第一章 三角形的证明 综合练习（1）2024-2025学年北师大版数学八年级下册

第一章《三角形的证明》 综合练习题（1） 考试时间:120分钟 满分150分 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 1．等腰三角形的底角等于50°，则这个等腰三角形顶角的度数是（　　） A．50° B．65° C．80° D．100° 2．下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（　　） A．a＝1.5，b＝2，c＝2.5 B．a：b：c＝3：4：5 C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 3．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若△ACE的周长为12，AC＝5，则BC的长是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 4．如图，在△ABC中，∠CAB的角平分线AD与∠CBA的角平分线AD交于点D，过D点作AB的平行线分别交AC、BC于点M、N，若△ABC与△CMN的周长分别30、24，则AB的长为（　　） A．8 B．15 C．12 D．6 5．如图，已知∠AOB＝50°，点C，D分别在OA，OB上，OC＝OD．进行如下操作：①分别以C，D为圆心，大于的长为半径画弧交于点P；②点E在OA上，以E为圆心，EO为半径画弧，交射线OP于点F，连接EF．则∠EFO的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．45° 6．如图，已知在△ABC中，DE垂直平分BC，若AB＝5，△ABD的周长是13，则线段AC的长是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 7．如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE＝1.5，则AB的长为（　　） A．3 B．4.5 C．6 D．7.5 8．如图，点F在射线OA上，∠EFA＝30°，点E在∠AOB的角平分线上，EC⊥OB，EC＝4．若EF∥OC，则△OFE的面积是（　　） A．4 B．8 C．16 D．18 9．如图，已知△ABD是等边三角形，BC＝DC，E在AD上，CE交BD于点F，AE＝EC，若∠CBD＝2∠DCE，则∠DCE的度数为（　　） A．40° B．20° C．30° D．15° 10．如图，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠EBC的平分线相交于点P，BE＝BC，D在AC延长线上，PG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CP．下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB＝AC：AB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF；⑤GF+FC＝GA．其中正确的有（　　） A．①②④ B．②③⑤ C．①③④⑤ D．①②③④⑤ 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．已知等腰三角形的底边长为2，腰长为8，则它的周长为 　 　． 12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，DE是AB的垂直平分线，∠AEC＝30°，BC＝2，那么AC的长为 　 　． 13．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC内一点，且BD⊥CD，CD平分∠ACB，若∠ABD＝6°，则∠A＝ 　 　． 14．如图，AB＝CD，线段AC的垂直平分线与线段BD的垂直平分线相交于点E，连接BE，DE，若∠CDE＝65°，则∠ABE的度数为 　 　． 15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是边AC和BC上的动点，连接DE、AE、BD．若BC﹣AC＝CD﹣EC＝2，AC+CE＝8，则AE+BD的最小值是 　 　． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．如图，方格纸中小正方形的边长为1个单位长度，△ABC为格点三角形．请判断△ABC的形状，并说明理由． 17．下面是小东设计的“作△ABC中BC边上的高线”的尺规作图过程． 已知：△ABC． 求作：△ABC中BC边上的高线AD． 作法：如图， ①以点B为圆心，BA的长为半径作弧，以点C为圆心，CA的长为半径作弧，两弧在BC下方交于点E； ②连接AE交BC于点D． 所以线段AD是△ABC中BC边上的高线． 