精品解析：辽宁省鞍山市台安县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

台安县2024-2025学年第一学期期末质量调查九年级数学试卷 （试卷满分120分，答题时间120分钟) 注意事项: 1.答题前，考生须用0.5mm黑色字迹的签字笔在本试题卷规定位置填写自己的姓名、准考证号． 2.考生须在答题卡上作答，不能在本试题卷上作答，答在本试题卷上无效． 3.考试结束，将答题卡交回，进行统一评卷． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 在下列四个图案中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 故选：． 2. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义以及根的判别式，由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于的不等式，则可求得的取值范围． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴，且， 即，且， 解得且， 故选A． 3. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．据此求解即可． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标为． 故选A． 4. 定义一种“十位上的数字比个位、百位上的数字都要小”的三位数叫做“V数”，如“947”就是一个“V数”.若十位上的数字为2，则从1，3，4，5中任选两数，能与2组成“V数”得概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】画树状图得： ∵可以组成的数有：321，421，521，123，423，523，124，324，524，125，325，425， 其中是“V数”的有：423，523，324，524，325，425六个， ∴从1，3，4，5中任选两数，能与2组成“V数”的概率是：．故选C． 5. 已知反比例函数的图像上有三点，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质判断出函数图像所在的象限以及每一个象限内的增减性即可求解即可． 【详解】解：∵， ∴此反比例函数的图像在第一、三象限，且在每一个象限内，y随x的增大而减小， ∵，，在此反比例函数的图像上，且， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的图像与性质，熟知反比例函数的增减性是解答的关键． 6. 下列事件中，是随机事件的为（ ） A. 水涨船高 B. 冬天下雪 C. 水中捞月 D. 冬去春来 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，正确掌握分类是解题的关键． 【详解】A. 水涨船高是必然事件，不符合题意； B. 冬天下雪是随机事件，符合题意； C. 水中捞月是不可能事件，不符合题意； D. 冬去春来是必然事件，不符合题意； 故选B． 7. 如图，工程队准备将一段笔直的河道改弯，从而增加游览船的航程，让游客饱览山间风光．这其中体现的数学原理是（　　） A. 两点确定一条直线 B. 经过一点有无数条直线 C. 两点之间，线段最短 D. 垂线段最短 【答案】C 【解析】 【分析】工程队准备将一段笔直的河道改弯，从而增加游览船的航程，即求线段变弯后长度变长的数学原理，据此作答即可． 【详解】笔直的河道改弯，从而增加游览船的航程，这其中体现的数学原理是两点之间，线段最短． 故选C． 【点睛】本题考查了数学常识在生活中的应用，正确将题意中的现象替换成数学语言是解题的关键． 8. 如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心，若∠B＝25°，则∠C的大小等于( ) A. 25° B. 20° C. 40° D. 50° 【答案】C 【解析】 【分析】连接OA，根据切线的性质，即可求得∠C的度数． 【详解】如图，连接OA． ∵AC是⊙O的切线，∴∠OAC＝90°． ∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB＝25°，∴∠AOC＝50°，∴∠C＝40°． 故选C． 【点睛】本题考查了圆的切线性质，以及等腰三角形的性质，已知切线时常用的辅助线是连接圆心与切点． 9. 我国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步．如果设长为步，则可列出方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．设长为x步，则宽为步，然后根据长方形面积公式列出方程即可． 【详解】解：设长为x步，则长为步， 由题意得，， 故选：C． 10. 我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估计圆周率，理论上能把的值计算到任意精度．“割圆术”的第一步是计算圆内接正六边形的面积，若圆的半径为1，则圆内接正六边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正六边形与圆的相关计算，涉及等边三角形的判定和性质，连接，过点O作于点G，先证明为等边三角形，再求出的面积，根据正六边形的面积为6倍的面积，求解即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】如图，连接，过点O作于点G， ∵正六边形的中心角， ∴为等边三角形， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴圆内接正六边形的面积为， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 使式子有意义的的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由分式中和的，即可求解． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， 故答案：． 【点睛】本题主要考查了利用分式和二次根式有意义的条件求字母的取值范围，理解有意义的条件是解题的关键． 12. 抛物线的对称轴是y轴，则m的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称轴公式．根据抛物线的对称轴公式“抛物线的对称轴是直线”即可得出关于m的方程，解方程即得答案． 【详解】解：根据题意，得：， 解得：． 故答案为：1． 13. 任意掷一枚均匀的正方体骰子，“偶数点朝上”发生的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用列举法求概率．在正方体骰子中，写有偶数的有3面，一共有6面，根据概率公式：概率所求情况数与总情况数之比求解即可． 【详解】解：在正方体骰子中，朝上的数字为偶数的情况有3种，分别是：2，4，6，骰子共有6面， 偶数朝上发生的概率为：． 故答案为：． 14. 如图，的顶点坐标是，，，以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点的坐标为_______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】根据位似变换的性质、坐标与图形性质计算． 【详解】解：以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，， 当在第一象限时，点的坐标为，即； 当在第三象限时，点的坐标为，即； 综上可知，点的坐标为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查图标与图形、位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质，注意分情况计算． 15. 如图，是的直径，点C，D在上，，，若，则的长为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据，，可得四边形是菱形，则可得，进而可得是等边三角形，，由可得，进而可得是等边三角形，则可得． 本题考查了菱形性质与判定，等边三角形的性质与判定，以及圆的相关知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】 解：连接，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵, ∴四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：1 三、解答题（共8小题，共75分） 16. （1）解方程： （2）已知关于的方程，请证明此方程有两个不相等的实数根． 【答案】（1），； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程和根判别式： （1）方程运用配方法求解即可； （2）求出判别式的值进行判断即可． 【详解】解：（1） 移项，整理得 配方，得 即 解得，； （2） 此方程有两个不相等的实数根. 17. 某商场在春节期间将单价200元的某种商品经过两次降价后，以162元的价格出售． （1）求平均每次降价的百分率； （2）售货员向经理建议：先公布降价5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问售货员的方案对顾客是否更优惠？为什么？ 【答案】（1）10%；（2）是，理由见解析 【解析】 【分析】（1）设该种商品每次降价的百分率为x，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论； （2）根据题意直接计算可得出答案． 【详解】解：（1）设平均每次降价的百分率是x， 根据题意得，200(1﹣x)2＝162， 解得：x1＝10%，x2＝190%（不合题意，舍去）； 答：平均每次下调的百分率为10%． （2）200(1﹣5%)(1﹣15%)＝161.5＜162 ∴售货员的方案对顾客更优惠． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程． 18. 如图，在四边形中，，平分，，垂足为点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，等量代换得到，根据全等三角形的性质得到，于是得到结论； （2）根据菱形的性质得到，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【小问1详解】 证明：， ， 平分， ， ， ，， ， 在与中，， ， ， ， 四边形是菱形； 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质和判定，勾股定理，菱形的面积的计算，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键． 19. 在如图所示平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出绕点顺时针旋转后得到； （2）在（1）的条件下，求点旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留）． 