第一章 整式的乘除 综合练习（2）2024-2025学年北师大版数学七年级下册

第 1页（共 5页） 参考答案 一、单选题（本大题共 10 小题，总分 30 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D C B C D C C C 二、填空题（本大题共 5 小题，总分 20 分） 11．7.5×10﹣6． 12．﹣5． 13．﹣2． 14．（y2﹣x2）． 15．xn+1，22020﹣1． 三、解答题（本大题共 10 小题，总分 90 分） 16．解：（1）原式＝4+1﹣1＝4； （2）原式＝（2024+1）×（2024﹣1）﹣20242 ＝20242﹣1﹣20242 ＝﹣1． 17．解：原式＝x2﹣y2+y2﹣2xy＝x2﹣2xy， 当 x＝1，y= 12时，原式＝1﹣1＝0． 18．解：（1）∵4x＝23x﹣1， ∴22x＝23x﹣1， 则 2x＝3x﹣1， 解得：x＝1； （2）∵a2n＝3，a3m＝5， ∴a6n﹣9m＝a6n÷a9m ＝（a2n）3÷（a3m）3 ＝33÷53 第 2页（共 5页） = 27125． 19．解：（1）（mx﹣2）（2x+1）+x2+n ＝2mx2+mx﹣4x﹣2+x2+n ＝（2m+1）x2+（m﹣4）x﹣2+n， ∵不含 x2的项和常数项， ∴2m+1＝0，﹣2+n＝0， ∴� =− 12，n＝2； （2）m2023n2024＝m2023•n2023•n＝（mn）2023•n， 由（1）知，� =− 12，n＝2， 则原式= ( − 12 × 2) 2023 × 2 =− 2． 20．解：（1）∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，a+b＝4，a2+b2＝10， ∴42＝10+2ab， ∴ab＝3； （2）设 x﹣2020＝a，则 x﹣2021＝a﹣1，x﹣2019＝a+1， ∴（a﹣1）2+（a+1）2＝52， ∴a2﹣2a+1+a2+2a+1＝52， ∴a2＝25， ∴a＝±5， 即 x﹣2020的值为±5． 21．解：（1）（3a+2b）（2a﹣3b）﹣4b2 ＝6a2+4ab﹣9ab﹣6b2﹣4b2 ＝6a2﹣5ab﹣10b2， 答：该小区绿化的总面积（6a2﹣5ab﹣10b2）平方米； （2）当 a＝10，b＝2时， 原式＝6×102﹣5×10×2﹣10×22＝460， ∴50×460＝23000（元）． 答：完成绿化共需要 23000元． 22．解：（1）∵33＝27， 第 3页（共 5页） ∴（3，27）＝3； ∵50＝1， ∴（5，1）＝0； ∵2﹣2= 14， ∴（2， 1 4 ）＝﹣2； （2）设（3，4）＝x，（3，5）＝y， 则 3x＝4，3y＝5， ∴3x+y＝3x•3y＝20， ∴（3，20）＝x+y， ∴（3，4）+（3，5）＝（3，20）． 故答案为：3，0，﹣2． 23．解：（1）S1﹣S2＝（m+1）（m+5）﹣（m+2）（m+4） ＝m2+6m+5﹣（m2+6m+8） ＝m2+6m+5﹣m2﹣6m﹣8 ＝﹣3＜0， 所以 S1＜S2， 故答案为：＜； （2）因为正方形的周长与图中甲长方形的周长相等， 所以正方形的周长为 2（m+1+m+5）＝4m+12， 所以正方形的边长为 m+3， 所以正方形的面积 S＝（m+3）2＝m2+6m+9， 因为 �1 + �2 = 3 2 �， 所以，�2 + 6� + 5 + �2 + 6� + 8 = 32 (� 2 + 6� + 9)， 整理得 m2+6m＝1， 所以 m2+6m+9＝1+9＝10， 所以这个正方形的面积为 10． 24．解：（1）根据题意可知，方法 1：阴影部分面积是边长为 a的正方形面积和边长为 b的正方形面积 之和， 第 4页（共 5页） ∴�阴影部分 = � 2 + �2； 方法 2：阴影部分面积＝边长为（a+b）的正方形面积﹣长为 a，宽为 b的长方形面积×2， ∴�阴影部分 = (� + �) 2 − 2��． 又∵两种方式表示的阴影部分面积是相等的：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab． 故答案为：a2+b2；（a+b）2﹣2ab；a2+b2＝（a+b）2﹣2ab； （2）①设 a＝2023﹣x，b＝x﹣2022， 则 a2+b2＝9，a+b＝2023﹣x+x﹣2022＝223﹣2022＝1， 根据（1）可知：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，即 9＝12﹣2ab， ∴�� = (�+�) 2−(�2+�2) 2 = 12−9 2 =− 4， 即（2023﹣x）（x﹣2022）＝﹣4； ②设 AC＝x，BC＝y， ∵AC+BC＝x+y＝8，S1+S2＝x2+y2＝40， 联立方程组可得： � + � = 8 �2 + �2 = 40， ∴�� = 12 [(� + �) 2 − �2 − �2] = 12 × (8 2 − 40) = 12， ∴阴影部分的面积为 1 2 �� × 2 = 12． 25．