，故确定直线不是排列问题，射线与两点的顺序有关，故确定射线是排列问题. 【变式1-1】（多选）下列问题是排列问题的是（ ） A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法 B．会场中有30个座位，任选3个安排3位客人入座，有多少种坐法 C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少个向量 D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种 【答案】BC 【详解】对于A，8名同学中选取2名，不涉及顺序问题，不是排列问题，A错误； 对于B，“入座问题”，与顺序有关，是排列问题，B正确； 对于C，确定向量涉及顺序问题，是排列问题，C正确； 对于D，4个数字中任取2个，根据乘法交换律知，结果不涉及顺序问题，不是排列问题，D错误． 故选：BC 【变式1-2】下列问题是排列问题的是（    ） A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法 B．会场中有30个座位，任选3个安排3位客人入座，有多少种坐法 C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线 D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种 【答案】B 【详解】对于A，8名同学中选取2名，不涉及顺序问题，不是排列问题，A错误； 对于B，“入座问题”，与顺序有关，是排列问题，B正确； 对于C，确定直线不涉及顺序问题，不是排列问题，C错误； 对于D，4个数字中任取2个，根据乘法交换律知，结果不涉及顺序问题，不是排列问题，D错误． 故选：B 【变式1-3】（多选）下列问题属于排列问题的是（    ） A．从10个人中选2人分别去种树和扫地； B．从10个人中选2人去扫地； C．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队； D．从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作为中的底数与真数 【答案】AD 【详解】排列的概念：从个元素中取个元素，按照一定顺序排成一列， 由题可知：A，D中元素的选取有顺序，B，C中元素的选取无顺序， 由此可判断出：A，D是排列问题， 故选：AD. 重难点二、排列数的化简及证明 【例3】计算（    ） A．10！ B．13！ C．21！ D．42！ 【答案】A 【详解】. 故选：A 【例4】（1）证明：； （2）化简：． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【详解】（1）证明：； （2）原式． 【变式2-1】，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因且，表示80个连续正整数的乘积， 其中最大因数为，最小因数为，由排列数公式的意义得结果为， 所以. 故选：A 【变式2-2】（1）用排列数表示 (n∈N*且n<55)； （2）计算； （3）求证：. 【答案】（1）；（2）1；（3）证明见解析. 【详解】(1)∵中的最大数为，且共有个元素， ∴ (2) ； (3)∵ 所以. 【变式2-3】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）. （2）. 重难点三、排列数方程与不等式 【例5】解方程：.（为自然数） 【答案】 【详解】由可得， 由于为大于不小于3的自然数，所以， 化简得，解得， 【例6】不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】不等式中，，化为， 整理得，解得，因此， 所以不等式的解集是. 故选：A 【变式3-1】，则 . 【答案】9 【详解】 ， 所以，故， 故答案为：9 【变式3-2】不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】易知，. 因为，，， 所以原不等式可化为， 所以， 所以原不等式的解集为. 故选：A 【变式3-3】不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可得，整理得，解得， 又因为，解得， 综上可得，又由 所以. 故选：D. 知识点2排列问题 问题 方法 “在”与“不在”的有限制条件的排列问题 既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先. 相邻问题 “捆绑法”：把相邻元素看作一个整体和其他元素一起排列，同时要注意捆绑元素的内部排列 不相邻问题 “插空法”：先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空挡中 定序问题 先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 正面考虑比较复杂的问题 “间接法”，反面入手 重难点四、特殊元素的排列问题 【例7】若甲、乙、丙、丁、戊随机站成一排，则甲、乙不同时站两端的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为甲，乙同时站两端的概率为，所以甲，乙不同时站两端的概率为. 