第一章《整式的乘除》综合练习（1） 2024-2025学年北师大版七年级数学下册

第一章《整式的乘除》 综合练习题（1） 考试时间:120分钟 满分150分 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 1．国际学术期刊《自然》在2024年5月30日发表了我国生物专家朱家鹏教授及其团队研究成果，团队突破“蛋白质纯化”这一传统概念，直接对线粒体成像，获得了迄今为止最清晰、最接近真实生理状态的线粒体原位膜蛋白高分辨率三维解析结构，局部分辨率最高达0.00000000018米，其中0.00000000018用科学记数法表示为（　　） A．1.8×10﹣9 B．0.18×10﹣10 C．18×10 D．1.8×10﹣10 2．计算a5•a2的结果是（　　） A．a5 B．a6 C．a7 D．a10 3．下列计算正确的是（　　） A．a2+a2＝a4 B．a3•a2＝a6 C．a6÷a2＝a3 D．（a3）3＝a9 4．若代数式x2+（m+1）x+4是完全平方式，则m的值是（　　） A．3 B．﹣3 C．﹣5 D．3或﹣5 5．在下面的正方形分割方案中，可以验证（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab的图形是（　　） A． B． C． D． 6．如图，将边长分别为a和b的两个正方形拼在一起，B，E，A三点在同一直线上，连接AG，AD，若两正方形的边长满足a﹣b＝4，ab＝12，则阴影部分的面积为（　　） A．8 B．10 C．14 D．16 7．下列运算结果等于a3n的是（　　） A．a3•an B．（3a）n C． D． 8．如图，将两张长为a，宽为b的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠部分分别记为①和②，正方形ABCD中未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示，图1和图2中阴影部分的面积分别记为S1和S2．若知道下列条件，仍不能求S1﹣S2值的是（　　） A．长方形纸片长和宽的差 B．长方形纸片的周长和面积 C．①和②的面积差 D．长方形纸片和①的面积差 9．如图，正方形ABCD的边长为x，其中AI＝5，JC＝3，两个阴影部分都是正方形且面积和为60，则重叠部分FJDI的面积为（　　） A．28 B．29 C．30 D．31 10．对于P、Q，定义一种新运算“⊕”，当P≥0时，P⊕Q＝P+Q，当P＜0时，P⊕Q＝P﹣Q，下列说法： ①已知A＝ax2﹣2x+1，B＝2x2﹣bx+3，3⊕A+（﹣2⊕B）的值与x的取值无关，则a＝2，b＝2； ②对于任意的实数m、n，若，则； ③满足[2⊕（x2+y2﹣2x﹣2y）]≤2的整数解（x，y）共有9种． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．计算：42025×（﹣0.25）2024＝ 　 　． 12．计算的结果是　 　． 13．若3x+y﹣8＝0，则8x•2y的结果是 　 　． 14．如果4x2﹣kx+16是一个完全平方式，那么k的值是　 　． 15．已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），甲、乙的面积分别为S1，S2． （1）S1与S2的大小关系为：S1　 　S2；（用“＞”、“＜”、“＝”填空） （2）若满足条件|S1﹣S2|＜n≤2023的整数n有且只有4个，则m的值为 　 　． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．计算 （1）（3a2）2•（﹣a）3÷a﹣（﹣2a3）2． （2）． 17．“黑洞”是恒星演化的最后阶段．根据有关理论，当一颗恒星衰老时，其中心的燃料（氢）已经被耗尽，在外壳的重压之下，核心开始坍缩，直到最后形成体积小、密度大的星体．如果这一星体的质量超过太阳质量的三倍，那么就会引发另一次大坍缩．当这种收缩使得它的半径达到施瓦氏（Schwarzschild）半径后，其引力就会变得相当强大，以至于光也不能逃脱出来，从而成为一个看不见的星体一黑洞．施瓦氏半径（单位：m）的计算公式是．R，其中G＝6.67×10﹣11N•m2/kg2，为万有引力常数；M表示星球的质量（单位：kg）；c＝3×108m/s，为光在真空中的速度． 已知太阳质量为2×1030kg，计算太阳的施瓦氏半径． 18．已知（|x|﹣4）x+1＝1，求整数x的值 小红与小明交流如下： 小红：因为a0＝1（a≠0）， 所以x+1＝0且|x|﹣4＝0，所以x＝﹣1． 小明：因为1n＝1，所以|x|﹣4＝1，所以x＝±5 你认为小红与小明同学的解答完整吗？若不完整，请求出其他所有的整数x的值． 19．在边长为a的正方形中减掉一个边长为b的小正方形（a＞b）把余下的部分再剪拼成一个长方形． （1）如图1，阴影部分的面积是：　 　； （2）如图2，是把图1重新剪拼成的一个长方形，阴影部分的面积是　 　； （3）比较两阴影部分面积，可以得到一个公式是　 　； （4）运用你所得到的公式，计算：99.8×100.2． 