根据小东设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：∵　 　＝BA，　 　＝CA， ∴点B，C分别在线段AE的垂直平分线上（　 　）（填推理的依据）． ∴BC垂直平分线段AE． ∴线段AD是△ABC中BC边上的高线． 18．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE＝20°，求∠C的度数． 19．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AC的垂直平分线交DC于点E，且BD＝DE．求证：AB+BD＝DC． 20．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，连接AD，BE是AD的垂直平分线，交AD于点F． （1）若AB＝9，△CDE的周长为11，求△ABC的周长； （2）若∠ABC＝34°，∠C＝50°，求∠CAD的度数． 21．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F． （1）若∠CAD＝36°，求∠AEF的度数； （2）试说明：∠AEF＝∠AFE． 22．某公园是人们健身散步的好去处．小明跑步的路线如图，从A点到D点有两条路线，分别是A﹣B﹣D和A﹣C﹣D．已知AB＝90米，AC＝150米，点C在点B的正东方120米处，点D在点C的正北方60米处． （1）试判断AB与BC的位置关系，并说明理由； （2）通过计算比较两条路线谁更短．（参考数据：） 23．定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在△ABC中，如果∠A＝80°，∠B＝40°，那么∠A与∠B互为“友爱角”，△ABC是“友爱三角形”． 如图，△ABC是“友爱三角形”，且∠A与∠B互为“友爱角”（∠A＞∠B），∠ACB＝90°． （1）求∠A，∠B的度数． （2）若CD是△ABC中AB边上的高，则△ACD，△BCD都是“友爱三角形”吗？为什么？ 24．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，连接DC． （1）AB＝ 　 　； （2）已知，直线MN垂直平分AC分别交AB，AC于点D，点E，若点F从点C出发沿CB以每秒2个单位长度的速度向终点B匀速运动，设运动时间为t秒．连接DC，DF，在点F运动过程中，△DCF能否为以CF为腰的等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 25．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BE⊥AC，垂足为E，CF⊥AB，垂足为F，点D是BC的中点，BE，CF交于点M． （1）如果AB＝AC，求证：△DEF是等边三角形； （2）如果AB≠AC，试猜想△DEF是不是等边三角形？如果△DEF是等边三角形，请加以证明；如果△DEF不是等边三角形，请说明理由； （3）如果CM＝4，FM＝5，求BE的长度． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页（共 6页） 参考答案 一、单选题（本大题共 10 小题，总分 40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A D B C C C B D 二、填空题（本大题共 5 小题，总分 20 分） 11．18． 12．4﹣2 3． 13．52°． 14．65°． 15．4 2． 三、解答题（本大题共 10 小题，总分 90 分） 16．解：△ABC是直角三角形， 理由：由题意得：AC2＝42+22＝20， AB2＝42+32＝25， BC2＝12+22＝5， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形． 17．解：（1）图形如图所示： （2）理由：连接 BE，EC． ∵AB＝BE，EC＝CA， ∴点 B，点 C分别在线段 AE的垂直平分线上（到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上）， 第 2页（共 6页） ∴直线 BC垂直平分线段 AE， ∴线段 AD是△ABC中 BC边上的高线． 故答案为：BE，EC，到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上． 18．解：∵ED是 AC的垂直平分线， ∴EA＝EC， ∴∠C＝∠EAC， ∴∠CAB＝∠EAC+20°＝∠C+20°， ∵∠C+∠CAB＝90°， ∴2∠C+20°＝90°， ∴∠C＝35°； 19．证明：如图，连接 AE， ∵AC的垂直平分线交 DC于点 E， ∴AE＝CE， ∵AD⊥BC，BD＝DE， ∴AD垂直平分 BE， ∴AB＝AE， ∴AB＝CE， ∵CD＝DE+CE， ∴AB+BD＝DC． 20．