故选：B 【例8】从1，2，3，…，29，30，中选三个不同的数，，，且满足的数组的对数为（   ） A．120 B．210 C．420 D．105 【答案】C 【详解】由，知，必须同奇或同偶， 若，都为奇数，则有种选法； 若，都为偶数，则有种选法； 由分类加法计数原理知，满足题意的数对共有种. 故选：C. 【变式4-1】从10名数学老师中选出3人安排在3天的假期中值班，每天有且只有一人值班．若老师甲必须参加且不安排在假期第一天值班，则不同的值班安排方法种数为 ． 【答案】144 【详解】依题意，安排老师甲有种，从除甲外的9名老师中任选2人并安排值班有种， 所以不同的值班安排方法种数为（种）. 故答案为：144 【变式4-2】用0，1，2，3，4这5个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字五位数？ (1)组成五位偶数； (2)组成千位数字和十位数字是奇数的偶数． 【答案】(1)个 (2)个 【详解】（1）由题意，五位偶数可以分成两类： ①末位是0，只需将其余4个数字在另外四个数位全排，有个， ②末位是2或4，先从2与4中选一个放在末位，再从除0和它之外的3个数字中选1个放在首位， 剩下3个数字全排，有个， 由分类加法计数原理可得， 满足条件的五位偶数共有个. （2）法一、分类完成：① 0是末位数，将1和3在千位和十位全排，剩下的两个在剩余数位上去安排，有个； ② 2或4是末位数时，末位和首位有两种选法且百位必须是0，剩余的1和3在十位和千位全排，有个. 由分类加法计数原理，这样的偶数共有：个. 法二、分步完成：第一步：千位数字和十位数字位从奇数1，3中取，有种方法；            第二步：首位从2，4中取，有种方法； 第三步：余下的排在剩下的两个数位，有种方法， 由分步乘法计数原理，这样的偶数共有：个. 【变式4-3】两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的排列方法有 种． 【答案】1152 【详解】两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本，将它们任意地排成一排. 先选一部小说的四卷排在左边，则有 然后将另一部小说的四卷排在右边的排法是． 所以总的排法数为： 故答案为：1152 重难点五、（不）相邻问题 【例9】两男两女站成一排照相，女生相邻的所有排列种数为（    ） A．3 B．6 C．12 D．24 【答案】C 【详解】解：两男两女站成一排照相，女生相邻， 则可将两个女生捆绑，则有种方法， 再与两个男生进行全排列，有种方法， 则女生相邻的所有排列种数为种． 故选：C 【例10】甲、乙等4人排成一列，则甲乙两人不相邻的排法种数为 ． 【答案】 【详解】甲、乙等4人排成一列，甲乙两人不相邻， 则先将其余两人先排列，有种排法， 再将甲、乙两人插空，有种排法， 综上一共有种排法. 故答案为： 【变式5-1】小花准备将一颗黄色圣女果、一颗红色圣女果、一颗山楂、一颗草莓、一颗葡萄串起来制作一串冰糖葫芦，若要求两颗圣女果不相邻，则不同的串法有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【详解】先将一颗山楂、一颗草莓、一颗葡萄进行排序， 然后将两颗圣女果插入一颗山楂、一颗草莓、一颗葡萄所形成的空位中， 从个空位中抽取个空位进行排序， 由插空法可知，不同的串法有种. 故选：C. 【变式5-2】甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排拍照． (1)甲、乙两人不相邻的站法共有多少种？ (2)甲不站排头或排尾，且甲、乙两人相邻的站法共有多少种？ 【答案】(1)72 (2)36 【详解】（1）先排丙、丁、戊，有种站法，再插空排甲、乙，有种站法． 故甲、乙两人不相邻的站法共有种． （2）若乙站在排头或排尾，则有种站法； 若甲、乙都不站排头或排尾，则有种站法； 故甲不站排头或排尾，且甲、乙两人相邻的站法共有种． 【变式5-3】一排6个座位坐了2个三口之家.若每家人坐在一起，则不同的坐法有 种. 【答案】72 【详解】左侧的三个座位和右侧的三个座位分别坐三口之家，内部进行全排列， 两个家庭也可以进行互换位置，故共有种坐法. 故答案为：72 重难点六、定序问题 【例11】是自然对数函数的底数，被称为自然常数或者欧拉数．最初由雅各布·伯努利在研究复利时发现，后由莱昂哈德·欧拉证明其为无理数，大约为．小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行排列得到一个六位数密码，那么小明可以设置（   ）个不同密码． A．240 B．180 C．120 D．