解：（1）①根据已知可得，（a+b）4展开式中 a3b的系数是 4； ②根据已知可得，（a+b）0展开式中所有项的系数和为 1＝20， （a+b）2展开式中所有项的系数和为 1+2+1＝22， （a+b）3展开式中所有项的系数和为 1+3+3+1＝8＝23， （a+b）4展开式中所有项的系数和为 1+4+6+4+1＝24， ⋯ ， 则（a+b）10展开式中所有项的系数和为 210． 故答案为：4；210． （2）∵(2� − 1)2025 = �1�2025 + �2�2024 + �3�2023 +⋯+ �2024�2 + �2025� + �2026， ∴当 x＝0时，�2026 = ( − 1)2025 =− 1， 当 x＝1时，a1+a2+a3+⋯ +a2024+a2025+a2026＝1， ∴a1+a2+a3+⋯ +a2024+a2025＝2． （3）由题意可得：a1＝1，a2＝3＝1+2，a3＝6＝1+2+3， 第 5页（共 5页） �� = 1 + 2 + ⋯+ � = �(�+1) 2 ， ∴�2024 = 2024×2025 2 ， ∴ 1 �1 + 1 �2 + ⋯ + 1 �2024 = 2 1×2 + 2 2×3 + ⋯ + 2 2024×2025 = 2(1 − 1 2+ 1 2− 1 3+⋯+ 1 2024− 1 2025 ) = 2(1 − 1 2025 ) = 40482025． 第一章《整式的乘除》 综合练习题（2） 考试时间:120分钟 满分150分 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 1．下列计算正确的是（　　） A．（a3）4＝a12 B．a3•a5＝a15 C．（3a）2＝6a2 D．（a+1）2＝a2+1 2．在进行多项式的乘法运算时，下列式子不能用平方差公式运算的是（　　） A．（a+2b）（a﹣2b） B．（a+2b）（﹣a﹣2b） C．（2a+b）（﹣2a+b） D．（2a﹣b）（﹣2a﹣b） 3．如图，在边长为（a+6）cm的正方形中，剪去一个边长为（a+1）cm的小正方形（a＞0），将余下部分拼成一个梯形，则梯形的面积为（　　） A．35cm2 B．（5a+35）cm2 C．（14a+37）cm2 D．（10a+35）cm2 4．如图①是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，沿图中虚线剪开，再按如图②的方式摆成正方形，则阴影部分的周长为（　　） A．ab B．（a﹣b）2 C．4（a﹣b） D．a2﹣b2 5．如图，若一块长方形广场的原长为18米，宽为10米；现因施工改造，将广场的长和宽各增大x米，广场面积增加了20平方米，同时以长方形的四边分别向外修建半圆形花圃．请你计算出花圃的总面积为（　　）平方米． A．90π B．116π C．120π D．128π 6．已知10x＝2，10y＝3，则102x+3y等于（　　） A．36 B．72 C．108 D．24 7．用四个全等的长方形和一个小正方形拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积是144，小正方形的面积是4，若用a，b分别表示矩形的长和宽（a＞b），则下列关系中不正确的是（　　） A．a+b＝12 B．a﹣b＝2 C．ab＝35 D．a2+b2＝84 8．如图，在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分按照图中的线段分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是（　　） A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．a2+b2＝（a+b）2﹣2ab 9．计算的值为（　　） A． B． C． D． 10．定义：如果ax＝N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记做x＝logaN．例如：因为72＝49，所以log749＝2；因为53＝125，所以1og5125＝3．则下列说法正确的个数为（　　） ①log61＝0；②log2xy＝log2x+log2y（x＞0，y＞0）；③若log4（a+14）＝4，则a＝50；④． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m的细颗粒物，也称为可入肺细颗粒物．它能较长时间悬浮于空气中，其在空气中含量浓度越高，则表示空气污染越严重，则数据0.0000075用科学记数法表示为 　 　． 12．已知M＝y2+2y+a，N＝﹣y，P＝y3+2y2﹣5y+2，且M•N+P的值与y无关，则a＝　 　． 13．若关于x的多项式（x2+2x+4）（x+k）展开后不含有一次项，则实数k的值为 　 　． 14．如图，小刚家有一块“L”形的菜地，要把这块菜地按图示那样分成面积相等的梯形，种上不同的蔬菜，这两个梯形的上底都是x米，下底都是y米，高都是（y﹣x）米，请你帮小刚家算一算菜地的面积是 　 　平方米． 15．