20．如图是某学校大门口的指示牌．已知该指示牌是长为（m+2n）cm，宽为（m+n）cm的长方形，左下角与右下角的空白部分是边长相等的正方形，左上角与右上角的空白部分是两个相同的直角三角形．根据图中所标数据，解决下列问题： （1）空白部分的总面积为 　 　cm2，箭头（阴影部部分）的面积为 　 　cm2； （2）当m＝10，n＝20时，请计算箭头（阴影部分）的面积． 21．（1）试计算a、b取不同数值时，a2﹣b2及（a+b）（a﹣b）的植，填入下表： a、b的值 当a＝3，b＝2时 当a＝﹣5，b＝1时 当a＝﹣2，b＝﹣5时 a2﹣b2 　 　 　 　 　 　 （a+b）（a﹣b） 　 　 　 　 　 　 （2）我的发现：　 　． （3）用你发现的规律计算：78.352﹣21.652． 22．如图1是一张边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形，然后将图1剩余部分（阴影部分）剪拼成如图2的一个大长方形（阴影部分）． （1）将图1阴影部分的面积记为S1，图2的面积记为S2，若用含a、b的代数式表示S1和S2，则S1＝　 　，S2＝　 　； （2）请你判断S1与S2之间的大小关系：S1　 　S2（填“＞”、“＜”或“＝”），并写出关于a，b的一个等式； （3）利用（2）中的结论，求20252﹣20242的值． 23．【观察】：（2+3）2﹣22＝7×3；（4+3）2﹣42＝11×3． 嘉嘉发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． 【验证】： （1）（6+3）2﹣62的结果是3的　 　倍； （2）设偶数为2n（n为整数），试说明比2n大3的数与2n的平方差能被3整除； 【延伸】： （3）比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6除的余数是几？请说明理由． 24．阅读理解： 已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值． 解：∵a+b＝5， ∴（a+b）2＝52，即a2+2ab+b2＝25． ∵ab＝3， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝19． 参考上述过程解答： （1）若x﹣y＝﹣3，xy＝﹣2． ①x2+y2＝　 　； ②求（x+y）2的值； （2）已知x+y＝7，x2+y2＝25，求（x﹣y）2的值． 25．在学习整式乘法时，教材用拼图推演得到了整式的乘法法则和乘法公式．这样，我们借助图形往往能把复杂的数学问题变得简明、形象．如图1，将边长a的正方形分别用两个边长分别为a﹣b，b的正方形①②（阴影部分）和两个长方形③④拼接而成．观察图形，解答下列问题： （1）请用两种不同的方法表示图1中边长a的正方形的面积．你能用图1中正方形的面积表示ab吗？请把结论写出来． （2）运用你发现的结论，解决下列问题： ①已知（2x﹣y+3）2+（y﹣2x）2＝10，求（2x﹣y+3）（2x﹣y）的值． ②如图2是由3个正方形ABCD、BMNR、BEQK和1个长方形BRPK拼接而成，若AE＝2，CG＝4，长方形BMHE的面积为15，设阴影部分正方形的面积分别为S1，S2，求S1+S2的值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页（共 4页） 解析答案 一、单选题（本大题共 10 小题，总分 40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C D D D C D D A D 二、填空题（本大题共 5 小题，总分 20 分） 11．4． 12．− 18 � 6�3 13．256． 14．±16． 15．＞；1010． 三、解答题（本大题共 10 小题，总分 90 分） 16．解：（1）原式＝9a4•（﹣a3）÷a﹣4a6 ＝﹣9a6﹣4a6 ＝﹣13a6； （2）原式＝﹣1×5+1+9 ＝﹣5+1+9 ＝5． 17．解：R= 2×6.67×10 −11×2×1030 (3×108)2 =2.96×10 3（m）． 答：太阳的施瓦氏半径为 2.96×103m． 18．解：因为 a0＝1（a≠0）， 所以 x+1＝0且|x|﹣4≠0，所以 x＝﹣1． 因为 1n＝1，所以|x|﹣4＝1，所以 x＝±5 当|x|﹣4＝﹣1， 解得：x＝±3，此时（|x|﹣4）x+1＝（﹣1）4或（﹣1）﹣2其结果都为 1， 综上所述：x的值可以为：﹣1，±3，±5． 19．解：（1）a2﹣b2； （2）（a+b）（a﹣b）； （3）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2； 第 2页（共 4页） （4）原式＝（100﹣0.2）（100+0.2） ＝1002﹣0.22 ＝10000﹣0.04 ＝9999.96． 