72 【答案】B 【详解】6位数字2，7，1，8，2，8中有2个2，2个8， 故所组成的六位数密码有种情况， 故选：C 【例12】用数字组成没有重复数字的五位数，在所组成的五位数中任选一个，则这个五位数中数字按从小到大的顺序排列的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知：组成没有重复数字的五位数有个； 若这个五位数中数字按从小到大的顺序，所以符合题意的五位数有个， 所以所求的概率为. 故选：C. 【变式6-1】、、、、五人排成一排，如果必须站在的右边，且、不相邻，则不同的排法共有 种． 【答案】36 【详解】站在的右边的排法有， 、相邻且站在的右边的排法有， 所以必须站在的右边，且、不相邻， 则不同的排法共有种. 故答案为：36. 【变式6-2】从2023年伊始，各地旅游业爆火，少林寺是河南省旅游胜地．某大学一个寝室6位同学慕名而来，游览结束后，在门前站一排合影留念，要求相邻，在的左边，则不同的站法共有（    ） A．480种 B．240种 C．120种 D．60种 【答案】C 【详解】站在一起有种， 将看成一个整体与进行全排列，共有种， 同时要求在的左边，共有种． 故选：. 【变式6-3】如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1，2，3.到了晚上，水果老板要收摊了，假设每次只取1串（挂在一列的只能先收下面的），则将这些香蕉都取完的不同取法种数为 .（结果用数字表示） 【答案】60 【详解】依题意，6串香蕉任意收取共有种方法， 考虑在收取最右边一列时有种取法，收取中间一列时有种取法， 而从下往上收取只是其中的一种，故按照从下往上的收取方法，不同取法数是种. 故答案为：60. 重难点七、间接法 【例13】某校高三（5）班班主任准备从2名男生和4名女生中选取3人担任数学、物理、化学学科课代表，每学科安排1人，且至少有1名男生，则不同的选取方法有 （请用数字作答） 【答案】96 【详解】方法一：间接法 先求出从名男生和名女生共人中选人担任学科代表的所有情况，再减去所选人都是女生的情况，即可得到至少有名男生的情况. 从个不同元素中取出个元素的排列数记为，其计算公式为. 从人中选人进行全排列，安排到数学、物理、化学三个学科， 方法数为种. 从名女生中选人进行全排列，安排到三个学科， 方法数为种. 用总的选法数减去人都是女生的选法数，可得至少有名男生的选法有种. 方法二：直接法 分两种情况讨论：选名男生名女生和选名男生名女生，然后分别计算这两种情况的选法数，最后将它们相加. 情况一：选名男生名女生 从名男生中选名男生的选法有种，从名女生中选名女生的选法有种， 然后将这人进行全排列安排到三个学科，方法数为种. 根据组合数公式，可得，. 则这种情况下的选法有种. 情况二：选名男生名女生 从名男生中选名男生的选法有种，从名女生中选名女生的选法有种， 然后将这人进行全排列安排到三个学科，方法数为种. ，. 则这种情况下的选法有种. 将两种情况的选法数相加，可得至少有名男生的选法有种. 故答案为： 【例14】某校要从校广播站3名男同学和2名女同学中选出两人，分别做校史馆的参观路线导引员和校史讲解员，则至少有1名女同学被选中的不同安排方法有（    ） A．14种 B．16种 C．18种 D．20种 【答案】A 【详解】从3名男同学和2名女同学中选出两人分别做校史馆的参观路线导引员和校史讲解员，共有种情况， 若从3名男生选出两人分别做校史馆的参观路线导引员和校史讲解员，共有种情况， 故至少有1名女同学被选中的不同安排方法有种， 故选：A 【变式7-1】某工厂生产一种产品需经过一，二，三，四共4道工序，现要从，，，，，这6名员工中选出4人，安排在4道工序上工作（每道工序安排一人），如果员工不能安排在第四道工序，则不同的安排方法共有（    ） A．360种 B．300种 C．180种 D．120种 【答案】B 【详解】从6名员工中任选4人，安排在4道工序上工作的安排方法数为种， 其中员工在第四道工序工作的安排方法数为种， 所以不同的安排方法共有（种）. 故选：B 【变式7-2】高二（1）班从5名同学中选取4人参加校运会的米接力赛，每人只能跑一棒，其中第一棒只能从中选一人跑，且不相邻，第四棒不能由跑，则不同的选取方法有（    ） A．18种 B．20种 C．24种 D．28种 【答案】D 【详解】在不考虑是否相邻的情况下，第一棒的选取有种，第四棒的选取有种， 剩下两棒有种，此时共有（种）， 若相邻，则只能是第一､二棒，在种，第四棒的选取有种， 第三棒的选取有种，其有（种）， 符合条件的选取方法共有（种）. 故选：D. 【变式7-3】有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？ 【答案】432 【详解】如果0可以排在首位，所有的排法有：种. 其中0在首位的排法有：种， 所以满足条件的排法有：种. 一、单选题 1．某小组共5人，每两人相互挥手打招呼，共需发起的相互挥手打招呼次数为（    ）． A．20 B．15 C．10 D．5 【答案】A 【详解】由题意得共需发起的相互挥手打招呼次数为． 故选：A 2．表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由排列数公式可得：． 故选：B． 3．