观察、归纳： （x﹣1）（x+1）＝x2﹣1； （x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1； （x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1； … 请你根据以上等式的规律，完成下列问题： （1）（x﹣1）（xn+…+x2+x+1）＝　 　﹣1； （2）计算：1+2+22+…+22019＝　 　． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．（1）计算； （2）利用整式乘法公式进行计算2023×2025﹣20242． 17．先化简再求值：（x+y）（x﹣y）+（4xy3﹣8x2y2）÷4xy，其中x＝1，y． 18．求值 （1）已知4x＝23x﹣1，求x的值． （2）已知a2n＝3，a3m＝5，求a6n﹣9m的值． 19．关于x的代数式（mx﹣2）（2x+1）+x2+n化简后不含x2的项和常数项． （1）分别求m、n的值； （2）求m2023n2024的值． 20．已知代数式（a+b）2，a2+b2，ab之间存在这样的等量关系： （a+b）2＝a2+b2+2ab； 根据这个等量关系，解决下列问题； （1）已知a+b＝4，a2+b2＝10，求ab的值； （2）已知（x﹣2021）2+（x﹣2019）2＝52，求x﹣2020的值． 21．如图，某小区有一块长为（3a+2b）米，宽为（2a﹣3b）米的长方形地块，角上有四个边长为b米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化． （1）求该小区绿化的总面积； （2）若a＝10，b＝2，绿化成本为50元/平方米，则完成绿化共需要多少钱？ 22．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c． 例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3． （1）根据上述规定，填空： （3，27）＝　 　，（5，1）＝　 　，（2，）＝　 　． （2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n，4n）＝（3，4），小明给出了如下的证明： 设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n 所以3x＝4，即（3，4）＝x， 所以（3n，4n）＝（3，4）． 请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：（3，4）+（3，5）＝（3，20） 23．如图，甲长方形的两邻边长分别为m+1，m+5，乙长方形的两邻边长分别为m+2，m+4．（其中m为正整数） （1）图中甲长方形的面积为S1，乙长方形的面积为S2，比较大小：S1　 　S2（填“＞”“＝”或“＜”），并说明理由； （2）现有一正方形，其周长与图中甲长方形的周长相等，正方形的面积为S．若甲、乙两个长方形的面积S1，S2与正方形的面积S满足，求这个正方形的面积． 24．如图1，将边长（a+b）的正方形剪出两个边长分别为a，b的正方形（阴影部分），观察图形，解答下列问题： （1）用两种不同的方法表示图一阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积． 方法1：　 　，方法2：　 　；从中你发现什么结论呢？　 　； （2）运用你发现的结论，解决下列问题： ①已知（2023﹣x）2+（x﹣2022）2＝9，求（2023﹣x）（x﹣2022）的值； ②如图2，C是线段AB上一点，以AC，BC为边向两边作正方形，AC+BC＝8，两个正方形的面积和S1+S2＝40，求图中阴影部分的面积． 25．八年级数学兴趣小组成员在华师版数学教材37页《阅读材料》中查阅到了一位杰出的数学家，他们决定对其的发现展开微项目探索，请你跟随探索脚步，根据素材，完成【任务规划】、【项目成效】和【拓展应用】． 【驱动问题】探索杨辉三角和多项式乘法计算结果中各项系数间的奥秘． 【核心概念】 素材1：杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》中有记载了如图1，源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”，我们把这个表叫做“杨辉三角”． 素材2：我们知道，（a+b）1＝a+b，（a+b）2＝a2+2ab+b2．利用多项式的乘法运算，还可以得到：（a+b）3＝（a+b）（a2+2ab+b2）＝a3+3a2b+3ab2+b3．当a+b≠0时，将计算结果中多项式（以a降次排序）各项的系数排列成表，可得到如图2： 【任务规划】 （1）任务：请根据素材1和素材2直接写出： ①（a+b）4展开式中a3b的系数是 　 　； ②（a+b）10展开式中所有项的系数和为 　 　； 【项目成效】 （2）成果展示：若，求a1+a2+a3+⋯+a2024+a2025的值． 【拓展应用】 （3）“杨辉三角”的应用很广泛，例如“堆垛术”，图3中的立体图形是由若干形状、大小相同的圆球摆放而成，从上至下每层小球的个数依次为：1，3，6，10…，记第n层的圆球数记an，求的值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$