解：（1）∵BE是 AD的垂直平分线，AB＝9， ∴AB＝DB＝9，AE＝DE， ∵△CDE的周长为 11， ∴CD+DE+CE＝CD+AE+CE＝CD+AC＝11， ∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝AB+DB+CD+AC＝9+9+11＝29； （2）∵∠ABC＝34°，∠C＝50°， ∴∠CAB＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝96°， 第 3页（共 6页） ∵AB＝DB， ∴∠BAD= 12 ×（180°﹣∠ABC）= 1 2 ×（180°﹣34°）＝73°， ∴∠CAD＝∠CAB﹣∠BAD＝23°． 21．（1）解：∵AD⊥BC， ∴∠ABD+∠BAD＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAD＝90°， ∴∠ABD＝∠CAD＝36°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE= 12∠ABC＝18°， ∴∠AEF＝90°﹣∠ABE＝72°； （2）证明：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∵∠ABE+∠AEF＝90°，∠CBE+∠BFD＝90°， ∴∠AEF＝∠BFD， ∵∠AFE＝∠BFD， ∴∠AEF＝∠AFE． 22．解：（1）AB⊥BC， 理由如下：在△ABC中，AB＝90米，AC＝150米，BC＝120米， ∵AB2+BC2＝902+1202＝22500，AC2＝1502＝22500， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴∠ABC＝90°， ∴AB⊥BC； （2）在 Rt△BCD中，BC＝120米，DC＝60米， 由勾股定理得：BD= 1202 + 602 =60 5（米）， AB+BD＝90+60 5 ≈222米，AC+CD＝150+60＝210（米）， ∵222＞210， ∴A﹣C﹣D路线更短． 23．解：（1）∵∠A与∠B互为“友爱角”，且∠A＞∠B， 第 4页（共 6页） ∴∠B= 12∠A， ∴∠A＝2∠B， 在△ABC中，∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∴2∠B+∠B＝90°， ∴∠B＝30°， ∴∠A＝2∠B＝60°； （2）△ACD，△BCD都是“友爱三角形”，理由如下： ∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝∠BDC＝90°， 在 Rt△ACD中，∠A＝60°， ∴∠ACD＝90°﹣∠A＝30°， ∴∠ACD= 12∠A， ∴∠ACD与∠A互为“友爱角”， ∴△ACD是“友爱三角形”； 在 Rt△BCD中，∠B＝30°， ∴∠BCD＝90°﹣∠B＝60°， ∴∠B= 12∠BCD， ∴∠BCD与∠B互为“友爱角”， ∴△BCD是“友爱三角形”． 24．解：（1）在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8， AB= ��2 + ��2 = 82 + 62 =10． 故答案为：10； （2）在点 F运动过程中，△DCF能否为以 CF为腰的等腰三角形． 由题意得 CF＝2t， ∵直线 MN垂直平分 AC， ∴DA＝DC， ∴∠DCA＝∠A， ∵∠ACB＝90°， 第 5页（共 6页） ∴∠A+∠B＝90°，∠BCD+∠DCA＝90°， ∴∠B＝∠BCD， ∴BD＝DC， ∴BD＝DC＝AD= 12AB＝5， ①当 CF＝CD时，2t＝5， 解得 t= 52； ②当 CF＝DF＝2t时， 过点 D作 DH⊥BC于 H，则四边形 DHCF是矩形， ∴DH＝CE= 12AC＝4， 在 Rt△CDH中，CH= ��2 − ��2 = 52 − 42 =3， 则 FH＝2t﹣3， 在 Rt△CDH中，DF2＝FH2+DH2， ∴（2t）2＝（2t﹣3）2+42， 解得 t= 2512； 综上所述：t的值为 5 2 或 25 12 ． 25．（1）证明：∵∠A＝60°，AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形， ∵BE⊥AC，垂足为 E，CF⊥AB，垂足为 F， ∴E、F分别是 AC、AB边的中点， 又∵点 D是 BC的中点， EF= 12BC，DE= 1 2AB，DF= 1 2AC， 第 6页（共 6页） ∴EF＝ED＝DF， ∴△DEF是等边三角形； （2）解：△DEF是等边三角形． 理由如下：∵∠A＝60°，BE⊥AC，CF⊥AB， ∴∠ABE＝∠ACF＝90°﹣60°＝30°， 在△ABC中，∠BCF+∠CBE＝180°﹣60°﹣30°×2＝60°， ∵点 D是 BC的中点，BE⊥AC，CF⊥AB， ∴DE＝DF＝BD＝CD， ∴∠BDF＝2∠BCF，∠CDE＝2∠CBE， ∴∠BDF+∠CDE＝2（∠BCF+∠CBE）＝2×60°＝120°， ∴∠EDF＝60°， ∴△DEF是等边三角形； （3）解：∵∠A＝60°，BE⊥AC，CF⊥AB， ∴∠ABE＝∠ACF＝90°﹣60°＝30°， ∴BM＝2FM＝2×5＝10，ME= 12CM= 1 2 ×4＝2， ∴BE＝BM+ME＝10+2＝12。