把5名同学的数学作业摆放成一排展示，要求甲、乙两同学的作业相邻展示，甲、丙两同学的作业不相邻展示，则不同的摆放种数是（    ） A．18 B．24 C．36 D．48 【答案】C 【详解】将甲、乙两同学的作业视为一个元素，利用乘法原理可得，使得甲、乙两同学的作业相邻展示的摆放种数为. 将甲、乙、丙三同学的作业绑定，利用乘法原理可得，使得甲、乙两同学的作业相邻且甲、丙两同学的作业相邻的摆放种数为. 所以满足条件的摆放种数是. 故选：C. 4．某大学2023年继续开展基础学科招生改革试点（以下简称强基计划），以“为国选才育才”为宗旨，探索多维度考核评价模式，选拔一批有志向、有兴趣、有天赋的青年学生进行专门培养，为国家重大战略领域输送后备人才．某市通过初审考核，甲、乙、丙、丁、戊五名同学成功入围该大学强基计划复试，参加学科基础素质测试，决出第一到第五名的名次（无并列名次）．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况有（    ） A．48种 B．54种 C．60种 D．72种 【答案】B 【详解】依题意甲、乙都没有排在第一名，且乙没有排在第五名， ①甲排在第五名，则有种排法； ②甲没有排在第五名，则甲、乙有种排法，其余人全排列，故有种排法； 综上可得一共有种不同的排法. 故选：B 5．某同学将英文单词“”中字母的顺序记错了，则该同学写错的情况有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【详解】因为“”中字母共有种排法，所以该同学写错的情况有种， 故选：D. 6．提供四种不同颜色的颜料给图中六个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法共有（    ） A．288种 B．296种 C．362种 D．384种 【答案】D 【详解】首先三个区域有种涂法， 当2号区域和6号区域同色时，有种涂法； 当2号区域与4号区域同色时，有种涂法； 当2号区域与4号区域，6号区域均不同色时，有种涂法， 综上，共有384种涂法. 故选：D. 二、多选题 7．在树人中学举行的演讲比赛中，有3名男生，2名女生获得一等奖.现将获得一等奖的学生排成一排合影，则（    ） A．3名男生排在一起，有6种不同排法 B．2名女生排在一起，有48种不同排法 C．3名男生均不相邻，有12种不同排法 D．女生不站在两端，有108种不同排法 【答案】BC 【详解】解：由题意得： 对于选项A：3名男生排在一起，先让3个男生全排后再作为一个整体和2个女生做一个全排，共有种，A错误； 对于选项B：2名女生排在一起，先让2个女生全排后再作为一个整体和3个男生做一个全排，共有种，B正确； 对于选项C：3名男生均不相邻，先让3个男生全排后，中间留出两个空位让女生进行插空，共有种，C正确； 对于选项D：女生不站在两端，先从三个男生种选出两个进行全排后放在两端，共有种，然后将剩下的3人进行全排后放中间，共有种，D错误. 故选：BC 8．某学校高二年级数学课外活动小组中有男生5人，女生3人，则下列说法正确的是（   ） A．从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，共有64种不同的选法 B．从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，共有15种不同的选法 C．将这8名学生排成一排，3位女生排在一起的方法共有4320种 D．8名学生排成一排，已知5名男生已排好，现将3名女生插入队伍中，则共有336种排法. 【答案】BCD 【详解】选项A：从8个人中选2人，1人做正组长，1人做副组长选法共有种，故A错误； 选项B：从8个人中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人选法共有种，故B正确； 选项C：选排3位女生有种情况，再把3位女生看成1个人与5个男生一起排列有种情况， 共有种情况，故C正确； 选项D：8名学生排成一排，已知5名男生已排好， 先排第一个女生可以排5个男生中间的4个空或2头，有6种情况， 再排第二个女生可以排到排好的6个人中间的5个空或2头，有7种情况， 最后排第三个女生可以排到排好的7个人中间的6个空或2头，有8种情况， 共有种情况，故D正确， 故选：BCD 三、填空题 9．甲、乙等五名社区志愿者被随机分配到，，，四个不同岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙两人同时参加岗位服务的排法有 种. 【答案】 【详解】当甲､乙两人同时参加岗位服务时，另外三个人在､､三个位置进行全排列， 满足条件的事件数是，即甲､乙两人同时参加岗位服务的排法有6种. 故答案为： 10．将这九个数字组成3个无重复数字的三位数（每个数字恰好用一次），则组成的方法数有 ．（用数字作答） 【答案】40320 【详解】问题等价于将9个数字排成一列，前3个数字一个三位数，中间3个数字一个三位数，后3个数字一个三位数． 当然3个三位数之间没有顺序，且0不能排在第位，因此，共有种组成方法． 故答案为：40320. 11．