20．解：（1）空白部分的总面积为： 2�2 + 2 × 12�× (� + 1 2�) = (2� 2 +�� + 12� 2)��2， 箭头（阴影部部分）的面积为：(� + 2�)(� + �) − (2�2 +�� + 12� 2)， = �2 + 3�� + 2�2 − 2�2 −�� − 12� 2 = ( 12� 2 + 2��)��2， 故答案为：(2�2 +�� + 12� 2)，( 12� 2 + 2��) （2）当 m＝10，n＝20时，箭头的面积为： 1 2 × 102 + 2 × 10 × 20 = 450(��2)． 21．解：（1）当 a＝3，b＝2时，a2﹣b2＝32﹣22＝9﹣4＝5， （a+b）（a﹣b）＝（3+2）×（3﹣2）＝5×1＝5； 当 a＝5，b＝1时，a2﹣b2＝52﹣12＝25﹣1＝24， （a+b）（a﹣b）＝（5+1）×（5﹣1）＝6×4＝24； 当 a＝﹣2，b＝﹣5时，a2﹣b2＝（﹣2）2﹣（﹣5）2＝4﹣25＝﹣21， （a+b）（a﹣b）＝（﹣2﹣5）×（﹣2+5）＝﹣7×3＝﹣21； 故答案为：5，5；24，24；﹣21，﹣21； （2）发现的规律为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； （3）原式＝（78.35+21.65）×（78.35﹣21.65）＝5670． 22．解：（1）图 1中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即 a2﹣b2，所以�1 = �2 − �2， 拼成的图 2是长为 a+b，宽为 a﹣b的长方形，因此面积 S2＝（a+b）（a﹣b）， 故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）； （2）由（1）得 S1＝S2； 所以有 a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）或（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2， 故答案为：＝；a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）或（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2； （3）20252﹣20242 ＝（2025+2024）（2025﹣2024） 第 3页（共 4页） ＝4049×1 ＝4049． 23．解：（1）原式＝81﹣36＝45＝3×15， ∴（6+3）2﹣62是 3的 15倍． 故答案为：15； （2）根据题意可知，比偶数 2n大 3的数为：（2n+3）， ∴（2n+3）2﹣（2n）2 ＝（2n+3+2n）（2n+3﹣2n） ＝3（4n+3）， 又∵4n+3为整数， ∴3（4n+3）能被 3整除； （3）根据题意设这个数为 n，比 n大 3的数为：n+3， （n+3）2﹣（n）2＝（n+3+n）（n+3﹣n）＝6n+9＝6（n+1）+3， 即 6（n+1）+3被 6整除余 3，余数为 3． 24．解：（1）①∵x﹣y＝﹣3， ∴（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝9， ∵xy＝﹣2， ∴x2+y2＝5； 故答案为：5． ②∵x2+y2＝5，xy＝﹣2， ∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝1． （2）∵x+y＝7， ∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝49， ∵x2+y2＝25， ∴xy＝12， ∴（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝1． 25．解：（1）方法一：大正方形面积为 a2； 方法二：（a﹣b）2+b2+2（a﹣b）b＝a2； 两个小正方形面积分别为（a﹣b）2，b2， ③④部分的面积都为 （a﹣b）b， 第 4页（共 4页） ∴a2＝（a﹣b）2+b2+2（a﹣b）b， ∴�� = 12 [� 2 + �2 − (� − �)2]； （2）①由已知得（2x﹣y+3）2+（2x﹣y）2＝10， 设 a＝2x﹣y+3，b＝2x﹣y， 则有 a2+b2＝10，a﹣b＝3， ∴（a﹣b）2＝9， ∴（2x﹣y+3）（2x﹣y）＝ab= 12 [� 2 + �2 − (� − �)2] = 10−92 = 1 2； ②设正方形 BMNR、BEQK的边长分别为 a，b， 由题意 ab＝15， ∵AE＝2，CG＝4，AB＝a+2，AC＝b+4， 由正方形 ABCD得 a+2＝b+4，即 a﹣b＝2， 由（1）得 a2+b2＝（a﹣b）2+2ab， ∴�1 + �2 = �2 + �2 = (� − �)2 + 2�� = 22 + 2 × 15 = 34。