第一章《三角形的证明》综合练习（2）2024-2025学年北师大版八年级数学下册

第 1页（共 7页） 参考答案 一、单选题（本大题共 10 小题，总分 40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C B A C A C C D 二、填空题（本大题共 5 小题，总分 20 分） 11．12． 12． 7 8 ． 13． 12 5 ． 14．75°． 15．①②③． 三、解答题（本大题共 10 小题，总分 90 分） 16．解：∵∠ACB＝60°，∠B＝90°， ∴∠A＝30°， ∵DE是斜边 AC的中垂线， ∴AD＝CD， ∴∠ACD＝∠A＝30°， ∴∠BCD＝30°， ∵BD＝2， ∴AD＝CD＝4． 17．证明：如图，连接 DE， ∵AD是 BC边上的高线，CE是 AB边上的中线， ∴DE= 12AB＝AE＝CD， ∵DG⊥CE于 G， 第 2页（共 7页） 由“等腰三角形三线合一”知，CG＝EG． 18．证明：（1）作 EF⊥BC于 F， ∵BE、CE分别为△ABC的两个外角平分线，EP⊥AM，EQ⊥AN，EF⊥BC， ∴EP＝EF，EQ＝EF， ∴EP＝EQ； （2）∵EP＝EQ，EP⊥AM，EQ⊥AN， ∴点 E在∠NAM的平分线上． 19．（1）证明：如图，连接 BP，AP，PC． ∵EF垂直平分 AB，MN垂直平分 AC， ∴PA＝PB，PA＝PC， ∴PB＝PC， ∴点 P在线段 BC的垂直平分线上， （2）解：∵EF垂直平分 AB，MN垂直平分 AC， ∴FA＝FB，NA＝NC，AEP＝∠AMP＝90°， ∴∠ABC＝∠BAF，∠ACB＝∠CAN． ∵∠ABC+∠ACB+∠CAB＝180°，∠FAN＝52°， ∴2∠ABC+2∠ACB+52°＝180°， ∴2（∠ABC+∠ACB）＝128°， ∴∠ABC+∠ACB＝64°． ∵∠PEA+∠PMA+∠EPM+∠CAB＝360°，∠PEA+∠PMA＝180°， ∴∠EPM+∠CAB＝180°，∠ABC+∠ACB+∠CAB＝180°， 第 3页（共 7页） ∴∠FPN＝∠EPM＝∠ABC+∠ACB＝64°． 20．解：（1）∠AED＝∠CDE+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD， ∵AD＝AE， ∴∠AED＝∠ADE， ∵∠B＝∠C，∠BAC＝90°，D是 BC中点， ∴∠BAD＝45°， ∴∠B+∠BAD＝∠EDC+∠C+∠CDE， 即∠BAD＝2∠CDE， ∴∠2＝22.5°； 故答案为：22.5°． （2）∠AED＝∠CDE+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD， ∵AD＝AE， ∴∠AED＝∠ADE， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∴∠B+∠BAD＝∠EDC+∠C+∠CDE， 即∠BAD＝2∠CDE，∠1＝2∠2． 21．解：（1）由勾股定理可得：AB2＝32+32＝18， 则 AB= 50 =5 2， ∵BC2＝42+22＝20， ∴BC＝2 5， ∵CD2＝22+12＝5， ∴CD= 5， ∵AD2＝32+42＝25， ∴AD＝5， 故四边形 ABCD的周长为：5 2 +2 5 +5+ 5 =5 2 +3 5 +5， 四边形 ABCD的面积为：7×5− 12（1×7+4×2+2×1+4×3）﹣3＝35﹣17.5＝17.5； （2）由（1）得：BC2＝20，CD2＝5，而 BD2＝32+42＝25， 第 4页（共 7页） 故 DC2+BC2＝BD2， 则∠BCD＝90°． 22．（1）证明：∵AB＝AC，D为 BC的中点， ∴AD是 BC的垂直平分线， ∴OB＝OC， ∵EF是 AC的垂直平分线， ∴OA＝OC， ∴OA＝OB， ∴△AOB是等腰三角形； （2）解：∵EF⊥AC， ∴∠AFE＝90°， ∵AB＝AC，D为 BC的中点， ∴AD平分∠BAC， ∴∠EAF＝2∠BAD＝36°， ∴∠AEF＝90°﹣∠EAF＝54°． 23．证明：（1）∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE＝∠ECB， ∵EG∥BC， ∴∠GEC＝∠ECB， ∴∠GEC＝∠ACE， ∴EG＝CG； （2）由（1）知：EG＝CG， ∴∠GEC＝∠GCE， ∵点 G是 EH的中点， ∴EG＝GH， 第 5页（共 7页） ∴CG＝GH， ∴∠GCH＝∠GHC， ∴∠GCE+∠GCH＝90°， ∴∠ECB+∠HCD＝90°， ∵∠ACE＝∠ECB， ∴∠ACH＝∠HCD， ∴CF平分∠ACD． 24．解：（1）BQ＝1×2＝2（cm），BP＝3﹣2＝1（cm）， 故答案为 1，2； （2）BP＝（3﹣t） cm，BQ＝tcm， 故答案为（3﹣t），t； （3）根据题意，得 AP＝t cm，BQ＝t cm． 