甲、乙、丙、丁、戊五人完成A，B，C，D，E五项任务所获得的效益如下表： 甲 10 12 9 12 10 乙 24 25 23 22 22 丙 9 13 14 12 10 丁 6 8 10 8 10 戊 13 15 14 15 11 现每项任务指派一人完成，其中甲不承担C任务，丁不承担A任务的指派方法数有 种；效益之和的最大值是 ． 【答案】 78 75 【详解】甲不承担C任务，丁不承担A任务的选派方法有：种. 由表知道，五项工作后获得的效益值总和最大为， 但不能同时取得，故五项工作后获得的效益值总和最大值小于76， 但当乙承担，甲承担，丙承担，丁承担，戊承担， 此时效益值总和为：，效益之和的最大值是75. 故答案为：78；75. 四、解答题 12．求证：（1）； （2）. 【答案】见详解. 【详解】（1）左边 右边， ∴结论成立，即； （2）当时， 左边 右边， ∴结论成立，即. 13．用0，1，2，3，4，5这6个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？（列式并计算） (1)六位数； (2)六位奇数； (3)能被5整除的六位数； (4)组成的六位数按从小到大顺序排列，第265个数是多少？ 【答案】(1)600； (2)288； (3)216； (4)310245. 【详解】（1）先排首数，有种，最后排其它有种， 根据分步计数原理得，六位数有种. （2）先排个位数，有种， 由0不能在首位，则排首位有4种，最后排其它有种， 根据分步计数原理得，六位奇数有个. （3）能被5整除的六位数，则个位数是0或5， 个位数是0，则有种， 个位数是5，先排首位，0不作为首位，则有种排法，其余位置有种排法， 所以共有个. （4）首位数字不能为0，首位数字为1有种， 首位数字为2，有种， 首位数字为3，万位数字上为0，有种，此时所有6位数有个， 所以第264个数是，第265个数是. 14．某种产品的加工需要经过6道工序． (1)若其中某2道工序不能放在最前面也不能放在最后面，问有多少种加工顺序? (2)若其中某3道工序必须相邻．问有多少种加工顺序? (3)若其中某3道工序两两不能相邻，问有多少种加工顺序? 【答案】(1)288； (2)144； (3)144. 【详解】（1）先从另外4道工序中任选2道工序放在最前面与最后面，有种不同的排法， 再将其余的4道工序全排列，有种不同的排法， 由分步乘法计数原理可得，共有种加工顺序． （2）先排这3道工序，有种不同的排法， 再将它们看作一个整体，与其余的3道工序全排列，有种不同的排法， 由分步乘法计数原理可得，共有种加工顺序. （3）先排其余的3道工序，有种不同的排法，有4个空档， 再将这3道工序插入空档，有种不同的排法， 由分步乘法计数原理可得，共有种加工顺序. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.2.1~6.2.2排列与排列数 一、排列问题的辨析 五、（不）相邻问题 二、排列数的化简及证明 六、定序问题 三、排列数方程与不等式 七、间接法 四、特殊元素的排列问题 知识点1排列 ①排列的定义：一般地，从n个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. ②排列数、排列数公式：从n个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示，其中，，且. 重难点一、排列问题的辨析 【例1】判断正误（正确的写正确，错误的写错误） （1）顺序是判断是否为排列问题的关键点，也是唯一的判断依据．( ) （2）在排列的问题中，总体中的元素可以有重复．( ) （3）用1，2，3这三个数字组成无重复数字的三位数.123与321是不相同的排列．( ) （4）圆上的10个不同点中任取两个点作弦是排列问题．( ) 【例2】下列问题是排列问题吗？ (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格（假设来回的票价相同）； (2)某班40名学生在假期相互写信； (3)会场有50个座位，要求选出3个座位，有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？ (4)平面上有5个点，其中任意3个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？ 【变式1-1】（多选）下列问题是排列问题的是（ ） A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法 B．会场中有30个座位，任选3个安排3位客人入座，有多少种坐法 C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少个向量 D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种 【变式1-2】下列问题是排列问题的是（    ） A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法 B．