【答案】（1）见解析 （2）点旋转到点的过程中所经过的路径长为 【解析】 【分析】本题考查作图题旋转变换、弧长公式，熟练掌握旋转的性质、弧长公式是解答本题的关键． (1)根据旋转的性质作图即可； (2) 利用勾股定理求出OA的长，再利用弧长公式计算即可． 【小问1详解】 即为所画． 【小问2详解】 ∵ ∴． 20. 为加强交通安全教育，某中学对全体学生进行“交通安全知识”的测试，学校抽取了部分学生的测试成绩，把测试成绩x分为四个类别：及格（），中等（），良好（），优秀（），并根据测试成绩绘制了如下两幅不完整的统计图． 据上面图表信息，回答下列问题： （1）请补全条形统计图； （2）若该校有1600名学生，请估计竞赛成绩在良好及以上的学生有多少人？ （3）在本次测试中，获得满分的4人中有2名男生和2名女生，学校从这4名同学中随机选2人参加市中学生“交通安全知识”竞赛，请用列表或画树状图的方法求出抽取的2人恰好是一男一女的概率． 【答案】（1）见解析 （2）1200人 （3） 【解析】 【分析】（1）根据样本容量=频数÷所占百分数，求得样本容量后，计算良好类学生数，完善统计图即可． （2）利用样本估计总体的思想计算即可． （3）利用画树状图计算即可．本题考查了条形统计图、扇形统计图，画树状图求概率，熟练掌握统计图的意义，准确画树状图是解题的关键 【小问1详解】 解：人 良好人数为：人， 补全条形统计图如图所示： 【小问2详解】 解：，人 答：估计竞赛成绩在良好及以上的学生约有1200人 ． 【小问3详解】 解： 第一人第二人 男1 男2 女1 女2 男1 （男2，男1） （女1，男1） （女2，男1） 男2 （男1，男2） （女1，男2） （女2，男2） 女1 （男1，女1） （男2，女1） （女2，女1） 女2 （男1，女2） （男2，女2） （女1，女2） 由表格可知共产生了12种结果，并且每一种结果出现的可能性相等，其中恰好是一男一女的结果有8种， 所以． 21. 如图，是的内接三角形，是的直径，，，点F在上，连接并延长，交于点D，连接，作，垂足为E． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，熟记圆的基本性质与重要定理是解本题的关键． （1）分别证明，从而可得结论； （2）过点C作，垂足为G，由勾股定理求出，再由求出，由已知得出为1，因此为中垂线，从而得出相等，又因为，故，最后由，通过对应边成比例解出． 【小问1详解】 证明：∵为直径， ， ， ， 所对的圆周角为和， ， ； 【小问2详解】 解：如图，过点C作，垂足为G， ，，， ， ， ， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴． 22. 如图，在中，，，．点P从点A出发，沿以每秒1个单位的速度向终点C运动；点Q从点C出发，沿以每秒2个单位的速度向终点A运动，当点P停止运动时，点Q也随之停止．点P、Q同时出发，设点P的运动时间为t秒． 求： （1）用含t的代数式表示的长； （2）当t为何值时，； （3）当时，求的长． 【答案】（1） （2）当时， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、列代数式，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． （1）先求出的长，然后用的长度减去的长度，即可求出的长度； （2）由勾股定理求出，证明得出，求出，再由得出，求解即可； （3）当时，，作于，证明，得出，，从而得出，最后由勾股定理进行计算即可得出． 【小问1详解】 解：点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向终点运动， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图， 在中，，，， ， ， ， ， ， ，即， ， 点从点出发，沿以每秒2个单位的速度向终点运动， ， ， ， ， ， 解得：， 当时，； 【小问3详解】 解：如图，当时，，作于， ，， ， ， ， ， ， ， ，即， 解得：， 同理可得， ， ． 23. 如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，,，，抛物线的图象经过C点． （1）求抛物线的解析式； （2）平移该抛物线的对称轴所在直线L．当L移动到何处时，恰好将的面积分为相等的两部分？ （3）点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为 （2）当L移动到处时，恰好将的面积分为相等的两部分 （3）存在，P点坐标为 【解析】 【分析】（1）首先过C作轴于K，构造全等三角形，求出点C的坐标，然后利用点C的坐标求出抛物线的解析式； （2）设抛物线的对称轴所在直线L交于，交于Q，设直线L为，求出，求出与的解析式，则可求出；根据题意，列出方程求解即可； （3）设P的横坐标为t，然后根据平行四边形的性质及中点坐标公式求解即可． 【小问1详解】 解：过C作轴于K，如图： ， ， ， ， ，， ，， ，， ， ， 把代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； 小问2详解】 解：设抛物线的对称轴所在直线L交于，交于Q，此时直线L恰好将的面积分为相等的两部分，如图： 设直线L为， 由，可得， ， 设直线为， 将，代入， 得， 解得， 直线解析式为， ， 设直线为， 将，代入， 得, 解得， 直线解析式为， ， ， ， ， 解得（此时直线L在C右侧，舍去）或， ∴当L移动到处时，恰好将的面积分为相等的两部分； 【小问3详解】 解：存在点P，使四边形为平行四边形， 理由如下： 设P的横坐标为t， ∵四边形为平行四边形， 的中点即为的中点， ，，， ， 解得， 此时， ， 经检验，符合题意； ∴P点坐标． 