在△ABC中，AB＝BC＝3 cm，∠B＝60°， ∴BP＝（3﹣t）cm． 在△PBQ中，BP＝（3﹣t）cm．，BQ＝tcm， 若△PBQ是直角三角形， 则只有∠BQP＝90°或∠BPQ＝90° ①当∠BQP＝90°时，BQ= 12BP， 即 t= 12（3﹣t），解得 t＝1； ②当∠BPQ＝90°时，BP= 12BQ， 即 3﹣t= 12t．解得 t＝2． 答：当 t＝1s或 t＝2s时，△PBQ是直角三角形． 第 6页（共 7页） 25．（1）解：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠C＝∠B＝30°，∠BAD= 12∠BAC， ∴∠BAD= 180°−∠�−∠�2 =60， ∴α＝60°， 故答案为：60°； （2）证明：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠MAN＝∠DAE﹣∠MAN， 即：∠BAM＝∠EAN， 在△BAM和△EAN中， �� = �� ∠��� = ∠��� ∠� = ∠� ， ∴△BAM≌△EAN（ASA）， ∴AM＝AN； （3）解：①如图 1， 当 DM＝OM时，∠MOD＝∠D＝30°， ∵∠B＝∠D，∠AMB＝∠DMO， ∴∠BAD＝∠MOD＝30°， ∴α＝30°， 如图 2， 第 7页（共 7页） 当 DM＝DO时，∠MDO＝∠DOM= 180°−∠�2 =75°， ∴α＝∠DOM＝75°， 如图 3， 当 OM＝OD时，∠OMD＝∠D＝30°， ∴α＝∠DOM＝120°， 此时 AD和 AC重合，这种情形不存在． 综上所述：α＝30°或 75°． ②如图： 当∠EDP＝90°时， ∵∠ABC＝ADE＝30°， ∴∠ADB＝90°﹣30°＝60°， ∴∠BAD＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∵0°＜α＜100°， ∴旋转角α为 60°。 第一章《三角形的证明》 综合练习题（2） 考试时间:120分钟 满分150分 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 1．若等腰三角形的一边长为3cm，周长为15cm，则此等腰三角形的底边长是（　　） A．3cm或9cm B．9cm C．3cm D．3cm或6cm 2．如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．如果CE＝12，则ED的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，∠C的度数是（　　） A．20° B．40° C．70° D．140° 4．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE＝10°，则∠C的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 5．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交边AB，BC于点D，E，连接AE．若△ABC的周长为17cm，BD＝3cm，则△ACE的周长为（　　） A．11cm B．10cm C．9cm D．8cm 6．已知，如图在三角形ABC中，AC＝4，∠A＝30°，∠ABC＝15°，延长AC到点D，使得DC＝AC，则BD的长为（　　） A．5 B． C． D． 7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，若AB＝7，CD＝2，则△ABD的面积为（　　） A．7 B．8 C．12 D．14 8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交直线BC于点D，若∠BAD﹣∠DAC＝22.5°，则∠B＝（　　） A．37.5° B．67.5° C．37.5°或67.5° D．30°或60° 9．如图，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点O与三角尺①的顶点A重合．若三角尺②的一条直角边与AC边的夹角为40°，则三角尺②的另一条直角边与AB边的夹角的度数全部正确的（　　） A．50° 80° 100° 130° B．20° 50° 130° 160° C．20° 80° 100° 160° D．20° 80° 130° 160° 10．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC＝90°∠A，②∠EBO∠AEF，③∠DOC+∠OCB＝90°，④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．