会场中有30个座位，任选3个安排3位客人入座，有多少种坐法 C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线 D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种 【变式1-3】（多选）下列问题属于排列问题的是（    ） A．从10个人中选2人分别去种树和扫地； B．从10个人中选2人去扫地； C．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队； D．从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作为中的底数与真数 重难点二、排列数的化简及证明 【例3】计算（    ） A．10！ B．13！ C．21！ D．42！ 【例4】（1）证明：； （2）化简：． 【变式2-1】，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（1）用排列数表示 (n∈N*且n<55)； （2）计算； （3）求证：. 【变式2-3】计算： (1) (2) 重难点三、排列数方程与不等式 【例5】解方程：.（为自然数） 【例6】不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】，则 . 【变式3-2】不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 知识点2排列问题 问题 方法 “在”与“不在”的有限制条件的排列问题 既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先. 相邻问题 “捆绑法”：把相邻元素看作一个整体和其他元素一起排列，同时要注意捆绑元素的内部排列 不相邻问题 “插空法”：先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空挡中 定序问题 先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 正面考虑比较复杂的问题 “间接法”，反面入手 重难点四、特殊元素的排列问题 【例7】若甲、乙、丙、丁、戊随机站成一排，则甲、乙不同时站两端的概率为（    ） A． B． C． D． 【例8】从1，2，3，…，29，30，中选三个不同的数，，，且满足的数组的对数为（   ） A．120 B．210 C．420 D．105 【变式4-1】从10名数学老师中选出3人安排在3天的假期中值班，每天有且只有一人值班．若老师甲必须参加且不安排在假期第一天值班，则不同的值班安排方法种数为 ． 【变式4-2】用0，1，2，3，4这5个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字五位数？ (1)组成五位偶数； (2)组成千位数字和十位数字是奇数的偶数． 【变式4-3】两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的排列方法有 种． 重难点五、（不）相邻问题 【例9】两男两女站成一排照相，女生相邻的所有排列种数为（    ） A．3 B．6 C．12 D．24 【例10】甲、乙等4人排成一列，则甲乙两人不相邻的排法种数为 ． 【变式5-1】小花准备将一颗黄色圣女果、一颗红色圣女果、一颗山楂、一颗草莓、一颗葡萄串起来制作一串冰糖葫芦，若要求两颗圣女果不相邻，则不同的串法有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【变式5-2】甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排拍照． (1)甲、乙两人不相邻的站法共有多少种？ (2)甲不站排头或排尾，且甲、乙两人相邻的站法共有多少种？ 【变式5-3】一排6个座位坐了2个三口之家.若每家人坐在一起，则不同的坐法有 种. 重难点六、定序问题 【例11】是自然对数函数的底数，被称为自然常数或者欧拉数．最初由雅各布·伯努利在研究复利时发现，后由莱昂哈德·欧拉证明其为无理数，大约为．小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行排列得到一个六位数密码，那么小明可以设置（   ）个不同密码． A．240 B．180 C．120 D．72 【例12】用数字组成没有重复数字的五位数，在所组成的五位数中任选一个，则这个五位数中数字按从小到大的顺序排列的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】、、、、五人排成一排，如果必须站在的右边，且、不相邻，则不同的排法共有 种． 【变式6-2】从2023年伊始，各地旅游业爆火，少林寺是河南省旅游胜地．某大学一个寝室6位同学慕名而来，游览结束后，在门前站一排合影留念，要求相邻，在的左边，则不同的站法共有（    ） A．480种 B．240种 C．120种 D．60种 【变式6-3】如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1，2，3.