【点睛】本题考查了二次函数综合题型以及二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、全等三角形、平行四边形、等腰直角三角形等知识点．解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．试题难度不大，但需要仔细分析，认真计算． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 台安县2024-2025学年第一学期期末质量调查九年级数学试卷 （试卷满分120分，答题时间120分钟) 注意事项: 1.答题前，考生须用0.5mm黑色字迹的签字笔在本试题卷规定位置填写自己的姓名、准考证号． 2.考生须在答题卡上作答，不能在本试题卷上作答，答在本试题卷上无效． 3.考试结束，将答题卡交回，进行统一评卷． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 在下列四个图案中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 定义一种“十位上的数字比个位、百位上的数字都要小”的三位数叫做“V数”，如“947”就是一个“V数”.若十位上的数字为2，则从1，3，4，5中任选两数，能与2组成“V数”得概率是（ ） A. B. C. D. 5. 已知反比例函数的图像上有三点，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 下列事件中，是随机事件的为（ ） A. 水涨船高 B. 冬天下雪 C. 水中捞月 D. 冬去春来 7. 如图，工程队准备将一段笔直的河道改弯，从而增加游览船的航程，让游客饱览山间风光．这其中体现的数学原理是（　　） A. 两点确定一条直线 B. 经过一点有无数条直线 C. 两点之间，线段最短 D. 垂线段最短 8. 如图，AB是⊙O弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心，若∠B＝25°，则∠C的大小等于( ) A. 25° B. 20° C. 40° D. 50° 9. 我国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步．如果设长为步，则可列出方程（ ） A. B. C. D. 10. 我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估计圆周率，理论上能把的值计算到任意精度．“割圆术”的第一步是计算圆内接正六边形的面积，若圆的半径为1，则圆内接正六边形的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 使式子有意义的取值范围是______． 12. 抛物线的对称轴是y轴，则m的值为______． 13. 任意掷一枚均匀的正方体骰子，“偶数点朝上”发生的概率为_____． 14. 如图，的顶点坐标是，，，以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点的坐标为_______． 15. 如图，是的直径，点C，D在上，，，若，则的长为__________． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. （1）解方程： （2）已知关于的方程，请证明此方程有两个不相等的实数根． 17. 某商场在春节期间将单价200元某种商品经过两次降价后，以162元的价格出售． （1）求平均每次降价百分率； （2）售货员向经理建议：先公布降价5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问售货员的方案对顾客是否更优惠？为什么？ 18. 如图，在四边形中，，平分，，垂足为点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 19. 在如图所示平面直角坐标系中，每个小正方形边长均为，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出绕点顺时针旋转后得到； （2）在（1）的条件下，求点旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留）． 20. 为加强交通安全教育，某中学对全体学生进行“交通安全知识”的测试，学校抽取了部分学生的测试成绩，把测试成绩x分为四个类别：及格（），中等（），良好（），优秀（），并根据测试成绩绘制了如下两幅不完整的统计图． 据上面图表信息，回答下列问题： （1）请补全条形统计图； （2）若该校有1600名学生，请估计竞赛成绩在良好及以上的学生有多少人？ （3）在本次测试中，获得满分的4人中有2名男生和2名女生，学校从这4名同学中随机选2人参加市中学生“交通安全知识”竞赛，请用列表或画树状图的方法求出抽取的2人恰好是一男一女的概率． 21. 如图，是的内接三角形，是的直径，，，点F在上，连接并延长，交于点D，连接，作，垂足为E． （1）求证：； （2）若，求的长． 22. 如图，在中，，，．点P从点A出发，沿以每秒1个单位的速度向终点C运动；点Q从点C出发，沿以每秒2个单位的速度向终点A运动，当点P停止运动时，点Q也随之停止．点P、Q同时出发，设点P的运动时间为t秒． 求： （1）用含t的代数式表示的长； （2）当t为何值时，； （3）当时，求的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，,，，抛物线的图象经过C点． （1）求抛物线的解析式； （2）平移该抛物线的对称轴所在直线L．当L移动到何处时，恰好将的面积分为相等的两部分？ （3）点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$