在△ABC中，若AB＝AC＝5，BC＝6，则△ABC的面积是　 　． 12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径分别画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，与AC相交于点D，则CD的长为　 　． 13．如图，在△ABC中，已知AD平分∠BAC，DE⊥AC于点E，AC＝4cm，AB＝6cm，△ABC的面积为12cm2，则DE的长度为 　 　cm． 14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC沿CD折叠，使得点B落在边AC上的点E处，若∠A＝∠ADE，则∠BDC的度数为 　 　． 15．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列三个结论： ①； ②EF＝BE+CF； ③设OD＝m，AE+AF＝n，则． 其中正确的结论有 　 　．（填序号） 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，DE是斜边AC的中垂线，分别交AB、AC于D、E两点．若BD＝2，求AD的长． 17．已知如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，CD＝AE．求证：CG＝EG． 18．如图，BE、CE分别为△ABC的两个外角平分线，EP⊥AM于P，EQ⊥AN于Q 求证：（1）EP＝EQ； （2）点E在∠NAM的平分线上． 19．如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点E，F，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点M，N，直线EF与直线MN交于点P． （1）求证：点P在线段BC的垂直平分线上； （2）已知∠FAN＝52°，求∠FPN的度数． 20．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D，E分别是线段BC、AC上的一点，且AD＝AE． （1）如图1，若∠BAC＝90°，D为BC中点，则∠2的度数为 　 　； （2）如图2，用等式表示∠1与∠2之间的数量关系，并给予证明． 21．如图，每个小正方形的边长为1． （1）求四边形ABCD的面积和周长； （2）∠BCD是直角吗？说明理由． 22．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，连接AD，AC的垂直平分线EF交AB于点E，交AD于点O，交AC于点F，连接OB，OC． （1）求证：△AOB是等腰三角形； （2）若∠BAD＝18°，求∠AEF的度数． 23．如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，交AB于点E，EG∥BC，交AC于点G （1）求证：EG＝CG； （2）延长EG交CF于点H，若点G是EH的中点，求证：CF平分∠ACD． 24．已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s）． （1）当动点P、Q同时运动2s时，则BP＝　 　cm，BQ＝　 　cm． （2）当动点P、Q同时运动t（s）时，分别用含有t的式子表示；BP＝　 　cm，BQ＝　 　cm． （3）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？ 25．综合与实践，问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知△ABC中AB＝AC，∠B＝30°．将△ABC从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到△ADE（点D，E分别是点B，C的对应点），旋转角为α（0°＜α＜100°，设线段AD与BC相交于点M，线段DE分别交BC，AC于点O，N． 特例分析：（1）如图2，当旋转到AD⊥BC时，求旋转角α的度数为 　 　； 探究规律：（2）如图3，在△ABC绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段AM始终等于线段AN，请你证明这一结论． 拓展延伸：（3）①直接写出当△DOM是等腰三角形时旋转角α的度数． ②在图3中，作直线BD，CE交于点P，直接写出当△PDE是直角三角形时旋转角α的度数． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$