到了晚上，水果老板要收摊了，假设每次只取1串（挂在一列的只能先收下面的），则将这些香蕉都取完的不同取法种数为 .（结果用数字表示） 重难点七、间接法 【例13】某校高三（5）班班主任准备从2名男生和4名女生中选取3人担任数学、物理、化学学科课代表，每学科安排1人，且至少有1名男生，则不同的选取方法有 （请用数字作答） 【例14】某校要从校广播站3名男同学和2名女同学中选出两人，分别做校史馆的参观路线导引员和校史讲解员，则至少有1名女同学被选中的不同安排方法有（    ） A．14种 B．16种 C．18种 D．20种 【变式7-1】某工厂生产一种产品需经过一，二，三，四共4道工序，现要从，，，，，这6名员工中选出4人，安排在4道工序上工作（每道工序安排一人），如果员工不能安排在第四道工序，则不同的安排方法共有（    ） A．360种 B．300种 C．180种 D．120种 【变式7-2】高二（1）班从5名同学中选取4人参加校运会的米接力赛，每人只能跑一棒，其中第一棒只能从中选一人跑，且不相邻，第四棒不能由跑，则不同的选取方法有（    ） A．18种 B．20种 C．24种 D．28种 【变式7-3】有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？ 一、单选题 1．某小组共5人，每两人相互挥手打招呼，共需发起的相互挥手打招呼次数为（    ）． A．20 B．15 C．10 D．5 2．表示为（    ） A． B． C． D． 3．把5名同学的数学作业摆放成一排展示，要求甲、乙两同学的作业相邻展示，甲、丙两同学的作业不相邻展示，则不同的摆放种数是（    ） A．18 B．24 C．36 D．48 4．某大学2023年继续开展基础学科招生改革试点（以下简称强基计划），以“为国选才育才”为宗旨，探索多维度考核评价模式，选拔一批有志向、有兴趣、有天赋的青年学生进行专门培养，为国家重大战略领域输送后备人才．某市通过初审考核，甲、乙、丙、丁、戊五名同学成功入围该大学强基计划复试，参加学科基础素质测试，决出第一到第五名的名次（无并列名次）．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况有（    ） A．48种 B．54种 C．60种 D．72种 5．某同学将英文单词“”中字母的顺序记错了，则该同学写错的情况有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 6．提供四种不同颜色的颜料给图中六个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法共有（    ） A．288种 B．296种 C．362种 D．384种 二、多选题 7．在树人中学举行的演讲比赛中，有3名男生，2名女生获得一等奖.现将获得一等奖的学生排成一排合影，则（    ） A．3名男生排在一起，有6种不同排法 B．2名女生排在一起，有48种不同排法 C．3名男生均不相邻，有12种不同排法 D．女生不站在两端，有108种不同排法 8．某学校高二年级数学课外活动小组中有男生5人，女生3人，则下列说法正确的是（   ） A．从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，共有64种不同的选法 B．从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，共有15种不同的选法 C．将这8名学生排成一排，3位女生排在一起的方法共有4320种 D．8名学生排成一排，已知5名男生已排好，现将3名女生插入队伍中，则共有336种排法. 三、填空题 9．甲、乙等五名社区志愿者被随机分配到，，，四个不同岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙两人同时参加岗位服务的排法有 种. 10．将这九个数字组成3个无重复数字的三位数（每个数字恰好用一次），则组成的方法数有 ．（用数字作答） 11．甲、乙、丙、丁、戊五人完成A，B，C，D，E五项任务所获得的效益如下表： 甲 10 12 9 12 10 乙 24 25 23 22 22 丙 9 13 14 12 10 丁 6 8 10 8 10 戊 13 15 14 15 11 现每项任务指派一人完成，其中甲不承担C任务，丁不承担A任务的指派方法数有 种；效益之和的最大值是 ． 四、解答题 12．求证：（1）； （2）. 13．用0，1，2，3，4，5这6个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？（列式并计算） (1)六位数； (2)六位奇数； (3)能被5整除的六位数； (4)组成的六位数按从小到大顺序排列，第265个数是多少？ 14．某种产品的加工需要经过6道工序． (1)若其中某2道工序不能放在最前面也不能放在最后面，问有多少种加工顺序? (2)若其中某3道工序必须相邻．问有多少种加工顺序? (3)若其中某3道工序两两不能相邻，问有多少种加工顺序? 2 学科网（北京）股份有限公司 $$